初中数学几类最值求法

A

B

C

D

O S 2

S 1

初中数学中几类最值求法

初中数学中有许多求最值的问题，其基本的思路和方法大致有以下三种。 一、一次函数与二次函数求最值

一般来说一次函数(0)y kx b k =+≠,对自变量x 的取值范围没有限制，它不存在最值，若限制 自变量的取值范围为12x x x ≤≤，当0(0)k k ><时，1x x =取最小(大)值，2x x =时取最大(小) 值。对于二次函数2(0)y ax bx c a =++≠,当0(0)a a ><,2b x a

=-时在其顶点取最小(大)值,这

类习题在教材中很多，这里不再举例赘述。

二、利用不等式“222a b ab +≥

或a b +≥a b =时取等号”

求最值。此两不等式的证明可由2()0a b -≥

和20≥展开移项而得。

例1：如图4AO B S ∆=, 9C O D S ∆=,则四边形ABCD 的面积最小值为___。 解：1A O D S S ∆=, 2COD S S ∆=

因为

21

A O B

C O D

S S O B S O D

S ==

,

所以 124936AOB C OD S S S S ∆∆⋅=⋅=⨯=

12AO B C O D ABC D S S S S S ∆∆=+++四边形1249S S =+++

因为

122612S S +≥=⨯= 所以 491225ABC D S ≥++=四边形

例2：如图是一架不等臂天平，第一次在左侧放质量为m 克的物体，右侧放火

50克法码，第二次在左侧放质量为50克的物体，右侧放m '克法码，则

m m '+（

）

(A) 不小于100克 (B)大于100克 (C)不小于150克 (D)大于150克

解：设1A O l =，2BO l =,由平衡原理可得

1250m l l ⋅=, 1250l m l '⋅=,即21

50l m l =

, 12

50l m l '=

∵

211

2

5050l l l l ≠

,211

2

5050100l l m m l l '∴+=

+

>=,所以选（B ）

不等式“a b +≥, 例如本题中由于12l l ≠，所以m m '+取值大于100，而不能取等号，这一点要特别注意。

例3：矩形ＡBCD 的周长为定值2l ,过AB 两点作⊙o ，并使⊙o 与CD 相切

于H 点，AD x =（1）求⊙o 的半径r 与 x 之间的关系.

（2）当x 取何值时，r 取最小值,最小值为多少？

解：（1）如图连OH ，并延长HO 交AB 于G ，

作OE ⊥AD ，连AO

∵CD 是⊙O 切线 ∴OH=r ,OH ⊥CD ∵AB ∥CD ∴ OG ⊥AB ,AG=2

1AB ∵AD=x ∴ＡE ＝x r -，AB=

222x

l -=l x - 。

在Rt △AEO 中,AO=r ,AE=x r -，OE=AG= 2

x

l -

由勾股定理可得2

2

2

()(

)

2

l x r x r -=-+整理可得：2

5884

l

l r x x

=

+

-

。

(2)在r 与x 的函数关系中

4

l 是定值，当2

5

8

8l

x x

+

取最小值时，r 取最小值时，

设2

58

8l

r x x

'=

+

由不等式a b +≥可得2

58

8l

r x x

'=

+

≥

4

，

A

B

O

m

50

A

O

50

m '

A

B

C

D o

E G H B

当且仅当

2

58

8l

x x

=

,

即5

x l

=

时

, 4

r =

最小值 。

三、利用三角函数的有界性求最值

当090α≤≤ 时,0sin 1α≤≤, 20sin 1α≤≤,当0α=时sin 0α=，2sin 0α=; 当90α= 时sin 1α=，2sin 1α=，为此需要建立以角为变量的函数关系。

例4：如图AB 是半⊙O 的直径，定长为2a 的弦CD 的两端C 、D 在半圆上滑动，过

C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，过

D 作DF ⊥AB ，垂足为F ，M 为CD 的中点。

（1）判定△MEF 的形状，并证明你的结论。

（2）设半⊙O 的半径为r ，当CD 处在何位置时△MEF 的面积最大，最大

值为多少？

解 ：（1）△MEF 是等腰三角形 略证：作M H ⊥EF ，由题设可得

CE ∥DF ∥MH ，CM=DM ∴EH=FH

∴MH 是EF 的垂直平分线，∴EM=FM 。 (2）连OM ，则OM ⊥CD,易知

∠CDF+∠DCE=180︒,∠MOE+∠DCE=180︒

则∠CDF=∠MOH ,设∠CDF=∠MOH=α 连OC ∵M 是CD 的中点,由垂径定理可知OM ⊥CD ，在Rt △MOC 中

sin M H OM αα==

，在Rt △CDG 中2sin C G a α=，∴2sin E F a α=.

112sin 2

2

M E F S E F M H a αα

=

⋅=

⋅⋅ 2α=，由三角函数的有界性

可知2sin 1α≤,当90α= 时2sin 1α=，故M EF S 的最大值为，此时CD AB .

A

B