高考数学复习点拨 函数模型及其应用教材解读

“函数模型及其应用”教材解读

1.几类不同增长的函数模型：（1）一次函数模型：f (x)=kx+b (k,b 为常数,k ≠0)；（2）反比例函数模型：f (x)=b x

k (k ,b 为常数,k ≠0);(3)二次函数模型：f (x)= ax 2+bx+c(a,b,c 为常数,a ≠0);(4)指数函数模型：f (x)= ab x

+c(a,b,c 为常数,a ≠0,b>0,b ≠1);(5)对数函数模型：f (x)=m log a x+n(m,n,a 为常数，a>0，a ≠1),(6)幂函数模型：f (x)=ax n +b (m,n,b 为

常数，a ≠0，n ≠1).

注：学习时应收集一些生活中普遍使用的函数模型（一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用.

2.几类函数模型增长差异：在

区间（0，+∞）上，尽管函数

y=a x

(a>1), y =㏒a x (a>1)和

y=x n (n>0)都是增函数，但他们

的增长速度不同，随着x 的增

大，y=a x (a>1)的增长速度越

来越快，会超过并远远大于

y=x n (n>0)的增长速度，而且y = ㏒a x (a>1)的增长速度则会

越来越慢.因此，总会存在一个

x 0,当x> x 0时，就有㏒a x< x n

<

a x .

注：以上结论要结合几个特殊函数(y=2x , y=㏒2x 和y=x 2

）

的图像进行理解：如图，刚开始函数y=㏒2x 增长的最快，

随后增长的速度越来越慢；而

函数y=2x 刚开始增长得较慢，

随后增长的速度越来越快；函

数y=x 2增长的速度也是越来

越快，但越来越不如y=2x 增长

得快，函数y=2x 和y=x 2

的图

像有两个交点（2，4）和（4，

16）。在x ∈（2，4）时，㏒2x<2x <

x 2,在x ∈（0，2）∪（2，4）

时，㏒2x< x 2<2x ，所以，当

x>4时，总有㏒2x< x 2<2x .

3.解函数应用题的方法：一方面是利用已知函数模型解决问题，另一方面是建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象。这一方法即是数学建模，这也是本节内容的一个难点.

数学建模的一般过程大致可以分为现实问题的数学化、模型求解、数学模型解答、现实问题解答验证四个阶段。这四个阶段实际上是完成从现实问题到数学模型，再从数学模型回到现实问题的不断循环、不断完善的过程，如图所示：

数学化是指根据数学建模的目的和所具备的数据、图表、过程、现象等各种信息，将现实问题翻译转化为数学问题，并用数学语言将其准确地表示出来.

求解是指利用已有的数学知识，选择适当的数学方法和数学解题策略，求出数学模型的解答.

解释是指把数学语言表述的解答翻译转化为现实问题，给出实际问题的解答.

验证是指用现实问题的各种信息检验所得的实际问题的解答，以确认解答的正确性和数学模型的准确性.

上图直观地显示了现实问题和数学模型之间的关系，即数学模型是将现实问题的信息加以数学化的产物，熟悉模型来源于现实、有超越于现实，它用精确的语言揭示了现实问题的内在特性。数学模型经过求解，得到数学形式的解答，再经过一次转化到现实问题，给出现实问题的决策、预报、分析等结果，最后这些结果还要经受实践的检验，完成由实践到理论再到实践这样一个不断循环、不断完善的过程，如果检验结果基本正确或者与实际情况的拟合度非常高，就可以用来指导实践，反之则应重复上述过程重新建立模型或者修正模型. 4.根据收集的数据直接去解决问题的过程：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据；第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点特征的函数模型；第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；第五步：将已知数据代入所求的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际，则重复第三、四、五步；如符合实际，则进入下一步；第六步：用求得的函数模型去解决实际问题。举例说明：根据下表给出的数据资料，确定该国人口增长规律，预测该国2006年的人口数.

分析：这是一个确定人口增长模型的问题。一个国家的人口数与众多因素有关。为使问题简

化，我们作如下假设：（1）该国的政治、经济、社会环境稳定；（2）该国的人口增长数由其人口的生育、死亡引起，与外界移民无关；（3）该国的人口数量变化是连续的；（4）该国的每一个人有相同的生育能力和死亡机率。基于上述假设，我们认为人口数量是时间的函数.记时间为t,t 时刻的人口数为P(t).

建模思路是，根据给出的数据资料绘出散点图，然后找出一条直线或曲线，使它们尽可能与这些点吻合，该直线或曲线就被

认为近似地描述了该国人口增长规

律，从而进一步做出预测.

观察散点图，从整体趋势看，可以认为散点近似分布在一条以直线t=1830为对称轴的抛物线上，选两点（1830，3.930）、（1930，62.949） 可定出该抛物线方程为

P(t)=3.930+0.0059(t-1830)2 ①此即

欲建的人口增长抛物线模型.

我们还可以认为散点近似分布在

一条指数曲线上，我们取1970，1980这两年确定方程（而用1990年的数据作检验）。因此，过两点（1970，

122.776）,(1980,131.670)求得指数

方程为P(t)=122.776·()1970007.1-t ，此即该国人口增长的指数模型.

通过1990年的人口数据的检验，其误差分别为8.59%和1.07% .所以，我们认为第二个模型精确度更好。选取第二个模型预测该国到2006年的人口预测数为P （2006）=157.8246

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