高考数学复习点拨 函数模型及其应用教材解读
高考数学复习知识点讲解教案第14讲 函数模型及其应用
A.当， 时，二氧化碳处于液态B.当， 时，二氧化碳处于气态C.当， 时，二氧化碳处于超临界状态D.当， 时，二氧化碳处于超临界状态
[解析] 结合图象逐一验证：当， 时，由图象可知二氧化碳处于固态，故A错误；当， 时，由图象可知二氧化碳处于液态，故B错误；当， 时，由图象可知二氧化碳处于固态，故C错误；当， 时，由图象可知二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选D.
[解析] 由题意知，上午8时即 ，因此所求温度 .
7.已知，两地相距，某人开汽车以的速度从地到达地，在 地停留后再以的速度返回地，则汽车与地的距离 关于时间 的函数表达式是_ ___________________________________.
[解析] 当时，；当时，；当 时，.故关于 的函数表达式为
变式题（1） 朗伯比尔定律是分光光度法的基本定律，是描述物质对某一波长光吸收的强弱与吸光物质的浓度及其液层厚度间的关系，其数学表达式为，其中为吸光度，为透光度，为摩尔吸光系数， 为溶液的浓度（单位：），为液层厚度（单位：）．现保持， 不变，当溶液的浓度增加为原来的两倍时，透光度由原来的 变为( )
（1） 若 ，则此奖金发放方案是否满足条件？并说明理由．
解：不满足条件.理由如下.当时，，因为函数在 上单调递增，函数在上单调递增，所以在 上单调递增，满足条件①．由，即 ，整理可得，因为 恒成立，所以不等式 无解，故不满足条件②．故 不满足条件．
（2） 若，要使奖金发放方案满足条件，求实数 的取值范围．
A
a
b
c
A.① B.①② C.①③ D.①②③
[解析] 由题图a,得进水的速度为1,出水的速度为2.在题图c中， 时到3时直线的斜率为2,即蓄水量每小时增加2, 只进水不出水（即两个进水口都进水）,故①一定正确;若不进水只出水1小时后,则蓄水量减少2,故②一定错误;若两个进水口和一个出水口同时打开,则蓄水量也可以保持不变,故③不一定正确.故选A.
新高考数学复习考点知识讲义课件16---函数模型及其应用
核心素养 题型三 构造函数模型的实际问题
命题点1 构造二次函数模型
例2 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即 每销售100元征税R元)，若每年销售量为 30－52R 万件，要使附加税不 少于128万元，则R的取值范围是
.
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
解 设经过 m 年剩余面积为原来的 22，
m
1
则
a(1－x)m＝
22a，即
1 2
10
＝
1 2
2
，
即1m0＝12，解得 m＝5.
故到今年为止，该森林已砍伐了5年.
引申探究 若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？
解 设从今年开始，以后砍了n年，
A.y＝a＋bx
B.y＝a＋bx2
√ C.y＝a＋bex
D.y＝a＋bln x
解析 由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近.
3.已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是
√
解析 依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x； 当4<x≤8时，f(x)＝8； 当8<x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求.
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
微思考
解函数应用题的一般步骤是什么？ 提示 解函数应用题的步骤
基础自测
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降
2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第九讲函数模型及其应用课件
考点二 构建函数模型求解实际问题
考向 1 构建二次函数、分段函数模型 [例 1]国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在 30 或 30 以下，飞机票每张收费 900 元；若每团人数多于 30，则 给予优惠：每多 1 人，机票每张减少 10 元，直到达到规定人数75 为止.每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费 15 000 元. (1)写出每张飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
A.1.2 天
B.1.8 天 C.2.5 天
D.3.5 天
解析：因为 R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以 r＝3.286－1＝ 0.38，所以 I(t)＝ert＝e0.38t，设在流行病发生的初始阶段，累计感 染病例数增加 1 倍需要的时间为 t1 天，则 e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以 e0.38t1＝2，即 0.38t1＝ln 2，所以 t1＝0ln.328≈00..6398≈1.8 天.故选 B.
即 S＝9－010x0－(x－156000)20＋，201＜00x≤0，303，0＜x≤75. 因为 S＝900x－15 000 在区间(0，30]上单调递增，故当 x＝30 时，S 取最大值 12 000.又 S＝－10(x－60)2＋21 000，x∈(30，75]， 所以当 x＝60 时，S 取得最大值 21 000. 故当每团人数为 60 时，旅行社可获得最大利润.
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随 x 值增大， 图象与 y 轴 接近平行
随 x 值增大， 图象与 x 轴 接近平行
随 n 值变化 而不同
3.解函数应用问题的步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步 选择数学模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型. (3)解模：求解数学模型，得出数学结论. (4)还原：将数学问题还原为实际问题.
高考数学复习点拨第三章导数及其应用教材解读
令 f ＇( x ) ＝0，得 x＝ x1 x1 n
x n 。因为 f( x ) 为二次函数，只有一个极值，且此极
值也是最值。
所以，当 x＝ x 1 x1 n
x n 时， (x－ x1)2＋ (x－x2)2＋…＋ (x－ xn)2 最小。
用心 爱心 专心
成立（其中使 f ＇ (x) ＝ 0 的点是不连续的） 。 解 ：⑴由 f[f( x)] ＝ f(x 2＋ 1) 得 (x 2＋c) 2＋ c＝(x 2＋ 1) 2＋ c， 整理得 2cx 2＋ c2 ＝2x2＋1，即 c＝ 1。 ∴ g( x) ＝ f[f( x )] ＝ f(x 2＋ 1) ＝ (x 2＋1) 2＋ 1＝x 4＋ 2x2＋ 2。 ⑵ Φ ( x ) ＝ g( x) － λ f( x ) ＝ x4＋ (2 － λ )x 2＋ 2(2 － λ ) ， ∴ Φ ＇ ( x) ＝ 4x3＋ 2(2 －λ )x 。 若 Φ ( x ) 在 ( －∞，－ 1) 内为减函数， 则 4x3＋ 2(2 － λ )x ＜ 0 对于 x∈ ( －∞，－ 1) 恒成立。
[f(x 0)] 2 ＝ lim [f(x)
x x0
x x0
x x0
f(x 0 )][f(x) x x0
f(x 0 )]
＝ lim [f(x) x x0
f(x)
f(x 0)] · lim x x0
x
f(x 0 ) ＝ 2f( x0) · f＇ ( x0) 。 x0
2．最优解问题
例 2 用半径为 R 的圆形铁皮，剪一个圆心角为 α 的扇形，制成一个圆锥形的漏斗（如
于 x 的二次函数，利用导数就可以求出这个极值。
用心 爱心 专心
解 ：设 f( x ) ＝ ( x－ x1 ) 2＋ ( x－ x2) 2＋…＋ ( x－ xn) 2 ＝ nx2－ 2( x1＋ x2＋…＋ xn ) x＋ ( x1 2＋ x22＋…＋ xn 2)
新高考数学通用版总复习一轮课件第二章第14讲函数模型及其应用
【考法全练】 1.个人每次取得的稿费定额或定率减除规定费用后的余额 为应纳税所得额.每次收入不超过 4000 元的，定额减除费用 800 元；每次收入在 4000 元以上的，定率减除 20%的费用.适用 20% 的比例税率，并按规定对应纳税额减征 30%，计算公式为： (1)每次收入不超过 4000 元的，应纳税额＝(每次收入额－ 800)×20%×(1－30%)； (2)每次收入在 4000 元以上的，应纳税额＝每次收入额× (1－20%)×20%×(1－30%). 已知某人出版一份书稿，共纳税 280 元，则这个人应得稿 费(扣税前)为________元.
图 2-14-1
A.上午 10：00
B.中午 12：00
C.下午 4：00
D.下午 6：00
解析：当 x∈[0，4]时，设 y＝k1x，把(4，320)代入，得 k1 ＝80.∴y＝80x.当 x∈[4，20]时，设 y＝k2x＋b.把(4，320)，(20， 0)分别代入，可得42k02k＋2＋b＝ b＝3020，， 解得kb2＝＝4－002.0，
(2)①由(1)，得 f(9)＝2.25，g(9)＝2 9＝6.
∴总利润 y＝8.25 万元. ②设 B 产品投入 x 万元，A 产品投入(18－x)万元，该企业 可获总利润为 y 万元. 则 y＝14(18－x)＋2 x，0≤x≤18.
令 x＝t，t∈[0，3 2]，
则 y＝14(－t2＋8t＋18)＝－14(t－4)2＋127.
∴
y
＝
400
－
20x.
∴
y
＝
f(x)
＝
80x，0≤x≤4， 400－20x，4<x≤20.
由
y≥240，得800≤x≥x≤2440， 或440<0x－≤2200x，≥240. 解得 3≤x≤4 或
人教版2024年高考数学一轮复习高考频点《第09讲 函数模型及其应用知识点必背》
单调递增
单调递增
增长速度
先慢后快,指数爆炸
先快后慢,增长平缓
介于指数函数与对数函数之间,相对平稳
图象的变化
随x的增大,图象与 轴接近平行
随x的增大,图象与 轴接近平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个 ,当 时,有
第09讲函数模型及其应用知识点必背
1、常见函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
( 为常数, 次函数模型
( 均为常数, )
指数函数模型
( 均为常数, , , )
对数函数模型
( 为常数, )
幂函数模型
( 为常数, )
分段函数
2、指数、对数、幂函数模型性质比较
函数
性质
在(0,＋∞)上的增减性
2023版高考数学一轮总复习第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用课件
70 ≈100r.
若 r＝3%，f(x)≥2a，则 x 的最小整数值为
()
A. 22
B. 25
C. 23
D. 24
解：依题意可得
a(1＋3%)x≥2a，即
ln2
0.693
x≥ln（1＋3%）≈ 3%
15≈1007×03%＝730≈23.
2. 三种函数模型性质比较
性质
在(0，＋∞) 上的单调性
增长速度
图象的 变化
y＝ax(a＞1)
增函数
越来越快 随 x 值增大，
图象与 y 轴 接近平行
函数 y＝logax(a＞1)
增函数
越来越慢 随 x 值增大，
图象与 x 轴 接近平行
y＝xn(n＞0) 增函数
相对平稳 随 n 值变 化而不同
3. 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 (1)分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”或其他)； (2)根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题； (3)通过运算、推理求解函数模型； (4)用得到的函数模型描述实际问题的变化规律、解决有关问题.
利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期利息. 假设最开始本金f(x).
若
f(x)≥2a，则
a(1＋r)x≥2a，解得
ln2 x≥ln（1＋r）.
银行业中经常
使用“70 原则”，因为 ln2≈0. 693 15，而且当 r 比较小时，ln(1＋r)≈r，所以ln（l1n＋2 r）≈0.69r3 15
≈3α3，则 r 的近似值为
()
A.
MM21R
B.
2MM21R
C. 3 3MM12R
高考数学复习点拨 点击“函数模型及其应用”.doc
点击“函数模型及其应用”一、课标要求1．使用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
2．收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数）的实例，了解函数模型的广泛应用。
二、方法指导不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律，函数模型可以处理生产、生活中很多实际问题，因此学习中应注意：1．根据实际应用问题的条件建立函数模型，并运用函数的概念和性质来解决实际问题，这类问题的建模方法有两种：一是根据几何和物理概念建立函数关系式；另一种是通过观察和实验建立函数关系式。
2．解决应用问题的基本步骤（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；（2）建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；（3）求模：求解数学模型，得出数学结论；（4）还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的意义。
此四步用框图可表示为：3．常见的函数模型（1）一次函数模型：(0)y kx b k =+≠；（2）二次函数模型：2(0)y ax bx c a =++≠；（3）指数函数模型：x y ab c =+；（4）对数函数模型：log a y m x n =+；（5）幂函数模型：n y ax b =+三、范例剖析例1 一片树林中现有木材300003m ，如果每年增长5%，经过x 年，树林中有木材3ym ，求经过多少年，木材可以增加到400003m ？（结果保留1个有效数字）分析：如果原来产值的基数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值或总产量为(1)x y N p =+。
解析：依题意得30000(15%)x y =+，∴30000(15%)40000x +=，使用计算器可得6x ≈（年），故大约经过6年，木材可以增加到400003m 。
评注：解函数应用题常见的错误：一是不会将实际问题抽样转化为函数模型或转化不全面；二是在求解过程中忽略实际问题对变量参数的限制条件。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第三章第九节函数模型及其应用pptx课件北师大版
x -300x+80 000,假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200
2
元.
(1)该公司二氧化碳月处理量为多少吨时,每吨的平均月处理成本最低,最
低平均成本是多少?
(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少?(月收益=月收
入-月处理成本)
解 (1)设每吨的平均处理成本为t元,
由已知得
所以
t=
=
1 80 000
x+
-300,x∈[300,600].
2
1 80 000
1
80 000
t=2x+ -300≥2 2 · -300=2
1 80 000
x=
,即
2
40 000-300=100,当且仅当
x=400 时,等号成立.
故当二氧化碳月处理量为400吨时,每吨的平均月处理成本取得最低值100
益为282万元.
时,△AMN 的面积为
1
f(t)= ×2×[t-(2t-2)]=2-t;当
2
1
f(t)=2×2×[(2t-4)-(t-2)]=t-2;当
1
f(t)=2·
2t·
t=t2;当
1<t≤2
2<t≤3 时,△AMN 的面积为
3<t≤4 时,△AMN 的面积为
2 ,0 ≤ ≤ 1,
2-,1 < ≤ 2,
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
)
答案
B
解析 由函图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0<a<1,故
2024版高考数学总复习：函数模型及其应用教师用书
第九节函数模型及其应用考试要求：1．在实际情景中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律．2．结合现实情景中的具体问题，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义．一、教材概念·结论·性质重现1．常见的函数模型(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)．(2)反比例函数模型：f (x )＝��(k 为常数，k ≠0)．(3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)．(4)二次函数模型：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)．(5)指数型函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)．(6)对数型函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)．(7)幂函数模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)．(8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋��01．不要忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果的合理性．函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化各有不同值的比较存在一个x 0，当x ＞x 0时，有log a x ＜x n ＜a x1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)幂函数增长比直线增长更快．(×)(2)不存在x0，使��0<�0�<log a x0.(×)(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>1)的增长速度．(√) (4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·b x＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻．(×) 2．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝0.001e x B．y＝1000ln xC．y＝x1000D．y＝1000·2xA解析：在对数函数、幂函数、指数函数中，指数函数的增长速度最快，排除B，C；指数函数中，底数越大，函数增长速度越快．故选A.3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A．f(x)＞g(x)＞h(x)B．g(x)＞f(x)＞h(x)C．g(x)＞h(x)＞f(x)D．f(x)＞h(x)＞g(x)B解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x)．故选B. 4．在某个物理实验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：x0.500.99 2.01 3.98y－0.990.010.98 2.00则对x，y最适合的拟合函数是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2D．y＝log2xD解析：根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B，C；将各数据代入函数y＝log2x，可知满足题意．故选D.5．用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_________．3解析：设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形的面积为y，则y＝x·24−4�＝2x(6－x)＝－2(x－3)22＋18，∴当x＝3时，y最大．考点1利用函数的图象刻画实际问题——基础性1．如图，一个高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一个排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T.若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f(t)的图象大致是()B解析：函数h＝f(t)是关于t的减函数，故排除C，D；开始时，h随着时间的变化，变化缓慢，水排出超过一半时，h随着时间的变化，变化加快，故对应的图象为B.故选B. 2．有一个盛水的容器，由悬在它上空的一条水管均匀地注水，最后把容器注满，在注水过程中时间t与水面高度y之间的关系如图所示．若图中PQ为一线段，则与之对应的容器的形状是()B解析：由函数图象可判断出该容器的形状不规则，又函数图象的变化先慢后快，所以容器下边粗，上边细．再由PQ为线段，知这一段是均匀变化的，所以容器上端必是直的一段，排除A，C，D.故选B.3．(多选题)(2022·北京东城区模拟)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y，观影人数记为x，y关于x的函数图象如图(1)所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图(2)、图(3)中的实线分别为调整后y关于x的函数图象．给出下列四种说法，其中正确的是()A．图(2)对应的方案是：提高票价，并提高固定成本B．图(2)对应的方案是：保持票价不变，并降低固定成本C．图(3)对应的方案是：提高票价，并保持固定成本不变D．图(3)对应的方案是：提高票价，并降低固定成本BC 解析：由题图(1)可设y 关于x 的函数为y ＝kx ＋b ，k ＞0，b ＜0，k 为票价，当k ＝0时，y ＝b ，则－b 为固定成本．由题图(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则－b 变小，固定成本减小，故A 错误，B 正确；由题图(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，即k 变大，票价提高，b 不变，即－b 不变，固定成本不变，故C 正确，D 错误．4．某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (单位：千克)随时间x (单位：天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．1909解析：前10天满足一次函数关系．设为y ＝kx ＋b .将点(1，10)和点(10，30)的坐标代入函数解析式得10=�+�，30=10�+�，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709.当x ＝6时，y ＝1909.1．解决这类问题一般要根据题意构建函数模型，先建立函数模型，再结合模型选图象，并结合五个幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第3题，根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证答案是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点2已知函数模型解决实际问题——综合性汽车急刹车的停车距离与诸多因素有关，其中最为关键的两个因素是驾驶员的反应时间和汽车行驶的速度．设d 表示停车距离，d 1表示反应距离，d 2表示制动距离，则d ＝d 1＋d 2.如图是根据美国公路局公布的试验数据制作的停车距离示意图．序号速度(km/h)停车距离14017.025026.536035.747046.058052.769070.7710085.48110101.0由图中数据得到如表的表格，根据表格中的数据，建立停车距离与汽车速度的函数模型．可选择模型①：d ＝av ＋b ；模型②：d ＝av 2＋bv ；模型③：d ＝av ＋��；模型④：d ＝av 2＋��(其中v 为汽车速度，a ，b 为待定系数)进行拟合．如果根据序号3和序号7两组数据分别求出四个函数模型的解析式，并通过计算120km/h 时的停车距离与实验数据比较，则拟合效果最好的函数模型是()A．d ＝av ＋b B．d ＝av 2＋bv C．d ＝av ＋��D．d ＝av 2＋��B 解析：若选择模型①，则60�+�=35.7，100�+�=85.4，解得a ＝1.2425，b ＝－38.85.故d ＝1.2425v －38.85.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为1.2425×120－38.85＝110.25.若选择模型②，则3600�+60�=35.7，10000�+100�=85.4，解得a ＝0.006475，b ＝0.2065.故d ＝0.006475v 2＋0.2065v .当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.006475×1202＋0.2065×120＝118.02.若选择模型③，则60�+�60=35.7，100�+�100=85.4，解得a ＝0.9996875，b ＝－1456.875.故d ＝0.9996875v －1456.875�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为0.9996875×120－1456.875120＝107.821875.若选择模型④，则3600�+�60=35.7，10000�+�100=85.4，解得a ＝15.9951960，b ＝379.2857143.故d ＝15.9951960v 2＋379.2857143�.当v ＝120时，停车距离d 的预测值为15.9951960×1202＋379.2857143120＝120.675.由实验数据可知当v ＝120时，停车距离为118m．模型②的预测值更接近118m，故模型②拟合效果最好．解函数模型的实际应用题，首先应考虑该题考查的是何种函数，然后根据题意列出函数关系式(注意定义域)，并进行相关求解，最后结合实际意义作答．→→→1．某市家庭煤气的使用量x (单位：m 3)和煤气费f (x )(单位：元)满足关系f (x )＝�，0<�≤�，�+��−�，�>�.已知某家庭2021年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费1月份4m 34元2月份25m 314元3月份35m 319元若4月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为()A．11.5元B．11元C．10.5元D．10元A 解析：根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝4，0<�≤5，4−5，�>5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，该企业考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y (百万元)与年投资成本x (百万元)变化的一组数据：年份2018201920202021…投资成本x 35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①y ＝kx ＋b (k ≠0)；②y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)；③y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)．(1)选择一个恰当的函数模型来描述x ，y 之间的关系；(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．解：(1)将(3，1)，(5，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得1=3�+�，2=5�+�，解得�=12，�=−12，所以y ＝12x －12.当x ＝9时，y ＝4，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝ab x (a ≠0，b ＞0且b ≠1)，得1=��3，2=��5，解得�=24，�=2，所以y ＝24·(2)x＝2�−32当x ＝9时，y ＝29−32＝8，不符合题意．将(3，1)，(5，2)代入y ＝log a (x ＋b )(a ＞0且a ≠1)，得1=log �3+�，2=log �5+�，解得�=2，�=−1，所以y ＝log 2(x －1)．当x ＝9时，y ＝log 28＝3；当x ＝17时，y ＝log 216＝4.故可用③来描述x ，y 之间的关系．(2)令log 2(x －1)＞6，则x ＞65.因为年利润665＜10%，所以该企业要考虑转型．考点3构造函数模型解决实际问题——应用性考向1二次函数、分段函数模型某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？解：(1)当x≤6时，y＝50x－115，令50x－115＞0，解得x＞2.3.因为x为整数，所以3≤x≤6，x∈Z.当x＞6时，y＝[50－3(x－6)]x－115＝－3x2＋68x－115.令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.所以y＝f(x)＝50�−115，3≤�≤6，�∈�，−3�2+68�−115，6＜�≤20，�∈�.(2)对于y＝50x－115，3≤x≤6，x∈Z，显然当x＝6时，y max＝185.对于y＝－3x2＋68x－115＝－3�−＋8113，6＜x≤20，x∈Z，当x＝11时，y max＝270.因为270＞185，所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多．(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成．如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(1)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)()A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年B解析：若2018年是第一年，则第n年科研费为1300×1.12n，由1300×1.12n>2000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n ×0.05>0.19，n >3.8，n ≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2000万元．故选B.(2)基本再生数R 0与世代间隔T 是流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在病毒感染初始阶段，可以用指数模型I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28，T ＝6.据此，在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天B 解析：因为R 0＝3.28，T ＝6，R 0＝1＋rT ，所以r ＝3.28−16＝0.38，所以I (t )＝e rt ＝e 0.38t .设在病毒感染初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t 1天，则e 0.38�＋�1＝2e 0.38t ，所以e 0.38�1＝2，所以0.38t 1＝ln 2，所以t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8(天)．故选B.(1)要先学会合理选择模型．与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．1．某位股民买入某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A．略有盈利B．无法判断盈亏情况C．没有盈利也没有亏损D．略有亏损D解析：设买入股票时的价格为m (m >0)元．先经历了3次涨停(每次上涨10%)，又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m ×(1＋10%)3×(1－10%)3＝0.993m <m ，所以该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损．故选D.2．某汽车销售公司在A，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元C解析：设公司在A地销售该品牌的汽车x(0≤x≤16且x∈N)辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－110·�−＋110×2124＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．3．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．16解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e-8b＝12a.故e-8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e-8b)3＝e-24b，则t＝24，所以再经过16min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．课时质量评价(十四)A组全考点巩固练1．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x(分钟)的函数图象为()D解析：y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，排除B.故选D.2．气象学院用32万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第1天开始连续使用，第n天的维修保养费为4n＋46(n∈N*)元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少)为止，则一共要使用()A．300天B．400天C．600天D．800天B 解析：使用n 天的平均耗资为3202�+2�+48元，当且仅当320000�＝2n 时取得最小值，此时n ＝400.3．(2023·济南月考)某乡村一条污染河道的蓄水量为v 立方米，每天的进出水量为k 立方米．已知污染源以每天r 个单位污染河水，某一时段t (单位：天)，河水污染质量指数m (t )(每立方米河水所含的污染物)满足m (t )＝��+�0−e −���(m 0为初始质量指数)，经测算，河道蓄水量是每天进出水量的80倍．若从现在开始关闭污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是(参考数据：ln 10≈2.30)()A．1个月B．3个月C．半年D．1年C 解析：由题意可知，m (t )＝�0e−180�＝0.1m 0，则e −180�＝0.1，即－180t ＝ln 0.1≈－2.30，所以t ≈184，则要使河水的污染水平下降到初始时的10%，需要的时间大约是184天，即半年．故选C.4．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p 元，销售量为Q 件，销售量Q (单位：件)与零售价p (单位：元)有如下关系：Q ＝8300－170p －p 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A．30元B．60元C．28000元D．23000元D解析：设毛利润为L (p )元，则由题意知L (p )＝pQ －20Q ＝Q (p －20)＝(8300－170p －p 2)(p－20)＝－p 3－150p 2＋11700p －166000，所以L ′(p )＝－3p 2－300p ＋11700.令L ′(p )＝0，解得p ＝30或p ＝－130(舍去)．当p ∈(0，30)时，L ′(p )>0；当p ∈(30，＋∞)时，L ′(p )<0.故L (p )在p ＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L (30)＝23000.5．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%.若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(参考数据：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771)8解析：设至少过滤n 次才能达到市场要求，则2%×1−≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.6．我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w ，厚度为x 的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为12w ，厚度变为4x ，在理想情况下，对折次数n 有下列关系：n ≤23·log 2��(注：lg 2≈0.3)．根据以上信息，一张长为21cm，厚度为0.05mm 的纸最多能对折________次．8解析：由题知n ≤23log 24200＝23log 24+log 21000+log ＝232+3log 210+log 2因为log 210＝1lg 2≈10.3，0<log 22120<1，所以n ≤8＋23log 22120，n 的最大值为8.B 组新高考培优练7．(2022·聊城一模)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强．某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2mg/cm 3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%.当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2mg/cm 3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为()(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)A．5B．7C．8D．9C 解析：设该污染物排放前过滤的次数为n (n ∈N *)，由题意1.2×0.8n≥6，两边取以10为底的对数可得lg≥lg 6，即n lg2＋lg 3，所以n ≥lg 2+lg 31−3lg 2.因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，所以lg 2+lg 31−3lg 2≈0.3+0.4771−3×0.3＝7.77，所以n ≥7.77，又n ∈N *，所以n min ＝8，即该污染物排放前需要过滤的次数至少为8次．故选C.8．(多选题)(2022·济南月考)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们行走的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，则下列结论正确的是()A．当x >1时，甲走在最前面B．当x >1时，乙走在最前面C．当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲CD 解析：甲、乙、丙、丁的路程f i (x )(i ＝1，2，3，4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．当x ＝2时，f 1(2)＝3，f 2(2)＝4，所以A 不正确；当x ＝5时，f 1(5)＝31，f 2(5)＝25，所以B 不正确．根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x ＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面，所以C 正确；指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D 正确．9．李冶(1192－1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，有多部数学著作，其中《益古演段》主要研究平面图形问题，求圆的直径、正方形的边长等．其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是________步、________步(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)．2060解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步．10．(2023·泰安模拟)某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量y (单位：微克)随着时间x (单位：时)变化的函数关系式近似为y＝≤�≤6，12−�6＜�≤12．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？解：(1)设服用1粒，经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克，可得0≤�≤6，2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.所以163小时后该药能起到有效抗病毒的效果．(2)设经过x 小时能有效抗病毒，即血液含药量需不低于4微克．若0≤x ≤6，药物浓度2�8−�≥4，解得163≤x ≤6.若6＜x ≤12，药物浓度(12－x �−6x 2－20x ＋100≥0，所以6＜x ≤12；若12＜x ≤18，药物浓度12－(x －6)≥4，解得x ≤14，所以12＜x ≤14.综上，x 14，所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为263小时．。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解18---函数模型的应用
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第18讲函数模型的应用考向预测核心素养考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，各种题型均有可能，中档难度.数学建模一、知识梳理1．六种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b logax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)“对勾”函数模型y＝x＋ax(a为常数，a>0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝logax(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程常用结论1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．2．“对勾”函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，当x ＝a 时f (x )取最小值2a .二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 152例6改编)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y (单位：毫克)与时间x (单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y 与x 的关系，则应选用的函数模型是( )A ．y ＝ax ＋bB.y ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋b (a >0)C ．y ＝x a ＋b (a >0) D.y ＝ax ＋b x(a >0，b >0)解析：选 B.由散点图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数y ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋b 的图象为一条曲线，且当a >0时，该函数单调递减，符合题意，故选B.2.(多选)(人A 必修第一册P 155习题4.5T 9改编)如图，某池塘里浮萍的面积y (单位：m 2)与时间t (单位：月)的关系为y ＝a t .关于下列说法中正确的是( )A ．浮萍每月的增长率为1B ．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2C ．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到2 m 2，3 m 2，6 m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3 解析：选ABD.把(1，2)代入y ＝a t ，可得函数解析式为y ＝2t ， 因为2t ＋1－2t2t ＝1，所以每月增长率为1，A 对；当t ＝5时，y ＝32>30，所以B 对；第2个月增加2 m 2，第3个月增加4 m 2，C 错； 由2t 1＝2，2t 2＝3，2t 3＝6，所以2t 1·2t 2＝2t 3，故t 1＋t 2＝t 3，D 对．3．(人A 必修第一册P 96习题3.4T 5改编)下表是弹簧伸长长度x (单位：cm)与拉力F (单位：N)的相关数据：x 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2 F12345写出能反映这一变化现象的函数为________．(不唯一)解析：根据点的分布特征，可以考虑用函数x ＝kF ＋b (k ≠0)作为刻画弹簧伸长长度与拉力关系的函数模型．取两组数据(1，14.2)，(4，57.5)，则⎩⎨⎧k ＋b ＝14.2，4k ＋b ＝57.5，解得⎩⎨⎧k ≈14.4，b ≈－0.2，所以x ＝14.4F －0.2.将已知数据代入上述解析式，或作出函数图象，可以发现，这个函数模型与已知数据拟合程度较好．答案：x ＝14.4F －0.2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( )(2)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (3)不存在x 0，使ax 0<x n 0<log a x 0.( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏1．(函数模型选择易误)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100x B.y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD.y ＝100log 2x ＋100解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证可知选C.2．(指数函数、对数函数性质不明致误)下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中正确的为( )A ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越快B ．f (x )的衰减速度越来越快，g (x )的衰减速度越来越慢C ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越慢D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快解析：选C.在同一平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示，由图象可判断出衰减情况为：f(x)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢，故选C.3．(平均增长率概念不清致误)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．解析：设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，所以x＝（1＋p）（1＋q）－1.答案：（1＋p）（1＋q）－1考点一用函数图象刻画变化过程(自主练透)复习指导：能将实际问题转化为数学问题，会应用函数图象对实际问题进行描述．1．一种叫万年松的树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的散点图如图所示．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是( ) A．y＝2t B.y＝log2tC.y＝t3D.y＝2t2解析：选B.由图知，函数的增长速度越来越慢，排除A，C，D.选B.2．(2022·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h ＝f(t)的图象大致是( )解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )解析：选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.4．(多选)(2022·福建厦门高三质检)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( )A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时解析：选AD.当t ＝1时，y ＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4，解得a ＝3，所以y ＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1，故A 正确，药物刚好起效的时间，当4t ＝0.125，即t ＝132， 药物刚好失效的时间⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3＝0.125，解得t ＝6，故药物有效时长为6－132＝53132小时， 药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5微克，故C 错误．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点二 已知或选择函数模型解决实际问题(综合研析)复习指导：1.已知函数模型，用待定系数法确定解析式； 2．根据几种常见函数的增长差异选择函数模型．(1)(2022·江西高三月考)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知在一定时间内，某种水果失去的新鲜度y 与其采摘后时间t (小时)近似满足的函数关系式为y ＝k ·m t (k ，m 为非零常数)，若采摘后20小时，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为40%.那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去50%新鲜度(参考数据：lg 2≈0.3，结果取整数)( )A ．33小时 B.23小时 C ．35小时D.36小时(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t60100 180 种植成本Q 11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，则①西红柿种植成本最低时的上市天数是________； ②最低种植成本是________元/100 kg. 【解析】 (1)由题意⎩⎨⎧k ·m 20＝20%k ·m 30＝40%，两式相除得m 10＝2，m ＝2110，代入得k ＝5%，所以y ＝5%·2t10，由50%＝5%·2t 10得2t10＝10，取对数得t 10lg 2＝1，t ＝10lg 2≈100.3≈33(小时)． (2)由题意知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎨⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84，解得⎩⎨⎧a ＝0.01，m ＝80， 所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.【答案】 (1)A (2)①120 ②80已知或选择函数模型解决实际问题的注意点(1)已知模型的实际问题，根据待定系数法确定模型，再利用模型求解实际问题．(2)选择模型的问题可结合函数图象，函数值的增长特点(增减、增长快慢)等选用合适的函数模型．|跟踪训练|(多选)纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：有下列函数模型：①y ＝a ·b x －2 018；②y ＝a sin πx2 018＋b (参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则( )A ．选择模型①，函数模型解析式y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y (万吨)与年份x 的函数关系B ．选择模型②，函数模型解析式y ＝4sin πx2 018＋2 018，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y (万吨)与年份x 的函数关系C ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨D ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨解析：选AD.若选y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，计算可得对应数据近似为4，6，9，13.5，若选y ＝4sin πx2 018＋2 018，计算可得对应数据近似值都大于2 014，显然A 正确，B 错误；按照选择函数模型y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，令y >40，即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018>40，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018>10，所以x －2 018>log 3210，所以x －2 018>lg 10lg 32＝1lg 3－lg 2≈5.678 6，所以x >2 023.678 6，即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C 错误，D 正确．考点三 构建函数模型解决实际问题(多维探究)复习指导：1.分析题意，寻找实际问题中起决定作用的两个变量． 2．确定两个变量间的关系，选择合适的函数模型． 角度1 构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(链接常用结论2)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值，为9万元． 当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值，为15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．角度2 构建指数函数、对数函数模型(1)(2022·长春高三摸底考试)2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8 000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N 0只，则达到最初的16 000倍只需经过(参考数据：ln 1.05≈0.048 8，ln 16 000≈9.680 3)( )A ．191天 B.195天 C.199天D.203天(2)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】(1)设过x天能达到最初的16 000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16 000N0，所以x＝ln 16 000ln 1.05≈198.4，又x∈N，故经过199天能达到最初的16 000倍．(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg A1A，则A1A＝109，5＝lg A2－lg A0＝lgA2A，则A2A＝105，所以A1A2＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．【答案】(1)C (2)6 10 000(1)建模解决实际问题的三个步骤①建模：抽象出实际问题的数学模型．②推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．③评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．(2)构建函数模型解决实际问题，充分体现了数学建模的核心素养．[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax＋bx求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．|跟踪训练|1．(多选)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000册．要使该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为( )A ．2.5元 B.3元 C.3.2元D.3.5元解析：选BC.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x (x >2)元，则发行量为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5万册， 则该杂志销售收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x 万元， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x ≥22.4，化简得x 2－6x ＋8.96≤0，解得2.8≤x ≤3.2，故选BC.2．某种茶水用100 ℃的水泡制，再等到60 ℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y (单位：℃)与经过时间t (单位：min)的函数关系是：y ＝ka t ＋y 0，其中a 为衰减比例，y 0是室温，t ＝0时，y 为茶水初始温度，若室温为20 ℃，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1218，茶水初始温度为100 ℃，则k ＝________，产生最佳口感所需时间是________min.解析：由题意，y ＝ka t ＋20，当t ＝0时，有y ＝ka t ＋20＝k ＋20＝100，k ＝80， 则y ＝80a t ＋20，当y ＝60时，即80a t ＋20＝60，所以80a t ＝40，所以a t ＝12，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1218t ＝12，所以t ＝8.答案：80 8[A 基础达标]1．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过的时间是( )A ．12 h B.4 h C.3 hD.2 h解析：选C.设这种细菌由1个分裂成4 096个需经过x次分裂，则4 096＝2x，解得x＝12，故所需时间t＝12×1560＝3 h.2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟赛跑，领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是( )解析：选B.选项A表示龟兔同时到达；选项C表示兔子没有追赶乌龟；选项D表示兔子先到达终点．3．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A．略有盈利 B.略有亏损C．没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况解析：选B.设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．4．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )A．60安 B.240安C.75安D.135安解析：选D.由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝32064＝5，所以I＝5r3.故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.5．(2022·皖南八校联考)某购物网站在2021年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.答案：36．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：87．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e－8b＝12a，故e－8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：168．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f (x )＝20|x －4|(x ≥1)，g (x )＝203(x －4)2(x ≥1)，h (x )＝30|log 2x －2|(x ≥1)，其中x 表示月数，f (x )，g (x )，h (x )分别表示污染度．(1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? 解：(1)用h (x )模拟比较合理，理由如下： 因为f (2)＝40，g (2)≈26.7，h (2)＝30；f (3)＝20，g (3)≈6.7，h (3)≈12.5.由此可得h (x )更接近实际值，所以用h (x )模拟比较合理．(2)因为h (x )＝30|log 2x －2|在x ≥4时是增函数，h (16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60.9．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元，0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资股票类产品为x 万元， 则投资债券类产品为(20－x )万元．依题意得y ＝f (20－x )＋g (x )＝20－x 8＋12x ＝－x ＋4x ＋208(0≤x ≤20)． 所以当x ＝2，即x ＝4时，收益最大，y max ＝3万元．故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．[B 综合应用]10．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A.12B.13C.16D.110解析：选C.因为[H ＋]·[OH －]＝10－14，所以[H ＋][OH －]＝[H ＋]2×1014，因为7.35<－lg[H＋]<7.45，所以10－7.45<[H ＋]<10－7.35，所以10－0.9<[H ＋][OH －]＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9>110，lg 100.7＝0.7>lg 3>lg 2，所以100.7>3>2，10－0.7<13<12，所以110<[H ＋][OH －]<13.故选C.11．(2022·焦作温县一中10月月考)搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F 遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v (单位：千米/秒)可以用齐奥尔科夫斯基公式v ＝ωln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m M 来表示，其中，ω(单位：千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，m (单位：吨)表示它装载的燃料质量，M (单位：吨)表示它自身(除燃料外)的质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v 达到第一宇宙速度(7.9千米/秒)，则火箭的燃料质量m 与火箭自身质量M 之比mM约为( )A ．e 1.58 B.e 0.58 C ．e 1.58－1D.e 0.58－1解析：选C.由题设，5ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m M ＝7.9，则m M ＝e 7.95－1＝e 1.58－1.12．(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系f (x )＝⎩⎨⎧－720x ＋1，0<x ≤1，15＋920x －12，1<x ≤30.则下列说法正确的是( )A ．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B ．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C ．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D ．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%解析：选ABC.由函数解析式可知f (x )随着x 的增加而减少，故A 正确；由图象可得B 正确；当1<x ≤30时，f (x )＝15＋920x －12，则f (9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C 正确；f (26)＝15＋920×26－12>15，故D 错误．13．燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁的燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)燕子静止时的耗氧量是________个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是________．解析：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入v ＝5log 2Q 10中可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.(2)将耗氧量Q ＝80代入v ＝5log 2Q 10中，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15 (m/s)． 答案：(1)10 (2)15 m/s14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋(b －a )x .这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________．解析：由题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，因为b －c ＝(b －a )－(c －a )，所以(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0， 解得x ＝－1±52.因为0<x <1，所以x ＝5－12. 答案：5－12[C 素养提升]15．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系t (x )＝⎩⎨⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x ＞0，且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时． (1)该食品在8 ℃的保鲜时间是________小时；(2)已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且当日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了当日13时，甲所购买的食品________保鲜时间．(填“过了”或“没过”)解析：(1)因为食品在4 ℃的保鲜时间是16小时，所以24k ＋6＝16，解得k ＝－12.所以t (8)＝2－4＋6＝4.(2)由图象可知在11时之前，温度已经超过了10 ℃，此时该食品的保鲜期少于21＝2小时．而食品在11时之前已放了一段时间，所以到13时，该食品已过保鲜期．答案：(1)4 (2)过了16．(2022·上海高三月考)我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好民俗文化基础设施后任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数f (x )与第x 天近似地满足f (x )＝8＋8x(千人)，且参观民俗文化村的游客人均消费g (x )近似地满足g (x )＝143－|x －22|(元)．(1)求该村的第x 天的旅游收入p (x )(单位：千元，1≤x ≤30，x ∈N *)；(2)若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？(一年以365天计算)解：(1)依据题意，有p (x )＝f (x )·g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋8x ·(143－|x －22|)(1≤x ≤30，x∈N *)＝⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋968x ＋976（1≤x ≤22，x ∈N *），－8x ＋1 320x ＋1 312（22<x ≤30，x ∈N *）.(2)①当1≤x ≤22，x ∈N *时，p (x )＝8x ＋968x＋976≥28x ·968x＋976＝1 152(当且仅当x ＝11时，等号成立)，因此，p (x )min ＝p (11)＝1 152(千元)．②当22<x≤30，x∈N*时，p(x)＝－8x＋1 320x＋1 312.求导可得p′(x)＝－8－1 320x2<0，所以p(x)＝－8x＋错误!＋1 312在(22，30]上单调递减，于是p(x)min＝p(30)＝1 116(千元)．又1 152>1 116，所以日最低收入为1 116千元．该村两年可收回的投资资金为 1 116×20%×5%×365×2＝8 146.8(千元)＝814.68(万元)，因为814.68万元>800万元，所以，该村在两年内能收回全部投资成本．21 / 21。
高考数学复习第2章 函数模型及其应用
函数模型及其应用
【知识重温】
一、必记2个知识点
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0,＋∞)上
的增减性
增函数
________
增函数
________
增函数
________
增长速度
________
越来越快
________
越来越慢
相对平稳
函数问题求解.
函数y＝x＋ 模型的应用
考点二
[例1] “水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，
近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供
水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水
几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段
函数模型求解；
②构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏；
③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．
[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)对构造的较复杂的函数模型,要适时地用换元法转化为熟悉的
B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
解析：由所给数据可知,y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D
中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变．故选C.
四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅲ]Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于
)
A．y＝6x
B．y＝log6x
高考数学一轮复习-29-函数模型及其应用课件-新人教A必修1-
【训练1】 (2014·武汉高三检测)某汽车销售公司在A，B两
地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位: 万
元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位: 万元)为
y2＝2x，其中x为销售量(单位: 辆)，若该公司在两地共
销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是
()
A．10.5万元
B．11万元
C．43万元
D．43.025万元
解析 设公司在 A 地销售该品牌的汽车 x 辆，则在 B 地销售 该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润 y＝4.1x－0.1x2＋2(16 －x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－221)2＋0.1×2412＋32.因为 x∈[0，16]且 x∈N，所以当 x＝10 或 11 时，总利润取得最大 值 43 万元．
答案 C
考点二 指数函数、对数函数模型
【例2】 (2014·青岛模拟)世界人口在过去40年翻了一番，
则每年人口平均增长率是(参考数据lg 2≈0.301 0，
100.007 5≈ 1.017)
()
A. 1.5%
B. 1.6%
解C.析1.7设% 每年人口D平. 均1.增8%长率为 x，则(1＋x)40＝2，两边取 以 10 为底的对数，则 40 lg(1＋x)＝lg 2，所以 lg(1＋x)＝l4g02 ≈0.007 5，所以 100.007 5＝1＋x，得 1＋x＝1.017，所以 x＝ 1.7%.
请根据以上数据作出分析，这个经营部为获得最大利 润，定价应为________元．
高考数学复习点拨 高中数学①2.3教材解读
高考数学复习点拨 高中数学①2.3教材解读一、幂函数的概念定义：一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数；其定义域是使x α有意义的x 值的集合．注：（１）要注意幂函数的形式特点：底数为自变量，指数为常数，幂前面的系数为１，没有常数项．如函数23y x =，22y x =-，3y x=等都不是幂函数． （２）要搞清幂函数与指数函数的区别：幂函数是底数为自变量，而指数函数是指数为自变量．因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要看变量所在的位置，然后决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识解决．二、幂函数的图象和性质几种常见幂函数的图象和性质1．图象：2．性质：y x = 2y x = 3y x = 12y x = 1y x -= 定义域()-+，∞∞ ()-+，∞∞ ()-+，∞∞ [)0+，∞ (0)(0)-+，，∞∞ 值域()-+，∞∞ [)0+，∞ ()-+，∞∞ [)0+，∞ (0)(0)-+，，∞∞ 奇偶性奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性()-+，∞∞上增 (]0-，∞上减，[)0+，∞上增 ()-+，∞∞上增 [)0+，∞上增 (0)-，∞，(0)+，∞上分别减 定点 (00)，，(11)， (11)，结合以上特征得幂函数的性质如下：（１）所有的幂函数在(0)+，∞上都有定义，并且图象都过点(11)，；（２）如果0α>，则幂函数的图象过点(00)，和(11)，，并且在区间[)0+，∞是增函数； （３）如果0α<，则幂函数图象过点(11)，，并在区间(0)+，∞上是减函数．在第一象限内，当x 从+∞趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋于+∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；（４）当α为奇数时，幂函数为奇函数；当α为偶数时，幂函数为偶函数．三、特别提示１．应用幂函数的单调性比较大小时，应将幂指数变为相同的数，且幂的底数为正数，并且注意分别与0，与１，与1-比较，从而确定大小关系．２．运用幂函数知识解题时要重视数形结合，根据题设条件及幂函数性质作出示意图象，再由图象得出进一步的结论使问题得到解决．。
高考数学复习考点知识讲解课件14 函数模型的应用
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[解析] 由折线图知，月跑步平均里程的中位数为 5 月份对应的平均里程数，A 错误； 月跑步平均里程不是逐月增加的，B 错误；月跑步平均里程高峰期大致在 9 月和 10 月，C 错误．故选 D.
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2. (2022·福建龙岩质检)有一个盛水的容器，由悬在它的上空的一条水管均匀地注水， 最后把容器注满，在注水过程中时间 t 与水面高度 y 之间的关系如图所示．若图中 PQ 为 一线段，则与之对应的容器的形状是( B )
隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为( D )
A．44
B．48
C．80
D．125
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[解析] 依题意得 H(5)＝e5k＋λ＝8，H(8)＝e8k＋λ＝20，HH85＝ee85kk＋ ＋λλ＝e3k＝280＝52，所以 H(14)＝e14k＋λ＝e5k＋λ·(e3k)3＝8×523＝125，故若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则相 关确诊病例人数约为 125，故选 D.
相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数
据，建立了与传染源相关确诊病例人数 H(t)与传染源感染后至隔离前时长 t(单位：天)的模 型：H(t)＝ekt＋λ.已知甲传染源感染后至隔离前时长为 5 天，与之相关确诊病例人数为 8；
乙传染源感染后至隔离前时长为 8 天，与之相关确诊病例人数为 20.若某传染源感染后至
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常用结论 “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成 倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．
第9节 函数模型及其应用--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第九节函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)与指数函数相关的模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与对数函数相关的模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与幂函数相关的模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0)2.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调01递增单调02递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为与03y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与04x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n <a x3.解答函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．()(2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x n(n>0)和y＝log a x(a>1)的增长速度．()(3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．()答案(1)×(2)√(3)×2．小题热身(1)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论中正确的是()A．f(x)>g(x)>h(x)B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x)D．f(x)>h(x)>g(x)答案B解析在同一平面直角坐标系内，根据函数图象变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B.(2)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是()A．40万元B．60万元C．80万元D．120万元答案D解析当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)．故选D.(3)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝a e－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝() A．ln2B．ln3C.ln25D.ln35答案C解析由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝ln25.故选C.(4)某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y x，1≤x≤10，x＋10，10<x<100，x，x≥100，x∈N*，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为________．答案75解析令y＝160，若4x＝160，则x＝40＞10，不符合题意；若2x＋10＝160，则x＝75，符合题意；若1.5x＝160，则x＝3203∉N*，不符合题意．故拟录用人数为75.考点探究——提素养考点一用函数图象刻画实际问题例1中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律？()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝ma x＋n(m>0，0<a<1)C．y＝ma x＋n(m>0，a>1)D．y＝m log a x＋n(m>0，a>0，a≠1)答案B解析由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0，0<a<1.故选B.【通性通法】(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案．(2)图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养．【巩固迁移】1.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是()A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时答案ACD解析将点M 的坐标代入y ＝kt ，可得k ＝4，将点M 的坐标代入y －a －a＝4，解得a ＝3，所以y 0<t ≤1，3，t >1，A 正确；当0<t ≤1时，由y ＝4t ≥18可得t ≥132，此时132≤t ≤1；当t >1时，由y －3≥18可得t ≤6，此时1<t ≤6.故不等式y ≥18的解为132≤t ≤6，所以注射一次治疗该病的有效时间长度为6－132＝53132小时，B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为4×18＝0.5(微克)，故C 正确．故选ACD.考点二根据给定的函数模型解决实际问题例2(1)某社区超市的某种商品的日利润y (单位：元)与该商品的当日售价x (单位：元)之间的关系为y ＝－x 225＋12x －210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为()A ．100元B ．150元C ．200元D ．250元答案B解析因为y ＝－x 225＋12x －210＝－125(x －150)2＋690，所以当x ＝150时，y 取最大值．故选B.(2)(2024·福建福州高三质量检测)为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务．根据调查的数据，建立了实际还款比例P 关于贷款人的年收入x (单位：万元)的Logistic 模型：P (x )＝e －0.9680＋kx1＋e －0.9680＋kx，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为(精确到0.01万元，参考数据：ln 3≈1.0986，ln 2≈0.6931)()A ．4.65万元B ．5.63万元C ．6.40万元D ．10.00万元答案A解析由题意，得P (8)＝e －0.9680＋8k 1＋e－0.9680＋8k＝50%＝12，整理，得e －0.9680＋8k＝1，即－0.9680＋8k ＝0，解得k ＝0.121，所以P (x )＝e －0.9680＋0.121x 1＋e －0.9680＋0.121x .令P (x )＝e －0.9680＋0.121x 1＋e－0.9680＋0.121x＝40%＝25，得5e －0.9680＋0.121x＝2(1＋e－0.9680＋0.121x)，整理，得e－0.9680＋0.121x＝23，两边取自然对数，得－0.9680＋0.121x ＝ln 23，解得x ＝ln 2－ln 3＋0.96800.121≈4.65.故选A.【通性通法】(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．【巩固迁移】2．(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级L p ＝20×lg pp 0，其中常数p 0(p 0>0)是听觉下限阈值，p 是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离/m声压级/dB 燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为p 1，p 2，p 3，则()A ．p 1≥p 2B ．p 2>10p 3C ．p 3＝100p 0D ．p 1≤100p 2答案ACD解析解法一：由题意可知，L p 1∈[60，90]，L p 2∈[50，60]，L p 3＝40，对于A ，L p 1－L p 2＝20×lgp 1p 0－20×lg p 2p 0＝20×lg p 1p 2，因为L p 1≥L p 2，则L p 1－L p 2＝20×lg p 1p 2≥0，即lg p 1p 2≥0，所以p 1p 2≥1且p 1，p 2>0，可得p 1≥p 2，故A 正确；对于B ，L p 2－L p 3＝20×lg p 2p 0－20×lg p 3p 0＝20×lg p2p 3，因为L p 2－L p 3＝L p 2－40≥10，则20×lgp 2p 3≥10，即lg p 2p 3≥12，所以p 2p 3≥10且p 2，p 3>0，可得p 2≥10p 3，当且仅当L p 2＝50时，等号成立，故B 错误；对于C ，因为L p 3＝20×lg p 3p 0＝40，即lgp 3p 0＝2，可得p 3p 0＝100，即p 3＝100p 0，故C 正确；对于D ，由选项A 可知，L p 1－L p 2＝20×lg p 1p 2，且L p 1－L p 2≤90－50＝40，则20×lg p 1p 2≤40，即lg p 1p 2≤2，可得p1p 2≤100且p 1，p 2>0，所以p 1≤100p 2，故D 正确．故选ACD.解法二：因为L p ＝20×lgpp 0随着p 的增大而增大，且L p 1∈[60，90]，L p 2∈[50，60]，所以L p 1≥L p 2，所以p 1≥p 2，故A 正确；由L p ＝20×lg pp 0，得p ＝p 010L p20，因为Lp 3＝40，所以p 3＝p 0102040＝100p 0，故C 正确；假设p 2＞10p 3，则p 010L p 220＞10p 010L p 320，所以10L p 220－L p 320＞10，所以L p 2－L p 3＞20，该式不可能成立，故B 错误；因为100p 2p 1＝＝10L p 220－L p 120＋2≥1，所以p 1≤100p 2，故D 正确．故选ACD.3．某品牌汽车的月产量y (单位：万辆)与月份x (3<x ≤12且x ∈N )满足函数关系式y ＝a－3＋b ，现已知该品牌汽车今年4月、5月的产量分别是1万辆和1.5万辆，则该品牌汽车7月的产量为________万辆．答案1.875解析＋b ＝1，＋b ＝1.5，＝－2，＝2，于是得y ＝－－3＋2，当x ＝7时，y ＝－＋2＝1.875，所以该品牌汽车7月的产量为1.875万辆．考点三通过构建函数模型解决实际问题(多考向探究)考向1构建二次函数模型例3(2024·湖南永州高三摸底)A ，B 两城相距100km ，在两城之间距A 城x km 处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？解(1)由题意，知x 的取值范围为[10，90]．(2)y ＝0.25×20×x 2＋0.25×10×(100－x )2＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25000，∴y ＝152x 2－500x ＋25000(10≤x ≤90)．(3)y ＝152x 2－500x ＋25000＋500003，∴当x ＝1003时，y min ＝500003.∴核电站建在距A 城1003km 处，供电总费用最少．【通性通法】二次函数的最值问题一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要注意函数的定义域，否则极易出错．【巩固迁移】4．(2023·河北张家口高三期末)江苏某新能源公司某年初购入一批新能源汽车充电桩，每台13500元，到第x 年年末(x ∈N *)每台设备的累计维修保养费用为(300x 2＋3200x )元，每台充电桩每年可给公司收益8000元．(19≈4.36)(1)求每台充电桩第几年年末开始获利；(2)每台充电桩在第几年年末时，年平均利润最大？解(1)设每台充电桩在第x 年年末的利润为f (x )元，则f (x )＝8000x －(300x 2＋3200x )－13500＝－300x 2＋4800x －13500，令f (x )>0，解得8－19<x <8＋19，又19≈4.36，∴3.64<x <12.36，∵x ∈N *，∴每台充电桩从第4年年末开始获利．(2)设g (x )为每台充电桩在第x 年年末的年平均利润，则g (x )＝f (x )x ＝－x 4800.∵y ＝300x ＋13500x在(0，35)上单调递减，在(35，＋∞)上单调递增，∴g (x )在(0，35)上单调递增，在(35，＋∞)上单调递减，又x ∈N *，35≈6.708，g (6)＝750，g (7)≈771，∴g (7)>g (6)，∴每台充电桩在第7年年末时，年平均利润最大．考向2构建指数函数、对数函数模型例4牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛(允许的最大值)调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用．(精确到1分钟，参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)答案188解析设经过x个周期后细菌含量超标，即3000×2x>2000000，即2x>20003，所以x>log220003＝lg2000－lg3lg2＝lg2＋3－lg3lg2≈9.4，而20×9.4＝188，因此经过188分钟就不宜再饮用．【通性通法】(1)在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．求解时可利用指数运算与对数运算的关系．(2)利用指数函数、对数函数模型解题，关键是对模型的判断，先设定模型，将有关数据代入验证，确定参数，求解时要准确进行指、对数运算，灵活进行指数与对数的互化．【巩固迁移】5．一种药在病人血液中的量保持1500mg以上才有疗效；而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过________小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，精确到0.1h)答案 2.3解析设应在病人注射这种药经过x小时后再向病人的血液补充这种药，则2500(1－20%)x＝1500，整理可x＝35，所以x＝log4535，又log4535＝log810610＝lg610lg810＝lg6－1lg8－1＝lg2＋lg3－13lg2－1≈2.3，所以x≈2.3.故从现在起经过2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．考向3构建分段函数模型例5响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋100x－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件商品售价6元，则x万件商品销售收入为6x万元．依题意得，当0<x<8时，P(x)＝6x2＋22＝－13x2＋4x－2；当x≥8时，P(x)＝6xx＋100x－2＝35－x－100x.故P(x)－13x2＋4x－2，0<x<8，－x－100x，x≥8.(2)当0<x<8时，P(x)＝－13(x－6)2＋10.此时，当x＝6时，P(x)取得最大值，为10.当x≥8时，P(x)＝3535－2x·100x＝x＝100x，即x＝10此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，为15.因为10<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．【通性通法】(1)在现实生活中，很多问题的两变量之间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数．如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数．(2)分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其作为几个不同问题，将各段的规律找出来，再将其合在一起．要注意各段变量的范围，特别是端点．(3)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．【巩固迁移】6．某企业自主开发出一款新产品A，计划在2025年正式投入生产，已知A产品的前期研发总花费为50000元，该企业每年最多可生产4万件A产品．通过市场分析知，在2025年该企业每生产x千件A产品，需另投入生产成本R(x)千元，且R(x)2＋60x，0<x≤10，x＋1800x－230，10<x≤40.(1)求该企业生产一件A产品的平均成本p(单位：元)关于x的函数关系式，并求平均成本p 的最小值；(总成本＝研发成本＋生产成本)(2)该企业欲使生产一件A产品的平均成本p≤66元，求其年生产值x(单位：千件)的取值区间？解(1)由题知生产x千件的总成本为(R(x)＋50)千元，故生产一件的平均成本为R(x)＋50x元，所以p (x )＋60＋50x，0<x ≤10，＋1800x 2－180x，10<x ≤40，当x ∈(0，10]时，p (x )＝12x ＋60＋50x 单调递减，故最小值为p (10)＝70，当x ∈(10，40]时，p (x )＝＋65.5，故最小值为p (20)＝65.5，因为70>65.5，所以生产一件A 产品的平均成本最低为65.5元．(2)由(1)知，要使p (x )≤66，只需考虑x ∈(10，40]，即70＋1800x 2－180x≤66，结合x >0，整理得x 2－45x ＋450≤0，解得15≤x ≤30，所以当x ∈[15，30]时，生产一件A 产品的平均成本不超过66元．课时作业一、单项选择题1．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了()A ．0.33米B ．0.42米C ．0.39米D ．0.43米答案B解析该女生训练前立定跳远距离为1.84－0.03×90－705＝1.72(米)，训练后立定跳远距离为1.84＋0.1×105－905＝2.14(米)，则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米)．故选B.2．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：小数记录x0.10.120.15…1 1.2 1.5 2.0五分记录y 4.0 4.1 4.2…5 5.1 5.2 5.3现有如下函数模型：①y ＝5＋lg x ，②y ＝5＋1101x，x 表示小数记录数据，y 表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附：100.3≈2，5－0.22≈0.7，10－0.1≈0.8)()A ．0.3B ．0.5C ．0.7D ．0.8答案B解析由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y ＝5＋lg x ，令y ＝5＋lg x＝4.7，解得x ＝10－0.3≈0.5.故选B.3．“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间t (30≤t ≤100)(单位：天)与增加总分数f (t )(单位：分)的函数模型：f (t )＝kP1＋lg (t ＋1)，k 为增分转化系数，P 为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且f (60)＝16P .已知某学生在高考前100天的最后一次模考总分为400分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为(lg 61≈1.79)()A ．440分B ．460分C ．480分D ．500分答案B解析由题意得，f (60)＝kP 1＋lg 61＝16P ，∴k ＝1＋lg 616≈2.796＝0.465，∴f (100)≈0.465×4001＋lg 101＝1861＋lg 100＋lg 1.01≈1863＝62，∴该学生在高考中可能取得的总分约为400＋62＝462≈460(分)．故选B.4．(2024·云南昆明高三模拟)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N 满足关系N ＝1000v0.7v ＋0.3v 2＋d 0，其中d 0(单位：m)为安全距离，v (单位：m/s)为车速．当安全距离d 0取30m 时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为()A ．135B ．149C ．165D ．195答案B解析由题意得，N＝1000v0.7v＋0.3v2＋30＝10000.7＋0.3v＋30v≤10000.7＋20.3×30≈149，当且仅当0.3v＝30v，即v＝10时取等号，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B.5．(2024·江苏沭阳如东中学高三模拟)深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0D GG0，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg2≈0.3010)()A．72B．74C．76D．78答案B解析由题意，得L＝0.5×D G18，则0.4＝0.5×D1818，解得D＝45，则L＝由L＝，得G>18log4525＝18(lg5－lg2)lg5－2lg2＝18(1－2lg2)1－3lg2≈73.9，所以所需的训练迭代轮数至少为74.故选B.6．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e ax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，那么在12℃时，该果蔬的保鲜时间为()A．72小时B．36小时C．24小时D．16小时答案A解析当x＝6时，e6a＋b＝216；当x＝24时，e24a＋b＝8，则e6a＋be24a＋b＝2168＝27，整理可得e6a＝13，于是e b＝216×3＝648，当x＝12时，y＝e12a＋b＝(e6a)2·e b＝19×648＝72.故选A.7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(单位：贝尔)，即L＝lg II0.取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(单位：分贝)与喷出的泉水高度x(单位：m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70m，60m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为()A．10B．100C．200D．1000答案B解析设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，则140＝10lgI110－12，120＝10lgI210－12，两式相减即得20＝10lg I1I2，即lgI1I2＝2，从而I1I2＝100，所以n的值约为100.故选B.8．(2024·山东德州高三期末)已知某品牌手机电池充满时的电量为4000(单位：毫安时)，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电400(单位：毫安时)；模式B：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的1 2t倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过2.5%的电量，则x的可能取值为()A．4.6B．5.8C．7.6D．9.9答案C解析模式A在待机t小时后电池内电量为y＝－400t＋4000，设当前电量为Q，模式B在待机t小时后电池内电量为y＝12tQ，则该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，其在待机10小时后的电量为1210－x(－400x＋4000)，由1210－x(－400x＋4000)>4000×2.5%＝100，得4(10－x)>210－x，根据选项，当x＝4.6时，4×(10－4.6)＝21.6<210－4.6＝25.4≈42.2；当x＝5.8时，4×(10－5.8)＝16.8<210－5.8＝24.2≈18.4；当x＝7.6时，4×(10－7.6)＝9.6>210－7.6＝22.4≈5.3；当x＝9.9时，4×(10－9.9)＝0.4<210－9.9＝20.1≈1.1.故x的可能取值为7.6.二、多项选择题9．(2024·江苏常州高三月考)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式y＝mx－20－x＋40，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2015.假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，下列说法正确的是()A．实数m的值为10000B ．销售单价越低，直播在线购买人数越多C ．当x 的值为30时，利润最大D ．利润的最大值为10000答案ABC解析将x ＝25，y ＝2015代入y ＝m x －20－x ＋40，可得2015＝m25－20－25＋40，解得m ＝10000，故A 正确；易知y ＝10000x －20－x ＋40(20<x <100)单调递减，故B 正确；由题意可得所得利润为f (x )＝(x －x ＋x 2＋60x ＋9200＝－(x －30)2＋10100，所以当x ＝30时，利润最大，最大利润为10100元，故C 正确，D 错误．故选ABC.10.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y (单位：km)与时间x (单位：min)的关系，下列结论正确的是()A ．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB ．甲从家到公园的时间是30minC ．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快D ．当0≤x ≤30时，y 与x 的关系式为y ＝115x 答案BD解析甲在公园休息的时间是10min ，所以只走了50min ，A 错误；由题中图象知，B 正确；甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C 错误；当0≤x ≤30时，设y ＝kx (k ≠0)，则2＝30k ，解得k ＝115，D 正确．故选BD.三、填空题11．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：x 2 2.9945 6.002y48.0215.993264.01现准备用下列四个函数中的一个近似地描述这些数据的规律：①y ＝2x ；②y ＝12(x 2－1)；③y＝log 2x ；④y ＝2x ，其中最接近的一个是________(只填序号)．答案④解析x 2 2.9945 6.002y 48.0215.993264.01①y ＝2x 4 5.9881012.004②y ＝12(x2－1)1.5 3.977.51217.51③y ＝log 2x 1 1.5822.32 2.59④y ＝2x47.94163264.09由表格数据可知其中最接近的一个是④y ＝2x .12.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运年数为________时，营运的年平均利润最大．答案5解析根据题意得，抛物线的顶点为(6，11)，过点(4，7)，开口向下，设二次函数的解析式为y ＝a (x －6)2＋11(a <0)，所以7＝a (4－6)2＋11，解得a ＝－1，即y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x ＝－(x －6)2＋11x ＝1212－225＝2，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时取等号．13．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert 于1898年提出蓄电池的容量C (单位：A·h)，放电时间t (单位：h)与放电电流I (单位：A)之间关系的经验公式C ＝I n ·t ，其中n＝log 322为Peukert 常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I ＝10A 时，放电时间t＝57h ，则当放电电流I ＝15A 时，放电时间为________h.答案28.5解析根据题意可得C ＝57×10n ，则当I ＝15A 时，57×10n ＝15n ×t ，所以t ＝＝log 322＝3212＝28.5h ，即当放电电流I ＝15A 时，放电时间为28.5h.14．为了响应党和国家节能减排的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y (单位：万元)与处理量x (单位：吨)(x ∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为y3－80x 2＋5040x ，x ∈[120，144），2－200x ＋80000，x ∈[144，500]，为使二氧化碳每吨处理成本最低，则处理量x 为________吨．答案400解析由题意得二氧化碳每吨的平均处理成本S2－80x ＋5040，x ∈[120，144），－200＋80000x，x ∈[144，500]，当x ∈[120，144)时，S ＝13x 2－80x ＋5040，当x ＝120时，S 取得最小值240；当x ∈[144，500]时，S ＝12x －200＋80000x≥212x ·80000x －200＝200，当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时取等号，此时S 取得最小值200.由于200<240，故所求处理量为400吨．四、解答题15．(2023·河北保定高三模拟)某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快．开始在某水域投放一定面积的该生物，经过2个月其覆盖面积为18平方米，经过3个月其覆盖面积达到27平方米．该生物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )个月的关系有两个函数模型y ＝k ·a x (k >0，a >1)与y ＝p x ＋q (p >0)可供选择．(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式；(2)问约经过几个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍？(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，精确到1月)解(1)∵函数y ＝k ·a x (k >0，a >1)中，y 随x 的增长而增长的速度越来越快，而函数y ＝p x ＋q (p >0)中，y 随x 的增长而增长的速度越来越慢，根据已知条件应选y＝k ·a x (k >0，a >1)更合适．·a 2＝18，·a 3＝27，＝32，＝8.∴该模型的函数解析式为y ＝(x ∈N )．(2)由(1)知，当x ＝0时，y ＝8，∴原先投放的此生物的面积为8平方米．设经过x个月该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍，∴＝8×1000，解得x＝lg1000lg3－lg2≈30.48－0.30≈17，∴约经过17个月，该水域中此生物的面积是当初投放的1000倍．16．(多选)(2024·广东东莞入学考试)牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是θ0(单位：℃)，环境温度是θ1(单位：℃)，其中θ0>θ1，则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f(t)＝θ1＋(θ0－θ1)·e－kt(k∈R且k>0)．现有一杯80℃的热红茶置于20℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是(参考数据：ln2≈0.7)() A．若f(3)＝50℃，则f(6)＝35℃B．若k＝110，则红茶下降到50℃所需的时间大约为7分钟C．若f′(3)＝－5，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5℃的速率下降D．红茶温度从80℃下降到60℃所需的时间比从60℃下降到40℃所需的时间多答案ABC解析由题知θ＝f(t)＝20＋60e－kt，若f(3)＝50℃，即50＝20＋60e－3k，所以e－3k＝12，则f(6)＝20＋60e－6k＝20＋60(e－3k)2＝20＋＝35℃，A正确；若k＝110，则20＋60e－110t＝50，则e－110t＝12，两边同时取对数得－110t＝ln12＝－ln2，所以t＝10ln2≈7，所以红茶下降到50℃所需的时间大约为7分钟，B正确；f′(3)表示t＝3处的函数值的变化情况，若f′(3)＝－5<0，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5℃的速率下降，故C正确；f(t)为指数型函数，如图，可得红茶温度从80℃下降到60℃所需的时间(t2－t1)比从60℃下降到40℃所需的时间(t3－t2)少，故D错误．故选ABC.17．(多选)(2024·江苏常州一中期初检测)地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一。
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“函数模型及其应用”教材解读
1.几类不同增长的函数模型：（1）一次函数模型：f (x)=kx+b (k,b 为常数,k ≠0)；（2）反比例函数模型：f (x)=b x
k (k ,b 为常数,k ≠0);(3)二次函数模型：f (x)= ax 2+bx+c(a,b,c 为常数,a ≠0);(4)指数函数模型：f (x)= ab x
+c(a,b,c 为常数,a ≠0,b>0,b ≠1);(5)对数函数模型：f (x)=m log a x+n(m,n,a 为常数，a>0，a ≠1),(6)幂函数模型：f (x)=ax n +b (m,n,b 为
常数，a ≠0，n ≠1).
注：学习时应收集一些生活中普遍使用的函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用.
2.几类函数模型增长差异：在
区间（0，+∞）上，尽管函数
y=a x
(a>1), y =㏒a x (a>1)和
y=x n (n>0)都是增函数，但他们
的增长速度不同，随着x 的增
大，y=a x (a>1)的增长速度越
来越快，会超过并远远大于
y=x n (n>0)的增长速度，而且y = ㏒a x (a>1)的增长速度则会
越来越慢.因此，总会存在一个
x 0,当x> x 0时，就有㏒a x< x n
<
a x .
注：以上结论要结合几个特殊函数(y=2x , y=㏒2x 和y=x 2
）
的图像进行理解：如图，刚开始函数y=㏒2x 增长的最快，
随后增长的速度越来越慢；而
函数y=2x 刚开始增长得较慢，
随后增长的速度越来越快；函
数y=x 2增长的速度也是越来
越快，但越来越不如y=2x 增长
得快，函数y=2x 和y=x 2
的图
像有两个交点（2，4）和（4，
16）。
在x ∈（2，4）时，㏒2x<2x <
x 2,在x ∈（0，2）∪（2，4）
时，㏒2x< x 2<2x ，所以，当
x>4时，总有㏒2x< x 2<2x .
3.解函数应用题的方法：一方面是利用已知函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象。
这一方法即是数学建模，这也是本节内容的一个难点.
数学建模的一般过程大致可以分为现实问题的数学化、模型求解、数学模型解答、现实问题解答验证四个阶段。
这四个阶段实际上是完成从现实问题到数学模型，再从数学模型回到现实问题的不断循环、不断完善的过程，如图所示：
数学化是指根据数学建模的目的和所具备的数据、图表、过程、现象等各种信息，将现实问题翻译转化为数学问题，并用数学语言将其准确地表示出来.
求解是指利用已有的数学知识，选择适当的数学方法和数学解题策略，求出数学模型的解答.
解释是指把数学语言表述的解答翻译转化为现实问题，给出实际问题的解答.
验证是指用现实问题的各种信息检验所得的实际问题的解答，以确认解答的正确性和数学模型的准确性.
上图直观地显示了现实问题和数学模型之间的关系，即数学模型是将现实问题的信息加以数学化的产物，熟悉模型来源于现实、有超越于现实，它用精确的语言揭示了现实问题的内在特性。
数学模型经过求解，得到数学形式的解答，再经过一次转化到现实问题，给出现实问题的决策、预报、分析等结果，最后这些结果还要经受实践的检验，完成由实践到理论再到实践这样一个不断循环、不断完善的过程，如果检验结果基本正确或者与实际情况的拟合度非常高，就可以用来指导实践，反之则应重复上述过程重新建立模型或者修正模型. 4.根据收集的数据直接去解决问题的过程：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据；第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点特征的函数模型；第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；第五步：将已知数据代入所求的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复第三、四、五步；如符合实际，则进入下一步；第六步：用求得的函数模型去解决实际问题。
举例说明：根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律，预测该国2006年的人口数.
分析：这是一个确定人口增长模型的问题。
一个国家的人口数与众多因素有关。
为使问题简
化，我们作如下假设：（1）该国的政治、经济、社会环境稳定；（2）该国的人口增长数由其人口的生育、死亡引起，与外界移民无关；（3）该国的人口数量变化是连续的；（4）该国的每一个人有相同的生育能力和死亡机率。
基于上述假设，我们认为人口数量是时间的函数.记时间为t,t 时刻的人口数为P(t).
建模思路是，根据给出的数据资料绘出散点图，然后找出一条直线或曲线，使它们尽可能与这些点吻合，该直线或曲线就被
认为近似地描述了该国人口增长规
律，从而进一步做出预测.
观察散点图，从整体趋势看，可以认为散点近似分布在一条以直线t=1830为对称轴的抛物线上，选两点（1830，3.930）、（1930，62.949） 可定出该抛物线方程为
P(t)=3.930+0.0059(t-1830)2 ①此即
欲建的人口增长抛物线模型.
我们还可以认为散点近似分布在
一条指数曲线上，我们取1970，1980这两年确定方程（而用1990年的数据作检验）。
因此，过两点（1970，
122.776）,(1980,131.670)求得指数
方程为P(t)=122.776·()1970007.1-t ，此即该国人口增长的指数模型.
通过1990年的人口数据的检验，其误差分别为8.59%和1.07% .所以，我们认为第二个模型精确度更好。
选取第二个模型预测该国到2006年的人口预测数为P （2006）=157.8246
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