第六章 点的运动学

所以，动点的矢径是时间t的单值连续矢量函数， 称为单矢连续函数，可表示为：
r=r t
称为点的矢量形式的运动方程，表明点的位置随时 间变化的规律（的方程）。
单矢连续函数 ——是一个矢性函数，即:
不但可以确定大小而且可以确 定方向的函数。是单值连续变 化的。
2、点的速度
设在瞬时t，动点位于M点，其矢径为r，在瞬时 t+Δt时，动点位于M’点，其矢径为r’ ，
6.3 用直角坐标法研究点的运动
用直角坐标及其对时间的导数表示动点在参 考系中的位置、速度和加速度随时间变化规律的 方法称为直角坐标法。
1、点的运动方程
直角坐标法以动点的x，y，
z三个坐标确定一个点在空间
综上所述可知： 瞬时速度是平均速度的极限值， 其大小代表动
点在瞬时
t运动的快慢，而其方向则应沿轨迹在 M点处的切线
并指向动 点前进的一方，从而代表了动点在瞬时t的运动方向。
速度的量纲：
v dr r dt
v
长度 时间
L T
1
速度的单位：国际单位制：米/秒（m/s） 工程实际中亦采用：公里/小时（km/h）
模等于： v 方向沿 v' 方向。
t
瞬时t 动点 M 的加速度：
a v t
a
lim t
a 0
lim t
0
v t
dv dt
v
d 2r dt 2
r
加速度是速度对时间的一阶导数，或者是矢径
对时间的二阶导数，方向沿Δt→0 时的Δv的极限
方向。
加速度的量纲：
a
长度 时间2
LT
2
加速度的单位，国际单位制为：米 秒（2 m s 2 )或 m m s 2
矢径：
如图，在空间内任选一个固定点O，再由点O 向动点M作一有向线段OM，这一有向线段称为 M 点的位置矢径，以 r表示。
矢径r 是一个有大小和有 方向的量，可以完全确定M点 的位置。如果已知r，则动点M
的位置就可以完全的确定了。 动点运动时，矢径r就不断
改变其大小和方向，在任一瞬 时，矢径r只有一个与动点位置 相对应的大小和方向。
在一般的工程技术问题中，如不加特别说明，通 常以固结在地面上的坐标系为参考系。
对于特殊问题，将根据需要另选参考系，并加以 说明。
5、时间间隔、瞬时
时间间隔——是指物体从一个位置运动到另一 个位置时所需的时间。对应于运动的某一个运动过 程
瞬时 ——是指时间间隔趋近于零的那一瞬间。 对应于物体在运动过程中的某一位置或者状态
则：在时间间隔 Δt内，矢径的改 变量就是动点的 位移。
r r 'r
注意：位移与路程是两个不同的概念。 位移——指动点位置坐标的改变量。 路程——指动点运动经过的轨迹的长度。
如圆周运动： 动点M运动一周之后 到了M点，位移为0。 动点所经过的路程是 圆周的长度。
速度—表示物体位置矢量变化快慢的量。 点的速度—是描述动点在某一瞬时位置矢量大小和 方向变化快慢的物理量。
因此，在描述物体的机械运动时，只有在 某个物体上来观察另一物体的运动才有意义。
参考体： 凡可借以确定被研究物体的位置和运动的其他物
体称该被研究物体的参考体。 参考系：
与参考体相固结的整个延伸空间或坐标系称为参 考系或参考坐标系。
在同一参考体上可以有不同的参考坐标系，它们 对同一物体的位置描述的坐标值虽然不同，但有确定 的几何关系相联系。
3、动点的加速度
点的加速度—是描写点的速度大小和方向变化 率的物理量。
如图，设在瞬时t，动点位于M，速度为v，经
过了时间间隔Δt，即在瞬时（t+Δt），动点位于 ，速度为 ，
则在时间间隔Δt 内速度矢量的改变量 为：
v v'v
v v'v
平均加速度:
a v t
表示点的速度在时间间隔Δt内的平均变化率
凸轮：
凸轮汽道阀门，（日常生活
中见到的缝纫机），要使顶针AB
上下按一定规律运动。
则要涉及到凸轮的外形及转 动的角速度，以及凸轮尺寸等， 都要经过运动学的分析，才能确 定。
曲柄滑块机构：
曲柄滑块机构中， 由于蒸汽压力使活塞B 来回运动，从而带动曲 柄OA作匀角速转动。
如要求曲柄OA作匀角速转动，那么B滑块应作 怎样的运动才能满足此要求呢？设计时就应考虑， 如何调整气压等问题。
第六章
点的运动学
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6.1 运动学基本慨念
1、研究对象
运动学研究物体机械运动的几何性质（如点的 运动轨迹、速度、加速度，刚体的角速度和角加速度 等），而不考虑引起物体机械运动的原因。
因此，运动学在研究过程中不涉及作用在物体上 的力和物体自身的物理性质，可以把物体简化为几何 点或刚体。
2、学习目的
1） 为以后学习动力学打下基础； 2） 解决工程实际中的机械运动的运动分析问题。
因此，先要进行运动分析。
3、运动学的任务
1）对于既定的机械运动，建立描述运 动规律的方法；
2）对于既定的机械运动，研究其运动的 几何性质，例如运动物体上各点的轨迹，速 度，加速度等。
4、运动的相对性
机械运动总是指物体间的相互位置随时间 的变化，因此它具有相对性。
例如：1）坐在行驶的汽车上的人； 2）车工车机器零件。
动点在Δt时间间隔内 的平均速度：
v r t
平均速度的极限值就是动点在某瞬时t的瞬时速度：
v lim r t0 t
dr dt
r
即：动点的速度等于其矢 径对时间的一阶导数。
速度的大小：
v dr r dt
v lim r lim r dr r t 0 t t 0 t dt
速度的方向：方向沿矢端曲线上M点的切线方向。
因此，本章就从物体上的点开始，以矢量法 、直角坐标法和自然坐标法来研究点的运动。
6.2 用矢量法研究点的运动
矢量法—用矢量表示动点在参考系中的位置、 速度和加速度随时间变化规律的方法。
1、点的运动方程
运动方程—在给定参考系中，描述点的空间位 置随时间变化规律的数学表达式。
研究点的运动，首先需要确定一个动点M任 一瞬时在空间的位置，并找出这个点的位置随时 间变化的规律。
6、运动学的研究模型
点——指没有大小，没有质量，仅在空间占有 位置的几何点
刚体 ——指由无数个点组成的不变形系统
一个物体总是以无数个点组成的，一般来 说，当一个物体运动时，物体上所有各点都同时 在运动，而且不同的点，其运动状态都是不相同 的，运动的轨迹，速度，加速度是不同的。
所以，研究物体的运动，应首先研究其上的 点的运动。