成才之路数学选修2-1之1-1-1 (42)

成才之路数学选修2-1之1-1-1 (42)

3.1.2

一、选择题

1．设M 是△ABC 的重心，记a ＝BC

→，b ＝CA

→，c ＝AB →，a ＋b ＋c ＝0，则AM →为( ) A.b －c 2 B.c －b 2

C.b －c 3

D.c －b 3

[答案] D

[解析] M 为△ABC 重心，

则AM →＝23⎣⎢⎢⎡⎦

⎥⎥⎤12(AB →＋AC →)＝13(AB →＋AC →)＝13(c －b )．

2．如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列

能表示向量OP →的为( )

A.OA

→＋2AB →＋2AC → B.OA

→－3AB →－2AC → C.OA

→＋3AB →－2AC → D.OA

→＋2AB →－3AC → [答案] C

[解析] 根据A ，B ，C ，P 四点共面的条件

即可求得AP

→＝xAB →＋yAC →.即OP →＝OA →＋xAB →＋yAC

→， 由图知x ＝3，y ＝－2

3．当|a |＝|b |≠0，且a 、b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )

A ．共面

B ．不共面

C ．共线

D ．无法确定

[答案] A

[解析] 本题考查空间两向量的关系．由空间任何两个向量一定为共面向量可知选A.

4．i ∥\ j ，则存在两个非零常数m ，n ，使k ＝mi ＋nj 是i ，j ，k 共面的( )

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．非充分非必要条件

[答案] A

[解析] 本题考查空间三个向量共面的条件．若i 不平行j ，则k 与i ，j 共面⇔存在惟一的一对实数x ，y 使k ＝xi ＋yj .故选A.

5．对空间任一点O 和不共线三点A 、B 、C ，能得到P 、A 、B 、C 四点共面的是( )

A.OP

→＝OA →＋OB →＋OC →

B.OP →＝13OA →＋13OB →＋13

OC → C.OP →＝－OA →＋12OB →＋12

OC → D ．以上皆错

[答案] B

[解析] 解法一：∵13＋13＋13

＝1，∴选B. 解法二：∵OP →＝13OA →＋13OB →＋13

OC →， ∴3OP

→＝OA →＋OB →＋OC →， ∴OP

→－OA →＝(OB →－OP →)＋(OC →－OP →)， ∴AP

→＝PB →＋PC →， ∴PA

→＝－PB →－PC →，∴P 、A 、B 、C 共面． 6．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′ ，点E 是A ′C ′的中点，点F 是AE 的三等分点，

且AF ＝12

EF ，则AF →等于( )

A.AA ′→＋12AB →＋12AD →

B.12AA ′→＋12AB →＋12

AD → C.12AA ′→＋16AB →＋16

AD → D.13AA ′→＋16AB →＋16

AD → [答案] D

[解析] 由条件AF ＝12

EF 知，EF ＝2AF ，

∴AE ＝AF ＋EF ＝3AF ，

∴AF →＝13AE →＝13(AA ′→＋A ′E →)＝13(AA ′→＋12

A ′C ′→)

＝13AA ′＋16(A ′D ′→＋A ′B ′→)＝13

AA ′→＋

16AD →＋16

AB →. 7．如图所示，空间四边形OABC 中，OA

→＝a ，OB →＝b ，OC →＝c, 点M 在OA 上，且OM

→＝2MA →，N 为BC 中点，则MN

→等于( )

A.12a －23b ＋12

c B ．－23 a ＋12b ＋12

c C.12a ＋12 b －23

c D.23a ＋23b －12

c [答案] B

[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23

OA →

＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12

c .∴应选B. 8．以下命题：

①若a ，b 共线，则a 与b 所在直线平行； ②若a ，b 所在直线是异面直线，则a 与b 一定不共面；

③若a ，b ，c 三向量两两共面，则a ，b ，c 三向量一定也共面；

④若a ，b ，c 三向量共面，则由a ，b 所在直线确定的平面与由b ，c 所在直线确定的平面一定平行或重合．

其中正确命题的个数为( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

[答案] A

[解析] a ，b 共线是指a ，b 的方向相同或相反，因此a ，b 所在直线可能重合，故①错；

由于向量是可以自由平移的，所以空间任意两个向量一定共面，故②错；从正方体一顶点引出的三条棱作为三个向量，虽然是两两共面，但这三个向量不共面，故③错；在平行六面体

ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB →，A 1B 1→，DC →三向量共

面，然而平面ABCD 与平面ABB 1A 1相交，故④错，故选A.

9．在三棱锥S —ABC 中，G 为△ABC 的重心，则有( )

A.SG →＝12

(SA →＋SB →＋SC →) B.SG →＝13

(SA →＋SB →＋SC →) C.SG →＝14

(SA →＋SB →＋SC →) D.SG

→＝SA →＋SB →＋SC → [答案] B