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式中：A为常数，ci和di分别表示H(z)的零点和极点。由于H(z)的
分子和分母都是实系数多项式，而实系数多项式的根只有实根和
共轭复根两种情况。将每一对共轭零点（极点）合并起来构成一
个实系数的二阶因子，并把单个的实根因子看成是二次项系数等
于零的二阶因子，则可以把H(z)表示成多个实系数的二阶数字网
络Hj(z)的连乘积形式， 如式(5-5)
…
aN－ 1
aN
z－ 1 y(n－N)
从图上可以看出，直接Ⅰ型结构需要2N个延时器和
2N+1个乘法器。
5.2.2 直接Ⅱ型
直接Ⅱ型结构又称为正准型结构。由图5-2，直接Ⅰ型结构 的系统函数H(z)也可以看成是两个独立的系统函数的乘积。输 入信号x(n)先通过系统H1(z)，得到中间输出变量y1(n)，然后再 把y1(n)通过系统H2(z)得到输出信号y(n)。 即
01
z－ 1
11
11
z－ 1
21
21
…
Hale Waihona Puke BaiduK
z－ 1
…
1K
1K
z－ 1
2K
2K
y(n)
图 5-5 级联型结构
在级联型结构中，每一个一阶网络只关系到滤波器的一个 零点、一个极点；每个二阶网络只关系到滤波器的一对共轭零 点和一对共轭极点。调整系数β0j、β1j和β2j只会影响滤波器的第j 对零点，对其他零点并无影响；同样, 调整分母多项式的系数α1j 和α2j也只单独调整了第j对极点。因此，与直接型结构相比， 级 联型结构便于准确地实现滤波器零、极点的调整。此外，因为 在级联结构中，后面的网络的输出不会流到前面，所以其运算 误差也比直接型小。
x(n) x(n)
x1(n)
x(n－ 1) z－ 1
ax(n)
a x1(n)＋x2(n)
x(n)
z－ 1
x(n－ 1)
x(n)
a
ax(n)
x1(n)
x1(n)＋x2(n)
x2(n)
x2(n)
图 5-1 三种基本运算的流图
5.2 IIR滤波器的结构
5.2.1 直接型（Ⅰ型） 一个N阶的IIR滤波器的输入输出关系可以用如式（5-1）
比较图5-2和图5-4可知: 直接Ⅱ型比直接Ⅰ型结构延时单元 少，用硬件实现可以节省寄存器，比直接Ⅰ型经济；若用软件实 现则可节省存储单元。但对于高阶系统直接型结构都存在调整零、 极点困难，对系数量化效应敏感度高等缺点。
x(n)
b0
y(n)
a1 z－ 1
b1
a2 z－ 1
b2
…
…
… …
…
aN－ 1 aN z－ 1
数字滤波器一般可以用两种方法实现：
一种是根据描述数字滤波器的数学模型或信号流 图，用数字硬件装配成一台专门的设备，构成专 用的信号处理机；
另一种方法就是直接利用通用计算机，将所需要 的运算编成程序让计算机来执行， 这也就是用软 件来实现数字滤波器。
数字滤波器是离散时间系统，所处理的信号是离散时间信号。 一般时域离散系统或网络可以用差分方程、单位脉冲响应以及系 统函数进行描述。如果系统输入、输出服从N阶差分方程
:
K
H (z) A H j (z)
(5-5)
j 1
式中：
H j(z)
0 j 1 j z1 2 j z2 1 1 j z1 2 j z2
若每一个实系数的二阶数字网络的系统函数Hj(z)的网络结 构均采用前面介绍的直接Ⅱ型结构，则可以得到系统函数H(z) 的级联型结构，如图5-5所示。
x(n) A
bN－ 1 bN
图 5-4 直接Ⅱ型结构
5.2.3 级联型
若把式(5-2)描述的N阶IIR滤波器的系统函数H(z)的分子和
分母分别进行因式分解，得到多个因式连乘积的形式
M
M
bi zi
(1 ci z1)
H(z)
i0 N
A
i 1 N
1 ai zi
(1 di z1)
(5-4)
i 1
i 1
所 示的N阶的差分方程来描述。 把式（5-1）重写如下：
M
N
y(n) bi x(n 1) ai y(n i)
i0
i 1
… …
… … …
x(n)
b0
x(n－ 1) z－ 1 b1 x(n－ 2) z－ 1 b2
x(n－N)
bN－ 1 z－ 1 bN
y(n)
a1
z－ 1 y(n－ 1)
a2
z－ 1 y(n－ 2)
H (z) H1(z)H2(z) H2(z)H1(z)
若系统函数H(z)的分子阶数和分母阶数相等，即M=N时，其 结构如图5-3所示。
x(n)
y2(n)
b0
y(n)
a1 a2
z－ 1 z－ 1
y2(n－ )1 y2(n－ )2
z－ 1 b1 z－ 1 b2
…
…
… … … …
aN－ 1 aN z－ 1
y2(n－N)
bN－ 1 z－ 1 bN
图 5-3 直接Ⅰ型的变形结构
输入信号x(n)先经过反馈网络H2(z)，得到中间输出变量
N
y2 (n) ai y2(n i) x(n)
i 1
然后，将y2(n)通过系统H1(z)，得到系统的输出y(n)
M
y(n) bi y2(n i)
i0
结构图5-3中有两条完全相同的对中间变量y2(n)进行延迟的 延时链，我们可以合并这两条延时链，得到如图5-4所示的直接 Ⅱ型结构（图中取M=N）。
H (z) H1(z)H2(z)
M
bi zi
i0 N
1 ai zi
i 1
式中,
M
H1(z) bi zi
i0
对应的差分方程为:
M
y1(n) bi x(n i)
i0
1 H2(z) N
1 ai zi
i 1
对应的差分方程为
N
y(n) ai y(n i) y1(n)
i 1
假设所讨论的IIR数字滤波器是线性非时变系统，显然交换 H1(z)和H2(z)的级联次序不会影响系统的传输效果，即
M
N
y(n) bi x(n i) ai y(n i)
i0
i 1
则其系统函数，即滤波器的传递函数为
M
bi zi
H(z)
i0 N
1 ai zi
i 1
(5-1) (5-2)
例如：
H (z)
1 1 3z1 2z2
2 1 2z1
1
1 z
1
1
1 2 z 1
1 1 z1
(5-3)
观察式(5-3)可知，对应于每一种不同的运算结构，我们都可 以用三种基本的运算单元：乘法器、加法器和单位延时器来 实现。这三种基本运算单元的常用流图表示方法如图4-1 所 示。
第5章 数字滤波器的基本结构
5.1 数字滤波器结构的表示方法 5.2 IIR滤波器的基本结构 5.3 FIR滤波器的基本结构
5.1 数字滤波器的结构特点与表示方法
数字滤波器是数字信号处理的一个重要组成 部分。数字滤波实际上是一种运算过程，其功能 是将一组输入的数字序列通过一定的运算后转变 为另一组输出的数字序列，因此它本身就是一台 数字式的处理设备。