例谈绝对值与最值
绝对值定值、最值探讨
绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．一、绝对值定值探讨【例1】 若1232008x x x x -+-+-++-的值为常数，试求x 的取值范围．【例2】 若24513a a a +-+-的值是一个定值，求a 的取值范围.【例3】 已知112x x ++-=，化简421x -+-．【例4】 若245134x x x +-+-+的值恒为常数，则x 应满足怎样的条件？此常数的值为多少？【例5】 已知代数式374x x -+-=，则下列三条线段一定能构成三角形的是（ ）．A ． 1，x ，5B ． 2，x ，5C ． 3，x ，5D ． 3，x ，4【例6】 是否存在有理数x ，使132x x ++-=？【例7】 是否存在整数x ，使433414x x x x -+-++++=？如果存在，求出所有整数x ，如果不存在，请说明理由绝对值定值、最值探讨【例8】 如果对于某一给定范围内的x 值，13p x x =++-为定值，则此定值为 ．二、绝对值最值探讨【例9】 设2020y x b x x b =-+-+--，其中020,20b b x <<≤≤，求y 的最小值.【例10】 已知2x ≤，求32x x --+的最大值与最小值．【例11】 已知04a ≤≤，那么23a a -+-的最大值等于 ．【例12】 如果122y x x x =+-+-，且12x -≤≤，求y 的最大值和最小值【例13】 已知759x -≤≤，求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值．【例14】 求15y x x =--+的最大值和最小值．【例15】 已知11x y ≤，≤，设1124M x y y x =++++--，求M 的最大值和最小值【例16】 已知m 是实数，求12m m m +-+-的最小值【例17】 已知m 是实数，求2468m m m m -+-+-+-的最小值【例18】 122009x x x -+-++-的最小值为 ．【例19】 试求123...2005x x x x -+-+-++-的最小值【例20】 设a b c <<，求当x 取何值时x a x b x c -+-+-的最小值．【例21】 正数a 使得关于x 的代数式162x x x a ++-+-的最小值是8，那么a 的值为 ．【例22】 182324x x a x x -+-+-+-的最小值为12，则a 的取值范围是 ．【例23】 如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【例24】 如图，在一条数轴上有依次排列的5台机床在工作，现要设置一个零件供应站P ，使这5台机床到供应站P 的距离总和最小，点P 建在哪？最小值为多少？A【例25】 先阅读下面的材料，然后回答问题：在一条直线上有依次排列的()1n n >台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P ，使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图甲，如果直线上有2台机床时，很明显设在1A 和2A 之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于1A 到2A 的距离。
专题十一：绝对值最值问题
绝对值最值问题绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离。
数a的绝对值记作a几个绝对值和的最小值问题：奇点偶段（含端点）1、（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，1如图乙，点A、B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图丙，点A、B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图丁，点A、B在原点的两边AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是．④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是．⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是．2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．绝对值最值问题解析1、（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，AB＝OB＝|b|＝|a﹣b|；当A、B两点都不在原点时，1如图乙，点A、B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图丙，点A、B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝|a﹣b|；③如图丁，点A、B在原点的两边AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝|a﹣b|．综上，数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．（2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是，数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是，数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是；②数轴上表示x和﹣1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是，如果|AB|＝2，那么x＝；③当代数式|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的取值范围是．④当代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|取最小值时，相应的x的值是．⑤当代数式|x﹣5|﹣|x+2|取最大值时，相应的x的取值范围是．解：①.5﹣2＝3，﹣2﹣（﹣5）＝3，1﹣（﹣3）＝4；②、|x+1|，|x+1|＝2则x＝1或﹣3；③|x+2|+|x﹣5|表示数轴上一点到﹣2与5两点的距离的和，当这点在﹣2和5之间时和最小，最小距离是：5﹣（﹣2）＝7；④代数式|x﹣1|+|x+2|+|x﹣5|表示数轴上一点到1、﹣2与5三点的距离的和，根据两点之间线段最短，则当x＝1时和最小，最小值是5到﹣2的距离，是5﹣（﹣2）＝7；⑤代数式|x﹣5|﹣|x+2|表示数轴上一点到5与﹣2两点的距离的差，当点小于等于﹣2时差最大，最大值是5与﹣2之间的距离，是7．故答案是：①3，3，4；②|x+1|，1或3；③﹣2≤x≤5；④x＝1；⑤x≤﹣2．2、在数轴上，点A，B分别表示数a，b，则线段AB的长表示为|a﹣b|，例如：在数轴上，点A表示5．点B表示2，则线段AB的长表示为|5﹣2|＝3：回答下列问题：（1）数轴上表示1和﹣3的两点之间的距离是：（2）若AB＝8，|b|＝3|a|，求a，b的值．（3）若数轴上的任意一点P表示的数是x，且|x﹣a|+|x﹣b|的最小值为4，若a＝3，求b 的值．解：（1）1和﹣3两点之间的距离为|1﹣（﹣3）|＝4；故答案为：4；（2）∵|b|＝3|a|∴b＝±3a∵AB＝8∴|a﹣b|＝8当b＝3a时，|a﹣b|＝|﹣2a|＝8∴a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12当b＝﹣3a时，|a﹣b|＝|4a|＝8∴a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6综上所述：a＝4，b＝12或a＝﹣4，b＝﹣12或a＝2，b＝﹣6或a＝﹣2，b＝6．（3）由线段上的点到线段两端点的距离的和最小，①当点b在a的右侧时，得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，|x﹣3|+|x﹣b|最小＝x﹣3+b﹣x＝4，解得：b＝7；②当点b在a的左侧时，得P在3点与b点的线段上，|x﹣3|+|x﹣b|的值最小为4，|x﹣3|+|x﹣b|最小＝3﹣x+x﹣b＝4，解得：b＝﹣1，综上所述：b＝7或﹣1．。
绝对值的最大值和最小值求法
绝对值的最大值和最小值求法绝对值的最大值和最小值求法：对值大,距离就要远（最好是一个离原点近,一个离原点远）.|a-b|＞0 绝对值小,距离就近.|a-b|=0 可以把函数成多个函数后联立，以此去掉函数解析式里的绝对值符号，再将每一段函数的最大值和最小值求出，所有段函数里最大值最大的那段函数的最大值就是整个函数的最大值，最小值亦同。
奇偶性可以先从图象入手，如果图象关于y轴成轴对称就是偶函数，如果关于原点中心对称就是奇函数。
如果从图象上难以看出，可以通过奇偶函数的定义来解决，即f(x)=-f(-x)为奇函数，f(x)=f(-x)为偶函数。
举例说明：（1） |x-1|，因为 |x-1|≥0 所以令 x-1=0 得 x=1时 |x-1|有最小值0，无最大值。
（2）|x²-2|，令x²-2=0 得 x=±√2 时取得最小值 0，无最大值。
（3）求|x+1|+|x-1|的最值，同时令 x+1=0，x-1=0 得x=-1 或+1 得 -1≤x≤1时取得最小值|-1+1|+|-1-1|=|1+1|+|1-1|=0+2=2+0=2，无最大值。
求|x+3|+|x+2|+|x-1|+|x-2|的最值，同时令中间两个 x+2=0，x-1=0 得 -2≤x≤1时取得最小值|-2+3|+|-2+2|+|-2-1|+|-2-2|=|1+3|+|1+2|+|1-1|+|1-2|=1+0+3+4 =4+3+0+1=8，无最大值。
【偶数个绝对值令中间两个=0解】（4）求|x+3|+|x+2|+|x-1|的最值，令中间 x+2=0 得 x=-2时取得最小值 |-2+3|+|-2+2|+|-2-1|=1+0+3=4，无最大值。
求|x+3|+|x+2|+|x-1|+|x-2|+|x-0.5|的最值，令中间 x-0.5=0 得 x=0.5时取得最小值|0.5+3|+|0.5+2|+|0.5-1|+|0.5-2|+|0.5-0.5|=3.5+2.5+0.5+1.5+0 =8，无最大值。
1.3.2绝对值：绝对值的非负性、绝对值的几何意义与最值问题(同步课件)-(浙教版2024)
01
课堂引入
绝对值的概念“我们把一个数在数轴上对应的点与原点的距离叫作
这个数的绝对值”中，已经蕴含了绝对值的几何意义：点与原点的
距离。
比如：|7|＝|7-0|，它在数轴上的意义是：
表示7的点与原点的距离。
课堂引入
01
【思考】1.数轴上表示3和7的两点之间的距离是多少？
4
-7
-6
-5
-4
-3
如何用3和7表示4？
-4或2
那么x为__________。
D1
B
-7
-6
-5
-4
-3
E
-2
3
-1
3.5
0
3
C
D2 A
1
2 2.5 3
4
5
6
7
典例精析
03
例2、同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与2两数在数轴上所对的两点之间的距离，如|x-3|的几何意义是数轴上表示有理
数3的点与表示有理数x的点之间的距离。试探索：
|a+b|=|a-(-b)|
02
知识精讲
|a-b|在数轴上的意义是：
表示a的点与表示b的点之间的距离；
|a+b|在数轴上的意义是：
表示a的点与表示-b的点之间的距离。
绝对1差的绝对值，也可理解为4与1两数在数轴上所对应的两点
之间的距离；|4+1|可以看作|4-(-1)|，表示4与-1的差的绝对值，也可理解为4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离。
教学目标
01
理解绝对值的非负性，掌握“0+0”模型
02
理解绝对值的几何意义，会用两个数的差值的绝对值来表示
七年级数学绝对值数形结合题目就最大和最小值
七年级数学中，绝对值数与数形结合的题目是关于寻找最大和最小值的问题。
通过对数形的理解和绝对值数的运用，我们可以通过具体的例题来深入探讨这一主题。
1. 理解绝对值数和数形的关系在数学中，绝对值是一个数离原点的距离，它不考虑数的正负。
而数形指的是可以用图形表示的数学概念，例如直角三角形、圆形等。
绝对值数与数形结合的题目通常是利用绝对值符号来求解数形的性质或特点，进而求得最大和最小值。
2. 通过例题深入探讨例题一：一个数的绝对值与这个数本身的乘积最大是多少？解析：假设这个数为x，根据绝对值的定义可知该题实质上就是求x和-x的乘积的最大值。
通过观察可以得出结论，当x取0时，这个乘积最小为0；而当x取正数或负数时，乘积始终为负数。
最大值为0。
例题二：求解一个绝对值数与一个给定数相加的最大值和最小值。
解析：设给定数为a，绝对值数为x。
根据题目要求，可以列出不等式|x + a|的最大值和最小值。
通过分情况讨论，当a为正数时，最小值为0，最大值为2a；当a为负数时，最小值为2a，最大值为0。
3. 总结与回顾通过以上例题的探讨，我们可以得出结论：绝对值数与数形结合的题目往往涉及到对绝对值性质和数形性质的综合运用，通过巧妙地利用绝对值数的非负性和数形的图像直观性，可以快速而准确地求解最大和最小值问题。
这种方法既能够提高学生对绝对值概念的理解，也能够培养他们的逻辑思维能力和数学应用能力。
4. 个人观点和理解在教学中，我认为教师应该引导学生通过练习和实践，不断加深对绝对值数和数形结合题目的理解和掌握。
通过引导学生分析解题思路，帮助他们建立数学模型，并鼓励他们勇于尝试不同的解题方法，从而提高他们的数学解决问题能力和创造性思维。
以上是我对七年级数学中绝对值数与数形结合题目求最大和最小值的文章撰写，请查看后如有需要，欢迎进一步讨论。
绝对值数与数形结合题目是数学中一个重要的内容，通过深入理解和掌握这一主题，能够帮助学生提高数学思维能力，培养解决问题的能力。
绝对值定值最值探讨
绝对值定值最值探讨绝对值定值和最值在数学中是一个非常重要的概念。
绝对值是指一个数与零的距离，也就是离原点的距离。
它总是返回一个非负数，绝对值定值是指在满足一些条件下，绝对值能够取到一个特定的值。
最值是指一组数据集合中最大或最小的数值。
我们首先来看一下绝对值定值。
在数学中，绝对值的定义是，a，=a,若a≥0,，a，=-a,若a<0。
这是绝对值的基本定理。
根据这个定理，我们可以得到绝对值是一个非负数，即绝对值的值永远大于等于零。
换句话说，绝对值的值不会小于零。
因此，如果我们要求绝对值定值，那么我们需要在条件约束中设定一个特定的值。
例如，如果我们要求，x-3，=4，那么我们要找到一个数x，使得它的绝对值等于4为了解决这个问题，我们可以列出一个方程：x-3=4或者x-3=-4、解这个方程，我们可以得到两个解：x=7和x=-1、这就是绝对值定值的解。
我们可以验证一下，当x=7时，7-3，=4；当x=-1时，-1-3，=4、所以，这两个解是满足条件的。
接下来我们来看最值探讨。
在一组数据中，最小值就是这组数据中最小的数，最大值就是这组数据中最大的数。
最值在统计学中经常被用于描述数据的分布情况。
例如，在一组考试成绩中，最低分是最小值，最高分是最大值。
最值在实际问题中也有重要的应用，比如在最佳化问题中。
在寻找最佳解时，我们往往需要找到一个能够使得目标函数取得最小或最大值的变量取值。
例如，在生产成本最低的情况下，我们希望计算出最大利润。
这种问题可以通过找到函数的最小值或最大值来解决。
有时，在寻找最值时我们需要考虑一些额外的条件。
这些条件可以是约束条件，也可以是数据本身的性质。
例如，在一组正数中，最小值肯定不会是负数。
因此，当我们寻找最小值时，我们可以先排除负数，只考虑正数。
这就是在最值探讨中需要考虑的一种特殊情况。
综上所述，绝对值定值和最值是数学中非常重要的概念。
绝对值定值是指在满足一些条件下，绝对值能够取到一个特定的值，最值是一组数据集合中最大或最小的数值。
求绝对值最值的方法
求绝对值最值的方法要求绝对值最值的方法，首先需要明确绝对值的定义。
绝对值是一个非负数，表示一个数离0的距离。
绝对值最值就是找到一组数中离0的距离最远（即绝对值最大）和最近（即绝对值最小）的数。
对于一个单个数来说，要求其绝对值最大，即要找到一个数使其与0的距离最远。
常见的思路是通过判断这个数的符号，并抛弃符号，即将这个数转变成正数，从而得到其绝对值。
例如，对于一个正数来说，它的绝对值就是它本身；对于一个负数来说，它的绝对值就是它的相反数。
求多个数中绝对值最大值的方法就更加复杂一些。
我们可以使用遍历的方法，将每个数的绝对值依次求出并比较，最后找到绝对值最大的数。
具体步骤如下：1. 声明一个变量max_abs，初始化为一个很小的数，用来保存当前最大绝对值；2. 依次遍历给定的多个数；3. 对每个数，先求出其绝对值；4. 如果当前绝对值大于max_abs，则更新max_abs的值为当前绝对值；5. 继续遍历下一个数，重复步骤3和4，直到遍历完所有的数；6. 最后，max_abs就是所求的多个数中绝对值最大的数。
下面我们通过一个例子来说明这个方法。
考虑一组数{-2, 5, -7, 9, -3}，求其绝对值最大的数。
首先，初始化max_abs为0。
遍历第一个数-2，其绝对值为2，比max_abs大，更新max_abs为2。
遍历第二个数5，其绝对值为5，比max_abs大，更新max_abs为5。
遍历第三个数-7，其绝对值为7，比max_abs大，更新max_abs为7。
遍历第四个数9，其绝对值为9，比max_abs大，更新max_abs为9。
遍历第五个数-3，其绝对值为3，比max_abs小，不更新max_abs。
所有的数已经遍历完，最终max_abs为9，即为所求的多个数中绝对值最大的数。
同样地，我们可以通过类似的步骤来求多个数中绝对值最小的数。
另外一种方法是通过数学知识进行优化。
考虑到绝对值表示的是距离，可以利用数轴上点的位置来找到绝对值最值。
求绝对值、最大值、最小值例题
求绝对值、最大值、最小值例题1、已知关于X的方程X²+aX+4i=0 在区间[1,4]上有实根求a绝对值的最大值和最小值设a=c+di,c、d均为实数,x为实数.代入方程得：x^2+cx+(dx+4)i=0,∴x^2+cx=0,dx+4=0,∴c=-x,d=-4/x.∴|a|^2=c^2+d^2=x^2+16/x^2≥2√16=8,又x^2=1时,x^2+16/x^2=17,x^2=16时,x^2+16/x^2=17,∴|a|的最大值√17,最小值2√2.2、一个n边形有且只有四个内角是钝角,求n的最大值与最小值用不等式的方法来解由于n边形只有四个内角是钝角,则它们的四个外角是锐角,∵多边形外角和是360°（定值）所以恰有4个钝角,外角就只有4个锐角.其他的角是≥90度.外角和=360度.所以≥90度的其他外角最多有3个.n最大是3+4=7.最小n=5.3、求X-1的绝对值-X+3的绝对值的最大值与最小值已知2x/3-1>=x-5-3x/2,求x-1的绝对值-x+3的绝对值的最大值和最小值解不等式得：x≥-24/5|x-1|-|x-3|?还是||x-1|-x+3|?若是前者,可以理解为数轴上某点x（x≥-24/5）到1和3之间的距离差.可画图. 当-24/5≤x＜1时,|x-1|-|x-3|=-2当1＜x≤3时,|x-1|-|x-3|=x-1+x-3=2x-4,当x=1时,最小,为-2；当x=3时,最大,为2.当x＞3时,|x-1|-|x-3|=x-1-x+3=2.∴|x-1|-|x-3|的最小值为-2,最大值为2.若是后者,同样的原理.可以自己解了.4、已知函数f(x)=|x²-x-2|,区间为[-3,3],求函数的最大值和最小值、绝对值f（x）=x^2-x-2=(x-1/2)^2-9/4即此函数是以1/2为对称轴,开口向上的抛物线由图像知,当x=-3时,f(x)有最大值,其值为f(-3)=(-3-1/2)^2-9/4=10f(x)=x^2-x-2=(x-2)(x+1)说明函数的两根分别为x=2或x=-1当函数与x轴相交时,有最小值,其值为f(-1)=f(2)=0。
绝对值的最大值和最小值是什么意思
绝对值的最大值和最小值是什么意思
在数学中，绝对值是一个非常基础且重要的概念。
一个数的绝对值表示这个数
到原点的距离，它描述了一个数在数轴上的位置，而不考虑该数是正数还是负数。
绝对值的最大值和最小值在求解绝对值不等式或者讨论数的性质时，起着非常重要的作用。
绝对值的最大值
对于任意一个实数a，其绝对值记作|a|，最大值通常是指该绝对值函数在实数
范围内所能取得的最大值。
在绝对值函数|a|中，无论a是正数、负数，甚至是零，其绝对值的最大值都是正数或者零。
因此，绝对值的最大值为0。
数学上可以表示为：
|a| ≤ 0
绝对值的最小值
类似地，绝对值函数|a|在实数范围内所能取得的最小值一般是指零。
在数轴上，距离是非负的，所以一个数的绝对值最小值是0。
即：
|a| ≥ 0
绝对值的最大值和最小值的应用
在实际问题中，绝对值函数的最大值和最小值常常被用于优化问题、不等式的
求解以及求解一些特殊函数的性质。
例如，在讨论绝对值方程组的根的情况时，绝对值的最大值和最小值有助于确定解的取值范围。
绝对值的最大值和最小值是理解数学中绝对值函数的重要概念之一。
通过研究
绝对值的最大值和最小值，我们可以更深入地理解抽象的数学概念，为数学问题的解决提供更多的线索和思路。
绝对值的最大值和最小值求法技巧
绝对值的最大值和最小值求法技巧
1. 嘿，你知道吗？绝对值的最大值和最小值其实有很巧妙的求法哦！比如说，给你一组数 3，-5，7，那绝对值最大的肯定就是 7 啦，这不是很简
单嘛！
2. 告诉你哦，找绝对值的最大值，那就得把所有数都看一遍呀！像 2，-4，6，这里面绝对值最大的不就是 6 嘛！这不是一目了然嘛！
3. 哇塞，当遇到负数和正数的时候，绝对值的最小值有时候可太有意思啦！就像-1 和 1，它们绝对值可都是 1 呀，这不就是最小值嘛，多神奇！
4. 嘿，想想看呀，要是有一堆数，怎么快速找到绝对值的最小值呢？就好比5，-3，2，那当然是选绝对值最小的那个呀，这还用说！
5. 哎呀呀，绝对值的最大值和最小值有时候就像捉迷藏一样！比如 0，-7，8，那谁是最值是不是一下子就能找到啦！
6. 你可别小瞧绝对值的最值求法哦！像-2，3，-1，找最值不就是小菜一碟嘛！
7. 哇哦，有时候看到那些数字，一下子就能看出绝对值的最大值和最小值啦！就像 4，-6，3 这样的，是不是很容易呀！
8. 嘿嘿，想想如果是特别多的数，怎么找最值呢？其实也不难呀，就一个一个分析呗！比如 10 个数字，总能找到的呀！
9. 所以呀，绝对值的最大值和最小值求法其实超简单的呀！只要认真去看，就都能找到哦！。
绝对值求最大值和最小值的例题
绝对值求最大值和最小值的例题绝对值求最大值和最小值的例题一、概念解释在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
它表示一个数距离零点的距离，无论这个数是正数或者负数。
绝对值通常用来表示距离的绝对量，它的定义如下：如果 x 是一个实数，那么 x 的绝对值表示为 |x|，它的计算公式如下：当x ≥ 0 时，|x| = x；当 x < 0 时，|x| = -x。
举例来说，-5 的绝对值是 |-5| = 5；而 5 的绝对值还是 5。
在实际问题中，经常会遇到需要对绝对值求最大值和最小值的情况，特别是在优化问题中，这个方法非常有用。
二、求最大值和最小值的例题接下来，我们通过例题来演示如何利用绝对值求最大值和最小值。
例题1：已知函数 f(x) = |2x - 3|，求 f(x) 的最大值和最小值。
解析：我们知道 |2x - 3| 表示一个关于 x 的带绝对值的函数。
要求最大值和最小值，可以考虑当 |2x - 3| 取得极值时的 x 值。
由于 |2x - 3| 的图像是关于 x 轴对称的，因此我们只需要考虑 |2x - 3| 在x ≥ 0 区间的情况。
当 2x - 3 ≥ 0 时，有 |2x - 3| = 2x - 3；当 2x - 3 < 0 时，有 |2x - 3| = -(2x - 3) = 3 - 2x。
我们可以得到两个函数：f1(x) = 2x - 3，x ≥ 0；f2(x) = 3 - 2x，x ≥ 0。
接下来，我们分别对 f1(x) 和 f2(x) 求导，找到导数为 0 的点，并判断极值的情况。
f1'(x) = 2；f2'(x) = -2。
由此我们可以知道，f1(x) 在x ≥ 0 时是单调递增的，而 f2(x) 在x ≥ 0 时是单调递减的。
f(x) = |2x - 3| 在x ≥ 0 区间上的最小值出现在 x = 0 处，最大值是 x 趋向无穷时的极限值。
经过计算和分析，我们可以得出最小值为 3，最大值为正无穷。
初一年级数学上册绝对值最值问题知识点及例题讲解
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用绝对值的几何意义解题 第一步 找点
第二步 取x值
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用绝对值的几何意义解题
解：
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零点分段讨论法 第一步：取零点： 第二步：分区间讨论： －5 3
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【解题分析】
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第一步 找点：
☻ 1
第二步 取x值：
☻☻ ☻☻ 2 3 998 999
☻☻ 1996
“单数取中间点，双数取中间区域”
999≥ ≥998
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解：
999≥ ≥998 x=999
999≥ ≥998
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【分析和思考】 思考三：根据绝对值的几何意义解题 第一步 找点： 解法三： 第∵二步 分析取x值
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分析思考一： 第一步：找点
绝对值的几何意义解题
第二步：取x值
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1 2 3 998 999 1996
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初一数学绝对值知识点与经典例题
初一数学绝对值知识点与经典例题绝对值的性质及化简绝对值有几何意义和代数意义。
在数轴上，一个数a的绝对值就是表示数a的点与原点的距离，记作|a|。
而在代数意义上，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.绝对值的运算符号是“| |”，取绝对值就是去掉绝对值符号。
绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.任何一个有理数都是由符号和绝对值组成，如-5符号是负号，绝对值是5.我们可以通过比较两个负有理数的绝对值的大小来利用绝对值。
两个负数，绝对值大的反而小。
绝对值非负性是|a|≥0.如果若干个非负数的和为0，则这若干个非负数都必为0，如a+b+c=0，则a=b=c=0.除此之外，绝对值还有其他重要性质。
任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a≥|a|，且|a|≥|-a|。
若a=b，则a=±b。
ab=|a|·|b|，a²=|a|²。
||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。
要去掉绝对值符号，我们需要找零点，分区间，定正负，去符号。
解绝对值不等式必须化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解。
证明绝对值不等式主要有两种方法：一是去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明，包括换元法、讨论法、平方法；二是利用不等式：|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项，使要证的式子与已知的式子联系起来。
在考试中，我们需要掌握绝对值的必考题型。
例如，已知|x-2|+|y-3|=k，求x+y的值。
由绝对值的非负性可知x-2=±k，y-3=±k。
当x-2=k，y-3=k时，x+y=2k+6；当x-2=-k，y-3=-k 时，x+y=4.因此，x+y的值为2k+6或4.我们还需要掌握相反数等于它本身、倒数等于它本身的是±1，绝对值等于它本身的是非负数等知识点。
绝对值的几何意义,绝对值求最值
绝对值的几何意义，绝对值求最值一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离，|a-b|就表示点a与点b的距离。
所以绝对值可以转化成数轴上点与点间的距离，可以利用数形结合快速解决绝对值的最值问题。
首先我们先理解数轴(线段)上点间距离的最值问题。
如果小学奥数学过这种线段上找距离和最短的问题，可能会更容易理解。
例题:在数轴上找一点，使这点到所有点的距离和最小。
①先看两个点的，想要找一个点，使到1和3的距离和最短，应该选在1与3(包括点1,3)之间。
这个最短距离和是2。
即当1≤x≤3时，|x-1|+|x-3|有最小值2。
②接着看三个点的，想要找一个点，使到1,2和3的距离和最短，应该选2这个点。
这个最短距离和是2。
即当x=2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|有最小值2。
③再看下四个点的，想要找一个点，使到1,2,3,4的距离和最短，应该选在2与3(包括点2,3)之间。
这个最短距离和是4。
即当2≤x≤3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|有最小值4。
可以得出以下结论:如果有偶数个点，那么这个点取在正中间的两点之间(包括这两点)就可以。
如果有奇数个点，那么这个点取在正中间的点就可以。
掌握了这个最基本的方法后，我们再研究有重复的点(即x的系数不是1)例如:求|x-1|+ 2|x-2|的最小值。
为了便于理解，我们可以把它写成|x-1|+ |x-2|+ |x-2|所以是三个点，这个点应该选在最中间的x=2。
所以最小值是1。
下面看一道少儿初中部的一道练习题:题目:设x是有理数，p=|3x+6|+ |x-3|+|2x-6|+ |x-9|，试求p的最小值。
先把x的系数提出来，看一看这些点都有哪些，如果这些点不是从小到大的，注意要按顺序排好！！！。
p=3|x+2|+ |x-3|+2|x-3|+ |x-9|共7个点即-2,-2,-2,3,3,3,9，所以选最中间的(第4个点)x=3，最小值是21。
我们知道数轴上的点包括有理数和无理数，那么对于无理数也是成立的，比如我们学过无理数之后，像下面这种题应该自然就会做了。
绝对值求最值问题
绝对值求最值问题【例题1】：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）1）当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122）当x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40 3）当-13<x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+144）当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25 5）当-11<x<12时，x+11>0，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366）当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48 7）当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：当x<-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27当x=-13时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=40当-13<x<-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,25<-x+14 <27当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=25当-11<x<12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36 , 25<x+36<48当x=12时|x+11|+|x-12|+|x+13|= 48当x>12时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0 得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25评：先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。
初一数学绝对值的最值问题
绝对值的最值问题x -a +x -b 的几何意义是数轴上表示数x 的点到表示数a 、数b 两点的距离之和，其中数a 、数b 的对应点为数轴上的一个定点，数x 的对应点为一个动点，可以在数轴上移动．绝对值的最值问题，用零点分段法可以解决，但是会比较繁琐，而采用数形结合的方法，运用绝对值的几何意义求解，往往能取得事半功倍的效果．如计算x -1+x -2的最小值．（1）将使两个绝对值分别为0时的x 值标在数轴上（如图），数轴被分为3个区域；（2）假设代表动点x 的点（图中小黑球）从左到右在数轴上移动，根据绝对值的几何意义，我们可将所求表示为两条线段的和，即S 1+S 2．（3）在3个区域中分别画出线段并比较，可以发现当1≤x ≤2时，两线段和最小，为定值1．若将题目改为计算x -1+x -2+x -3的最小值．我们使用相同的方法进行分析，发现只有当x =2时取得最小值，而不再是在一个范围内取得最小值了．经过总结归纳我们发现了这样的规律：①对于代数式：x -a 1+x -a 2+x -a 3+ +x -a n （a 1≤a 2≤a 3≤ ≤a n ）：当n 为奇数时，在12n x a +=处取最小值，即在n 个点的中心点处；当n 为偶数时，在区域122n n a x a +≤≤取最小值，即数轴被n 个点分成1n +段的中心区域．②对于代数式112233n n b x a b x a b x a b x a -+-+-++- 的最值问题，我们先将代数式转化为特殊形式：123n x a x a x a x a -+-+-++- （123n a a a a ≤≤≤≤L ），然后通过上述方法求解．如：111212222222x x x x x x x -++=-++=-+-++．常见题型：绝对值的最值问题易错点：混淆两种情况中考回顾：拓展知识点例1计算下列式子的最小值：（1）212x x -+-（2）241x x -++例2已知759x -≤≤，求x 取何值时13x x --+的最大值与最小值．参考答案1.【答案】（1）当1x =时，212x x -+-取得最小值1（2）当2x =时，241x x -++取得最小值3【考点】绝对值最值问题【解析】结合数轴，利用绝对值的几何意义求解；也可以利用零点分段法．（1）当1x =时，212x x -+-取得最小值1；（2）当2x =时，241x x -++取得最小值3．2.【答案】当53x -≤≤-时，最大值为4；当79x =时，最小值为329-【考点】绝对值最值问题【解析】①数形结合，利用几何意义：13x x --+表示x 到点1和3-的距离差，画出数轴我们会发现当79x =时两者的距离差最小为329-，即()min 32139x x --+=-；当53x -≤≤-时，两者的距离差最大为4，即()max 134x x --+=．②零点分段法：先找零点，根据零点分段，当53x -≤<-时，134x x --+=；当739x -≤≤时，1322x x x --+=--，当79x =有最小值329-；当3x =-有最大值4．综上所得，当53x -≤≤-时，最大值为4；当79x =时，最小值为329-．。
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例谈绝对值与最值
山西耿京娟
对绝对值概念有几何、代数两种描述方法.其中几何方法的描述是:|x|是在数轴上表示数x的点与原点的距离.据此,我们可以略加推广:|x-a|指在数轴上表示数x的点与表示数a的点的距离.下面举例说明其应用.
一．利用几何方法求最值
例1已知y=|x-2|-|x-5|,求y的最大值与最小值.
分析此题常见的方法是根据x的取值范围,去绝对值,然后分别讨论求出最大值、最小值.但根据绝对值几何意义解,那就容易多了.
解设数轴上表示数2、5、x的点分别为A、B、C.C可在数轴上移动,那么
y=|x-2|-|x-5|=AC-BC,如图1,当C点在B点右边时,AC-BC=AB=5-2=3；
图1
当C点在A点左边时（如C1处），
AC-BC=-AB=-3；
当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，-3≤AC-BC≤3.
综上所述,y的最大值为3,最小值为-3.
例2已知y=|x-2|+|x-1|,求y的最小值.
图2
解设数轴上表示数2、1和的点分别为A、B、C，则y=|x-2|+|x-1|=AC+BC(如图2），当C点在A点右边时，AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在B点左边时（如在C1处），AC+BC＞AB，即y＞1.当C点在线段AB上（包括A、B点）（如在C2处）时，
y=AC+BC=AB=1,
综上所述y≥1,y的最小值为1.
通过上述两题,我们知道,利用绝对值几何意义解决此类问题,显得直观又简单,同时
我们还能得出一些有用的结论:
如果y=|x-a|-|x-b|,那么y有最大值|a-b|,最小值-|a-b|.
如果y=|x-a|+|x-b|,那么y有最小值|a-b|,无最大值.
并且还求出最大值,最小值时对应的x值的范围.
二．利用界点分段法求最值
例3.求代数式∣x-1│+∣x-2│+∣x-3│的最小值
分析：根据上题很容易找到三个分界点是x=1、2、3，这样将数轴分成四部分，112233
，，，，然后分段讨论。
≤<≤<≤>
x x x x
∣
解：这里有三个分界点：1、2、3
当ｘ≦１时，原式＝－（x－１）－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝６－３ｘ这时ｘ＝１时有最小值３
当１＜ｘ≦２时，原式＝x－１－（ｘ－２）－（ｘ－３）＝４－ｘ这时ｘ＝２时有最小值２
当２＜ｘ≦３时，原式＝x－１＋（ｘ－２）－（ｘ－３）＝ｘ这时ｘ没有最小值当ｘ＞３时，原式＝x－１＋ｘ－２＋ｘ－３＝ｘ这时ｘ没有最小值
综合以上几种情况，原式的最小值是2。
说明：形如|x-a1|+|x-a2|+……+|x-a n|n个绝对值的代数和其最小值的一般规律是：当n为奇数时取中间分界点x取值能取得最小值，当n为偶数时取中间两个分界点x的取值或中间两个分界点之间的任意实数，如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值。
因为有奇数个分界点，所以当x取中间界点-3时有最小值6，如求|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|的最小值，因为
x
324
有偶数个分界点，所以时有最小值。
-≤≤-
例4 已知y=|2x+6|-4|x+1|+|x-1|，求y的最大值。
分析：首先，对式子|2x+6|－4|x+1|＋|x-1|分段讨论后化简，然后分别求出各段中y的最大值，再加以比较可得。
解：找分界点，得x=－3，－1，1
()()()
3264111
≤-=-++++-=-
x y x x x x
当时，
∵x≦－3∴ｘ－１≦－４
∴ｘ≦－３时，ｙ的最小值为－４
x y x x x x
3126411511
()()()
-<≤-=++++-=+
当时，
x x
3145116
-<≤-∴-≤+≤
∴ｙ的最大值为６
x y x x x x
()()()
-<≤=+-++-=-
当时，
112641133
∵－１＜ｘ≦１∴－１≦－ｘ＜１
∴０≦３－３ｘ＜６这时没有最大值
当ｘ>1时,y=(２ｘ＋６)－４（ｘ＋１）＋（ｘ－１）＝１－ｘ
∵ｘ>1∴1－ｘ＜０
∴当ｘ>1时，ｙ没有最大值
综上所述：y的最大值是6
课堂练习 1.已知y=|x+5|-|x-1|,求y的最大值,最小值.(答:最大值6,最小值-6)
2.已知y=|x-2|+|x-6|,求y的最小值.(答:8)。