初二数学培优 思维训练(截长补短)
初二数学 数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(附解析
初二数学 数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(附解析一、全等三角形截长补短1．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．2．（1）问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°，E 、F 分别是BC ，CD 上的点且∠EAF ＝60°，探究图中线段BE 、EF 、FD 之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，先证明 ABE ≌ADG ，再证明AEF ≌AGF ，可得出结论，他的结论应是______________；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF 12=∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西30°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两地分别到达E 、F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．3．阅读题：如图1，OM 平分AOB ∠，以O 为圆心任意长为半径画弧，交射线OA ，OB 于C ，D 两点，在射线OM 上任取一点E （点O 除外），连接CE ，DE ，可证OCE ODE △△≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC 中，2A B ∠=∠，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，试判断BC 与AC 、AD 之间的数量关系；（2）如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，10BC CD ==，20AB =，8AD =，求ABC 的面积．4．已知等边三角形ABC ，D 为△ABC 外一点，BDC 120∠=︒，BD=DC ，MDN 60∠=︒，射线DM 与直线AB 相交于点M ，射线DN 与直线AC 相交于点N ． （1）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，直接写出BM 、NC 、MN 之间的数量关系；（2）当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM ≠DN 时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明；（3）当点M 、N 在边AB 、CA 的延长线上时，请画出图形，并求出BM 、NC 、MN 之间的数量关系．5．如图1，在四边形ABCD 中，,,AB AD BC CD AB BC ⊥⊥=，2ABC EBF ∠=∠，它的两边分别交AD DC 、点,E F ．且AE CF ≠．()1求证：.EF AE CF =+()2如图2，当MBN ∠的两边分别交,AD DC 的延长线于点,E F ，其余条件均不变时，()1中的结论是否成立？如果成立，请证明．如果不成立，线段,,AE CF EF 又有怎样的数量关系？并证明你的结论．6．如图，四边形ABCD 为矩形，F 为对角线BD 上一点，过点F 作FE BD ⊥交AD 于点H ，交BA 的延长线于点E ，连接AF ，当FD FE =时，求证：2AH AB AF +=．7．已知等腰ABC ∆中，AB AC =，点D 在直线AB 上，//DE BC ，交直线AC 于点E ，且BD BC =，CH AB ⊥，垂足为H ．（1）当点D 在线段AB 上时，如图1，求证BH DE DH +=；（2）当点D 在线段BA 的延长线上时，如图2；当点D 在线段AB 延长线时，如图3，线段BH ，DE ，DH 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需要证明． 8．思维探索：在正方形ABCD 中，AB ＝4，∠EAF 的两边分别交射线CB ，DC 于点E ，F ，∠EAF ＝45°． （1）如图1，当点E ，F 分别在线段BC ，CD 上时，△CEF 的周长是 ；（2）如图2，当点E ，F 分别在CB ，DC 的延长线上，CF ＝2时，求△CEF 的周长； 拓展提升：如图3，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，过点B 作BD ⊥BC ，连接AD ，在BC 的延长线上取一点E ，使∠EDA ＝30°，连接AE ，当BD ＝2，∠EAD ＝45°时，请直接写出线段CE 的长度．9．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，且AE 、BE 交CD 于点E ．试说明AD ＝AB ﹣BC 的理由．10．已知平行四边形ABCD 中，N 是边BC 上一点，延长DN 、AB 交于点Q ，过A 作AM ⊥DN 于点M ，连接AN ，则AD ⊥AN ．（1）如图①，若tan ∠ADM ＝34，MN ＝3，求BC 的长； （2）如图②，过点B 作BH ∥DQ 交AN 于点H ，若AM ＝CN ，求证：DM ＝BH +NH ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠=，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度. 2．（1）EF ＝BE +DF ；（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里【分析】（1）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （2）延长FD 到点G ，使DG=BE ．连结AG ，即可证明ABE≌ADG ，可得AE=AG ，再证明AEF ≌AGF ，可得EF=FG ，即可解题； （3）连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，然后与（2）同理可证．【详解】解：（1）EF ＝BE +DF ，证明如下： 在ABE 和ADG 中， DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ， 在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；故答案为 EF ＝BE +DF ．（2）结论EF ＝BE +DF 仍然成立；理由：延长FD 到点G ．使DG ＝BE ．连结AG ，如图2，在ABE 和ADG 中，DG BE B ADG AB AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴ABE ≌ADG （SAS ），∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ，∵∠EAF 12=∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD ﹣∠EAF ＝∠EAF ，∴∠EAF ＝∠GAF ，在AEF 和GAF 中，AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AEF ≌AGF （SAS ），∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ，∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ，∵∠AOB ＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF ＝70°，∴∠EOF1∠AOB，2又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+BF成立，即EF＝2×（45+60）＝210（海里）．答：此时两舰艇之间的距离是210海里．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键．3．（1）BC=AC+AD；（2）△ABC 的面积为80．【分析】（1）在CB上截取CE=CA，则由题意可得AD=DE，∠CED=∠A，再结合∠A=2∠B可得DE=BE，从而得到BC=AD+AC；（2）在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，由题意可得EC=BC，从而得到EF的长度，再由勾股定理根据EC、EF的长度求得CF的长度，最后根据面积公式可以得到解答．【详解】解：（1）如图，在CB上截取CE=CA，则由题意得：△CAD≌△CED，∴AD=DE，∠CED=∠A，∵∠A=2∠B，∴∠CED=2∠B，又∠CED=∠B+∠EDB，∴∠B+∠EDB=2∠B，∴∠EDB=∠B，∴DE=BE，∴BC=BE+CE=DE+CE=AD+AC；（2）如图，在AB上截取AE=AD，连结CE，过C作CF⊥AB于F点，∴由题意可得：△CDA≌△CEA，∴EC=CD=BC=10，AE=AD=8，∵CF ⊥AB ，∴EF=FB=208622AB AE --==， ∴8CF ==， ∴112088022ABC S AB CF =⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．4．（1）BM+NC=MN ，证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）NC-BM=MN ，证明见解析．【分析】（1）由DM=DN ，∠MDN=60°，可证得△MDN 是等边三角形，又由△ABC 是等边三角形，CD=BD ，易证得Rt △BDM ≌Rt △CDN ，然后由直角三角形的性质，即可求得BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ；（2）在CN 的延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，易证得∠CDN=∠MDN=60°，则可证得△MDN ≌△M 1DN ，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3）首先在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1，可证△DBM ≌△DCM 1，即可得DM=DM 1，然后证得∠CDN=∠MDN=60°，易证得△MDN ≌△M 1DN ，则可得NC-BM=MN ．【详解】解（1）BM 、NC 、MN 之间的数量关系：BM+NC=MN ．证明如下：∵BD=DC ，DM=DN ，MDN 60∠=︒∴∠BDC=∠DCB=180302BDC ，△MDN 为等边三角形， ∴MN=MD=DN ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∴∠ABD=∠ACD=90°，∴Rt △BDM ≌Rt △CDN （HL ），∴∠BDM =∠CDN=302BDC MDN ， ∴11,22BM DM NC DN , ∴BM+NC=MN ． （2）猜想：结论仍然成立．证明：在CN 的反向延长线上截取CM 1=BM ，连接DM 1．∵∠MBD=∠M 1CD=90°，BD=CD ，∴△DBM ≌△DCM 1，∴DM=DM 1，∠MBD=∠M 1CD ，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠M 1DN=∠MDN=60°，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN=M1N=M 1C+NC=BM+NC ，（3）证明：在CN 上截取CM 1=BM ，连接DM 1．与（2）同理可证△DBM ≌△DCM 1，∴DM=DM 1，与（2）同理可证∠CDN=∠MDN=60°，∴△MDN ≌△M 1DN ，∴MN=M 1N ，∴NC-BM=MN ．【点睛】本题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法．5．（1）证明见解析；（2）不成立，AE=CF+EF ，理由见详解【分析】（1）延长FC 到H ，使CH AE =，连接BH ，由题意易证BCH BAE ∆∆≌，则有HBF EBF ∠=∠，进而可证HBF EBF ∆∆≌，然后根据线段的等量关系可求解； （2）在AE 上截取AH=CF ，连接BH ，然后根据题意易证△ABH ≌△CBF ，则有BH=BF ，∠ABH=∠CBF ，进而可得△EBF ≌△EBH ，最后根据线段的等量关系可求解．【详解】()1证明：延长FC 到H ，使CH AE =，连接BH ，如图所示：,AB AD BC CD ⊥⊥，90A BCH ∴∠=∠=︒，在BCH ∆和BAE ∆中BC BA BCH A CH AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BCH BAE SAS ∴∆∆≌，,BH BE CBH ABE ∴=∠=∠，2ABC EBF =∠∠，ABE CBF EBF ∴∠+∠=∠，HBC CBF EBF ∴∠+∠=∠，HBF EBF ∴∠=∠在HBF ∆和EBF ∆中BH BE HBF EBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()HBF EBF SAS ∴∆∆≌HF EF ∴=，HF HC CF AE CF =+=+EF AE CF ∴=+；（2）不成立，AE=CF+EF ，理由如下：在AE 上截取AH=CF ，连接BH ，如图所示：,AB AD BC CD ⊥⊥，90A BCF ∴∠=∠=︒，∵AB=CB ，∴△ABH ≌△CBF （SAS ），∴BH=BF ，∠ABH=∠CBF ，∵2ABC EBF ∠=∠，∠EBF=∠CBF+∠CBE ，∠ABC=∠CBE+∠EBH+∠ABH ，∴∠EBF=∠EBH ，∵EB=EB ，∴△EBF ≌△EBH （SAS ），∴CF=AH ，EF=EH ，∵AE=AH+HE ，∴AE=CF+EF ．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．6．见解析【分析】过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，先证明()EFN DFA ASA △≌△，可得N DAF ∠=∠，FN AF =，从而可以证明()AHF NBF ASA △≌△，可证得AH BN =，即可得证2AH AB +=．【详解】证明：如图，过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，EF DF ⊥，EA AD ⊥，90E ABD ∴∠+∠=︒，90ADF ABD ∠+∠=︒，E ADF ∴∠=∠，90AFN EFD ∠=∠=︒，AFD EFN ∴∠=∠，在EFN 和DFA 中，,,,EFN DFA EF DF E ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EFN DFA ASA ∴△≌△，N DAF ∴∠=∠，FN AF =，又90AFN ∠=︒， 2AN AF ∴=，90AFN EFB ∠=∠=︒，AFH BFN ∴∠=∠，在AHF △和NBF 中，,,,AFH NFB AF NF HAF N ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AHF NBF ASA ∴△≌△，AH BN ∴=，2AH AB BN AB AN AF ∴+=+==．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 7．（1）见解析；（2）图2：BH DE DH -=；图3：DE BH DH -=【分析】（1）在线段AH 上截取HM=BH ，连接CM ，CD ，证明△DMC ≌△DEC ，即可可得DE=DM 则结论可得；（2）当点D 在线段BA 延长线上时，在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DH=BH-DE ；当点D 在线段AB 延长线上时，在线段AB 上截取BH=HM ，连接CM ，CD ，由题意可证△BHC ≌△CHM ，可得∠B=∠CMB ，由题意可得∠B=∠AED ，即可证△DMC ≌△DEC ，可得DE=DM ，则可得DE=DH+BH ．．【详解】解：（1）证明：在AH 上截取HM BH =，连接CM ，CD ．∵CH AB ⊥，HM BH =∴CM BC =．∴B CMB ∠=∠．∵AB AC =∴B ACB ∠=∠．∵//DE BC ，∴ADE B AED ACB ∠=∠=∠=∠，CDE BCD ∠=∠．∴AED BMC ∠=∠．∴DEC DMC ∠=∠．∵BD BC =，∴BDC BCD EDC ∠=∠=∠．∵CD CD =，∴ΔΔCDM CDE ≅．∴DM DE =．∴DE BH DM HM DH +=+=．（2）当点D 在线段BA 延长线上时，DH=BH-DE如图：在BA 的延长线上截取MH=BH ，连接CM ，DC∵AB=AC∠ABC=∠ACB，∵BD=BC，∴∠BDC=∠DCB∵DE∥BC∠E=∠ACB=∠B=∠EDB∵CH=CH，BH=MH，∠BHC=∠CHM∴△BHC≌△CHM∴∠B=∠M∴∠E=∠M∵∠MDC=∠B+∠DCB，∠EDC=∠BDC+∠EDB ∴∠MDC=∠EDC又∵∠E=∠M，DC=CD∴△DEC≌△DMC∴DE=DM∵DH=MH-DM∴DH=BH-DE当点D在线段AB延长线上时，DE=BH+DH如图在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CDBH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90°∴△MHC≌△BHC∴∠ABC=∠BMC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD∵BC∥DE∴∠BCD=∠CDE，∠ACB=∠AED∴∠BDC=∠CDE，∠BMC=∠AED，且CD=CD ∴△CDM≌△CDE∴DE=DM∵DM=DH+HM∴DE=DH+BH．【点睛】本题考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定．添加恰当的辅助线证全等是本题的关键．8．思维探索：（1）8；（2）12；拓展提升：CE1．【分析】思维探索：（1）利用旋转的性质，证明△AGE≌△AFE即可；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，证明△AEF≌△AGF即可求得EF＝DF﹣BE；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，推出四边形ACBG是矩形，得到矩形ACBG是正方形，根据正方形的性质得到AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，根据全等三角形的性质得到AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∠ADF＝∠ADE＝30°，解直角三角形得到DE＝DF＝4，BE＝CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝x，根据线段的和差即可得到结论．【详解】思维探索：（1）如图1，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，∴GB＝DF，AF＝AG，∠BAG＝∠DAF，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BAD＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF，在△AGE和△AFE中AG AFGAE EAF AE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AGE≌△AFE（SAS），∴GE＝EF，∵GE＝GB+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+BE+DF+CF＝BC+CD＝8，故答案为：8；（2）如，2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°到AD，交CD于点G，同（1）可证得△AEF≌△AGF，∴EF＝GF，且DG＝BE，∴EF＝DF﹣DG＝DF﹣BE，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+DF﹣BE＝BC+DF+CF＝4+4+2+2＝12；拓展提升：如图3，过A作AG⊥BD交BD的延长线于G，∵BD⊥BC，∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBG＝∠G＝90°，∴四边形ACBG是矩形，∵AC＝BC，∴矩形ACBG是正方形，∴AC＝AG，∠CAG＝90°，在BG上截取GF＝CE，∴△AEC≌△AGF（SAS），∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAG，∵∠EAD＝∠BAC＝∠GAB＝45°，∴∠DAF＝∠DAE＝45°，∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADF（SAS），∴∠ADF＝∠ADE＝30°，∴∠BDE＝60°，∵∠DBE＝90°，BD＝2，∴DE＝DF＝4，BE＝23，设CE＝x，则GF＝CE＝x，BC＝BG＝23﹣x，∴DG＝2+23﹣x，∴DG﹣FG＝DF，即2+23﹣x﹣x＝4，∴x＝3﹣1，∴CE＝3﹣1．【点睛】本题以正方形为背景，结合旋转，三角形全等，解直角三角形进行综合性考查，熟知常见的全等模型，旋转性质，三角形的判定及性质，正方形，矩形的性质是解题的关键．9．见解析【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C ＝∠BFE ，即可证明△BEC ≌△BEF ，可得BF ＝BC ，即可解题．【详解】证明：在AB 上找到F 使得AF ＝AD ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠EAD ＝∠EAF ，∵在△AEF 和△AED 中，AD AF EAD EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AED ，（SAS ）∴AF ＝AD ，∠AFE ＝∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠D ＋∠C ＝180°，∵∠AFE ＋∠BFE ＝180°∴∠C ＝∠BFE ，∵BE 平分∠BAD ，∴∠FBE ＝∠C ，∵在△BEC 和△BEF 中，BFE C FBE CBE BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BEC ≌△BEF ，（AAS ）∴BF ＝BC ，∵AB ＝AF ＋BF ，∴AB ＝AD ＋BC ，即AD ＝AB ﹣BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF ≌△AED 和△BEC ≌△BEF 是解题的关键．10．（1）BC ＝203；（2）见解析. 【分析】（1）如图①中，设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，由△ADM∽△NDA，可得AD2＝DM•AN，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．证明△ADK≌△CBH （SAS），推出AK＝CH，再证明Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），推出MK＝HN即可解决问题．【详解】（1）解：如图①中，∵AM⊥DN，∴∠AMD＝90°，∵tan∠ADM＝AIIDN＝34，∴可以假设AM＝3k，DM＝4k，则AD＝5k，∵AD⊥AN，∴∠DAN＝90°＝∠AMD，∵∠ADM＝∠ADN，∴△ADM∽△NDA，∴AD2＝DM•AN，∴（5k）2＝4k（4k+3），解得k＝43，∴AD＝203，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝203．（2）证明：如图②中，连接CH，在DM上取一点K，使得DK＝BH．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠ADK＝∠BNQ，∵BH∥DQ，∴∠CBH＝∠BNQ，∴∠ADK＝∠CBH，∵DK＝BH，DA＝BC，∴△ADK≌△CBH（SAS），∴AK＝CH，∵AM⊥DQ，AN⊥AD，AD∥BC，∴AN⊥BC，∴∠AMK＝∠CNH＝90°，∵AM＝CN，∴Rt△AMK≌Rt△CNH（HL），∴MK＝NH，∴DM＝DK+MK＝BH+HN．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握解直角三角形、相似三角形的性质以及判定定理、全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键．。
初二数学练习题(二)截长补短法之欧阳治创编
初二数学练习题（二）
----------------------截长补短法专项训练
1、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：AD 平分∠CDE
2、如图，已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，若∠DAB 的平分线AE 交CD 于E ，连结BE ，且BE 恰好平分∠ABC ，
判断AB 的长与AD ＋BC 的大小关系并证明.
3、已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°
4、如图，已知点C 是∠MAN 的平分线上一点，CE ⊥AB 于E ，B 、D 分别在AM 、AN 上，且AE =12（AD +AB ）. 问：∠1和∠2有何关系.
5、如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB
于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，判断CF 与GB 的大小关系并证明。
6、如图，△ABC 中，∠ABC =60°，AD 、CE 分别平分∠BAC ，∠ACB ，判断AC 的长与AE +CD 的大小关系并证明.
A B C
D 图1-1。
初二数学截长补短法精题绝练(超实用版)
因式分解易错点新解在分解因式时，应注意观察题目本身的特点，灵活选择恰当的方法，正确熟练地进行因式分解，采用“一提二套三查”法，即：首先看它是否有公因式，有公因式的要先提取公因式，再看这个多项式是几项式，若是二项式，就考虑能否运用平方差公式分解因式；若是三项式，就考虑能否运用完全平方公式分解因式，同时，在分解因式时，一定要分解到每一个因式都不能再分解为止。
然而同学们在实际运用中总是存在一定的错误，为了更好的帮助同学们理解因式分解，我将从几个易错点入手带领大家走出误区。
易错点一：用提公因式法分解因式时易漏项易错点导析：运用提公因式法分解因式，当多项式的某一项和公因式相同时，提取公因式后剩余的项为1，而部分初学者却让1“不翼而飞”了。
例如：28422(42)a b ab a a ab b -+=-，原多项式中有三项，但提取公因式后另一个因式仅有两项了，这是错误的，正确的是：28422(421)a b ab a a ab b -+=-+，为避免这种错误，可以用整式的乘法进行检验。
【例】分解因式：2212246a b ab ab -+错解：22122466(24)12(2)a b ab ab ab a b ab a b -+=-=-错解分析：此题中的公因式为6ab ，提公因式后，漏掉了为1的项，注意用整式的乘法进行检验，就可避免此类错误。
正解：22122466(241)a b ab ab ab a b -+=-+易错点2：运用完全平方公式时漏解出错易错点导析：我们知道，完全平方公式有两个，两数和的完全平方和两数差的完全平方，二者不能互相代替，有的同学对完全平方公式的特点把握不准，因而在解答相关题目时出现漏解错误，只有正确理解完全平方公式，熟记完全平方公式的结构特点，才能有效避免这类错误。
【例】若21364y ay ++是完全平方公式，求a 的值。
错解：2221136()642y ay y ay ++=++，所以1262ay y =⨯⨯，即12662a =⨯⨯= 错误分析：本题的错误之处是漏掉了a 为负数的情况。
初二数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案
初二数学数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案一、全等三角形截长补短1．如图，已知B (-1, 0)，C (1, 0)，A 为y 轴正半轴上一点，AB =AC ，点D 为第二象限一动点，E 在BD 的延长线上，CD 交AB 于F ，且∠BDC =∠BAC .（1）求证：∠ABD =∠ACD ；（2）求证：AD 平分∠CDE ；（3）若在D 点运动的过程中，始终有DC =DA +DB ，在此过程中，∠BAC 的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC 的度数？2．如图，△ABC为等边三角形，直线l经过点C，在l上位于C点右侧的点D满足∠BDC＝60°．（1）如图1，在l上位于C点左侧取一点E，使∠AEC＝ 60°，求证：△AEC≌△CDB；（2）如图2，点F、G在直线l上，连AF，在l上方作∠AFH ＝120°，且AF＝HF，∠HGF ＝120°，求证：HG＋BD＝CF；（3）在（2）的条件下，当A、B位于直线l两侧，其余条件不变时（如图3），线段HG、CF、BD的数量关系为．3．如图，在ABC 中，AC BC =，AD 平分CAB ∠．（1）如图1，若90ACB =︒，求证：AB AC CD =+；（2）如图2，若AB AC BD =+，求ACB ∠的度数；（3）如图3，若100ACB ∠=︒，求证：AB AD CD =+．4．已知在四边形ABCD 中，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠BAD ＋∠BCD ＝180°，AB ＝BC （1）如图1，连接BD ，若∠BAD ＝90°，AD ＝7，求DC 的长度．（2）如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ ＝AP ＋CQ ，求证：∠PBQ ＝∠ABP ＋∠QBC（3）若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ ＝AP ＋CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程．5．问题提出，如图1所示，等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是AB 上的任意一点，连结PA ，PB ，PC ．线段PA 、PB 、PC 满足怎样的数量关系?（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB ，∠ACB=60°，从而将CP 绕点逆时针旋转60°交PB 延长线于点M ，从而证明△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是；（自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，①PC与PA，PB有怎样的数量关系?请说明理由：②PC+PD与PA，PB的数量关系是．（直接写出结果）（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE与PA+PB的数量关系是．（直接写出结果）6．如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E为菱形ABCD内对角线BD左侧一点，连接BE、CE、DE．（1）若AB＝6，求菱形ABCD的面积；（2）若∠BED＝2∠A，求证：CE＝BE+DE．⊥交AD于7．如图，四边形ABCD为矩形，F为对角线BD上一点，过点F作FE BD点H，交BA的延长线于点E，连接AF，当FD FE=时，求证：2AH AB AF+=．8．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的角平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM=EC ，易证△AME ≌△ECF ，所以AE=EF ．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．9．在数学活动课上，数学老师出示了如下题目：如图①，在四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 是BAD ∠的平分线，AD BC ∥．求证：AB AD BC =+．小聪同学发现以下两种方法：方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点F ．方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CG ．（1）请你任选一种方法写出这道题的完整的证明过程；（2）如图④，在四边形ABCD 中，AE 是BAD ∠的平分线，E 是边CD 的中点，60BAD ∠=︒，11802D BCD ∠+∠=︒，求证：CB CE =．10．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）见解析；（2）见解析；（3）∠BAC 的度数不变化．∠BAC=60°．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理等量代换可得结论；（2）作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ，证明△ACM ≌△ABN 即可；（3）用截长补短法在CD 上截取CP=BD ，连接AP ，证明△ABD ≌△ACP ，由全等性质可知△ADP 是等边三角形，易知∠BAC 的度数.【详解】（1）∵∠BDC=∠BAC ，∠DFB=∠AFC ，又∵∠ABD+∠BDC+∠DFB=∠BAC+∠ACD+∠AFC=180°，∴∠ABD=∠ACD ；（2）过点A 作AM ⊥CD 于点M ，作AN ⊥BE 于点N ．则∠AMC=∠ANB=90°．∵OB=OC ，OA ⊥BC ，∴AB=AC ，∵∠ABD=∠ACD，∴△ACM≌△ABN （AAS）∴AM=AN．∴AD平分∠CDE．（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（3）∠BAC的度数不变化．在CD上截取CP=BD，连接AP．∵CD=AD+BD，AD=PD．∵AB=AC，∠ABD=∠ACD，BD=CP，∴△ABD≌△ACP．∴AD=AP；∠BAD=∠CAP．∴AD=AP=PD，即△ADP是等边三角形，∴∠DAP=60°．∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=∠BAP+∠BAD=60°．【点睛】本题考查了三角形的综合，主要考查了三角形内角和定理、全等三角形的证明和性质，等腰等边三角形的性质和判定，采用合适的方法添加辅助线构造全等三角形是解题的关键. 2．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）HG=CF+BD．【分析】（1）先利用角的和差证明∠BCD=∠EAC，然后利用AAS即可证明△AEC≌△CDB；（2）在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，依次证明△AEC≌△CDB和△HGF≌△FEA即可得出结论；（3）在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，依次证明△ACE≌△CBM和△HGF≌△FEA即可得出结论．【详解】解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∴∠BCD+∠ACE=120°，∵∠AEC=60°，∴∠ACE+∠EAC=120°，∴∠BCD=∠EAC，在△AEC和△CDB中∵60 AEC BDCBCD EACAC BC∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△AEC≌△CDB（AAS）；（2）证明：如图2，在l上C点左侧取一点E，使∠AEC=60°，连接AE，由（1）知：△AEC≌△CDB，∴BD=CE，∵∠AEC=60°，∴∠AEF =120°，∵∠AFH ＝120°，∴∠AFE+∠FAE=∠AFE+∠GFH=60°，∴∠FAE=∠GFH，∵∠HGF=∠AEF=120°，AF=FH，∴△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=EF，∴CF=EF+CE=HG+BD；（3）解：HG=CF+BD，理由是：如图3，在l上位于C点右侧取一点E，使∠AED=60°，连接AE，在l上取一点M，使BM=BD，∵∠BDC=60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠BMD=60°，∵∠AED=60°，∴∠AEC=∠CMB=120°，∵∠ACB=60°，∴∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠CAE=60°，∴∠CAE=∠BCE，∵AC=BC，∴△ACE≌△CBM（AAS），∴CE=BM=BD，由（2）可证△HGF≌△FEA（AAS），∴GH=FE，∵EF=CF+CE∴HG=CF+BD．故答案为：HG=CF+BD．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判断，三角形外角的性质等．掌握一线三等角的模型，能借助一线三等角证明对应角相等是解题关键．3．（1）见详解；（2）108°；（3）见详解【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，90ACB=︒，得ABC是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论；（2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−12α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD ＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA ＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB 上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论．【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，∴在ABC中，AC BC=，∴∠ABC＝45°，∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，∴CD＝MD，∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD，在RT△ADC和RT△ADM中，CD MD AD AD ⎧⎨⎩＝＝， ∴RT △ADC ≌RT △ADM （HL ），∴AC ＝AM ，∴AB ＝AM ＋BM ＝AC ＋CD ，即AB ＝AC ＋CD ；（2）设∠ACB ＝α，则∠CAB ＝∠CBA ＝90°−12α， 在AB 上截取AK ＝AC ，连结DK ，如图2，∵AB ＝AC ＋BD ，AB=AK+BK∴BK ＝BD ，∵AD 是角平分线，∴∠CAD ＝∠KAD ，在△CAD 和△KAD 中，AC AK CAD KAD AD AD ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CAD ≌△KAD （SAS ），∴∠ACD ＝∠AKD ＝α，∴∠BKD ＝180°−α，∵BK ＝BD ，∴∠BDK ＝180°−α，∴在△BDK 中，180°−α＋180°−α＋90°−12α＝180°， ∴α＝108°，∴∠ACB ＝108°；（3）如图3，在AB 上截取AH ＝AD ，连接DH ，∵∠ACB ＝100°，AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝40°，∵AD 是角平分线，∴∠HAD ＝∠CAD ＝20°，∴∠ADH ＝∠AHD ＝80°，在AB 上截取AK ＝AC ，连接DK ，由（1）得，△CAD ≌△KAD ，∴∠ACB ＝∠AKD ＝100°，CD ＝DK ，∴∠DKH ＝80°＝∠DHK ，∴DK ＝DH ＝CD ，∵∠CBA ＝40°，∴∠BDH ＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH ＝BH ，∴BH ＝CD ，∵AB ＝AH ＋BH ，∴AB ＝AD ＋CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．4．（1）7DC =；（2）见解析；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠，证明见解析 【分析】（1）根据已知条件得出BDC 为直角三角形，再根据HL 证出△≌△Rt BAD Rt BCD ，从而证出AD CD =即可得出结论；（2）如图2，延长DC 到 K ，使得CK=AP ，连接BK ，通过证△BPA ≌△BCK （SAS ）得到：∠1=∠2，BP=BK ．然后根据SSS 证明得≌PBQ BKQ ，从而得出21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，然后得出结论；（3）如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC=AP ，连接BK ，构建全等三角形：△BPA ≌△BCK （SAS ），由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS 证得：△PBQ ≌△BKQ ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+12∠ADC ． 【详解】（1）证明：如图1，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，90BAD ∠=︒，∴90BCD BAD ∠=∠=︒，在Rt BAD 和Rt BCD 中，BD BD AB BC =⎧⎨=⎩∴()△≌△Rt BAD Rt BCD HL ，∴AD DC =，∴7DC =；（2）如图2，延长DC 至点K ，使得CK AP =，连接BK∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BCD BCK ∠+∠=︒，∴BAD BCK ∠=∠，∵AP CK =，AB BC =，∴()△≌△BPA BCK SAS ， ∴12∠=∠，BP BK =，∵PQ AP CQ =+，QK CK CQ =+，∴PQ QK =，∵BP BK =，BQ BQ =，∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴21PBQ CBQ CBQ ∠=∠+∠=∠+∠，∴PBQ ABP QBC ∠=∠+∠；（3）1902PBQ ADC ∠=︒+∠； 如图3，在CD 延长线上找一点K ，使得KC AP =，连接BK ，∵180ABC ADC ∠+∠=︒，∴180BAD BCD ∠+∠=︒，∵180BAD PAB ∠+∠=︒，∴PAB BCK ∠=∠，在BPA △和BCK 中，AP CK BAP BCK AB BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()△≌△BPA BCK SAS ， ∴ABP CBK ∠=∠，BP BK =，∴PBK ABC ∠=∠，∵PQ AP CQ =+，∴PQ QK =，在PBQ △和BKQ 中，BP BK BQ BQ PQ KQ =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()≌PBQ BKQ SSS ，∴PBQ KBQ ∠=∠，∴22360PBQ PBK PBQ ABC ∠+∠=∠+∠=︒，∴()2180360PBQ ADC ∠+︒-∠=︒，∴1902PBQ ADC ∠=︒+∠． ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．5．【尝试解决】PA+PB=PC ；【自主探索】①2PC PA PB =+；理由见解析；②(21)()PC PD PA PB +=++；【灵活应用】(52)()PC PD PE PA PB ++=++．【分析】尝试解决：利用旋转性质证明△PAC ≌△MBC ，得到PA=BM ，得到PM 等于PB 与PA 的和，再证明△PCM 是等边三角形，得到PM 等于PC ，即可得到结果；自主探索：①在PC 上截取QC=PA ，证出△CBQ 全等于△ABP ，得到△PBQ 是等腰直角三角形，PQ 等于PB 的2倍，即可得到结果；②同①方法，即可得到PD 与PA 和PB 的关系，即可求出PC+PD 与PA 和PB 的关系； 灵活应用：类比（自主探索）中的方法证明PC 与PA 和PB 的关系，再用同样的方法证明PE 与PA 和PB 的关系，构造△CDM 全等于△CBP ，得到PD 与PC 的关系，进一步得到PD 与PA 和PB 的关系，最终求出PD+PE+PC 的和即可得到与PA 和PB 的关系．【详解】尝试解决：PA+PB=PC ；证明：因为∠ACP+∠PCB=60°，∠MCB+∠PCB=60°，∴∠ACP=∠MCB ，又∵CP=CM ，AC=MC ，∴△ACP ≌△BCM ，所以PA=BM ，∠CBM=∠CAP ，∵四边形APBC 内接于圆O ，∴∠CAP+∠CBP=180°，∴∠CBM+∠CBP=180° ，∴P 、B 、M 三点共线，∴△PCM 是等边三角形，∴PM=PC ，∴PC=PM=PB+BM=PB+PA ；自主探索：①PC 与PA 、PB 的数量关系为2PC PA PB =+；理由：截取CQ=PA ，，如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=AB ，∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，∵PA=CQ ，∠BCQ=BAP ，BC=AB∴△BCQ ≌△BAP ，∴∠CBQ=∠ABP ，BQ=BP ，∵∠CBQ+∠ABQ=90°，∴90ABP ABQ ∠+∠=︒，∴△PBQ 是等腰直角三角形，∴PQ=2PB ， ∴2PC CQ PQ PA PB =+=+；②(21)()PC PD PA PB +=++证明：在PD 上截取DH=PB ，∵DH=PB ，∠ADH=∠ABP ，AD=AB∴△ADH ≌△ABP∴∠DAH=∠BAP ，AH=AP ，∵∠DAH+∠HAP=90°，∴∠BAP+∠HAP=90°，∴△HAP 是等腰直角三角形，∴PH=2PA ，∴PD=DH+PH=PB+2PA ，∴(21)()PC PD PA PB +=++．灵活应用：(52)()PC PD PE PA PB ++=++．证明：在PC 上截取FC=PA ，∵五边形ABCDE 是正五边形，∴BC=AB=CD=DE=AE ，∠ABC=∠EAB=108°，∵PA=CF ，AB=BC ，∠FCB=∠BAP ，∴△BAP ≌△BCF ，∴BF=PB ，∠CBF=∠ABP ，∵∠CBF+∠FBA=108°，∴∠ABP+∠FBA=108°，∴△FBP 是顶角为108°的等腰三角形，∴PF=12+PB ，∴PB+PA ，同理可证PA+PB ， 延长PD 至点M 使DM=PB ，∵∠MDC+∠CDP=180°，∠CDP+∠PBC=180°，∴∠CDM=∠CBP又∵CD=BC ，∴△CDM ≌△CBP∴CM=CP ，∠MCD=∠BCP ，又∵∠PCB+∠PCD=108°，∴∠MCD+∠PCD=108°，∴△MCP 是顶角108°的等腰三角形，∴PM=12+PC ，∴PD=PM-DM=12PC-PB ， ∴PC+PD+PEPB+PA ）+PA=((22PA PB +=(()2PA PB + 【点睛】本题考查旋转性质、圆的有关性质、圆内接四边形、正五边形有关性质、三角形全等的相关性质和判定，综合性强，难度较大是一道好题，属中考压轴题型．6．（1）；（2）见解析【分析】（1）过点B 作BH ⊥AD 于H ，由直角三角形的性质可求BH 的长，由菱形的面积公式可求解；（2）延长DE 至M ，使ME ＝BE ，连接MB ，由题意可证△ABD 是等边三角形，△BCD 是等边三角形，△BEM 是等边三角形，可得∠CBD ＝∠ABD ＝60°＝∠MBE ，AB ＝BD ＝BC ，BM ＝BE ，由“SAS”可证∴△MBD ≌△EBC ，可得MD ＝EC ，即可得结论．【详解】解：（1）如图，过点B 作BH ⊥AD 于H ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝6，∵∠A ＝60°，BH ⊥AD ，∴∠ABH ＝30°，∴AH ＝12AB ＝3，BH ＝3AH ＝33， ∴菱形ABCD 的面积＝AD×BH ＝6×33＝183；（2）如图，延长DE 至M ，ME ＝BE ，连接MB ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ，∠A ＝60°＝∠BCD ，∴△ABD 是等边三角形，△BCD 是等边三角形，∴∠CBD ＝∠ABD ＝60°，AB ＝BD ＝BC ，∵∠BED ＝2∠A ＝120°，∴∠BEM ＝60°，又∵BE ＝ME ，∴△BEM 是等边三角形，∴BM ＝BE ，∠MBE ＝∠DBC ＝60°，∴∠MBD ＝∠EBC ，∴△MBD ≌△EBC （SAS ），∴MD ＝EC ，∴CE ＝BE+DE ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质应用，结合等边三角形的性质是解题的关键．7．见解析【分析】过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，先证明()EFN DFA ASA △≌△，可得N DAF ∠=∠，FN AF =，从而可以证明()AHF NBF ASA △≌△，可证得AH BN =，即可得证2AH AB +=．【详解】证明：如图，过点F 作FN AF ⊥交AB 的延长线于点N ，EF DF ⊥，EA AD ⊥，90E ABD ∴∠+∠=︒，90ADF ABD ∠+∠=︒，E ADF ∴∠=∠，90AFN EFD ∠=∠=︒，AFD EFN ∴∠=∠，在EFN 和DFA 中，,,,EFN DFA EF DF E ADF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()EFN DFA ASA ∴△≌△，N DAF ∴∠=∠，FN AF =，又90AFN ∠=︒， 2AN AF ∴=，90AFN EFB ∠=∠=︒，AFH BFN ∴∠=∠，在AHF △和NBF 中，,,,AFH NFB AF NF HAF N ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AHF NBF ASA ∴△≌△，AH BN ∴=，2AH AB BN AB AN AF ∴+=+==．【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理是解题的关键． 8．（1）正确．证明见解析；（2）正确．证明见解析.【分析】（1）在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ，根据已知条件利用ASA 判定AME ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =．（2）在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ，根据已知利用ASA 判定ANE ECF ，因为全等三角形的对应边相等，所以AE EF =．【详解】 解：（1）正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．BM BE ∴=，45BME ∴∠=°，135AME ， CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=︒，135ECF ∴∠=°，AME ECF ，90AEB BAE ，90AEB CEF ∠+∠=︒， BAE CEF ∴∠=∠， ()AME ECF ASA ，AE EF ∴=．（2）正确．证明：如图示，在BA 的延长线上取一点N ，使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=，45N NEC ， CF 平分DCG ∠，45FCE， N ECF ，四边形ABCD 是正方形，//AD BE ∴，DAE BEA ， 即9090DAE BEA ， NAE CEF ， ()ANE ECF ASA ，AE EF ∴=．【点睛】此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质及全等三角形的判定方法，熟悉相关性质是解题的关键．9．（1）方法1：证明见解析；方法2：证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）方法1：先根据角平分线的定义、平行线的性质得出BAF DAE F ∠=∠=∠，再根据等腰三角形的性质可得AB BF =，根据三角形全等的判定定理与性质得出AD FC =，然后根据线段的和差即可得证；方法2：先根据角平分线的定义得出DAE GAE ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理与性质可得,DE GE D AGE =∠=∠，然后根据线段中点的定义、等腰三角形的性质可得ECG EGC ∠=∠，最后根据平行线的性质、平角的定义可得BCG BGC ∠=∠，由等腰三角形的定义可得BG BC =，由此根据线段的和差即可得证；（2）如图（见解析），参照方法1构造辅助线，先根据等腰三角形的性质得出EF 平分AFG ∠，从而有12EFC AFG ∠=∠，再根据平行线的性质、角的和差得出60EFC BFC ∠=∠=︒，ECF BCF ∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证．【详解】（1）方法1：如图②，延长AE 、BC 交于点FAE ∵是BAD ∠的平分线BAF DAE ∴∠=∠//AD BCDAE F ∴∠=∠BAF F ∴∠=∠AB BF FC BC ∴==+E 是边CD 的中点DE CE ∴=在ADE 和FCE △中，DAE F AED FEC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE FCE AAS ∴≅AD FC ∴=AB FC BC AD BC ∴=+=+；方法2：如图③，在AB 上取一点G ，使AG AD =，连接EG 、CG AE ∵是BAD ∠的平分线DAE GAE ∴∠=∠在ADE 和AGE 中，AD AG DAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ADE AGE SAS ∴≅,DE GE D AGE ∴=∠=∠E 是边CD 的中点DE CE ∴=CE GE ∴=ECG EGC ∴∠=∠//AD BC180D BCD ︒∴∠+∠=，即180D ECG BCG ∠+∠+∠=︒180AGE EGC BCG ∴∠+∠+∠=︒，即180AGC BCG ∠+∠=︒又180AGC BGC ∠+∠=︒BCG BGC ∴∠=∠BG BC ∴=AB AG BG AD BC ∴=+=+；（2）如图，过点C 作//CG AD ，交AE 延长线于点G ，延长GC 交AB 于点F ，连接EF 由方法1可知：,AF GF AE GE ==AFG ∴是等腰三角形EF ∴平分AFG ∠12EFC AFG ∴∠=∠ //CG AD ，60BAD ∠=︒60,180120BFC BAD AFG BAD ∴∠=∠=︒∠=︒-∠=︒60EFC ∴∠=︒//CG AD180D ECF ∴∠+∠=︒11802D BCD ︒∠+∠=，即1()1802D ECF BCF ∠+∠+∠=︒ 1()2ECF ECF BCF ∴∠=∠+∠ ECF BCF ∴∠=∠在ECF △和BCF △中，60EFC BFC CF CF ECF BCF ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ECF BCF ASA ∴≅CB CE ∴=．【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，较难的是题（2），参照方法1，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 10．（1）∠AFC ＝120°；（2）FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由见解析；（3）AC ＝AE+CD ．理由见解析．【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC ，∠ACF 即可解决问题;（2）根据在图2的 AC 上截取CG=CD ，证得△CFG ≌△CFD (SAS),得出DF= GF ；再根据ASA 证明△AFG ≌△AFE ，得EF=FG ，故得出EF=FD ；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC 上截取AG=AE ，证得△EAF ≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA ；再根据ASA 证明△FDC ≌△FGC ，得CD=CG 即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，∴∠BAC ＝90°﹣60°＝30°，∵AD 、CE 分别是∠BAC 、∠BCA 的平分线，∴∠FAC ＝15°，∠FCA ＝45°，∴∠AFC ＝180°﹣（∠FAC+∠ACF ）＝120°（2）解：FE 与FD 之间的数量关系为：DF ＝EF ．理由：如图2，在AC 上截取CG ＝CD ，∵CE 是∠BCA 的平分线，∴∠DCF ＝∠GCF ，在△CFG 和△CFD 中，CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG ≌△CFD （SAS ），∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG由（1）∠AFC ＝120°得，∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∴∠AFE ＝∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中，AFE AFG AF AFEAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），∴EF ＝GF ，∴DF ＝EF ；（3）结论：AC ＝AE+CD ．理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°，∴∠EFA＝∠GFA＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC，∴∠CFG＝∠CFD＝60°，同（2）可得，△FDC≌△FGC（ASA），∴CD＝CG，∴AC＝AG+CG＝AE+CD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．。
截长补短法例题完整
截长补短法例题(可以直接使用，可编辑优秀版资料，欢迎下载）截长补短法例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD =DC ，BD 平分∠ABC .求证：∠BAD +∠BCD =180°.分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D 作DE 垂直BA 的延长线于点E ，作DF ⊥BC 于点F ，如图1-2∵BD 平分∠ABC ，∴DE =DF ，在Rt △ADE 与Rt △CDF 中，⎩⎨⎧==CD AD DF DE ∴Rt △ADE ≌Rt △CDF (HL ),∴∠DAE =∠DCF .又∠BAD +∠DAE =180°，∴∠BAD +∠DCF =180°，即∠BAD +∠BCD =180°F E D C B A 图1-2 A B C D图1-1例2. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P 为BN 上一点，且PD ⊥BC 于点D ，AB +BC =2BD .求证：∠BAP +∠BCP =180°.分析：与例1相类似，证两个角的和是180°，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明∠BCP =∠EAP ，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.证明：过点P 作PE 垂直BA 的延长线于点E ，如图3-2∵∠1=∠2，且PD ⊥BC ，∴PE =PD ，在Rt △BPE 与Rt △BPD 中，⎩⎨⎧==BP BP PD PE ∴Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL ),∴BE =BD .∵AB +BC =2BD ，∴AB +BD +DC =BD +BE ，∴AB +DC =BE即DC =BE -AB =AE .在Rt △APE 与Rt △CPD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC AE PDC PEA PD PEA B C D P 12N图3-1P 12NA B C D E 图3-2AD B CE 图2-1 ∴Rt △APE ≌Rt △CPD (SAS),∴∠PAE =∠PCD又∵∠BAP +∠PAE =180°,∴∠BAP +∠BCP =180°例3. 如图2-1，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE =∠CDE ，∠DCE =∠ECB .求证：CD =AD +BC .分析：结论是CD =AD +BC ，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD 上截取CF =CB ，只要再证DF =DA 即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD 上截取CF =BC ，如图2-2在△FCE 与△BCE 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CE BCE FCE CB CF∴△FCE ≌△BCE （SAS ）,∴∠2=∠1.又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠BCD =180°，∴∠DCE +∠CDE =90°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4. 在△FDE 与△ADE 中，⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠43DEDE ADE FDE ∴△FDE ≌△ADE （ASA ），∴DF =DA ，∵CD =DF +CF ，∴CD =AD +BC .例4. 已知：如图4-1，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2. 求证：AB =AC +CD .分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC 至E 使CE =CD ，或在AB 上截取AF =AC .证明：方法一（补短法）延长AC 到E ，使DC =CE ，则∠CDE ＝∠CED ，如图4-2 AD B CEF 1234图2-2D C B A 12图4-1 ED CB A 12图4-2∴∠ACB ＝2∠E ，∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠B ＝∠E ，在△ABD 与△AED 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠AD AD E B 21∴△ABD ≌△AED （AAS ）,∴AB =AE .又AE =AC+CE =AC +DC ，∴AB =AC +DC .方法二（截长法）在AB 上截取AF =AC ，如图4-3在△AFD 与△ACD 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AD AD AC AF 21∴△AFD ≌△ACD （SAS ）,∴DF =DC ，∠AFD ＝∠ACD . 又∵∠ACB ＝2∠B ，∴∠FDB ＝∠B ，∴FD =FB .∵AB =AF +FB =AC +FD ，∴AB =AC +CD .F D C B A 12图4-3超重和失重 问题超重和失重是两个很重要的物理现象。
中考数学压轴必刷 专题6截长补短模型(学生版)
【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题6截长补短模型【例1】阅读题：如图1，OM平分AOB∠，以O为圆心任意长为半径画弧，交射线OA，OB于C，D两点，在射线OM上任取一点E（点O除外），连接CE，DE，可证OCE ODE△△≌，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC中，2A B∠=∠，CD平分ACB∠交AB于点D，试判断BC与AC、AD之间的数量关系；（2）如图3，在四边形ABCD中，AC平分BAD∠，10BC CD==，20AB=，8AD=，求ABC的面积．【例2】已知，90POQ∠=，分别在边OP，OQ上取点A，B，使OA OB=，过点A平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交于点C．点E，F分别是射线OP，OQ上动点，连接CE，CF，EF．（1）求证：OA OB AC BC===；（2）如图1，当点E，F分别在线段AO，BO上，且45ECF∠=时，请求出线段EF，AE，BF之间的等量关系式；（3）如图2，当点E，F分别在AO，BO的延长线上，且135ECF∠=时，延长AC交EF于点M，延长BC交EF于点N．请猜想线段EN，NM，FM之间的等量关系，并证明你的结论．【例3】如图，已知B（-1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在点D运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数．【例4】问题提出，如图1所示，等边△ABC内接于⊙O，点P是AB上的任意一点，连结PA，PB，PC．线段PA、PB、PC满足怎样的数量关系?（尝试解决）为了解决这个问题，小明给出这样种解题思路：发现存在条件CA=CB，∠ACB=60°，从而将CP绕点逆时针旋转60°交PB延长线于点M，从而证明△PAC≌△MBC，请你完成余下思考，并直接写出答案：PA、PB、PC的数量关系是；（自主探索）如图2所示，把原问题中的“等边△ABC”改成“正方形ABCD”，其余条件不变，①PC与PA，PB有怎样的数量关系?请说明理由：②PC+PD与PA，PB的数量关系是．（直接写出结果）（灵活应用）把原问题中的“等边△ABC”改成“正五边形ABCDE”，其余条件不变，则PC+PD+PE与PA+PB 的数量关系是．（直接写出结果）【例5】．在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DE//BC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG12∠BDE．（1）如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC= ；（2）如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：_____________．【例6】如图，△ABC中，AB=AC，∠EAF=12∠BAC，BF⊥AE 于E交AF于点F，连结CF．（1）如图1 所示，当∠EAF 在∠BAC 内部时，求证：EF＝BE+CF．（2）如图2 所示，当∠EAF 的边AE、AF 分别在∠BAC 外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．一、解答题1．等边ABC∆中，点H、K分别在边BC、AC上，且AK CH=，连接AH、BK交于点F．（1）如图1，求AFB∠的度数；图1（2）连接CF，若90BFC∠=︒，求BFAF的值；（3）如图2，若点G为AC边的中点，连接FG，且2AF FG=，则BFG∠的大小是___________．图22．如图，四边形ABCD中，180B D∠+∠=︒，150BCD∠=︒，CB CD=，M、N分别为AB、AD上的动点，且75MCN∠=︒．求证：MN BM DN=+．3．在ABC中，AE，CD为ABC的角平分线，AE，CD交于点F．（1）如图1，若60B∠=︒．①直接写出AFC∠的大小；②求证：AC AD CE=+．（2）若图2，若90B ∠=︒，求证：ACF AFD CEF DEF S S S S =++△△△△．4．如图，在ABC 中，45A ∠=︒．（1）如图1，若AC =BC =，求ABC 的面积；（2）如图2，D 为ABC 外的一点，连接CD ，BD 且CD CB =，ABD BCD ∠=∠．过点C 作CE AC ⊥交AB的延长线于点E ．求证：2BD AB +．（3）如图3，在（2）的条件下，作AP 平分CAE ∠交CE 于点P ，过E 点作EM AP ⊥交AP 的延长线于点M ．点K 为直线AC 上的一个动点，连接MK ，过M 点作'MK MK ⊥，且始终满足'MK MK =，连接'AK ．若4AC =，请直接写出''AK MK +取得最小值时()2''AK MK +的值．5．如图，等边△ABC 内接于⊙O ，点D 是弧AC 上一点，连接BD 交AC 于E ．（1）如图1，求证∠ADB ＝∠CDB ；（2）如图2，点F 为线段BD 上一点，连接CF ，若∠BCF ＝2∠ABD 时，求证：BF ＝DE +AD ；（3）在（2）的条件下，作∠BCF 的平分线交⊙O 于M ，在CM 上取点R ，连接AR 交CF 于点T ，若TR ＝1，MR ＝5，∠CAT ＝3∠ACD ，求AT 的长．。
截长补短法(初中数学经典例题和方法选讲)
变式练习
练习3.已知：如图，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=DC， ∠C=60°，BD平分∠ABC．求证：BC=AB+AD．
A D
B
C
变式练习
练习4.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°
求证：AE=AD+BE．
C
D
A
EB
变式练习
练习5.如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD， 点E为AB上一点，点F为AD上一点，∠BCD=2∠ECF， 求证：EF=BE+DF
证明：如图，延长CE，交BA的延长线于点F． ∵CE⊥BD∴∠BEF=∠BEC=90° ∵∠BAC=90°∴∠CAF=∠BAD=90°
∵∠3=∠4∴∠1=∠5
在△BAD和△CAF中
∴△BAD≌△CAF（ASA）∴BD=CF∵BE平分 ∠ABC∴∠1=∠2 在△BEF和△BEC中
∴△BEF≌△BEC（ASA） ∴EF=EC∴2CE=CF ∴2CE=BD
变式练习
练习7.如图所示，在D ABC是边长为1的正三角形，DBDC 是顶角为120°的等腰三角形， Ð MDN=60°，点M、N分 别在AB、AC上，求的DAMN的周长。
典型例题
例4.已知：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平
分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：2CE=BD
分析：证两个角的和是180°，可把它们移到一起， 让它们是邻补角，即证明∠BCP=∠EAP，因而此 题适用“补短”进行全等三角形的构造.
证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2∵∠1=∠2，且 PD⊥BC∴PE=PD，在Rt△BPE与Rt△BPD中，
初二数学(截长补短)(含答案)
1、如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，则有结论EF＝BE＋FD成立；（1）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，那么结论EF＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；解：（1）延长CB到G，使BG=FD，连接AG，∵∠ABG=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF，∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，∴∠EAF=∠GAE，∴△AEF≌△AEG，∴EF=EG=EB+BG=EB+DF．（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，延长BC到点E，延长CD到点F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF ＝BE＋FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.解：小题1:结论EF=BE＋FD不成立，应当是EF=BE－FD．在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．应当是EF=BE－FD ．在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°,∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF.∴AG＝AF．∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3=∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF.∴EG＝EF即EF=BE－BG=BE－FD．25．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：；（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论）解：（1）如图①AH=AB；（2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN，∵ABCD是正方形∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°∴Rt△AEB≌Rt△AND∴AE=AN，∠EAB=∠NAD∴∠EAM=∠NAM=45°∵AM=AM∴△AEM≌△ANM∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，∴AB=AH；（3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE，由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD，设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3在Rt△MCN中，由勾股定理，得∴解得（不符合题意，舍去）∴AH=6。
截长补短模型的培优综合(解析版)--2024年八年级数学
截长补短模型的培优综合目录【知识点归纳】【考法一、截长型】【考法二、补短型】【课后练习】【知识点归纳】基本模型：辅助线作法：(1)在AB上截取AD=AC；(2)把AC延长到点E，使AB=AE结论：(1)因为AM平分∠BAC，且AD=AC，所以△AMD≌△AMC(SAS)；(2)因AM平分∠BAC，且AE=AB，所以△AMB≌△AME(SAS)补充说明：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段．【考法一、截长型】1(基本模型)阅读题：如图1，OM平分∠AOB，以O为圆心任意长为半径画弧，交射线OA，OB于C，D 两点，在射线OM上任取一点E(点O除外)，连接CE，DE，可证△OCE≌△ODE，请你参考这个作全等的方法，解答下列问题：(1)如图2，在△ABC 中，∠A =2∠B ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，试判断BC 与AC 、AD 之间的数量关系；(2)如图3，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC =CD =10，AB =20，AD =8，求△ABC 的面积．【答案】(1)BC =AC +AD ；(2)△ABC 的面积为80．【分析】(1)在CB 上截取CE =CA ，则由题意可得AD =DE ，∠CED =∠A ，再结合∠A =2∠B 可得DE =BE ，从而得到BC =AD +AC ；(2)在AB 上截取AE =AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，由题意可得EC =BC ，从而得到EF 的长度，再由勾股定理根据EC 、EF 的长度求得CF 的长度，最后根据面积公式可以得到解答．【详解】解：(1)如图，在CB 上截取CE =CA ，则由题意得：△CAD ≌△CED ，∴AD =DE ，∠CED =∠A ，∵∠A =2∠B ，∴∠CED =2∠B ，又∠CED =∠B +∠EDB ，∴∠B +∠EDB =2∠B ，∴∠EDB =∠B ，∴DE =BE ，∴BC =BE +CE =DE +CE =AD +AC ；(2)如图，在AB 上截取AE =AD ，连结CE ，过C 作CF ⊥AB 于F 点，∴由题意可得：△CDA ≌△CEA ，∴EC =CD =BC =10，AE =AD =8，∵CF ⊥AB ，∴EF =FB =AB -AE 2=20-82=6，∴CF =EC 2-EF 2=102-62=8，∴S △ABC =12AB ×CF =12×20×8=80．【点睛】本题考查三角形全等的综合运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理是解题关键．2(与坐标系综合)已知：在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ．将△ABC 按如图所示的位置放置在平面直角坐标系中，使得点A (0,m )落在y 轴的负半轴上，使得点B (n ,0)落在x 轴的正半轴上，点C 在第二象限，并且m ,n 满足m 2+n 2+6m -8n +25=0．(1)由题意可知OA =，OB =(直接写答案)；(2)求点C的坐标；(3)△ABC的斜边BC交y轴于D，直角边AC交x轴于E．在AC上截取AF=CE，连接DF．探究线段DF、AD、BE的数量关系并证明你的结论．【答案】(1)3，4；(2)C(-3,1)；(3)BE=DF+AD，理由见解析【分析】(1)由非负数的性质求出m，n即可；(2)如图，作CH⊥y轴于点H，只要证明△ACH≌△BAO即可解决问题；(3)在OB上取一点K，使得OK=DH，则△CHD≌△AOK，再证明DF=EK，AD=BK即可解决问题．【详解】解：(1)∵m2+n2+6m-8n+25=0∴(m+3)2+(n-4)2=0,∵(m+3)2≥0，(n-4)2≥0，∴m=-3,n=4，∴A(0,-3)，B(4,0)∴OA=3，OB=4，故答案为：3，4(2)如图，作CH⊥y轴于点H，∵∠CHA=∠AOB=∠CAB=90°，∴∠CAH+∠ACH=90°，∠CAH+∠BAO=90°，∴∠ACH=∠BAO，∵AC=BC，∴△ACH≌△BAO，∴AH=OB=4，CH=OA=3，∴OH=1，∴C(-3,1)(3)结论为：BE=DF+AD理由：如图，在OB上取一点K，使得OK=DH，∵CH=OA，∠CHD=∠AOK=90°，DH=OK，∴△CHD≌△AOK(SAS)，∴CD=AK，∵AD=BK，AB=AC，∴△AKB≌△CDA(SSS)，∴∠KAB=∠ACD=45°，∴∠EAK=45°=∠FCD，∵CE=AF，∴CF=AE，∵CD=AK，∴△CDF≌△AKE(SAS)∴DF=KE，∵BE=EK+BK，∴BE=DF+AD【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、非负数的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．3(培优1)已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上，DE∥BC，交直线AC与点E，且BD= BC，CH⊥AB，垂足为H．(1)当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE；(2)当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明．【答案】(1)见详解；(2)图2：DH=BH-DE，图3：DE=DH+BH【分析】(1)在线段AH上截取HM=BH，连接CM，CD，证明△DMC≌△DEC，可得到DE=DM，即可求解．(2)当点D在线段BA延长线上时，在BA的延长线上截取MH=BH，连接CM，DC，由题意可证△BHC≌△CHM，可得∠B=∠CMB，由题意可得∠B=∠AED，即可证△DMC≌△DEC，可得DE=DM，则可得DH=BH-DE；当点D在线段AB延长线上时，在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CD，由题意可证△BHC≌△CHM，可得∠B=∠CMB，由题意可得∠B=∠AED，即可证△DMC≌△DEC，可得DE =DM，则可得DE=DH+BH．【详解】解：(1)证明：在线段AH上截取HM=BH，连接CM，CD∵CH⊥AB，HM=BH∴CM=BC∴∠B=∠CMB∵AB=AC∴∠B=∠ACB∵DE⎳BC∴∠ADE=∠B=∠AED=∠ACB，∠CDE=∠BCD∴∠AED=∠BMC∴∠DEC=∠DMC∵BD=BC∴∠BDC=∠BCD=∠EDC∵CD=CD∴△CDM≌△CDE∴DM=DE∴BH+DE=DM+HM=DH(2)当点D在线段BA延长线上时，DH=BH-DE如图2：在BA的延长线上截取MH=BH，连接CM，DC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD=BC∴∠BDC=∠DCB∵DE⎳BC∴∠E=∠ACB=∠B=∠EDB∵CH=CH，BH=MH，∠BHC=∠CHM∴△BHC≌△CHM∴∠B=∠M∴∠E=∠M∵∠MDC=∠B+∠DCB，∠EDC=∠BDC+∠EDB∴∠MDC=∠EDC又∵∠E=∠M，DC=CD∴△DEC≌△DMC∴DE=DM∵DH=MH-DM∴DH=BH-DE当点D在线段AB延长线上时，DE=DH+BH如图3：当点D在线段AB延长线上时，在线段AB上截取BH=HM，连接CM，CD∵BH=HM，CH=CH，∠CHB=∠MHC=90°∴△MHC≌△BHC∴∠ABC=∠BMC∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD∵BC⎳DE∴∠BCD=∠CDE，∠ACB=∠AED∴∠BDC=∠CDE，∠BMC=∠AED，且CD=CD，∴△CDM≌△CDE，∴DE=DM∵DM=DH+HM∴DE=DH+BH【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键．4(培优2)(1)如图(1)，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠D=180°，E，F分别是BC,CD上的动点，且∠EAF=12∠BAD，求证：EF=BE+DF．(2)如图(2)，在(1)的条件下，当点E，F分别运动到BC,CD的延长线上时，EF,BE,DF之间的数量关系是．【答案】(1)详见解析；(2)EF=BE-DF【分析】(1)延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明ΔABE≌ΔADG(SAS)，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，然后证明ΔAEF≌ΔAGF，得到EF=FG，根据FG=DG+DF=BE+DF，可得EF =BE+DF；(2)在BC上截取BG=DF，连接AG，先证明△ABG≌△ADF(SAS)，得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，再证明△EAG≌△EAF(SAS)，得到EG=EF，根据BG=DF，即可得EF=BE-BG=BE-DF．【详解】(1)如图，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG．∵∠B+∠ADF=∠ADG+∠ADF=180°，∴∠B=∠ADG，又∵AB =AD ，BE =DG ，∴ΔABE ≌ΔADG (SAS )，∴AE =AG ,∠BAE =∠DAG ，∵∠EAF =12∠BAD ，∴∠GAF =∠DAG +∠DAF =∠BAE +∠DAF =∠BAD -∠EAF =∠EAF ．∵AE =AG ,∠EAF =∠GAF ,AF =AF ，∴ΔAEF ≌ΔAGF ，∴EF =FG ．∵FG =DG +DF =BE +DF ，∴EF =BE +DF ；(2)EF =BE -DF ．如图，在BC 上截取BG =DF ，连接AG ，∵∠B +∠ADC =∠ADC +∠ADF =180°，∴∠B =∠ADF ，在△ABG 和△ADF 中AB =AD∠B =∠ADF BG =DF，∴△ABG ≌△ADF (SAS )，∴AG =AF ，∠BAG =∠DAF ，∠BAD =2∠EAF ，∴∠BAG +∠GAE +∠EAD =∠EAD +∠DAF +∠EAD +∠DAF ，∴∠GAE =∠EAF ，在△EAG 和△EAF 中AG =AF∠EAG =∠EAF AE =AE，∴△EAG ≌△EAF (SAS )，∴EG =EF ，∵BG =DF ，∴EF =BE -BG =BE -DF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握判定定理是解题关键．【考法二、补短型】1已知在四边形ABCD 中，∠ABC +∠ADC =180°，∠BAD +∠BCD =180°，AB =BC (1)如图1，连接BD ，若∠BAD =90°，AD =7，求DC 的长度．(2)如图2，点P 、Q 分别在线段AD 、DC 上，满足PQ =AP +CQ ，求证：∠PBQ =∠ABP +∠QBC(3)若点Q 在DC 的延长线上，点P 在DA 的延长线上，如图3所示，仍然满足PQ =AP +CQ ，请写出∠PBQ 与∠ADC 的数量关系，并给出证明过程．【答案】(1)DC=7；(2)见解析；(3)∠PBQ=90°+12∠ADC，证明见解析【分析】(1)根据已知条件得出△BDC为直角三角形，再根据HL证出Rt△BAD≌Rt△BCD，从而证出AD=CD即可得出结论；(2)如图2，延长DC到K，使得CK=AP，连接BK，通过证△BP A≌△BCK(SAS)得到：∠1=∠2，BP =BK．然后根据SSS证明得△PBQ≌△BKQ，从而得出∠PBQ=∠2+∠CBQ=∠1+∠CBQ，然后得出结论；(3)如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，构建全等三角形：△BP A≌△BCK (SAS)，由该全等三角形的性质和全等三角形的判定定理SSS证得：△PBQ≌△BKQ，则其对应角相等：∠PBQ=∠KBQ，结合四边形的内角和是360°可以推得：∠PBQ=90°+12∠ADC．【详解】(1)证明：如图1，∵∠ABC+∠ADC=180°，∠BAD=90°，∴∠BCD=∠BAD=90°，在Rt△BAD和Rt△BCD中，BD=BDAB=BC∴Rt△BAD≌Rt△BCD HL，∴AD=DC，∴DC=7；(2)如图2，延长DC至点K，使得CK=AP，连接BK∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠BCK=180°，∴∠BAD=∠BCK，∵AP=CK，AB=BC，∴△BP A≌△BCK SAS，∴∠1=∠2，BP=BK，∵PQ=AP+CQ，QK=CK+CQ，∴PQ=QK，∵BP=BK，BQ=BQ，∴△PBQ≌△BKQ SSS，∴∠PBQ=∠2+∠CBQ=∠1+∠CBQ，∴∠PBQ=∠ABP+∠QBC；(3)∠PBQ=90°+12∠ADC；如图3，在CD延长线上找一点K，使得KC=AP，连接BK，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BAD+∠P AB=180°，∴∠P AB=∠BCK，在△BP A和△BCK中，AP=CK∠BAP=∠BCK AB=BC∴△BP A≌△BCK SAS，∴∠ABP=∠CBK，BP=BK，∴∠PBK=∠ABC，∵PQ=AP+CQ，∴PQ=QK，在△PBQ和△BKQ中，BP=BK BQ=BQ PQ=KQ∴△PBQ≌△BKQ SSS，∴∠PBQ=∠KBQ，∴2∠PBQ+∠PBK=2∠PBQ+∠ABC=360°，∴2∠PBQ+180°-∠ADC=360°，∴∠PBQ=90°+12∠ADC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．2(培优1)本学期，我们学习了三角形相关知识，而四边形的学习，我们一般通过辅助线把四边形转化为三角形，通过三角形的基本性质和全等来解决一些问题．(1)如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，连接AC．①小明发现，此时AC平分∠BCD．他通过观察、实验，提出以下想法：延长CB到点E，使得BE=CD，连接AE，证明△ABE≌△ADC，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分∠BCD．请你参考小明的想法，写出完整的证明过程．②如图2，当∠BAD=90°时，请你判断线段AC，BC，CD之间的数量关系，并证明．(2)如图3，等腰△CDE、等腰△ABD的顶点分别为A、C，点B在线段CE上，且∠ABC+∠ADC=180°，请你判断∠DAE与∠DBE的数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析；②CD+BC=2AC，证明见解析；(2)∠DAE=2∠DBE，证明见解析【分析】(1)①参考小明的想法，延长CB到点E，使得BE=CD，连接AE，证明△ABE≌△ADC，从而利用全等和等腰三角形的性质可以证明AC平分；②沿用①中辅助线，延长CB到点E，使得BE=CD，连接AE，证得直角三角形CAE，再利用勾股定理可求得AC，BC，CD之间的数量关系；(2)类比(1)中证明的思路，延长CD至F，使得DF=CB，连AF，证明△ABC≌△ADF、△ACD≌△ACE，再利用全等三角形的对应角相等和等腰三角形等边对等角的性质，找到∠DAE与∠DBE的数量关系．【详解】(1)如图，延长CB到点E，使得BE=CD，连接AE．∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ABE+∠ABC=180°，∴∠ADC=∠ABE在△ADC与△ABE中，∵AD=AB∠ADC=∠ABE CD=EB∴△ADC≌△ABE(SAS)∴∠ACD=∠AEB，AC=AE ∴∠ACB=∠AEB∴∠ACD=∠ACB．∴AC平分∠BCD(2)CD+BC=2AC证明：如图，延长CB到点E，使得BE=CD，连接AE．由(1)知，△ADC≌△ABE(SAS)∴∠DAC=∠BAE，AC=AE∵∠BAD=∠DAC+∠CAB=90°∴∠CAE=∠BAE+∠CAB=∠DAC+∠CAB=∠BAD=90°在直角三角形CAE中，∠CAE=90°∴CE=AC2+AE2=2AC∴CD+BC=2AC(3)∠DAE=2∠DBE证明：如图，延长CD至F，使得DF=CB，连AF，由(1)知，△ABC≌△ADF(SAS)∴AF=AC，∠ACB=∠F∴∠ACD=∠F∴∠ACD=∠ACE在△ACD与△ACE中，∵CD=CE∠ACD=∠ACE AC=AC∴△ACD≌△ACE(SAS)∴AD=AE∴AD=AE=AB∴∠ADB=∠ABD，∠AEB=∠ABE∴∠BAD=180°-2∠ADB，∠BAE=180°-2∠ABE，∵∠DAE=360°-∠BAD-∠BAE∴∠DAE=360°-180°-2∠ADB-180°-2∠ABE=2∠ADB+2∠ABE=2∠DBE【点睛】本题考查三角形的基本知识、全等三角形的性质和判定以及等腰三角形的性质与判定．综合性较强．3(培优2)【模型呈现】(1)如图1，∠BAD=90°，AB=AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．已知BC=2，DE=1，则AD=．【模型应用】(2)如图2，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B、C在x轴上，∠ABO=30°，AB=2，OA=1，OB= OC．若点D在第一象限且满足AD=AC，∠DAC=90°，线段BD交y轴于点G，求线段BG的长．(3)如图3，在(2)的条件下，若在第四象限有一点E，满足∠BEC=∠BDC．请直接写出BE、CE、AE之间的数量关系．【答案】(1)5，(2)6，(3)BE+CE=3AE【分析】(1)易证△ABC≌△DAE SAS，进而有AE=BC=2，由勾股定理AD=AE2+DE2=22+12 =5，问题随之得解；(2)根据已知可得△ABC是等腰三角形，可求出∠BAC=120°，进而得出∠BAD=360°-∠BAC-∠CAD=150°，得出∠ABD=∠ADB=15°，可得∠GBO=∠ABD+∠ABO=45°，即有∠GBO=∠BGO =45°，在等腰直角三角形△BOG即可求出BG；(3)由(2)可知：∠ADB=15°，可得∠BDC=∠ADB+∠ADC=60°，进而有∠BEC=∠BDC=60°，延长EB至F，使BF=CE，连接AF，过A点作AM⊥EF于M点，根据∠OAB=∠OAC=60°，即有∠BAC =120°，进一步有∠BAC+∠BEC=180°，即可证明∠ABF=∠ACE，接着证明△ABF≌△ACE SAS，问题随之得解．【详解】解：(1)∵∠BAD=90°，BC⊥AC，DE⊥AC，∴∠C=∠E=90°，∠B+∠BAC=90°，∠DAE+∠BAC=90°，∴∠B=∠DAE，又∵AB=AD，∴△ABC≌△DAE SAS，∴AE=BC=2，∴在Rt△ADE中，AD=AE2+DE2=22+12=5，故答案为：5；(2)∵OB=OC，OA⊥BC，∴AB=AC=2，∴∠ABO=∠ACO=30°，∴∠CAB=180°-2×30°=120°，∴∠DAB=360°-∠BAC-∠CAD=360°-120°-90°=150°，∵AD=AC，∴AD=AB，∴∠ABD=∠ADB=180°-∠BAD=15°，2∴∠GBO=∠ABD+∠ABO=45°，∴BO=OG，∵∠ABO=30°，∠AOB=90°，∴AO=1AB=1，2∴BO=AB2-AO2=22-12=3，∴OG=3，∴在Rt△BOG中，BG=BO2+OG2=6；(3)BE+CE=3AE，理由如下：由(2)可知：∠ADB=15°，∵AD=AC，∠DAC=90°，∴∠ADC=∠ACD=45°，∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=60°，∴∠BEC=∠BDC=60°，延长EB至F，使BF=CE，连接AF，过A点作AM⊥EF于M点，如图，∵∠BAC=120°，∴∠BAC+∠BEC=180°，∴∠ACE+∠ABE=180°，∵∠ABF+∠ABE=180°，∴∠ABF=∠ACE，又∵AB=AC，BF=CE，∴△ABF≌△ACE SAS，∴AF=AE，∠BAF=∠CAE，∴∠FAE=∠BAC=120°，∴∠F=∠AEF=30°，∵AM⊥EF，AF=AE，∴AM=12AE，ME=12EF，∴ME=AE2-AM2=32AE∴FE=3AE，∴BE+CE=BE+BF=FE=3AE，即BE+CE=3AE．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．4(培优3)已知，∠POQ=90°，分别在边OP，OQ上取点A，B，使OA=OB，过点A平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交于点C．点E，F分别是射线OP，OQ上动点，连接CE，CF，EF．(1)求证：OA=OB=AC=BC；(2)如图1，当点E，F分别在线段AO，BO上，且∠ECF=45°时，请求出线段EF，AE，BF之间的等量关系式；(3)如图2，当点E，F分别在AO，BO的延长线上，且∠ECF=135°时，延长AC交EF于点M，延长BC交EF 于点N．请猜想线段EN，NM，FM之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)见解析；(2)EF=AE+BF；(3)MN2=EN2+FM2，见解析【分析】(1)连接AB,通过∠POQ=90°，OA=OB得到△AOB为等腰直角三角形，进而得到∠OAB=∠OBA=45°，根据过点A平行于OQ的直线与过点B平行于OP的直线相交于点C，可推出∠CBA= 45°，∠BAC=45°，最后通过证明△AOB≌△ACB，可以得出结论；(2)在射线AP上取点D，使AD=BF，连接CD，通过证明△CAD≌△CBF，得到CD=CF，∠ACD=∠BCF，再结合∠ECF=45°，∠ACB=90°推导证明△ECD≌△ECF，得到ED=EF，最后等量代换线段即可求解；(3)延长AO到点D，使得AD=BF，连接CD，通过证明△CAD≌△CBF，得到CD=CF，∠ACD=∠BCF，再结合∠ECF=135°，推导证明△ECD≌△ECF，得到∠D=∠CFM，根据∠D=∠CFB，等量代换可知∠CFM=∠CFB，又因为AC⎳OQ，推出∠MCF=∠CFB，进而得到MC=MF，同理可证CN= EN，最后根据勾股定理即可求解．【详解】解：(1)证明：连接AB．∵∠POQ=90°，OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，∴∠OAB=∠OBA=45°，又∵BC⎳OP，且∠POQ=90°，∴BC⊥OQ，∴∠CBF=90°，∴∠CBA=45°，同理，∠BAC=45°，在△AOB与△ACB中，∠OAB=∠CAB AB=AB∠OBA=∠CBF，∴△AOB≌△ACB ASA，∴∠AOB=∠ACB=90°，OA=OB=AC=BC；(2)如图1，在射线AP上取点D，使AD=BF，连接CD．在△CAD与△CBF中，CA=CB∠CAD=∠CBF AD=BF，∴△CAD≌△CBF SAS，∴CD=CF，∠ACD=∠BCF，∵∠ECF=45°，∠ACB=90°，∴∠ACE+∠BCF=45°，∴∠ACE+∠ACD=∠ECD=45°，∴∠ECD=∠ECF，在△ECD与△ECF中，CD=CF∠ECD=∠ECF CE=CE∴△ECD≌△ECF SAS，∴ED=EF，又∵ED=AD+AE=BF+AE，∴EF=AE+BF．(3)MN2=EN2+FM2．证明如下：如图2，延长AO到点D，使得AD=BF，连接CD．∴∠CAD=∠CBF=90°，在△CAD 与△CBF 中，CA =CB∠CAD =∠CBF AD =BF，∴△CAD ≌△CBF SAS ，∴CD =CF ，∠ACD =∠BCF ，∵∠ACD +∠DCB =90°，∴∠BCF +∠DCB =90°=∠DCF ，∴∠FCD =∠BCA =90°，∵∠ECF =135°，∴∠ECD =360°-90°-135°=135°，∴∠ECF =∠ECD ，在△ECD 与△ECF 中，EC =EC∠ECD =∠ECF CD =CF，∴△ECD ≌△ECF SAS ，∴∠D =∠CFM ，∵△CAD ≌△CBF ，∴∠D =∠CFB ，∴∠CFM =∠CFB ，∵AC ⎳OQ ，∴∠MCF =∠CFB ，∴∠CFM =∠MCF ，∴MC =MF ，同理可证：CN =EN ，∴在Rt △MCN 中，由勾股定理得：MN 2=CN 2+CM 2=EN 2+FM 2．【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定,勾股定理以及正方形的有关知识，通过添加辅助线构造全等三角形，通过证明全等三角形得到线段之间的关系是解题的关键．【课后练习】1在△ABC 中，AE ，CD 为△ABC 的角平分线，AE ，CD 交于点F ．(1)如图1，若∠B =60°．①直接写出∠AFC 的大小；②求证：AC =AD +CE ．(2)若图2，若∠B =90°，求证：S △ACF =S △AFD +S △CEF +S △DEF．【答案】(1)①120°；②见解析；(2)见解析【分析】(1)①综合三角形的内角和定理以及角平分线的定义求解即可；②利用“截长补短”思想，在AC上取点H，使得AD=AH，从而通过全等证得∠AFD=∠AFH，再结合①的结论进一步证明∠CFH=∠CFE，从而通过全等证得CE=CH，即可得出结论；(2)同样利用“截长补短”思想，在AC上取S、T两点，使得AD=AS，CE=CT，连接SF，SE，TF，TE，可通过全等直接先对△ADF和△CEF的面积进行转换，然后结合(1)中的结论，证明SF∥ET，即可对△DEF的面积进行转换，从而得出结论．【详解】(1)①解：∵∠B=60°，∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=120°，∵AE平分∠BAC，CD平分∠BCA，∴∠FAC=12∠BAC，∠FCA=12∠BCA，∴∠FAC+∠FCA=12(∠BAC+∠BCA)=12×120°=60°，∴∠AFC=180°-(∠FAC+∠FCA)=120°；②证：如图所示，在AC上取点H，使得AD=AH，在△ADF和△AHF中，AD=AH∠DAF=∠HAF AF=AF∴△ADF≌△AHF(SAS)，∴∠AFD=∠AFH，∵∠AFD=∠CFE，∴∠AFH=∠CFE，由①可知，∠AFC=120°，∴∠CFE=180°-120°=60°，∴AFH=∠CFE=60°，∴∠CFH=60°，即：∠CFH=∠CFE，在△CFH和△CFE中，∠CFH=∠CFE CF=CF∠HCF=∠ECF∴△CFH ≌△CFE (ASA )，∴CE =CH ，∵AC =AH +CH ，∴AC =AD +CE ；(2)证：如图所示，在AC 上取S 、T 两点，使得AD =AS ，CE =CT ，连接SF ，SE ，TF ，TE ，∵AE 平分∠BAC ，∴∠DAF =∠SAF ，在△ADF 和△ASF 中，AD =AS∠DAF =∠SAFAF =AF∴△ADF ≌△ASF (SAS )，同理可证△AED ≌△AES ，△CEF ≌△CTF ，∴DF =SF ，DE =SE ，FT =FE ，∴△DEF ≌△SEF ，∴S △ADF =S △ASF ，S △CEF =S △CTF ，S △DEF =S △SEF ，且∠AFD =∠AFS ，∠CFE =∠CFT ，∵∠AFD =∠CFE ，∴∠AFD =∠AFS =∠CFE =∠CFT ，由(1)可得：∠AFC =90°+12∠B =135°，∴∠CFE =180°-135°=45°，∴∠AFD =∠AFS =∠CFE =∠CFT =45°，∴∠CFS =135°-∠AFS =90°，∴CF ⊥SF ，又∵FT =FE ，CT =CE ，∴CF 垂直平分EF ，即：CF ⊥ET ，∴SF ∥ET ，∴S △SFT =S △SEF ，∴S △DEF =S △SFT∵S △ACF =S △AFS +S △CFT +S △SFT ，∴S △ACF =S △AFD +S △CEF +S △DEF ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及三角形角平分线相关的证明问题，掌握基本的辅助线添加思想，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题关键．2已知：如图所示，直线MA ∥NB ，∠MAB 与∠NBA 的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条直线MA 、NB 分别相交于点D 、E．(1)如图1，当直线l 与直线MA 垂直时，猜想线段AD 、BE 、AB 之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；(2)当直线l 与直线MA 不垂直，且交点D 、E 在AB 的异侧时，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD 、BE 、AB 之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系；(3)如图2，当直线MA 与直线NB 相交于点F 时，延长AC ，BC ，分别交BN ，AM 于点E ，D ，直线MA 与直线NB 所夹的锐角为多少度时，线段AD 、BE 、AB 之间仍满足(1)间中的数量关系？请说明理由．【答案】(1)AD +BE =AB(2)不成立，BE -AD =AB 或AD -BE =AB(3)60°，理由见解析【分析】(1)作CH ⊥AB 于点H ，然后证明△ACD ≌△ACH ，△BCH ≌△BCE 即可得出结论；(2)分别画出两种情形，结合全等三角形的判定与性质进行解答即可；(3)当MA 与NB 夹角为60°时．AD +BE =AB ，在AB 上截取点G ．使AG =AD ．连接CG ，分别证明△CDA ≌△CGA ，△GCB ≌△ECB ，进而得出结论．【详解】(1)解：结论：AD +BE =AB ，理由如下：作CH ⊥AB 于点H ，∵CD ⊥AM ,CH ⊥AB ，∴∠ADC =∠CHA =90°，在△ACD 和△ACH 中，∠DAC =∠HAC∠ADC =∠AHC AC =AC，∴△ACD ≌△ACH (AAS )，∴AD =AH ，同理可证△BCH ≌△BCE ，∴BH =BE ，∴AD +BE =AH +BH =AB ；(2)不成立，如下图，结论：AD -BE =AB ，理由：延长BC 角AM 于B，∵AD∥BN，∴∠B BN=∠AB B=∠ABB ，∠B DC=∠CEB，∴AB =AB，∵∠B AC=∠BAC，∴AC⊥BB ，CB =CB，在△CDB 和△CEB中，∠CDB =∠CEB∠DCB =∠ECBB C=BC，∴△CDB ≌△CEB(AAS)，∴DB =EB，∴AD-BE=AD-B D=AB =AB，即AD-BE=AB；如下图：同理可证：BE-AD=AB；(3)当MA与NB夹角为60°时．AD+BE=AB，证明：∵∠AFB=60°，AE、BD分别平分∠FAB、∠FBA，∴∠ACB=120°，∴∠ACD=∠BCE=60°，在AB上截取点G．使AG=AD．连接CG，在△CDA和△CGA中，∵DA=GA∠DAC=∠GAC AC=AC，∴△CDA≌△CGA(SAS)，∴∠GCA=∠DCA=60°，∵∠ACB=120°，∴∠GCB=60°，∵∠ECB=60°，∴∠GCB=∠ECB，在△GCB和△ECB中，∵∠GBC=∠EBC CB=CB∠GCB=∠ECB ，∴△GCB≌△ECB(ASA)，∴GB=EB，∴AB=AD+BE．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理以及性质定理结合“截长补短法”构造全等三角形是解本题的关键．3例：截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．(1)如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC=120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：将△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC=180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD=DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；(2)如图2，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．点D是边BC下方一点，∠BDC=90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】(1)DA=DB+DC;(2)2DA=DB+DC,证明见解析.【分析】(1)由旋转60°可得AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，根据∠BAC+∠BDC= 180°，可知∠ABD+∠ACD=180°，则∠ACE+∠ACD=180°，易知△ADE是等边三角形，所以AD= DE，从而解决问题．(2)延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,由已知可得∠ABD+∠ACD=180°,根据∠ACE+∠ACD=180°,可得∠ABD=∠ACE,可证△ABD≅△ACE,进而可得AD=AE,∠BAD=∠CAE,可得∠DAE=∠BAC=90°,由勾股定理可得：DA2+AE2=DE2,进行等量代换可得结论.【详解】(1)结论：DA=DB+DC.理由：∵△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACE，∴AE=AD，CE=BD，∠ABD=∠ACE，∠DAE=60°，∵∠BAC+∠BDC=180°，∴∠ABD+∠ACD=180°，∴∠ACE+∠ACD=180°，∴D,C,E三点共线，∵AE=AD，∠DAE=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∴AD=DC+CE=DB+DC;(2)结论：2DA=DB+DC,证明如下：如图所示，延长DC到点E,使CE=BD，连接AE,∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∴∠ABD+∠ACD=180°,∵∠ACE+∠ACD=180°,∴∠ABD=∠ACE,∵AB=AC,CE=BD,∴△ABD≅△ACE(SAS),∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,∴∠DAE=∠BAC=90°,∴DA2+AE2=DE2,∴2DA2=DB+DC2,∴2DA=DB+DC.【点睛】本题主要考查了截长补短的方法，通过全等三角形得到线段间的等量关系，正确作出辅助线找到全等三角形是解题的关键.4在△ABC中，AB=AC，点D与点E分别在AB、AC边上，DE⎳BC，且DE=DB，点F与点G分别在BC、AC边上，∠FDG=12∠BDE．(1)如图1，若∠BDE=120°，DF⊥BC，点G与点C重合，BF=1，直接写出BC=；(2)如图2，当G在线段EC上时，探究线段BF、EG、FG的数量关系，并给予证明；(3)如图3，当G在线段AE上时，直接写出线段BF、EG、FG的数量关系：．【答案】(1)4；(2)FG=BF+EG，见解析；(3)FG=BF-EG【分析】(1)解直角三角形分别求出DF，CF即可解决问题．(2)如图2中，结论：FG=BF+EG．在EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG=GH即可解决问题．(3)如图3中，结论：FG=BF-EG．在射线EA上截取EH，使得EH=BF．利用两次全等，证明FG= GH即可解决问题．【详解】(1)∵DE∥BC，∴∠BDE+∠ABC=180°，∵∠BDE=120°，∴∠ABC=60°，∵DF⊥BF，∴∠BFD=90°，∴DF=BF•tan60°=1×3=3，∵∠CDF=12∠BDE=60°，∠DFC=90°，∴CF=DF•tan60°=3×3=3，∴BC=BF+CF=1+3=4；(2)如图2中，结论：FG=BF+EG．理由：在EA上截取EH，使得EH=BF．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴∠ADE=∠AED，∴∠DEH=∠B，在△DBF和△DEH中，BF=EH∠B=∠DEH BD=DE，∴△DBF≌△DEH(SAS)，∴DF=DH，∠BDF=∠EDH，∵∠FDG=12∠BDE，∴∠BDF+∠EDG=∠EDH+∠EDG=∠GDH=12∠BDE，∴∠GDF=∠GDH，在△DGF和△DGH中，DF=DH∠GDF=∠GDH DG=DG，∴△DGF≌△DGH(SAS)，∴FG=HG，∵HG=EG+HE=EG+BF，∴FG=BF+EG；(3)如图3中，结论：FG =BF -EG ．理由：在射线EA 上截取EH ，使得EH =BF ．∵AB =AC ，∴∠B =∠C ，∵DE ∥BC ，∴∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ，∴∠ADE =∠AED ，∴∠DEH =∠B ，在△DBF 和△DEH 中，BF =EH∠B =∠DEH BD =DE，∴△DBF ≌△DEH (SAS )，∴DF =DH ，∠BDF =∠EDH ，∴∠BDE =∠FDH ，∵∠FDG =12∠BDE =12∠FDH ，∴∠GDF =∠GDH ，在△DGF 和△DGH 中，DF =DH∠GDF =∠GDH DG =DG，∴△DGF ≌△DGH (SAS )，∴FG =HG ，∵HG =HE -GE =BF -EG ，∴FG =BF =-EG ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5如图，在等边△ABC 中，BD =CE ，连接AD 、BE 交于点F ．(1)求∠AFE 的度数；(2)连接FC ，若CF ⊥AD 时，求证：BD =12DC ．【答案】(1)60°；(2)证明见解析；(3)证明见解析【分析】(1)证明△ABD ≌△BCE (SAS )，得出∠BAD =∠CBE ，则∠BFD=∠AFE =∠ABC =60°；(2)延长BE至H，使FH=AF，连接AH，CH，证明△BAF≌△CAH(SAS)，得出∠ABF=∠ACH，CH=BF，可证明AF∥CH，得出BFFH =BDCD=12，进而即可得出答案．【详解】解：(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，在△ABD和△BCE中，AB=BC∠ABD=∠BCEBD=CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)，∴∠BAD=∠CBE，∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠ABC，∴∠BFD=∠AFE=∠ABC=60°；(2)证明：延长BE至H，使FH=AF，连接AH，CH，由(1)知∠AFE=60°，∠BAD=∠CBE，∴△AFH是等边三角形，∴∠FAH=60°，AF=AH，∴∠BAC=∠FAH=60°，∴∠BAC-∠CAD=∠FAH-∠CAD，即∠BAF=∠CAH，在△BAF和△CAH中，AB=AC∠BAF=∠CAHAF=AH,∴△BAF≌△CAH(SAS)，∴∠ABF=∠ACH，CH=BF，又∵∠ABC=∠BAC，∠BAD=∠CBE，∴∠ABC-∠CBE=∠BAC-∠BAD，即∠ABF=∠CAF，∴∠ACH=∠CAF，∴AF∥CH，∵∠AFC=90°，∠AFE=60°，∴CF⊥CH，∠CFH=30°，∴FH=2CH，∴FH=2BF，∵FD∥CH，∴BF FH =BDCD=12，∴BD=12DC．【点睛】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定及其性质、相似三角形的判定及其性质，解题的关键熟练掌握全等三角形的判定方法和相似三角形的判定方法．6如图，△ABC中，AB=AC，∠EAF=12∠BAC，BF⊥AE 于E交AF于点F，连结CF．(1)如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF=BE+CF．(2)如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF=BF+2BE．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】(1)在EF上截取EH=BE，由“SAS”可证ΔACF≅ΔAHF，可得CF=HF，可得结论；(2)在BE的延长线上截取EN=BE，连接AN，由“SAS”可证ΔACF≅ΔANF，可得CF=NF，可得结论．【详解】解：证明：(1)如图，在EF上截取EH=BE，连接AH，∵EB=EH，AE⊥BF，∴AB=AH，∵AB=AH，AE⊥BH，∴∠BAE=∠EAH，∵AB=AC，∴AC=AH，∵∠EAF==12∠BAC∴∠BAE+∠CAF=∠EAF，∴∠BAE+∠CAF=∠EAH+∠FAH，∴∠CAF=∠HAF，在ΔACF和ΔAHF中，AC=AH∠CAF=∠HAF AF=AF，∴ΔACF≅ΔAHF(SAS)，∴CF=HF，∴EF=EH+HF=BE+CF；(2)如图，在BE 的延长线上截取EN =BE ，连接AN ，∵AE ⊥BF ，BE =EN ，AB =AC ，∴AN =AB =AC ，∵AN =AB ，AE ⊥BN ，∴∠BAE =∠NAE ，∵∠EAF ==12∠BAC ∴∠EAF +∠NAE =12(∠BAC +2∠NAE )∴∠FAN =12∠CAN ，∴∠FAN =∠CAF ，在ΔACF 和ΔANF 中，AC =AN∠CAF =∠NAF AF =AF，∴ΔACF ≅ΔANF(SAS )，∴CF =NF ，∴CF =BF +2BE ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．7如图，在△ABC 中，∠A =45°．(1)如图1，若AC =62，BC =213，求△ABC 的面积；(2)如图2，D 为△ABC 外的一点，连接CD ，BD 且CD =CB ，∠ABD =∠BCD ．过点C 作CE ⊥AC 交AB 的延长线于点E ．求证：BD +2AB =2AC ．(3)如图3，在(2)的条件下，作AP 平分∠CAE 交CE 于点P ，过E 点作EM ⊥AP 交AP 的延长线于点M ．点K 为直线AC 上的一个动点，连接MK ，过M 点作MK '⊥MK ，且始终满足MK '=MK ，连接AK '．若AC =4，请直接写出AK '+MK '取得最小值时AK '+MK ' 2的值．【答案】(1)6；(2)证明见解析；(3)48+242【分析】(1)通过作辅助线构造等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB 边上的高和AB ，再利用三角形面积公式求解；(2)通过在BE上截取BF=BD，构造出两组全等三角形，即可完成求证；(3)先通过延长ME，构造全等三角形，得出AK'+MK'=FK+MK，利用轴对称，得出AK'+MK'的最小值等于FM'，最后利用直角三角形的性质与勾股定理进行计算求解即可．【详解】解：(1)如图，过C点作CD⊥AB，垂足为点D，∵∠A=45°，∴∠A=∠ACD=45°，∴AD=CD，∵AC=62，且AC2=AD2+CD2，∴AD=CD=6，∵BC=213，∴BD=BC2-CD2=4，∴AB=AD-BD=6-4=2,∴S△ABC=12×AB×CD=12×2×6=6，∴△ABC的面积为6．(2)如图所示，在BE上截取BF=BD，∵∠D+∠DCB+∠DBC=180°，∠1+∠DBC+∠2=180°，且∠1=∠BCD，∴∠D=∠2，∵CD=CB，∴△CDB≌△CBF(SAS)，∴CB=CF，∴∠2=∠3，∴∠ABC=∠EFC，∵∠A=45°，AC⊥CE，∴∠E=45°，∴∠A=∠E，∴△ABC≌△EFC(AAS)，∴AC=CE,AB=EF，∴AE=AB+BF+EF=2AB+BD,∵AE2=AC2+CE2,∴AE=2AC,∴BD+2AB=2AC；(3)如图3，延长ME至F，使MF=MA，连接KF，∵∠KMK'=∠AMF=90°，∴∠AMK'=∠FMK，又∵MK'=MK，∴△AMK'≌△FMK SAS，∴AK'=FK，∴AK'+MK'=FK+MK，作M点关于AC的对称点M'，则M'K=MK，∴AK'+MK'=FK+MK=FK+M'K，连接M'K，则M'K+FK≥M'F，∴当M'、K、F共线时FK+M'K的值最小，等于M'F，∴AK'+MK'取得最小值时AK'+MK'2的值即为M'F2的值，连接M'A、AF，由轴对称的性质可得：∠M'AC=∠MAC，AM'=AM，∵∠CAE=45°，AM平分∠CAE，∴∠CAM=22.5°，∴∠M'AC=∠CAM=22.5°，∴∠M'AM=45°，∵MA=MF，且∠AMF=90°，∴∠MAF=45°，∴∠M'AF=90°，∴M'F2=AM'2+AF2，∵AM2+MF2=2AM2∴M'F2=AM'2+AF2=AM2+2AM2=3AM2，如图4，取AE中点O点，连接OC，OM，作MH⊥AE于H，∵AC=4，∴AC=CE=4，∴AE=AC2+CE2=42由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OA=OC=OE=OM=22，∴∠AMO=∠MAO=22.5°，∴∠MOH=∠AMO+∠MAO=45°，∴∠MOH=∠OMH=45°，∴OH=MH，∵OH2+MH2=OM2=222=8,∴OH=MH=2，∴AH=22+2，∴AM2=AH2+MH2=16+82，∴AK'+MK'2=3AM2=48+242；∴AK'+MK'2的值为48+242．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、轴对称、等腰三角形的性质与判定等内容，解决本题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形或等腰直角三角形等，本题较为综合，要求学生有较强的理解能力与分析能力．。
八年级数学——截长补短练习题
截长补短一．解答题(共13小题)1．(2016秋•丰宁县期中)如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：BC=AB+CE．2．(2016秋•和平区期中)如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．∠∠∠∠．3．(2012•海曙区校级模拟)已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且∠∠∠∠=12(1)求证：BF=EF﹣ED；(2)连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．4．(2013•重庆模拟)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．(1)若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．(2)若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．5．如图，四边形ABCD中，∠ABC=90°，点E是AB上的点，∠ECD=45°，连接ED，过D作DF⊥BC于F，DF=BC．求证：ED﹣FC=BE．6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=∠BCD，E为AD中点，连接BE，CE(1)求证：BE=CE；(2)若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．7．(2017秋•卢氏县校级月考)如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C，求证：AC=AB+CE．8．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC．(1)求证：CE平分∠BCD；(2)求证：AD+BC=CD；(3)若AB=12，CD=13，求S△CDE．9．已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BF+DE．10．已知如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，(1)求：∠AOC的度数；(2)求证：AC=AE+CD．11．如图，已知AB=AC，∠BAC=60°，∠BDC=120°，求证：AD=BD+CD．12．如图，AD∥BC，EA，EB分别平分∠DAB，∠CBA，CD过点E，求证：AB=AD+BC．∠BDC．求证：AC=BD+CD．13．(2014秋•株洲县期末)如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣12截长补短参考答案与试题解析一．解答题(共13小题)1．(2016秋•丰宁县期中)如图，在△ABC中，∠A=100°，∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD．求证：BC=AB+CE．【解答】解：在BC上截取BF=AB，连DF，∵BD是∠ABC的平分线，∴∠1=∠2．则在△ABD与△FBD中，{∠∠=∠∠∠1=∠2∠∠=∠∠，∴△ABD≌△FBD(SAS)，∴DF=DA=DE，又∵∠A=100°，∠ABC=40°，∴∠ACB=∠ABC=40°，∠DFC=180°﹣∠A=80°，∴∠FDC=60°，∵∠EDC=∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠A=180°﹣20°﹣100°=60°，∴∠FDC=∠EDC，∴△DCE≌△DCF(SAS)，∴CE=CF，∴BC=BF+CF=AB+CE，即BC=AB+CE．2．(2016秋•和平区期中)如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于点E，∠B+∠D=180°．求证：AE=AD+BE．【解答】证明：如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于F，∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，∴CE=CF，∵∠B+∠ADC=180°．∠ADC+∠CDF=180°(平角定义)，∴∠CDF=∠B，在△CDF和△CBE中，{∠∠∠∠=∠∠∠∠=∠∠∠∠=90°∠∠=∠∠，∴△CDF≌△CBE(AAS)，∴DF=BE，在Rt△ACF和Rt△ACE中，{∠∠=∠∠∠∠=∠∠，∴Rt△ACF≌Rt△ACE(HL)，∴AE=AF，∵AF=AD+DF，∴AE=AD+BE．3．(2012•海曙区校级模拟)已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，点E、F分别在AD、AB上，且∠∠∠∠=12∠∠∠∠．(1)求证：BF=EF﹣ED；(2)连接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度数．【解答】(1)证明：旋转△BCF使BC与CD重合，∵AD∥BC，AB=DC，即梯形ABCD为等腰梯形，∴∠A=∠ADC，∠A+∠ABC=180°，∴∠ADC+∠ABC=180°，由旋转可知：∠ABC=∠CDF′，∴∠ADC+∠CDF′=180°，即∠ADF′为平角，∴A，D，F′共线，∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；(2)解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由(1)得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．4．(2013•重庆模拟)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，连接EF．(1)若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求AE的长．(2)若点F是CD的中点，求证：CE=BE﹣AD．【解答】解：(1)作EM⊥AB，交AB于点M．∵AE=BE，EM⊥AB，×6=3；∴AM=BM=12∵EF⊥AF，∴∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四边形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；在Rt△AFE中，AE=√∠∠2+∠∠2=5；(2)延长AF、BC交于点N．∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；∵F是CD的中点，∴DF=FC，∵∠AFD=∠NFC，∴△ADF≌△NCF(AAS)，∴AD=CN；∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．5．如图，四边形ABCD 中，∠ABC =90°，点E 是AB 上的点，∠ECD =45°，连接ED ，过D 作DF ⊥BC 于F ，DF =BC ．求证：ED ﹣FC =BE ．【解答】证明：延长EB 至G ，使BG =CF ，连接CG ，∵DF ⊥BC ，∴∠CBG =∠DFC =90°，在△BCG 和△FDC 中{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∴△BCG ≌△FDC ，∴CD =CG ，∠1=∠2，∵∠1+∠DCF =90°，∴∠2+∠DCF =90°，∵∠DCE =45°，∴∠ECG =45°，∴∠DCE =∠ECG ，在△DEC 和△EGC 中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∴△DEC ≌△EGC (SAS )，∴ED =EG ，∴ED ﹣FC =BE ．6．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，∠ABC =∠BCD ，E 为AD 中点，连接BE ，CE(1)求证：BE=CE；(2)若∠BEC=90°，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，交CE于点G，连接DG，求证：BG=DG+CD．【解答】解：∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E为AD中点，∴∠BAE=∠CDE，AE=DE，在△BAE与△CDE中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠，∴△BAE≌△CDE(SAS)，∴BE=CE；(2)延长CD和BE的延长线交于H，∵BF⊥CD，∠BEC=90°，∴∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°，∴∠EBF=∠ECH，在△BEG和△CEH中，{∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠=90°，∴△BEG≌△CEH(ASA)，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE，∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，在△GED和△HED中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠，∴△GED≌△HED(SAS)，∴DG=DH，∴BG=DG+CD7．(2017秋•卢氏县校级月考)如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD是△ABC的角平分线，∠1=∠C，求证：AC=AB+CE．【解答】证明：∵∠AED=∠1+∠C，∠1=∠C，∴∠AED=2∠C，ED=EC，AC∵∠B=2∠C，∴∠AED=∠B，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠DAB=∠DAC，在△DAB和△DAE中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠，∴△DAB≌△DAE，∴AB=AE，BD=DE=EC∴AC=AE+EC=AB+CE．8．如图，四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，DE平分∠ADC．(1)求证：CE平分∠BCD；(2)求证：AD+BC=CD；(3)若AB=12，CD=13，求S△CDE．【解答】(1)证明：作EM⊥CD垂足为M，∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，∴AE=EM，∵AE=EB，∴EM=EB，∵EB⊥BC，EM⊥CD，∴EC平分∠BCD．(2)证明：由(1)可知：AE=EM=EB，在RT△DEA和RT△DEM中，{∠∠=∠∠∠∠=∠∠，∴△DEA≌△DEM，∴DA=DM，同理可证：CB=CM∴CD=DM+MC=AD+BC．(3)解：由(1)可知：EM=AE=EB=12AB=6，∵EM⊥CD，CD=13，∴S△EDC=12•DC•EM=12×13×6=39．9．已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=45°，连接EF，求证：EF=BF+DE．【解答】证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAC=∠D=∠ABC=90°，∴把△AED绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，如图，∴AG=AE，BG=DE，∠EAG=90°，∠ABG=∠D=90°，∴点G在CB的延长线上，∴BF+BG=GF，∵∠EAF=45°，∴∠GAF=45°，在△AEF和△AGF中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠，∴△AEF≌△AGF，∴EF=FG，∴EF=BF+BG=BF+DE．10．已知如图，在△ABC中，∠B=60°，AD、CE是△ABC的角平分线，并且它们交于点O，(1)求：∠AOC的度数；(2)求证：AC=AE+CD．【解答】(1)解：∵∠B =60°，∴∠BAC +∠ACB =180°﹣60°=120°，∵AD 、CE 是△ABC 的角平分线，∴∠OAC +∠OCA =12(∠BAC +∠ACB )=12×120°=60°， 在△AOC 中，∠AOC =180°﹣(∠OAC +∠OCA )=180°﹣60°=120°；(2)证明：如图，在AC 上截取AF =AE ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠OAE =∠OAF ，在△AOE 和△AOF 中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠，∴△AOE ≌△AOF (SAS )，∴∠AOF =∠AOE ，∵∠AOE =180°﹣∠AOC =180°﹣120°=60°，∴∠AOF =60°，∵∠COF =∠AOC ﹣∠AOF =120°﹣60°=60°，∠COD =∠AOE =60°，∴∠COD =∠COF ，∵CE 是△ABC 的平分线，∴∠OCD =∠OCF ，在△COD 和△COF 中，{∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠，∴△COD ≌△COF (ASA )，∴CF =CD ，∵AC =AF +CF ，∴AC =AE +CD ．11．如图，已知AB =AC ，∠BAC =60°，∠BDC =120°，求证：AD =BD +CD ．【解答】解：延长DB ，使BE =CD ，连接AE ，BC ，∵∠BAC +∠ACD +∠BDC +∠ABD =360°，∠BAC =60°，∠BDC =120°，∴∠ABD +∠ACD =180°，∴A ，B ，D ，C 四点共圆，∴∠ACB =∠ADE ，∵∠ABD +∠ABE =180°，∴∠ABE =∠ACD ，∵AB =AC ，∴△ABC 是等边三角形，∴∠ACB =60°，∴∠ADE =60°，在△ABE 和△ACD 中，{∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠∠∠∠∠=∠∠， ∴△ABE ≌△ACD (SAS )，∴AE =AD ，∴△ADE 是等边三角形，∴AD =DE ，∵DE =BD +BE ，∴AD =BD +CD ．12．如图，AD ∥BC ，EA ，EB 分别平分∠DAB ，∠CBA ，CD 过点E ，求证：AB =AD +BC ．【解答】解：过E 作EF ∥AD ，交AB 于F ，则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，∴AF=EF=FB，又∵EF∥AD∥BC，∴EF是梯形ABCD的中位线，，∴EF=∠∠+∠∠2∴AF+FB=2EF，∴AB=AD+BC．∠BDC．求证：AC=BD+CD．13．(2014秋•株洲县期末)如图，已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外一点且∠ABD=60°，∠ADB=90°﹣12【解答】证明：以AD为轴作△ABD的对称△AB′D(如图)，则有B′D=BD，AB′=AB=AC，∠BDC，∠B′=∠ABD=60°，∠ADB′=∠ADB=90°﹣12所以∠ADB′+∠ADB+∠BDC=180°﹣∠BDC+∠BDC=180°，所以C、D、B′在一条直线上，所以△ACB′是等边三角形，所以CA=CB′=CD+DB′=CD+BD．。
初二数学 数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案
初二数学 数学全全等三角形截长补短的专项培优练习题(含答案一、全等三角形截长补短1．已知ABC 是等边三角形，6AB =．（1）如图1，点M 是BC 延长线上一点，60AMN ∠=︒，MN 交ABC 的外角平分线于点N ，求CN CM -的值；（2）如图2，过点A 作AD BC ⊥于点D ，点P 是直线AD 上一点，以CP 为边，在CP 的下方作等边CPQ ，连接DQ ，求DQ 的最小值．2．数学课上，小白遇到这样一个问题：如图1，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD AE =，求证ABE ACD ∠=∠；在此问题的基础上，老师补充：过点A 作AF BE ⊥于点G 交BC 于点F ，过F 作FP CD ⊥交BE 于点P ，交CD 于点H ，试探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并说明理由．小白通过研究发现，AFB ∠与HFC ∠有某种数量关系；小明通过研究发现，将三条线段中的两条放到同一条直线上，即“截长补短”，再通过进一步推理，可以得出结论．阅读上面材料，请回答下面问题：（1）求证ABE ACD ∠=∠；（2）猜想AFB ∠与HFC ∠的数量关系，并证明；（3）探究线段BP ，FP ，AF 之间的数量关系，并证明．3．如图①，ABC 和BDC 是等腰三角形，且AB AC =，BD CD =，80BAC ∠=︒，100∠=︒BDC ，以D 为顶点作一个50︒角，角的两边分别交边AB ，AC 于点E 、F ，连接EF ．（1）探究BE 、EF 、FC 之间的关系，并说明理由；（2）若点E 、F 分别在AB 、CA 延长线上，其他条件不变，如图②所示，则BE 、EF 、FC 之间存在什么样的关系？并说明理由．4．如图，ABC ∆中，BE ，CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BE ，CD 相交于点F ，60A ∠=︒．（1）求BFD ∠的度数；（2）判断BC ，BD ，CE 之间的等量关系，并证明你的结论．5．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD ，以D 为顶点作MDN ∠，交边AC ，BC 于点M ，N ．（1）如图（1），若30ACD ∠=︒，60MDN ∠=︒，当MDN ∠绕点D 旋转时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；（2）如图（2），当90ACD MDN ∠+∠=︒时，AM ，MN ，BN 三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；（3）如图（3），在（2）的条件下，若将M ，N 分别改在CA ，BC 的延长线上，完成图（3），其余条件不变，则AM ，MN ，BN 之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）．6．（1）方法选择如图①，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，AB BC AC ==，求证：BD AD CD =+．小颖认为可用截长法证明：在DB 上截取DM AD =，连接AM ……小军认为可用补短法证明：延长CD 至点N ，使得DN AD =……请你选择一种方法证明．（2）类比探究探究1如图②，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ，若BC 是⊙O 的直径，AB AC =，试用等式表示线段AD ，BD ，CD 之间的数量关系，并证明你的结论． 探究2如图③，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，连接AC ，BD ．若BC 是⊙O 的直径，::::BC AC AB a b c =，则线段AD ，BD ，CD 之间的等量关系式是______．7．如图，在正方形ABCD 中，点F 是CD 的中点，点E 是BC 边上的一点，且AF 平分DAE ∠，求证：AE EC CD =+．8．如图所示，平行四边形ABCD 和平行四边形CDEF 有公共边CD ，边AB 和EF 在同一条直线上，AC ⊥CD 且AC=AF ，过点A 作AH ⊥BC 交CF 于点G ，交BC 于点H ，连接EG ．（1）若AE=2，CD=5，则△BCF 的面积为 ；△BCF 的周长为 ；（2）求证：BC=AG+EG ．9．已知，在ABCD 中，AB BD AB BD E ⊥=，，为射线BC 上一点，连接AE 交BD 于点F .（1）如图1，若E 点与点C 重合，且25AF =，求AD 的长；（2）如图2，当点E 在BC 边上时，过点D 作DG AE ⊥于G ，延长DG 交BC 于H ，连接FH .求证：AF DH FH =+．（3）如图3，当点E 在射线BC 上运动时，过点D 作DG AE ⊥于G M ，为AG 的中点，点N 在BC 边上且1BN =，已知42AB =，请直接写出MN 的最小值．10．如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC ∠、BCA ∠的平分线，AD 、CE 相交于点F ．（1）求出AFC ∠的度数；（2）判断FE 与FD 之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC 上截取CG CD =，连接FG ．）（3）如图2，在△ABC ∆中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE 、CD 与AC 之间的数量关系并说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、全等三角形截长补短1．（1）6；（2）32【分析】（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，先证出△CMH 为等边三角形，然后利用ASA 证出△AMC ≌△NMH ，从而得出AC=NH ，从而求出结论；（2）连接BQ ，利用SAS 证出△QCB ≌△PCA ，从而得出∠CBQ=∠CAP ，然后根据三线合一和等量代换即可求出∠CBQ=30°、∠ABQ =90°，从而判断出点Q 的运动轨迹，然后根据垂线段最短即可得出当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短，然后利用30°所对的直角边是斜边的一半即可得出结论．【详解】解：（1）在CN 上截取点H ，使CH=CM ，连接MH∵△ABC 为等边三角形∴∠ACB=60°，AC=AB=6∴∠ACM=180°－∠ACB=120°∵CN 平分∠ACM∴∠MCN=12∠ACM=60° ∴△CMH 为等边三角形 ∴CM=HM ，∠CMH=∠CHM=60°∴∠NHM=180°－∠CHM=120°，∠AMC ＋∠AMH=60°∴∠ACM=∠NHM∵60AMN ∠=︒∴∠NMH ＋∠AMH=60°∴∠AMC=∠NMH在△AMC 和△NMH 中AMC NMH CM HMACM NHM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△AMC ≌△NMH∴AC=NH∴CN CM -=CN －CH=NH=AC=6（2）连接BQ∵△ABC 和△CPQ 都是等边三角形∴BC=AC ，QC=PC ，∠PCQ =∠ACB=∠ABC=∠BAC =60°∴∠PCQ －∠PCB=∠ACB －∠PCB∴∠QCB=∠PCA在△QCB 和△PCA 中BC AC QCB PCA QC PC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QCB ≌△PCA∴∠CBQ=∠CAP∵AD BC ⊥∴∠CAP=12∠BAC=30°，BD=12BC=3 ∴∠CBQ=30°∴∠ABQ=∠ABC ＋∠CBQ=90°∴点Q 在过点B 作AB 的垂线上运动 根据垂线段最短可得：当DQ ⊥BQ 时，DQ 最短此时在Rt △BDQ 中，∠QBD=30°∴DQ=12BD=32即DQ 的最小值为32．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、直角三角形的性质和垂线段最短的应用，掌握构造全等三角形的方法、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、30°所对的直角边是斜边的一半和垂线段最短是解决此题的关键． 2．（1）见解析；（2）HFC BFA ∠=∠，证明见解析；（3）BP AF PF =+，证明见解析【分析】（1）利用SAS 证明ABE ACD ≅可得结论；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，推出=45BFA x ∠︒+，=45HFC x ∠︒+，即可证明HFC BFA ∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，证明△ABE ≌△CAM ，得出BE AM =和M BEA ∠=∠，从而证明△NFC ≌△MFC ，得到FM FN =和M FNC ∠=∠，可得PN=PE ，从而得出BP=AF+PF.【详解】解：（1）∵在△ABE 和△ACD 中，==AB AC A A AE AD ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，ABE ACD ∴∆≅∆（SAS ），ABE ACD ∴∠=∠；（2）设ABE ACD x ∠=∠=，AF BE ⊥，90BAF x ∴∠=︒-，()=9045=45BFA x x ∴∠︒-︒-︒+，ACD x ∠=，45HCF x ∴∠=︒-，FP CD ⊥，()9045=45HFC x x ∴∠=︒-︒-︒+，HFC BFA ∴∠=∠；（3）过点C 作CM AC ⊥交AF 延长线于点M ，延长FP 交AC 于点N ，90BAF FAC ∠+∠=︒，90BAF ABG ∠+∠=︒，FAC ABG ∴∠=∠，在△ABE 和△CAM 中，===BAE ACM AB AC ABE CAM ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩， ABE CAM ∴∆≅∆（ASA ），BE AM ∴=，M BEA ∠=∠，BFA MFC NFC ∠=∠=∠，FC FC =，45ACB BCM ∠=∠=︒，NFC MFC ∴∆≅∆（ASA ），FM FN ∴=，M FNC ∠=∠，FNC BEA ∴∠=∠，PN PE ∴=，∴BP BE PE AM PE AF FM PE =-=-=+-AF FN PN AF PF =+-=+.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及等角对等边等知识点，解题的关键是根据截长补短法添加适当的辅助线，构造全等三角形证明结论，有一定难度. 3．（1）EF=BE+FC ；（2）EF=FC-BE ．【分析】（1）由等腰三角形的性质，解得50ABC ACB ∠=∠=︒，40DBC DCB ∠=∠=︒，延长AB 至G ，使得BG=CF ，连接DG ，进而证明GBD △()FCD SAS ≅，再根据全等三角形对应边相等的性质解得DG FD =，再结合等腰三角形的性质可证明DEF ()DGE SAS ≅，最后根据全等三角形的性质解题即可；（2）在CA 上截取CG=BE,连接DG ，由等腰三角形的性质，可得50ABC ACB ∠=∠=︒，40DBC DCB ∠=∠=︒，进而证明BED ≅()CGD SAS 得到DG DE =，据此方法再证明EDF ≅()GDF SAS ，最后根据全等三角形的性质解题即可．【详解】 （1）ABC 和BDC 是等腰三角形， ABC ACB ∴∠=∠DBC DCB ∴∠=∠80BAC AB AC ∠=︒=，50ABC ACB ∴∠=∠=︒100BDC BD CD ∠=︒=，40DBC DCB ∴∠=∠=︒90ABD ACD DCF ∴∠=∠=︒=∠延长AB 至G ，使得BG=CF ，连接DG18090GBD ABD ∠=︒-∠=︒在GBD △和FCD 中，BG=CF ，GBD DCF BD FD ∠=∠=，∴GBD △()FCD SAS ≅，DG FD ∴=BDG CDF ∴∠=∠50100EDF BDC ∴∠=︒∠=︒，50BDE CDF ∴∠+∠=︒50GDE BDG BDE CDF BDE ∠=∠+∠=∠+∠=︒在DEF 和DGE △中，DE=DE ，EDF GDE DF GD ∠=∠=，∴DEF ()DGE SAS ≅，EF EG BE GB BE CF ∴==+=+（2）在CA 上截取CG=BE,连接DGABC 是等腰三角形，80BAC ∠=︒50ABC ACB ∴∠=∠=︒100BDC BD CD ∠=︒=，40DBC DCB ∴∠=∠=︒90EBD GCD ∴∠=∠=︒CG BE BD CD ==，在BED 和CGD △中，CG=BE ，EBD GCD BD CD ∠=∠=，BED ∴≅()CGD SASDG DE ∴=在EDF 和GDF 中，FD=FD ，GDF EDF ED GD ∠=∠=，EDF ∴≅()GDF SASEF FG FC CG FC BE ∴==-=-【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．4．（1）∠BFD ＝60°；（2）BC ＝BD ＋CE ；证明见解析【分析】（1）根据角平分线和外角性质求解即可；（2）在BC 上截取BG ＝BD ，连接FG ，证明△BDF ≌△BGF ，△CGF ≌△CEF ，即可得到结果；【详解】（1）∵BE ，CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BE ，∴ABE CBE ∠=∠，ACD BCD ∠=∠，∵60A ∠=︒，∴120ABC ACB ∠+∠=︒，∴60FBC FCB ∠+∠=︒，∴60DFB ∠=︒．（2）BC ＝BD ＋CE ；证明方法：在BC 上截取BG ＝BD ，连接FG ，在△BDF 和△BGF 中，BD BG DBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()△△BDF BGFSAS ≅， ∴60DFB BFG ∠=∠=︒，又∵GCF ECF ∠=∠，∴△CGF ≌△CEF （ASA ）,∴CE ＝CG ，∴BC ＝BD ＋CE ．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、外角定理、三角形全等应用，准确分析是解题的关键．5．（1）AM BN MN +=；证明见解析；（2）AM BN MN +=；证明见解析；（3）补图见解析；BN AM MN -=；证明见解析．【分析】（1）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（2）延长CB 到E ，使BE=AM ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可；（3）在CB 截取BE=AM ，连接DE ，证△DAM ≌△DBE ，推出∠BDE=∠MDA ，DM=DE ，证△MDN ≌△EDN ，推出MN=NE 即可．【详解】（1）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A EBD ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．MDN ADC BDC ∠=∠=∠，ADM NDC BDE ∴∠=∠=∠，MDC NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（2）AM BN MN +=．证明如下：如图，延长CB 到E ，使BE AM =，连接DE ．90A CBD ∠=∠=︒，90A DBE ∴∠=∠=︒．ADC BDC ≌，AD BD ∴=，ADC CDB ∠=∠．在DAM △和DBE 中，AM BE A DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE MDA ∴∠=∠，DM DE =．90MDN ACD ∠+∠=︒，90ACD ADC ∠+∠=︒，ADC CDB ∠=∠，NDM ADC CDB ∴∠=∠=∠，ADM CDN BDE ∴∠=∠=∠，CDM NDB ∠=∠，MDN NDE ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BE BN AM BN =+=+，AM BN MN ∴+=；（3）补充完成题图，如图所示．BN AM MN -=．证明如下：如上图，在CB 上截取BE=AM ，连接DE ．90CDA ACD ∠+∠=︒，90MDN ACD ∠+∠=︒，MDN CDA ∴∠=∠，MDA CDN ∴∠=∠．90B CAD ∠=∠=︒，90B DAM ∴∠=∠=︒．在DAM △和DBE 中，AM BE DAM DBE AD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAM DBE SAS ∴≌，BDE ADM CDN ∴∠=∠=∠，DM DE =．ADC BDC MDN ∠=∠=∠，ADN CDE ∴∠=∠，MDN EDN ∴∠=∠．在MDN △和EDN △中，DM DE MDN EDN DN DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()MDN EDN SAS ∴△≌△，MN NE ∴=．NE BN BE BN AM =-=-，BN AM MN ∴-=．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．6．（1）见解析；（2）①BD CD =+，见解析，②c a BD CD AD b b=+ 【分析】 （1）根据题中所给的截长法或补短法思路解题，利用全等三角形的性质解题即可．（2）探究1 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，结合（1）中所给方法，在BD 上截取BM CD =，再利用全等三角形及等腰直角三角形的性质进行求解．探究2 要求AD 、BD 、CD 之间的数量关系，以AD 为边构造直角三角形，再利用相似的性质求解．【详解】（1）截长法 证明：如图①-1，在DB 上截取DM AD =，连接AM ，AB BC AC ==，ABC ∴是等边三角形，60ABC ACB BAC ∴∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，DM AD =，AMD ∴△是等边三角形，60MAD ∴∠=︒，AM AD =．BAM CAD ∴∠=∠，()BAM CAD SAS ∴△≌△，BM CD ∴=，BD DM BM AD CD ∴=+=+；补短法 证明：如图①-2，延长CD 至点N ，使得DN AD =，DAN DNA ∴∠=∠．AB AC BC ==，ABC ∴为等边三角形，60ABC ACB BAC ∠=∠=∠=︒．60ADB ACB ∴∠=∠=︒，60BDC BAC ∠=∠=︒，18060ADN BDC ADB ∴∠=︒-∠-∠=︒，ADN ∴为等边三角形，AD AN =，60DAN ∠=︒．BAD CAN ∴∠=∠．在BAD 和CAN △中，AB AC BAD CAN AD AN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BAD CAN SAS ∴△≌△，BD CN ∴=，又CN CD DN CD AD =+=+，BD CD AD ∴=+．（2）探究1 解：2BD AD CD =+； 证明：如图②，在BD 上截取BM CD =，连接AM ，BC 是O 的直径，AB AC =，90BAC ∴∠=︒，45ABC ACB ∠=∠=︒．45ADM ACB ∴∠=∠=︒，在BAM 和CAD 中，,AB AC ABM ACD BM CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()BAM CAD SAS ∴△≌△，AM AD ∴=，BAM CAD ∠=∠．45AMD ADM ∴∠=∠=︒，90MAD ∠=︒．AMD ∴△是等腰直角三角形，2MD AD ∴=．BD MD BM =+，2BD AD CD ∴=+；探究2 解：c a BD CD AD b b=+． 如图③，过点A 作AM AD ⊥交BD 于点M ，BC 是O 的直径，90BAC ∴∠=︒，BAC MAD ∴∠=∠，BAM CAD ∴∠=∠，ABM DCA ∠=∠，BAM CAD ∴△∽△，BM AB c CD AC b ∴==，c BM CD b ∴=， 又ADM ACB ∠=∠，MAD BAC ∠=∠，ADM ACB ∴△∽△，DM BC a AD AC b ∴==，a DM AD b∴=， BD BM MD =+，c a BD CD AD b b∴=+．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．7．见解析【分析】过F 作FH ⊥AE 于H ，得出FH=FD ，然后证明△FHE ≌△FCE ，再通过等价转换可证得AE=EC+CD ．【详解】证明：过F 作FH ⊥AE 于H ，如图，∵AF 平分∠DAE ，∠D=90°，FH ⊥AE ，∴∠DAF=∠EAF ，FH=FD ，又∵DF=FC=FH ，FE 为公共边，∴△FHE ≌△FCE （HL ）．∴HE=CE ．∵AE=AH+HE ，AH=AD=CD ，HE=CE ，∴AE=EC+CD ．【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，也考查了等量代换的思想，属于比较典型的题目．8．（1）3，23234++；（2）见解析【分析】（1）根据平行和垂直的特点求出BF ，AF ，再根据勾股定理求出CD ，根据FP 与BA 的比值求出面积，再根据勾股定理求CF ，BC 即可得到周长． （2）在AD 上截取AM=AG ，连接CM ，证△FAG ≌△CAM ；证△EFG ≌△DCM ．【详解】解：（1）面积为3；周长为23234++∵四边形ABCD 和四边形CDEF 都是平行四边形，∴EF=CD ，AB=CD ，AB ∥CD∴EF=AB=CD=5∴AE=EF-AE=5-2=3 ∴BF=5-3=2过F 作FP ⊥BC则FP ：AH=BF ：AB=2：5，∴::2:5BCF BCA S S FP AH == , ∵AC ⊥CD ，AB ∥CD,∴AB ⊥AC ，即∠BAC=90°，∵AC=AF=3,∴223332+= ，223534+=，∴2213552BCF BCA S S CD AC ==⨯⨯=∴△BCF 的面积为3，△BCF 周长为23234+（2）在AD 上截取AM=AG ，连接CM ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC∵AH ⊥BC∴AD ⊥AH∴∠DAH=90°∵∠BAC=90°∴∠DAH=∠BAC∴∠DAH-∠CAH =∠BAC-∠CAH∴∠BAH=∠CAD∵AF=AC∴△FAG ≌△CAM∴FG=CM ，∠ACM=∠AFG∵四边形CDEF 是平行四边形，∴EF ∥CD ，EF=CD ，∴∠DCF+∠AFC=180°，∵AF=AC ， ∠BAC=90°，∴∠AFC=∠ACF=45°，∴∠DCF=180°-∠AFC=135°，∴∠ACM=∠AFG=45°，∴∠DCM=∠FCD-∠ACF-∠ACM=45°，∴∠AFG=∠DCM ，∴△EFG ≌△DCM ，∴EG=DM ，∵AD=AM+DM ，∴AD=AG+EG ，∵AD=BC ，∴BC=AG+EG ．【点睛】此题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例和勾股定理的应用．9．（1）42AD =2）见解析；（3）MN 的最小值为3．【分析】（1）如图1中，利用等腰三角形的性质可得90ABD ∠=︒，利用平行四边形的性质可得F 为BD 中点，在Rt ABF ∆中，由勾股定理可求得BF ，则可求得AB ，在Rt ABD∆中，再利用勾股定理可求得AD ；（2）如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，可先证明ABK DBH ∆≅∆，再证明BFK BFH ∆≅∆，可证得结论；（3）连接AN 并延长到Q ，使NQ AN =，连接GQ ，取AD 的中点O ，连接OG ，得到90AGD ∠=︒，于是得到点G 的轨迹是以O 为圆心，以OG 为半径的弧，且4OG =，求得GQ 最小值为6，根据三角形的中位线定理即可得到结论．【详解】（1）45AB BD BAD =∠=︒,，45BDA BAD ∴∠=∠=︒90 ABD ∴∠=︒，四边形ABCD 是平行四边形，∴当点E 与点C 重合时，1122BF BD AB == 在Rt ABF 中，222AF AB BF =+()()222252BF BF ∴=+ 24BF AB ∴==,Rt ABD ∴中，42AD =.（2）证明：如图2中，在AF 上截取AK HD =，连接BK ，23AFD ABF FGD ∠=∠+∠=∠+∠，90ABF FGD ∠=∠=︒，23∴∠=∠，在ABK 和DBH ∆中，23AB BD AK HD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABK DBH ∴∆≅∆，BK BH ∴=，61∠=∠，AK DH =，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，41645∴∠=∠=∠=︒，5645ABD ∴∠=∠-∠=︒，51∴∠=∠，在FBK ∆和FBH ∆中，51BF BF BK BH =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， FBK FBH ∴∆≅∆，KF FH ∴=，AF AK KF =+，AF DH FH ∴=+；()3解：连接AN 并延长到Q ，使NQ AN =，连接GQ ，取AD 的中点O ，连接OG ，作AK ⊥BC ，交BC 延长线于点K ，作QP ⊥AD ，交AD 延长线于点P ．90AGD ∠=︒，∴点G 的轨迹是以O 为圆心，以OG 为半径的弧，且4OG =，根据△ABD 为等腰直角三角形，可得AD 228AB BD +=, ∴AO=142AD =， 根据△ABK 为等腰直角三角形，可得AK =BK =4，可得QE =PE =4，∴PQ =8，∵BK=4,BN =1，∴KN =5，∴KE=AP =10，∴OP =6，10OQ ∴=，4OG =，GQ ∴最小值为6， MN 是AGQ ∆的中位线，MN ∴的最小值为3．【点睛】本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形．10．（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，∵CE是∠BCA的平分线，∴∠DCF＝∠GCF，在△CFG和△CFD中，CG CD DCF GCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG ≌△CFD （SAS ），∴DF ＝GF ．∠CFD ＝∠CFG由（1）∠AFC ＝120°得，∴∠CFD ＝∠CFG ＝∠AFE ＝60°，∴∠AFG ＝60°，又∵∠AFE ＝∠CFD ＝60°，∴∠AFE ＝∠AFG ，在△AFG 和△AFE 中，AFE AFG AF AFEAF GAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AFG ≌△AFE （ASA ），∴EF ＝GF ，∴DF ＝EF ；（3）结论：AC ＝AE+CD ．理由：如图3，在AC 上截取AG ＝AE ，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°， ∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ，∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），∴CD ＝CG ，∴AC ＝AG+CG ＝AE+CD ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．。
八年级-全等三角形拓展专题(1)截长补短
全等三角形专题（1）——截长补短【例题分析】1.如图，已知E 为AD 的中点，AB//CD，BE 平分∠ABC，CE 平分∠BCD，求证：BC=AB+CD.2.如图，AD 为△ABC 平分线，AB>AC，点P 为AD 上一点，求证：AB—AC>BP—CP3.如图，已知B（﹣1，0），C（1，0），A为y轴正半轴上一点，点D为第二象限一动点，E在BD的延长线上，CD交AB于F，且∠BDC=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）求证：AD平分∠CDE；（3）若在D点运动的过程中，始终有DC=DA+DB，在此过程中，∠BAC的度数是否变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出∠BAC的度数？【巩固练习】1.在△ABC 中,∠ACB＝90o,AC＝BC,直线MN 经过点C,且AD⊥MN 于D,BE⊥MN 于E.⑴当直线MN 绕点C 旋转到图⑴的位置时,求证:DE＝AD＋BE；⑵当直线MN 绕点C 旋转到图⑵的位置时,求证:DE＝AD－BE；⑶当直线MN 绕点C 旋转到图⑶的位置时,试问DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？并证明。
2.如图在△ABC 中，∠ABC=600，AD、CE 分别平分∠BAC 和∠ACB，求证：AC=AE+CD.654321O ED CBA3.五边形ABCDE中，AB=AE，BC+DE=CD，∠ABC+∠AED=180°，求证：AD平分∠CDE4.（1）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD.求证：EF=BE+FD；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？说明理由.。
八年级截长补短经典例题
八年级截长补短经典例题一、三角形中的截长补短例题。
例题1：在△ABC中，∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC =AE+CD。
解析：在AC上截取AF = AE，连接OF。
因为AD平分∠BAC，所以∠EAO=∠FAO。
在△AEO和△AFO中，AE = AF，∠EAO = ∠FAO，AO = AO.所以△AEO≌△AFO(SAS)，则∠AOE=∠AOF。
因为∠ABC = 60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。
所以∠BAC+∠ACB = 120°，则∠OAC + ∠OCA=(1)/(2)(∠BAC + ∠ACB)=60°.所以∠AOC = 120°，∠AOE = ∠COD = 60°，则∠AOF=60°，∠COF = 60°。
又因为CE平分∠ACB，所以∠FCO = ∠DCO。
在△FOC和△DOC中，∠FOC = ∠DOC，∠FCO = ∠DCO，CO = CO.所以△FOC≌△DOC(ASA)，所以CD = CF。
所以AC=AF + CF=AE + CD。
例题2：如图，在△ABC中，AB>AC，∠1 = ∠2，P为AD上任意一点。
求证：AB AC>PB PC。
解析：在AB上截取AE = AC，连接PE。
因为∠1 = ∠2，AP = AP。
所以△AEP≌△ACP(SAS)所以PC = PE。
在△PBE中，BE=AB AE = AB AC。
根据三角形三边关系，PB PE<BE。
所以PB PC<AB AC，即AB AC>PB PC。
例题3：已知，在△ABC中，∠A = 90°，AB = AC，BD是∠ABC的平分线。
求证：BC=AB + AD。
解析：过点D作DE⊥BC于点E。
因为BD是∠ABC的平分线，∠A = 90°，DE⊥BC。
所以AD = DE。
人教版初中八年级数学上册专题三角形全等之截长补短习题及答案
三角形全等之截长补短（习题）例题示范例1：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ⊥CD 且BD =CD ，∠DBC =45°．过点C 作CE ⊥AB 于E ，交对角线BD 于F ，连接AF ． 求证：CF =AB +AF ．FED C BA【思路分析】题目中出现了线段的和差倍分（所求为一条线段是另外两条线段之和），所以考虑截长补短．① 考虑截长的方法，如图所示：A BCDEFH在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ，只需证明AF =HF 即可．结合题目条件，先证明△A B D ≌△H C D ，再证明△A D F ≌ △HDF ，从而得到AF =HF ，证明成立． ② 考虑补短的方法，如图所示：FEDCBA H延长BA 交CD 的延长线于点H ，只需证明BH =CF ，AH =AF 即可．可结合题目条件，先证明△CDF ≌△BDH ，再证明△ADF ≌△ADH ，从而得到BH =CF ，AH =AF ，证明成立． 【过程书写】 （截长的方法）在线段CF 上截取CH =AB ，连接DH ．A BCDEFH∵BD ⊥CD ，BE ⊥CE ∴∠BEF =∠FDC =90° ∴∠EBF +∠EFB =90° ∠FCD +∠DFC =90° ∵∠EFB =∠DFC ∴∠EBF =∠FCD 在△ABD 和△HCD 中，AB HC ABD HCD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△HCD （SAS ） ∴AD =HD ，∠ADB =∠HDC ∵AD ∥BC∴∠ADB =∠DBC =45° ∴∠HDC =45°∴∠HDF =∠BDC -∠HDC =45° ∴∠ADB =∠HDF 在△ADF 和△HDF 中，AD HD ADF HDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△HDF （SAS ） ∴AF =HF∴CF =CH +HF =AB +AF巩固练习1. 如图，在△ABC 中，∠BAC =60°，∠ABC =80°，AD 是∠BAC 的平分线．求证：AC =AB +BD ．A A2. 如图，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠B +∠D =180°．求证：AE =AD +BE ．3. 如图，在△ABC 中，∠A =100°，∠ABC =40°，BD 是∠ABC 的平分线，延长BD 至E ，使DE =AD ，连接EC ． 求证：BC =AB +CE ．CDE CD E EADC4.已知：如图，四边形ABCD是正方形，∠F AD=∠F AE．求证：BE+DF=AE．思考小结1.证明线段或角相等时，可以考虑把线段或角放到两个三角形中证明全等．如果题目中没有可能全等的三角形，往往考虑通过添加辅助线，构造全等三角形来证明．常见构造辅助线的方法：①___________：当已知条件中有中线（中点）时，往往考虑延长中线构造全等三角形．②_________：当题目中出现线段的和差倍分时，往往考虑把多条线段间的数量关系转化为两条线段的等量关系来处理．2.利用“截长补短”我们就可以证明直角三角形中非常重要的一个定理：30°角所对的直角边是斜边的一半．FE D CB A已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =30°． 求证：BC 12AB ．【参考答案】巩固练习 1. 证明略提示：方法一：在AC 上截取AE =AB ，连接DE ，证明△ABD ≌△AED ， 再证明CE =DE ；方法二：延长AB 到E ，使BE =BD ，连接DE ，证明△ADE ≌△ADC ． 2. 证明略提示：在AE 上截取AF =AD ，证明△CDA ≌△CF A ，再证明 BE =FE ． 3. 证明略提示：在BC 上截取BF =BA ，连接DF ，证明△ABD ≌△FBD ， 再证明△DFC ≌△DEC ． 4. 证明略30°A提示：延长CB至点G，使BG=DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，再证明AE=GE即可．思考小结1.倍长中线，截长补短2.证明略提示：延长BC到D，使BD=BA，得到△ABC为等边三角形，AD=AB，根据三线合一，可得BC=12BD，所以BC=12AB．。
初二上学期培优5半角模型
八上培优5 半角模型方法：截长补短图形中，往往出现90°套45°的情况，或者120°套60°的情况。
还有2α套α的情况。
求证的结论一般是线段的和与差。
解决的方法是：截长补短构造全等三角形。
旋转移位造全等，翻折分割构全等。
截长法，补短法。
勤学早和新观察均有专题。
勤学早在第49页，新观察在第34页，新观察培优也有涉及，在第27页2两个例题，29页有习题。
这些题大同小异，只是图形略有变化而已。
证明过程一般要证明两次全等。
下面是新观察第34页1~4题1.如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90゜，∠D=60゜，AB=BC，E、F，分别在AD、CD上，且∠EBF=60゜．求证：EF=AE+CF．2.如图2，在上题中，若E、F分别在AD、DC的延长线上，其余条件不变，求证：AE=EF+CF．3.如图，∠A=∠B=90°, CA=CB=4, ∠ACB=120°，∠ECF=60°，AE=3, BF=2, 求五边形ABCDE 的面积.勤学早第40页试题1.（1）如图，已知AB= AC, ∠BAC=90°，∠ MAN=45°,过点C作NC ⊥AC交AN于点N，过点B作BM 垂直AB交AM于点M，当∠MAN在∠BAC内部时，求证：BM+CN =MN;NNGBAN证明: 延长MB到点G，使BG=CN,连接AG，证△ABG≌△ACN(SAS),∴AN=AG,∠BAG= ,∠NAC. L∵∠GAM=∠GAB + ∠BAM=∠CAN+ ∠BAM=45°= L∠MAN,证△AMN≌△AMG(SAS), '∴MN= MG= BM + BG= BM十NC.证明二：(此证明方法见新观察培优第27页例3)(2)如图,在(1)的条件下，当AM和AN在AB两侧时，(1)的结论是否成立?请说明理由.F解:不成立，结论是:MN=CN一BM,证明略.基本模型二 120°套 60°2. 如图，△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°,E 为AB 上一点，∠DCE=60°,∠DAE= 120°， 求证:DE=BECF证明:(补短法)延长EB 至点F,使BF=AD,连接CF,则△CBF ≌△CAD ， △CED ≌△CEF,.DE- AD=EF- BF= BE.3.如图,△ABC 中,CA=CB,∠ACB=120°，点E 为AB 上一点，∠DCE=∠DAE= 60°， 求证:AD+DE= BE.CBAECBAE F证明:(截长法)在BE 上截取BF=AD,连接CF ，易证△CBF ≌△CAD ， △CED ≌ACEF, DE= EF, AD+DE= BF+EF=BE.比较：新观察培优版27页例4如 图，△ABC 是边长为1的等边三角形，△BDC 是顶角，∠BDC= 120°的等腰三角形，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于M 、N, 连结MN, 试求△AMN 的周长.A BDP分析:由于∠MDN=60°,∠BDC=120°，所以∠BDM十∠CDN=60°，注意到DB=DC，考虑运用“旋转法”将∠BDM和∠CDN移到一起，寻找全等三角形。
2022-2023学年人教版数学八年级上册培优专题(一)截长补短
人教版数学八上培优专题（一）截长补短1．已知直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足|a+b|+（b﹣4）2＝0．（1）求∠ABO的度数；（2）如图1，若点C在第一象限，且BE⊥AC于点E，延长BE至点D，使得BD＝AC，连接OC、OD、CD，试判断△COD的形状，并说明理由；（3）如图2，若点C在OB上，点F在AB的延长线上，且AC＝CF，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，CQ⊥AF于点Q，求的值．2．在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时＝；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．3．如图1，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D．（1）求证：△BCD为等腰三角形；（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如图2，求证：BD+AD＝AB+BE；（3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？直接写出正确的结论．4．如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．（1）依题意补全图形；（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段PB，PC与PE之间的数量关系，并证明．5．如图，已知△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．求证：DE+DF＝BG．6．综合与探究如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，CE的延长线交BD于点F．（1）求证：△ACE≌△ABD．（2）若∠BAC＝∠DAE＝50°，请直接写出∠BFC的度数．（3）过点A作AH⊥BD于点H，求证：EF+DH＝HF．7．如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，AD平分∠BAC，BE⊥AD于E，（1）若∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；（2）求证：BE＝（AC﹣AB）．8．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，延长BD交AC于E，G、F分别在BD、BC上，连接DF、GF，其中∠A＝2∠BDF，GD＝DE．（1）当∠A＝80°时，求∠EDC的度数；（2）求证：CF＝FG+CE．9．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是CB延长线上一点，点E是线段AB上一点，连接DE．AC＝DE，BC＝BE．（1）求证：AB＝BD；（2）BF平分∠ABC交AC于点F，点G是线段FB延长线上一点，连接DG，点H是线段DG上一点，连接AH交BD于点K，连接KG．当KB平分∠AKG时，求证：AK＝DG+KG．10．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E．（1）如图1，连接CE，求证：△BCE是等边三角形；（2）如图2，点M为CE上一点，连接BM，作等边△BMN，连接EN，求证：EN∥BC；（3）如图3，点P为线段AD上一点，连接BP，作∠BPQ＝60°，PQ交DE延长线于Q，探究线段PD，DQ与AD之间的数量关系，并证明．11．如图：已知A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣2）2+|2b﹣4|＝0．（1）如图1，求△AOB的面积；（2）如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴Q，点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中，请判断哪条线段长为定值，并求出该定值．12．如图，若点P在△AOC的外角∠MAC的角平分线的反向延长线上，若∠OPC＝∠OAC，过点P作PN ⊥AO于N，现给出两个结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论正确，请找出来并求其值．。