第六节高斯公式通量与散度-BeijingNormalUniversity
高等数学 第六节 高斯公式 通量与散度
Φ Pdydz Qdzdx Rdxdy
n
Σ
当 > 0， 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉;
n
当 < 0， 说明流入 的流体质量多于流出的,
表明 内有洞 ; 当 = 0， 说明流入与流出 的流体质量相等 。
根据高斯公式, 流量也可表为
P x
Q y
R z
dxdydz
2、是否满足高斯公式的条件；
3、Σ 是取闭曲面的外侧。
第2xzdydz yzdzdx z2dxdy ，
其中 是由曲面 z x2 y2 与
z 2 x2 y2 所围立体的表面外侧。
z
Dxy
2y
x
第十一章 第六节
7
例2 计算 ( x y)dxdy ( y z)xdydz ，其中 Σ 是
cos
n
0
r
0
n
0
r
0
则
x cos y cos z cos
r
r
r
1 3
r
cos
dS
1
3dv V
3 第十一章 第六节
23
内容小结
1 高斯公式及其应用
公式
P Q R
Ω
(
x
y
z
)dv
Σ
Pdydz
Qdzdx
Rdxdy
应用 (1) 计算曲面积分
(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)
(2) 闭曲面积分为零的充要条件:
Gauss
I 2 (x y z)dv
1 1
1
对称性
2 zdv h2dS
1方 程
1
1 2
h4
第六节 高斯公式 通量与散度
第六节 高斯公式 通量与散度㈠本课的基本要求了解高斯公式，会用高斯公式计算曲面积分，了解通量与散度的概念，并会计算㈡本课的重点、难点高斯公式重点、利用高斯公式计算曲面积分为难点㈢教学内容在本章的第三节中，我们介绍了格林公式。
它反映了平面区域D 上的二重积分与其边界曲线L 上的曲线积分之间的关系。
作为格林公式在空间的推广，下面介绍的高斯公式则反映了空间区域Ω上的三重积分与其边界曲面∑上的曲面积分之间的关系。
一．高斯公式定理1 设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(),,,(z y x Q z y x P , ),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂)()(Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P ⑴ 或ds R Q P dv z R y Q x P ⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=∂∂+∂∂+∂∂)cos cos cos ()(γβα ⑵ 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦。
公式⑴或⑵叫做高斯公式。
证 由第五节中两类曲面积分的关系可知，公式⑴及⑵的右端是相等的，因此这里只要证明公式⑴就可以了。
首先假设穿过区域Ω内部且平行于z 轴的直线与Ω的边界曲面∑只有两个交点，并且Ω在xoy 平面上的投影区域为xy D ，这样∑可为三部分321,,∑∑∑，其中21,∑∑的方程分别为),(:11y x z z =∑，取下侧，),(:22y x z z =∑，取上侧，并且21z z ≤，而3∑是以xy D 边界线为准线且母线平行于z 轴的柱面的一部分，取外侧。
一方面，根据三重积分的计算法，有⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂Ωxy D y x z y x z dxdy dz z R dv z R ),(),(21 ⎰⎰-=xy D dxdy y x z y x R y x z y x R )]},(,,[)],(,,[{12另一方面，根据第二类曲面积分的计算法，又有⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(11 ⑶ ⎰⎰⎰⎰=∑xy D dxdy y x zy x R dxdy z y x R )],(,,[),,(22因为3∑在xoy 平面上的投影区域为一条曲线，其面积为零，因而由定义知0),,(3=⎰⎰∑dxdy z y x R将上述三式相加可得⎰⎰∑dxdy z y x R ),,(⎰⎰-=xyD dxdy y x z y x R y x zy x R )]},(,,[)],(,,[{12 ⑷ 比较⑶式与⑷式，得=∂∂⎰⎰⎰Ωdv z R ⎰⎰∑dxdy z y x R ),,( 若穿过区域Ω内部且平行于x 轴及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面∑也都只有两个交点，那么类似地可证=∂∂⎰⎰⎰Ωdv x P ⎰⎰∑dydz z y x P ),,( =∂∂⎰⎰⎰Ωdv y Q ⎰⎰∑dzdx z y x Q ),,( 将以上三式两端分别相加，即得高斯公式⑴。
高斯公式通量与散度课件
通过高斯公式，可以对流体的能量进 行分析，了解流体在某一区域的能量 分布情况。
流速场分析
结合高斯公式和压力场，可以对流速 场进行分析，了解流体在某一区域的 流速大小和方向。
04
高斯公式通量与散度的推导
推导高斯公式通量部分
推导过程
利用微分几何中的高斯定理，将三维 空间中的通量转化为曲面上的积分， 再通过坐标变换和代数运算，得到通 量的高斯公式。
详细描述
高斯公式也称为高斯-奥斯特罗格 拉德斯基公式，它表示一个封闭 曲面内的体积等于该曲面所包围 的三维空间的体积的积分。
高斯公式的应用领域
总结词
高斯公式的应用领域包括物理学、工程学和统计学等。
详细描述
在物理学中，高斯公式被广泛应用于电磁学、流体动力学和量子力学等领域。在工程学中，高斯公式被用于解决 各种实际问题，如流体流动、热传导和结构分析等。在统计学中，高斯公式用于概率论和数理统计中的随机变量 和概率分布的计算。
实例三：流体流动的高斯公式应用
总结词
流体流动的特性
详细描述
流体流动具有连续性和不可压缩性，其流线 呈现出特定的规律。高斯公式在流体流动中 的应用，可以用来计算流速和流量。
06
高斯公式通量与散度的扩展思考
高斯公式的推广与应用
推广到多维空间
高斯公式在三维空间中得到了广泛应用，但其实它也可以推广到 更高维度的空间，为解决更复杂的问题提供工具。
总结词
散度是描述矢量场在某一点的发散程度。
详细描述
散度是矢量场的一个重要性质，它描述了矢量场在某一点的发散程度。对于标 量场，散度等于标量场在某一点的梯度的散度；对于矢量场，散度等于矢量场 在某一点的三个分量的散度的和。
通量与散度在物理中的意义
第六节：高斯公式
2
2
2
2
2 ( x y z )dxdydz 2 (a b c )dxdydz
由对称性知 ( x y z )dxdydz 0
4 3 2 ( a b c ) R I 2(a b c ) dxdydz 3
P x dxdydz Pdydz,
Q y dxdydz Qdzdx ,
假设条件（1）用平行于 z 轴的直线穿越 的内部 时，与 的边界曲面 交点恰好为两点。
（2） 取外侧。
（3）R (x , y , z) 在 上具有一阶连续偏导数。 R dxdydz R( x , y , z )dxdy 结论： z P Q x dxdydz Pdydz, y dxdydz Qdzdx , 说明 1. 若 不满足条件（1），则可类似于格林公 式的情形进行处理。 2. 三式合并即为
其中 为锥面 z 2 x 2 y 2 介于平面 z = 0 及 z = h （h > 0）之间部分的下侧。 n (cos , cos , cos ) 是与 的侧向一致的法向量的方向余弦。
解：在 1 可以应用高斯公式。
zn (0,0,1)
I ( x 2 cos y 2 cos z 2 cos )dS
2 3 dxdydz z dxdydz a 3 a x 3 2 2 a a 2 2 a 3 0 d d 0 r cos r sin d r a 3 a 2
2
0 n
y
例4：计算 I y ln rdydz x ln rdzdx zdxdy
高斯公式 通量及散度
o 1 x
y
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
其中 ∑ 为锥面 x2 + y2 = z2 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧.
∑1 h h
∑
o y 解: 作辅助面 2 2 2 x ∑1: z = h, (x, y) ∈Dxy : x + y ≤ h , 取上侧
记∑,∑1所围区域为, 则
n n
当Φ = 0 时, 说明流入与流出∑ 的流体质量相等 .
③
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为了揭示场内任意点M 处的特性, 设∑ 是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记∑ 所围域为, 在③式两边同除以 的体积 V, 并令 以 任意方式缩小至点 M 则有 Φ lim →M V
r2 3x2 r 2 3y2 r 2 3z2 = q + + 5 5 5 r r r ( r ≠ 0) =0
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.
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内容小结
1. 高斯公式及其应用 公式:
∫∫∑ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y P Q R )d xd y d z = ∫∫∫ ( + + x y z
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2. 闭曲面积分为零的充要条件 定理2. 设P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在空间二 维 定理 间二 单连通域G内具有连续一阶偏导数, ∑为G内任一闭曲面, 则
∫∫∑ Pd y d z + Qd z d x + Rd xd y = 0
高斯公式通量与散度课件
测市场趋势等。
03
历史发展
高斯公式的起源可以追溯到19世纪初，经过多位数学家的努力，最终由
德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯完善并命名。
高斯公式的未来研究方向
多维高斯公式
目前对高斯公式的讨论主要集中在二 维和三维的情况，对于更高维度的推 广和应用仍需进一步研究。
数值计算方法
与其他数学定理的结合
探索高斯公式与其他数学定理（如格 林公式、斯托克斯公式等）的内在联 系，有助于更深入地理解数学的本质 。
金融预测
在金融领域，高斯公式可以用于预 测市场趋势和风险评估，为投资者 提供决策依据。
THANKS
感谢观看
高斯公式的应用场景
总结词
高斯公式的应用场景包括计算几何形状的体积、解决物理问题以及在科学和工程领域中 的应用。
详细描述
高斯公式在计算几何形状的体积方面有着广泛的应用，例如计算球体、圆柱体和圆锥体 的体积等。此外，高斯公式在解决物理问题中也有着重要的应用，例如计算电场和磁场 的分布以及解决流体动力学问题等。在科学和工程领域中，高斯公式也被广泛应用于各
04
实例分析
实例一：二维平面上的高斯公式应用
总结词
二维平面上的高斯公式应用
详细描述
在二维平面上，高斯公式可以用来计算通量或散度。例如，在电磁学中，高斯公式可以用来计算电场 或磁场通过某个区域的通量。在流体动力学中，高斯公式可以用来计算流体的散度。
实例二：三维空间中的高斯公式应用
总结词
三维空间中的高斯公式应用
判断流动方向
通过高斯公式计算出的散度，可以判 断矢量场的流动方向，对于流体动力 学和气象学等领域具有重要意义。
高斯公式在通量与散度中的综合应用
高数 高斯公式 通量与散度
P d y d z Q d z d x R d x d y
13
v v v , Q u , R u , 由高斯公式得 证 令P u x y z 2v 2v 2v x2 y 2 z 2 v v v x y z
9.4 高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式 1.高斯公式
Gauss 公式
Hale Waihona Puke 2.通量与散度1一、高斯公式
定理1 设空间闭区域Ω 是由分片光滑的闭曲面Σ 所 围成，函数P(x，y ，z)、Q(x，y ，z) 、R(x，y ，z) 在Ω 上具有一阶连续偏导数，则有 P Q R ( x y z )dv Pdydz Qdzdx Rdxdy, (1)
I (
1
)( x 2 cos y 2 cos z 2 cos ) d S
1
2
xy
8
2 ( x y z ) d x d y d z D h d x d y
I 2 ( x y z ) d xdydz
1
1
封
6
例1 用Gauss公式计算 其中为柱面 及平面z = 0,z = 3所围空间 z 闭域 的整个边界曲面的外侧. 3 解 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 利用Gauss 公式, 得 原式 = ( y z ) d x d y d z (用柱坐标)
Dx y
h d xd y
z
2
利用重心公式, 注意 x y 0
4 2 z d x d ydz h
1 h h
o x
第六节 Gauss公式、通量与散度
1 lim S →M V
vn dS = ( ∂X + ∂Y + ∂Z )( x, y, z ) ∫∫ ∂x ∂y ∂z S
上式左端的极限称为向量场 v 在点 M ( x, y, z ) 处的散度， 处的散度， 记作 divv. 即
Σ1取上侧， 取上侧，
⋅h
Σ
构成封闭曲面， Σ + Σ1构成封闭曲面， Σ + Σ1围成空间区域 Ω .
在Ω上使用高斯公式 ,
Dxy
o
y
x
z
Σ + Σ1
( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ∫∫
Σ1
⋅h
Σ
= 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dv
Ω
Dxy
1 ∂X ∂Y ∂Z = + + ) 应用积分中值定理， 应用积分中值定理， ( ∂x ∂y ∂z (ξ ,η ,ζ ) V 1 lim S →M V
∫∫ v dS
n S
令V 缩成一点 M (x, y, z), 此时 (ξ ,η , ζ ) → ( x, y, z ), 因此
∂X ∂Y ∂Z ∫∫ vn dS = ( ∂x + ∂y + ∂z )( x, y, z ) S
∂X ∂Y ∂Z 由高斯公式， 由高斯公式， ∫∫∫ ( + + )dV = ∂x ∂y ∂z V
∫∫ v dS
n S
由此得
1 V
∂X ∂Y ∂Z 1 ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dV = V V
∫∫ v dS
n S
单位时间单位体积所 产生流体量的平均值
高数 高斯公式 通量与散度(正式)
P d y d z Q d z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Q cos R cos d S
v n d S
设有向量场
定义:A(x, y, z) P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z) k
Rdxdy,
(1)
或
(P x
Q y
R)dv z
( P
cos
Q cos
Rcos )dS, （1′）
这里Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ、
cosγ是Σ上点(x，y，z)处的法向量的方向余弦。
公式（1）或（1′）叫做高斯公式。
证明:
1 2 3, 1 : z z1(x, y), 2 : z z2 (x, y),
I 用柱坐标
用极坐标 1 1
1 1
o
d
xdydz(1)( Dxy
x
2
)
d
x
d
y
x
1y
2
d
0
1
dr
0
2 cos2 d 0
13
12
例6.设函数
在闭区域 上具有一阶和
二阶连续偏导数,证明格林(Green)第一公式
v
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
P u x Q u v
第四节
第八章
高斯公式 通量与散度
推广
Green 公式
Gauss 公式
一、高斯公式 二 、通量与散度
大学经典课件之高等数学——10-6高斯公式与散度
其中 Σ 是以原点为中心，边长为 体的整个表面的外侧。
a 的轴向正方
解:
由高斯公式
I = ∫∫∫ (1 + 1 + 1) dxdydz
Ω
zΣ
Σ1上
3后
Σ 2左 Σ 2右 y Σ1下
x
Σ 3前
= 3 ∫∫∫ dxdydz = 3a 3
Ω
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例 3：计算 I = ∫∫ ( x 2 cosα + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ，其中 Σ 为
= −2πR 3
xy
I 2 = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy =
+ Σ1
∴ I = −2πR
2
∫∫ 0dxdy D
=0
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例5. 计算曲面积分
x y z I = ∫∫ 3 d y d z + 3 d z d x + 3 d x d y Σr r r
二阶连续偏导数，证明 ∂v ∂u ∂ v ∂ u ∂v ∂u ∂ v r ∫∫∫ uΔvdxdydz = ∫∫ u ∂n dS − ∫∫∫ ( ∂x ∂x + ∂y ∂y + ∂z ∂z )dxdydz , Ω ∑ Ω
∂v 其中Σ 是闭区域 Ω 的整个边界曲面，取外侧， r 为函数 ∂n v ( x , y , z )沿Σ 的外法线方向的方向导数.
z
解2 加辅助平面，用高斯公式 1 I = ∫∫ xdydz + ydzdx + zdxdy R Σ下 1 1 = [ ∫∫ − ∫∫ ] = [ I1 − I 2 ] R Σ +Σ+ Σ+ R
通量与散度高斯公式通量与散度
P, Q, R在域Ω内 有一阶连续 偏导数, 2. 通量与散度 设向量场 A ( P , Q, R), P, Q, R在域G内 有一阶连续 偏导数,则 向量场 通过有向曲面 的通量为
P Q R G 内任意点处的散度为div A x y z
A n d S
z 3
o 1 x
y
3 2 1 d d z dz 0 0 0 1 9 9 2 ( ) 2 2 2
z d d d z
8
计算 227页1(3).
2 2 2 x y z 为锥体
的表面 为此曲面 外法线 的方向余弦
P ( x , y , z ) d y d z Q( x , y , z )d z d x R( x , y , z )dx d y
(Gauss 公式)
2
例1. 计算曲面积分
其中
x d y dz y dz dx z dx d y 的外侧
解 用高斯公式 原式
111)d x d y d z
的
外侧
解
F d S xd y dz y dz dx z dx d y
1 1 1) d x d y d z
3
7
dx d y d yd z 练习 计算 及平面 其中 为柱面 所围空间 闭域 的整个边界曲面 的外侧.
解: 利用Gauss 公式, 得 怎样计算 ( y z ) d x d yd z ( 原式 = 用柱坐标)
16
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
10-6高斯公式
=
∫∫{R( x, y, z2( x, y)] - R( x, y, z1( x, y)]}dxdy
Dxy
故
∫∫∫
Ω
∂R dv = ∂z
∂Ω
∫∫+Rdxdy
∫∫∫
Ω
∂R dv ∂z
YZ XZ 若Ω同时为 − 型区域和 − 型区域,
下两式也成立
三式相加可得
高斯公式
∫∫∫
Ω
∂P ∂Q ∂R + dv = ∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy + ∂x ∂y ∂z ∂Ω+
Σ
Ω
∂P ∂Q ∂R ( + + ) dv ∂x ∂y ∂z
3° °
由高斯公式可得空间立体的体积: 由高斯公式可得空间立体的体积
1 = 3
∂Ω
∫∫+xdydz + ydzdx + zdxdy
例1 计算曲面积分
(§5，例4) § ， 方法2 方法 解 (方法 )
= 3a3 .
3 3 3 例 2 计算曲面积分 I = ∫∫ x dydz + y dzdx + z dxdy, Σ
∑
=
− ∫∫ = 1 πh4 - πh4 = − 1 πh4. ∫∫ 2 2 ∑+∑ 1 ∑ 1
(方法 方法2) 方法
z
h
∑
y
π 4 =− h . 2
o x
例 4-1 设Σ是光滑的闭曲面，V是Σ所围的立体 是光滑的闭曲面， 是 所围的立体 所围的立体Ω 是光滑的闭曲面 的体积. 的矢径， 的体积 r 是点 ( x, y, z ) 的矢径， =| r | . r
第六节 高斯公式与散度解析
解 记 所围立体区域为 , 则
原积分 (z x y)dxdydz
2 0
d
1
0
d
01[z
(cos
sin
)]dz
2 0
d
01[
2
(cos
sin
)
1 2
]d
2 0
[
1 3
(cos
sin )
1]d
4
Байду номын сангаас
2 3
8
.
例2 计算 I
ez dxdy , 其中 为 z
x2 y2
u( x, y, z) , v( x, y, z)沿 的外法线方向的方向导
数.
证明: (uv
vu)dxdydz
(u
v n
v
u )ds
n
其中 是空间闭区域 的整个边界曲面.
(注
2 x 2
2 y 2
2 z 2
,称为拉普拉斯算子)
练习题答案
一、1、12 a5； 2、81 ； 3、 R4 .
5
4
z 1, z 2围成的区域 边界的外侧.
x2 y2,
解 I
ez dxdydz 2 ezdz
1 dxdy
x2 y2
1
x y 2
2
x2 y2z2
2
1
ezdz 2 0
d
z 0
d
2
2
1
ze
zdz
2 e2 .
解法二
I
ez dxdydz
x2 y2
2 d 2d 2ezdz 2 d 1d 1 ezdz
Dxy
根据曲面积分的计算法
高数之高斯公式通量与散度
高数之高斯公式通量与散度高斯公式，也称为高斯定理或高斯‐斯托克斯定理，是矢量分析中的一个重要定理，用于计算矢量场的通量与散度之间的关系。
它是高等数学课程中的一个重要知识点，也是理解物理学、电磁学等领域中的许多现象的基础。
首先，让我们先来了解一下通量和散度的概念。
通量可以理解为矢量场通过一些封闭曲面的流量，即场的一些属性通过单位面积的流量。
通量的计算可以用于解释许多自然现象，比如液体或气体的流动、电场的分布等等。
散度则是矢量场在其中一点上的变化率，表示场在该点的流入流出程度。
散度可以用于描述场的源和汇。
高斯公式则是描述通量和散度之间关系的数学公式，它的数学表达如下：∬S F·dS = ∭V(nabla·F)dV其中，∬S表示对曲面S的积分，F表示矢量场，dS表示曲面S上的面积元素，∭V表示对体积V的积分，nabla·F表示矢量场F的散度。
从公式中可以看出，高斯公式表示了一个重要的等式：其中一矢量场通过其中一封闭曲面的通量等于该场在该曲面所包围的体积中的散度的积分。
也就是说，一个矢量场通过一个封闭曲面的总流量与该场在该曲面所包围的体积中的散度的总和是相等的。
这个公式的物理意义非常重要。
比如，在电磁学中，我们可以将电场看作矢量场，通过高斯公式可以得到一个非常重要的结论：电场通过一个封闭曲面的总通量等于该曲面所包围的电荷的总电荷量的1/ε0倍，其中ε0为真空中的电介质常数。
这就是著名的高斯定律，它是电磁学的基础之一高斯公式也可以应用于流体力学中，用于计算液体或气体通过其中一曲面的流量。
在这种情况下，矢量场就是流速场，而散度就是流速场的变化率，可以描述液体或气体在其中一点上的流入流出程度。
总结起来，高斯公式是描述通量和散度之间关系的重要工具，适用于解释许多自然现象，包括电磁学、流体力学等多个领域。
通过应用高斯公式，我们可以定量地描述和计算矢量场的通量和散度之间的关系，从而更好地理解和解释现象。
10、6高斯公式通量与散度
10、6高斯公式通量与散度§10.6 高斯公式通量与散度一、高斯公式格林公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系,而高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系，这个关系可陈述如下：【定理】设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有Ω∑++=??+??+??Rdxdy Qdzdx Pdydz dv Z R y Q x P )((1) 或Ω∑γ+β+α=??+??+??dS R Q P dv z R y Q x P )cos cos cos ()((1') 这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，}γ是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦,公式(１)或(1'证：由两类曲面积分的关系，公式(1)与(1')的右端是相等的，因此这里只要证明公式(1)就可以了。
设闭区域Ω在xoy 面上的投影区域为xy D ，假定穿过Ω内部且平行z 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好是两个。
这样，可设∑由1∑，2∑和3∑三部分组成，其中1∑和2∑分别由方程),(1y x z z =和),(2y x z z =给定，这里),(),(21y x z y x z ≤，1∑取下侧，2∑取上侧；3∑是以xy D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面上的一部分，取外侧。
根据三重积分的计算法，有[]Ω-=??=??y x y x D D y x z y x z y x z y x R y x z y x R dxdy dz zRdv z R )],(,,[)],(,,[12),(),(21 (2) ∑-=1)],(,,[),,(1xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R∑=2)],(,,[),,(2xyD dxdy y x zy x R dxdy z y x R因为3∑上任意一块曲面在xoy 面上的投影为零，所以直接根据对坐标的曲面积分的定义可知∑=30),,(dxdy z y x R把以上三式相加，得∑-=xyD dxdy y x z y x R y x zy x R dxdy z y x R )]},(,,[)],(,,[{),,(12(3)比较(2)、(3)两式，得Ω∑=??dxdy z y x R dv z R),,( 如果穿过Ω内部且平行于x 轴的直线以及平行于y 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点恰好有两点，那么类似地可得Ω∑=??dydz z y x P dv x P),,( Ω∑=??dzdx z y x Q dv y Q),,( 把以上三式两端分别相加，即得高斯公式(1)。
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Ò cos
rv,
nv
dS
1 2
x r
cos
y r
cos
z r
cos
dS
1 2
x r
dydz
y r
dzdx
z r
dxdy
1 2
V
x
x r
y
y r
z
z r
dxdydz
V
dxdydz r
13
2）当 (0, 0, 0) intV V 内取
S x2 y2 z2 2 取内侧
1.P,Q, R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3. S 是取闭曲面的外侧.
5
例1. 用Gauss 公式计算
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解: 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
z
利用Gauss 公式, 得
1: z h, (x, y) Dxy : x2 y2 h2 , 取上侧
记 , 1所围区域为 , 则
在 1 上
π 2
,
0
I (
)(x2 cos y2 cos z2 cos ) d S
1 1
2 (x y z) d x d y d z Dxy h2 d x d y 7
I
3
原式 =
利用质心公式,
注意
y
0,
z
3 2
O
x1
y
思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?
若 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?
6
例2. 利用Gauss 公式计算积分
z
1 h
其中 为锥面 x2 y2 z2 介于z = 0及 z = h
之间部分的下侧, , , 为法向量的方向角.
O
x
y
解: 作辅助面
其中 取外侧.
下面先证:
R z
d
x
d
y
d
z
R
d
x
d
y
(Gauss 公式)
2
高斯
证明: 设
称为XY -型区域 , 1 2 3, 1 : z z1(x, y),
2 : z z2 (x, y),则
z
R d x d y d z z
dxd y
Dx y
z2(x,y) R d z z1(x, y) z
第六节
第十一章
高斯公式 *通量与散度
推广
Green 公式
Gauss 公式
一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
*三、通量与散度
1
一、高斯 ( Gauss ) 公式
定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的双侧闭曲 面 所围成, 函数 P, Q, R 在 上有连续的
一阶偏导数 , 则有
P d y d z Q d z d x Rdx d y
Dx y
R(x,
y,
z2
(x,
y))
O
R(x, y, z1(x, y) ) d x d y
x
2
3 1
Dxy y
R
d
x
d
y
2
1
3
R
d
x
d
y
Dx
R(
y
x,
y,
z
2
(
x,
y))dxdy
R(
Dx y
x,
y,
z1
(
x,
y))
d
xdy
3
定理1
所以
R z
d
x
d
y
d
z
R
d
x
d
y
若 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面
z 2
1 : z 1 (x, y) Dxy : x2 y2 1
I 用柱坐标
用极坐标 1 1
1 1
d
x
d
ydz
(1)
( Dxy
x
2
)
d
x
d
y
O 1y x Dx y
2π
d
0
1
rdr
0
2π cos2 d 0
π
4
9
例4. 设函数
在闭区域 上具有一阶和
二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 P u v
证:令
P
u
v x
,
Q
u
v y
,
R
u
v , z
由高斯公式得
2v x2
2v y2
2v z2
v
v
v
x y z
注意 :高 斯u 公v式x cos
vPcosQ
yx y
vRcods x
zz
d
dydSz
移项即得所证公式. P d y d z Q d z d x R d x d y
11
例
证明
V
dxdydz r
2
(x
y
z)d
xdydz
Dxy
h2
d
xd
y z
利用质心公式, 注意 x y 0
பைடு நூலகம்
2 z d x d ydz π h4
1 h
先二后一
2
h
z
π
z
2
d
z
0
πh4
1 2
π
h4
O
y
x
思考: 计算曲面积分 (z2 x) d y d z z d x d y, z
介于平面 z= 0 及 z = 2
2
之间部分的下侧.
提示: 作取上侧的辅助面 1: z 2,
Oy
(x, y) Dxy : x2 y2 4 x
8
例3. 设 为曲面 z 2 x2 y2, 1 z 2 取上侧, 求
I (x3z x) d y d z x2 yz d z d x x2z2 d x d y.
解: 作取下侧的辅助面
u
2v x2
2v y2
2v z2
d
x
d
y
d
z
x Q u v
y
u
v x
cos
v y
cos
v z
cos
d
S
R u v z
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y 10
• 若 G 内任一闭曲线总可以张成一片全属于 G 的曲面 则, 称 G 为空间一维单连通域 .
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
V x2 y2 z2 2
dxdydz 1
cos
r
,
：
n
dS
1
cosr,ndS 2 2
r V V
2 US
2
：
令 0 即可证明结论.
14
*二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件
1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , • 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ;
将其分割成若干个 XY–型区域, 在辅助面
正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 .
类似可证
P x
d
x
d
y
d
z
Pd
y
d
z
Q y
d
x
d
y
d
z
Qd
z
d
x
三式相加, 即得所证 Gauss 公式：
P
x
Q y
R z
d
xd
ydz
P d y d z Q d z d x R d xdy
4
定理1
Gauss公式表达了空间闭区域上的三重积分与 其边界曲面上的曲面积分之间的关系. 使用Gauss公式时应注意:
是包围 V 的曲面,
n12为Ò cos的rv外, n法v线ds方向,
r x2 y2 z2 rv ( x, y, z) (0, 0, 0)
证明 因为 r的方向余弦为 x , y , z
r rr
cosrv, nv x cos y cos z cos
r
r
r
12
1）当 0,0,0 V
1 2