第六节高斯公式通量与散度-BeijingNormalUniversity

V x2 y2 z2 2
dxdydz 1
cos
r
,
：
n
dS
1
cosr,ndS 2 2
r V V
2 US
2
：
令 0 即可证明结论.
14
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , • 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ;
z 2
1 : z 1 (x, y) Dxy : x2 y2 1
I 用柱坐标
用极坐标 1 1
1 1
d
x
d
ydz
(1)
( Dxy
x
2
)
d
x
d
y
O 1y x Dx y
2π
d
0
1
rdr
0
2π cos2 d 0
π
4
9
例4. 设函数
在闭区域 上具有一阶和
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 P u v
1: z h, (x, y) Dxy : x2 y2 h2 , 取上侧
记 , 1所围区域为 , 则
在 1 上
π 2
,
0
I (
)(x2 cos y2 cos z2 cos ) d S
1 1
2 (x y z) d x d y d z Dxy h2 d x d y 7
I
证:令
P
u
v x
,
Q
u
v y
,
R
u
v , z
由高斯公式得
2v x2
2v y2
2v z2
v
v
v
x y z
注意 :高 斯u 公v式x cos
vPcosQ
yx y
vRcods x
zz
d
dydSz
移项即得所证公式. P d y d z Q d z d x R d x d y
11
例
证明
V
dxdydz r
Ò cos
rv,
nv
dS
1 2
x r
cos
y r
cos
z r
cos
dS
1 2
x r
dydz
y r
dzdx
z r
dxdy
1 2
V
x
x r
y
y r
z
z r
dxdydz
V
dxdydz r
13
2）当 (0, 0, 0) intV V 内取
S x2 y2 z2 2 取内侧
第六节
第十一章
高斯公式 *通量与散度
推广
Green 公式
Gauss 公式
一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
*三、通量与散度
1
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的双侧闭曲 面 所围成, 函数 P, Q, R 在 上有连续的
一阶偏导数 , 则有
P d y d z Q d z d x Rdx d y
1.P,Q, R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3. S 是取闭曲面的外侧.
5
例1. 用Gauss 公式计算
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解: 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
z
利用Gauss 公式, 得
2
(x
y
z)d
xdydz
Dxy
h2
d
xd
y z
利用质心公式, 注意 x y 0
2 z d x d ydz π h4
1 h
先二后一
2
h
z
π
z
2
d
z
0
πh4
1 2
π
h4
O
y
x
思考: 计算曲面积分 (z2 x) d y d z z d x d y, z
介于平面 z= 0 及 z = 2
2
是包围 V 的曲面,
n12为Ò cos的rv外, n法v线ds方向,
r x2 y2 z2 rv ( x, y, z) (0, 0, 0)
证明 因为 r的方向余弦为 x , y , z
r rr
cosrv, nv x cos y cຫໍສະໝຸດ Baidus z cos
r
r
r
12
1）当 0,0,0 V
1 2
将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面
正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 .
类似可证
P x
d
x
d
y
d
z
Pd
y
d
z
Q y
d
x
d
y
d
z
Qd
z
d
x
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
P
x
Q y
R z
d
xd
ydz
P d y d z Q d z d x R d xdy
4
定理1
Gauss公式表达了空间闭区域上的三重积分与 其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 使用Gauss公式时应注意:
Dx y
R(x,
y,
z2
(x,
y))
O
R(x, y, z1(x, y) ) d x d y
x
2
3 1
Dxy y
R
d
x
d
y
2
1
3
R
d
x
d
y
Dx
R(
y
x,
y,
z
2
(
x,
y))dxdy
R(
Dx y
x,
y,
z1
(
x,
y))
d
xdy
3
定理1
所以
R z
d
x
d
y
d
z
R
d
x
d
y
若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面
• 若 G 内任一闭曲线总可以张成一片全属于 G 的曲面 则, 称 G 为空间一维单连通域 .
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
其中 取外侧.
下面先证:
R z
d
x
d
y
d
z
R
d
x
d
y
(Gauss 公式)
2
高斯
证明: 设
称为XY -型区域 , 1 2 3, 1 : z z1(x, y),
2 : z z2 (x, y),则
z
R d x d y d z z
dxd y
Dx y
z2(x,y) R d z z1(x, y) z
之间部分的下侧.
提示: 作取上侧的辅助面 1: z 2,
Oy
(x, y) Dxy : x2 y2 4 x
8
例3. 设 为曲面 z 2 x2 y2, 1 z 2 取上侧, 求
I (x3z x) d y d z x2 yz d z d x x2z2 d x d y.
解: 作取下侧的辅助面
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
x Q u v
y
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
R u v z
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y 10
3
原式 =
利用质心公式,
注意
y
0,
z
3 2
O
x1
y
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?
若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
6
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
1 h
其中 为锥面 x2 y2 z2 介于z = 0及 z = h
之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角.
O
x
y
解: 作辅助面