第七章 非线性系统的分析

振荡性↓，s↓ 限制跟踪速度
晶体管特性
滤除小幅值干扰 稳态误差ess ↑
电动机，仪表
抑制系统发散 容易导致自振 开关特性
自动控制原理
Automatic Control Theory
§7.2 谐波线性化与描述函数法
描述函数法是达尼尔(P.J.Daniel)于1940年提出的,是在
频域中分析非线性的一种近似方法。它是频域法在一
2 +B 2 A1 1
=B1
θ1 =tg-1
A1 =0 B1
B1 2K π Δ 1- Δ -1 Δ = = sin A π A A A 2

2

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理想继电器环节的描述函数
0 t M y(t ) M t 2
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§7.2.3 非线性系统结构图的等效变换（一）
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非线性系统结构图的等效变换举例
R( s )
G1( s )
G 2( s )
C( s )
-
N( A)
R( s )
-
G 2( s ) 1 G1( s )G 2( s )
M y 0 M
xa a xa x a
e
M y a1 0
a1 M
自动控制原理 自动控制原理
Automatic AutomaticControl ControlTheory Theory
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§7.2.4 用描述函数法分析非线性系统
C( s )
N( A)
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非线性环节的并联
e
N1 (A)
+ y +
N2(A)
e
y
N(A)
N( A) N1( A) N2( A)
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非线性环节的串联
e
e0 0 k e0 k
x
M a 0
A
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不灵敏区环节的描述函数（二）
0 t 1 0 0 y(t ) K( A sin t ) 1 t 1 2 1 B1 y(t )sin tdt 1 t 0 0
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谐波线性化的基本思想 在结构图中非线性控制系统的输入 r(t)=0，但是系统 在干扰信号的激励下，非线性元件的输出信号 y(t)将 是一个非正弦的周期函数，假设满足傅氏分解条件， 可分解
自动控制原理
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谐波线性化的基本思想 高次谐波经线性环节滤波后，幅值衰减通常要比基波 的幅值小很多，可忽略不计，只有基波分量沿闭环回 路反馈到N (A)的输入端。同时，大多数非线性特性 为奇对称的，则y(t) 中的直流分量为零，综上输出y(t) 近似为基波分量，即谐波线性化。
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y
a M
k (e e0 ) e e0 x 0 e0 e e0 k (e e0 ) e e0
M y 0 M e e0 a / k (e0 a / k ) x e0 a / k e (e0 a / k )


0

B1 4M N(A) = = A πA
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一般继电特性的描述函数
2M mh 2 h 2 2M h N ( A) 1 ( ) 1 ( ) j ( m 1) 2 A A A A ( A h)
饱和环节的描述函数（二）
2 1 A1 y(t )cos tdt

0
2 1 B1 y(t )sin tdt

0
KA sin t 0 t 1 y(t ) KS 1 t 1 KA sin t 1 t
自动控制原理 自动控制原理
Automatic AutomaticControl ControlTheory Theory
§7 非线性控制系统分析
§7.1 非线性控制系统概述 §7.2 描述函数法
§7.3 相平面法（不介绍）
自动控制原理
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§7.1概述
§7.1.1 非线性现象的普遍性 非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性系统只是在特定条件下的近似描述 §7.1.2 典型非线性特性 （演示）
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§7.2.2 描述函数法
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饱和环节的描述函数（一）
y (t)
S
y (t)
x (t)
0
K
0
t
S
1 1
0
h 0 理想继电特性： m 1 死区继电特性： m 1 纯滞环继电特性：
4M N ( A) A
4M h N ( A) 1 A A
2
2
4M 4 Mh h N ( A) 1 j A A2 A
注意：一般而言,描述函数 N(A)是A的函数,与频率无关； 非线性环节为单/非单值函数时,N(A)是实/复数,虚部为/不为0
饱和
死区(不灵敏区)
间隙
继电特性
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§7.1.3 非线性系统运动的特殊性
— 线性系统理论原则上不能运用 — 不仅与自身结构参数，且与输入，初条件 有关，平衡点可能不惟一 nonlinear1 自振运动 — 非线性系统特有的运动形式 nonlinear6 频率响应的复杂性 — 跳频响应，倍/分频响应，组合振荡 (混沌) 不满足叠加原理 稳定性问题
§7.1.4 非线性控制系统的分析方法
小扰动线性化 非线性系统研究方法 仿真方法 半实物仿真
全数字仿真 相平面法 描述函数法 波波夫法 反馈线性化法 微分几何方法
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非线性特性的定性分析
饱和 死区 继电特性
非线性特性
等效K*
对系统的 影响 举 例
定条件下和在非线性系统中的应用，主要用于分析非 线性系统的稳定性，自持振荡及其在正弦信号作用下 之输出。 描述函数法实质上是一种谐波线性化方法，其基本思
想是用非线性环节输出信号中的基波分量来取代其正
弦输入信号作用下之实际输出。
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谐波线性化的满足的条件
1 G ( j ) N ( A)
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变增益线性系统的稳定性分析
r
e
K
G( s )
c
1 K1 1 K2
Im
0
Re
特征方程 1 KG( j )= 0
G( j ) 1 j 0 K
G( j )
由乃氏判据：当曲线不包围 1 点时，系统闭环稳 - , j0 K 定。当曲线包围 - 1 , j0 ，点时，系统不稳定。当曲线 K 1 穿过 - , j0 点时，系统临界稳定，将产生等幅振荡。
y (t)
K
y (t)
x (t)
0
0
K

t
1 1
0
x (t)
1
1

2
0 t 1 0 y(t ) K( A sin t ) 1 t 1 1 t 0
1 sin 1
t
x (t) = Asin(ωt)


Y N(A) = 1 θ1 Y1 = A
2 +B 2 =B A1 1 1 A θ1 =tg-1 1 =0 B1
B = 1 = 2K sin-1 S + S 1 - S A π A A A

2

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不灵敏区环节的描述函数（一）
K
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§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（2）
3 1 N ( A) 的绘制及其特点
例1 纯滞环继电特性的负倒描述函数
2 2 4M 4 Mh M 4h h 4h 2 h N ( A) 1 j 1 j 2 2 A A h A A A A 1 A 1 2 N 0 ( A) 4h h h 1 j A A

0
B1 1
2
1 4 KA sin 2 td t 2 KS sin td t 1 0 2 1 S S S 2 KA sin 1 A A A

0
y(t )sin td t 4 2 y(t )sin td t
谐波线性化示例 三个非线性系统的非线性环节一样，线性部分分别为
G(s) =
1 s(0.1s + 1)
G(s) =
2 s(s + 1)
2(1.5s + 1) G(s) = s(s + 1)(0.1s + 1)
试问用描述函数法分析时，那个系统分析的准确度高？为 什么？ 解：线性部分低通滤波特性越好，描述函数法分析结果的 准确程度越高。分别作出三个系统线性部分的对数幅频特 性曲线如图所示。
1 基本假设 ① 结构上：N(A), G(j) 串联 ② N(A)奇对称,y1(t)幅值占优 ③ G(j)低通滤波特性好
2 稳定性分析
G ( j )
稳定 不包围 1 则系统 不稳定 包围 N ( A) 相交于 可能自振
1 N ( A) G( j ) 0
N ( A) G( j ) 1
2 A h h 1 j 4h A A
( A h)
A h 1 j 4h 4 A
2
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§7.3.3
用描述函数法分析非线性系统（3）
穿入 穿出
B1 4 2 M sin tdt 4M


0

B1 4M N(A) = = A πA
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理想继电器环节的描述函数
0 t M y(t ) M t 2
B1 4 2 M sin tdt 4M
x (t)
1
1

2
KA sin t 0 t 1 y(t ) KS 1 t 1 KA sin t 1 t
t
x (t) = Asin(ωt)
1 sin 1 S
A
自动控制原理
Automatic Control Theory
2 1 A1 y(t )cos tdt
B1 4 2 y(t )sin tdt 4 2 K[ A sin t ]sin tdt
2 2 KA 1 sin 1 2 A A A



1

1

Y1 N(A) = θ1 Y1 = A
r(t ) 0
x(t )
N( A)
y(t )
G( s )
c(t )
x(t )
N( A)
y(t )
G( s )
c(t ) x(t )
1
对线性环节的要求： ①是最小相位传递函数；②具有较好的低通滤波特性。 对非线性环节的要求： ①非线性特性与时间无关；②非线性的输出可只考虑基波分量。
上述要求，目的是使分析简化，一般系统均能满足。