考研数学北京航天航空大学线性代数
2024考研数学一线性代数历年考题详解
2024考研数学一线性代数历年考题详解线性代数是2024考研数学一科目中的一个重要内容，对于考生来说，掌握线性代数的知识点和解题技巧非常关键。
本文将对2024年考研数学一线性代数部分的历年考题进行详解，帮助考生更好地备考。
一、第一节：向量与矩阵1. 2010年考题考题描述：已知向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性无关，向量\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]可由向量组\[{\alpha}_1, {\alpha}_2, {\alpha}_3\]线性表示，且\[{\beta}_1 = 2{\alpha}_1 +3{\alpha}_2\]，\[{\beta}_2 = 4{\alpha}_1 + 5{\alpha}_2 + {\alpha}_3\]，\[{\beta}_3 = 7{\alpha}_1 + 10{\alpha}_2 + 2{\alpha}_3\]，则向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为多少？解题思路：根据题意，我们可以建立如下矩阵：\[A =\begin{bmatrix}2 &3 & 0 \\4 &5 & 1 \\7 & 10 & 2 \\\end{bmatrix}\]然后通过对矩阵进行初等行变换，将其化为行最简形。
最后，行最简形的矩阵中非零行的个数即为矩阵的秩。
在本题中，通过计算可知行最简形为：\[\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]因此，向量组\[{\beta}_1, {\beta}_2, {\beta}_3\]的秩为3。
2. 2014年考题考题描述：设矩阵\[A =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\-2 & 1 & 0 \\3 & 0 & 1 \\\end{bmatrix}\]，若矩阵\[B = (A - 2I)^2 - I\]，其中\[I\)为单位矩阵，求矩阵\[B\)的秩。
北京航空航天大学应用经济学考研经验
北京航空航天大学应用经济学考研经验我本专业是英语，因为特别喜欢北航，尤其是那边的环境，而且对经济类专业很感兴趣，所以考研我选择了北航人文社科的应用经济学。
对于一个英语专业的来说，跨考经济学有要面临着很多难题。
首先，自从高考以后就再也没学过数学，这就意味着在大三一年的时间内要把别人所学的高等数学上下册，线性代数，概率论在课外时间全部学一遍。
我记得最痛苦的时候是我们本校期末考试有十二门考试课，可是数学还有一本概率论没学。
迫于考试，就把数学放了一段时间。
其次，从来没有接触过经济学，开始拿到参考书的时候根本不知道再讲什么，幸运的是，新祥旭老师给我找的专业课顾问很负责的给我讲了每一个章节的内容。
还有，做了考研真题以后我才发现，考研英语和我们专业英语有很大的不同，我们专业要求词汇量大，阅读速度快，而考研英语要求慢下来，找到每一个细节……问题总是会一个接一个的来，有时候会让人喘不过气来。
特别是，像自己这种情况，很多同学，还有亲朋好友都开始问我这样做是不是太冒险了，我可以从他们的眼神中看出怀疑，担心，和关心。
甚至当自己觉得快要走不下去了的时候，步履维艰，我在想是不是该放弃了。
可是时间久了，像有了感情一样，可能更多是不甘心，舍不得丢下数学，不舍得就这么放弃了，我害怕多少年以后，我会为自己的这一次放弃而后悔，我总对是对自己说，坚持下去，可能会有不一样的风景。
于是，就慢慢的走了下来。
我自认为是一个愿意而且能够为自己的目标不懈奋斗的人，而且意志坚定，不管别人怎么说，我始终不愿意改变自己的目标，有目标了之后其实最重要的是给自己做个详细的计划，包括每个月要做的事情，每周要做的事情，甚至是每天要做的事情，我都把它们写在纸上，完成一个撕掉一个，这样对自己来说是一种督促，更是一种动力。
每完成一件任务之后，就会得到很大的精神满足，自信心也会一点一点的多起来。
暑假之前，因为英语专业的专业课比较多，所以就把大部分的课外时间用来学数学，现在想想，大概从12年十月份起就再也没有过双休日。
北京航空航天大学 线性代数 课件 空间向量
刘敬伟 博士 jwliu_2005@
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相 关 事 宜
学习辅导用书：
《高等代数方法指导》姚幕生编---复旦大学出版社 参考书： 1.《高等代数》第三版,北京大学数学系编—高教出版社 2.《线性代数》第三版,同济大学数学系编—高教出版社 作业规格：16开作业纸，注明姓名、学号 交作业时间：每周四上完《高代》课后 答疑时间：每周三、四、五 19:00---21:00
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2. 向量的减法
规定: b a = b + ( a ) 特别地，当 b = a 时
b a = a a = a + ( a ) = 0
a
b b a b + ( a )
a
三角不等式:
ab a b
ab a b
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推论2. 向量a, b, c 不共面的充分必要条件是: 由k1a + k2b + k3c = 0 可以推出 k1 = k2 = k3= 0 . 由于上述命题, 使得向量的线性运算可以用 来解决有关点的共线或共面问题以及线段的 定比分割问题. 例2. 设向量a, b, c , 证明 a + b, b + c, c a 共面. 证: 因为 1(a + b) + (1)(b + c) + 1(c a)=0, 且 1, 1, 1 不全为零, 由命题3可知, a + b, b + c, c a 共面.
c=a+b.
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北航学科数学考研真题试卷
北航学科数学考研真题试卷北航，即北京航空航天大学，是中国著名的高等学府之一，其数学学科在国内外享有很高的声誉。
考研真题试卷是考研学生复习备考的重要资料，下面提供一份模拟的北航数学考研真题试卷内容，供参考：一、选择题（每题5分，共30分）1. 设函数\( f(x) = x^2 + 3x + 2 \)，求\( f(-2) \)的值。
A. -1B. 0C. 1D. 22. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = 2a_n \)，求\( a_5 \)的值。
A. 16B. 32C. 64D. 1283. 以下哪个选项不是线性代数中的矩阵运算？A. 加法B. 乘法C. 转置D. 除法4. 求极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 不存在5. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)，求该定积分的值。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/46. 以下哪个命题是真命题？A. 所有实数都是有理数。
B. 存在无理数。
C. 所有实数的平方都是正数。
D. 所有正数的平方根都是正数。
二、填空题（每题4分，共20分）1. 若\( \lim_{n \to \infty} a_n = L \)，则\( \lim_{n \to\infty} a_{2n} = \) ________。
2. 设\( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，求\( A^2 \)的值。
3. 若\( f(x) = \ln(x) \)，求\( f'(1) \)的值。
4. 设\( a \)，\( b \)，\( c \)为实数，若\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，则\( a + b + c \)的最大值是________。
北航理学院线性代数教学大纲(Word)
《线性代数》教学大纲课程编号：课程名称：线性代数英文名称：Linear Algebra学时学分：学时 52 学分3先修课程：向量代数，空间解析几何一、课程教学目标线性代数是讨论有限维空间中线性关系经典理论的课程，它具有较强的抽象性和逻辑性，是理工科大学本科各专业的重要基础理论课。
本课程不仅是学生必须掌握的数学基础，同时也在现代科学技术的各个领域有着十分广泛的应用。
通过本课程的教学，应达到以下的目的和要求：l．使学生掌握线性代数的基本理论和研究方法，并能较为灵活地加以运用。
2．培养学生的抽象思维和逻辑思维能力，运用线性代数的基本理论分析问题的能力，并为学生进一步学习其它数学课程和专业课程打下良好的基础。
为达到以上目的和要求，在教材内容和课程设置中应注意以下问题：（1）鉴于本课程对初学者较为抽象，故应通过较多的实际例子和直观的几何图形及与空间解析几何的内容相结合等方法来引入相关的概念和加深对有关定理的理解。
（2）应通过相关的定理证明及应用，逐步培养学生抽象的思维能力和严谨的推理能力，以及运用线性代数的基本理论分析问题的能力。
二、大纲的基本内容及学时分配第一章行列式（6学时）第一节行列式的定义第二节行列式的性质第三节行列式的计算第四节克拉默（Cramer）法则基本要求：1．理解n阶行列式的定义，会用定义计算简单的行列式2．熟练掌握行列式的基本性质和计算方法3．掌握行列式的展开定理，并能运用定理将高阶行列式化成较低阶行列式进行计算。
4．熟练掌握克莱姆法则，理解齐次线性方程组有非零解的必要条件。
第二章矩阵（11学时）第一节矩阵的概念第二节矩阵的运算第三节逆矩阵第四节分块矩阵第五节矩阵的秩第六节初等变换与初等矩阵基本要求：1．理解矩阵的概念，掌握矩阵的简单代数运算（线性运算、乘法、转置）及其运算法则。
2．理解矩阵的秩和逆矩阵的概念。
掌握逆矩阵存在的条件，掌握逆矩阵的性质及熟悉矩阵求逆的方法。
3．熟练掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的概念与性质。
考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)
考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）线性代数讲义目录第一讲基本概念矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化附录二向量空间及其子空间附录III两个线性方程组的解集之间的关系附录四06,07年考题一第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念。
线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。
因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.是M吗？一张表有M行和N列，以N个数字排列，两边用括号或方括号括起来，就变成了M？例如N型矩阵2-101111102254-29333-18是4吗？5矩阵对于上述线性方程组，它被称为矩阵a11a12?a1na11a12?a1nb1a=a21a22?a2n和(a|?)=a21a22?a2nb2??????? am1am2？amnam1am2？amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.矩阵中的数字称为其元素，第I行和第J列中的数字称为（I，J）位元素所有元素为0的矩阵称为零矩阵，通常记录为0两个矩阵a和b相等(记作a=b),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.N个数的有序数组称为N维向量，这些数称为其分量书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成二a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个M？n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为其行向量；每一列都是一个m维向量，称为它的列向量。
南航数学考研真题答案
南航数学考研真题答案南京航空航天大学（南航）的数学考研真题答案通常包括了高等数学、线性代数、概率论与数理统计等部分。
以下是一份模拟的南航数学考研真题答案的内容：南京航空航天大学数学考研真题答案一、选择题1. 根据题目所给的函数表达式，我们可以利用导数的定义来求解该函数的导数。
答案为：f'(x) = 2x + 3。
2. 线性代数中矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大数目。
根据题目所给的矩阵，我们可以计算出其秩为2。
（此处省略其他选择题的详细答案）二、填空题1. 根据题目所给的级数，我们可以通过比较判别法来判断其收敛性。
答案为：该级数发散。
2. 在概率论中，两个事件A和B是互斥的，当且仅当它们同时发生的概率为0。
根据题目所给的条件，我们可以得出事件A和B是互斥的。
（此处省略其他填空题的详细答案）三、解答题1. 高等数学部分：- 题目要求求解一个二元函数的极值。
首先，我们需要求出该函数的一阶偏导数和二阶偏导数。
然后，利用Hessian矩阵来确定极值点的性质。
2. 线性代数部分：- 题目要求求解一个线性方程组的解。
我们可以通过高斯消元法或矩阵的逆来求解该方程组。
3. 概率论与数理统计部分：- 题目要求计算一个离散随机变量的期望和方差。
首先，我们需要列出该随机变量的所有可能取值及其概率，然后根据期望和方差的公式进行计算。
（此处省略其他解答题的详细答案）四、证明题1. 题目要求证明一个数学定理。
我们可以通过构造反例、归纳法或者数学归纳法来证明该定理的正确性。
（此处省略证明题的详细答案）结束语：在解答数学考研真题时，考生需要具备扎实的数学基础和良好的逻辑推理能力。
通过不断的练习和总结，相信每位考生都能够在数学考研中取得优异的成绩。
请注意，以上内容仅为示例，实际的南航数学考研真题答案会根据具体的考试题目而有所不同。
考生在准备考研时，应该以历年真题和官方发布的考试大纲为依据，进行系统的复习和练习。
线性代数启蒙_北京航空航天大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
线性代数启蒙_北京航空航天大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.在空间直角坐标系中, 方程组【图片】的图象是参考答案:一条直线2.当【图片】等于如下哪一个值时, 向量组【图片】线性无关:参考答案:其他选项都不对3.行列式【图片】参考答案:94.已知空间直角坐标系中两个向量【图片】. 过原点【图片】作长度2015的直线段【图片】同时垂直于【图片】. 求【图片】的坐标. 则本题解的个数为：参考答案:25.方程【图片】的全部根之和等于参考答案:96.向量【图片】线性无关. 向量组【图片】的秩为参考答案:37.前20个正整数的立方和【图片】参考答案:441008.数列通项公式是二次多项式【图片】, 前三项依次为【图片】. 则第5项为参考答案:120779.方阵【图片】满足条件【图片】, 决定空间直角坐标系中的变换【图片】.以下哪些命题正确:参考答案:是绕直线的旋转._1是的特征值, 是特征向量.10.满足如下条件的最小正整数【图片】等于以下哪个值:【图片】参考答案:611.【图片】是 3维列向量, 【图片】是 3维行向量, 【图片】. 则【图片】参考答案:12.【图片】,则【图片】参考答案:13.【图片】则【图片】参考答案:495014.方阵【图片】,【图片】满足【图片】.则【图片】的以下哪个元素可以不为0:参考答案:b15.设函数【图片】的最大(小)值为【图片】, 此时对应的【图片】,则【图片】参考答案:-5016.数列的通项【图片】满足条件【图片】且【图片】则【图片】试通过计算方阵【图片】的幂【图片】得到数列的通项公式. 计算得到【图片】.参考答案:34952517.四元一次方程【图片】的解空间【图片】有一组正交基由三个向量【图片】组成. 则【图片】。
参考答案:718.平面上建立了直角坐标系, 将每个点【图片】的坐标【图片】写成列向量【图片】, 【图片】. 【图片】是由实2阶方阵【图片】决定的变换. 如下命题哪些是正确的:参考答案:是平面上绕原点的旋转._是正交变换,是正交方阵.19.空间直角坐标系中的旋转变换【图片】将【图片】轴变到【图片】轴, 将【图片】轴变到【图片】轴. 如下命题哪些正确:参考答案:是绕直线旋转._旋转角度为.。
考研数学线性代数与矩阵运算解析
考研数学线性代数与矩阵运算解析线性代数在考研数学中占据着重要的地位，而矩阵运算是线性代数的核心内容之一。
对于考研学子来说，深入理解和熟练掌握矩阵运算，是取得好成绩的关键。
首先，让我们来认识一下矩阵。
矩阵可以看作是一组数按照一定的规则排列而成的矩形数组。
比如一个 m 行 n 列的矩阵 A，就可以表示为 A ＝（aij)，其中 i 表示行标，j 表示列标，aij 表示第 i 行第 j 列的元素。
矩阵的加法和减法相对比较简单。
只有当两个矩阵的行数和列数都分别相等时，才能进行加法和减法运算。
运算规则就是对应元素相加或相减。
矩阵的乘法则相对复杂一些。
设矩阵 A 是 m 行 p 列的矩阵，矩阵B 是 p 行 n 列的矩阵，那么矩阵 A 与矩阵 B 的乘积C 是一个 m 行 n 列的矩阵。
其中 C 的第 i 行第 j 列的元素等于矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵B 的第 j 列对应元素相乘之后相加的结果。
在矩阵乘法中，要特别注意乘法的顺序。
一般来说，矩阵乘法不满足交换律，即 AB 不一定等于 BA。
但矩阵乘法满足结合律和分配律。
接下来，我们说一说矩阵的转置。
矩阵 A 的转置矩阵 AT 就是把 A 的行和列互换得到的矩阵。
转置运算有一些重要的性质，比如（AT)T ＝ A，（A ＋ B)T ＝ AT ＋ BT 等等。
再看看矩阵的逆。
对于一个 n 阶方阵 A，如果存在一个 n 阶方阵 B，使得 AB ＝ BA ＝ I（I 是单位矩阵），那么矩阵 A 是可逆的，矩阵 B就是矩阵 A 的逆矩阵，记作 A-1。
判断一个矩阵是否可逆，通常可以通过计算其行列式的值，如果行列式的值不为零，则矩阵可逆。
矩阵的初等变换也是一个重要的概念。
包括对矩阵进行行变换和列变换，比如交换两行（列）、某一行（列）乘以一个非零常数、某一行（列）乘以一个数加到另一行（列）上。
通过初等变换，可以将矩阵化为阶梯形矩阵、行最简形矩阵等特殊形式，从而方便我们求解线性方程组等问题。
北京航空航天2018年《单考数学》考试大纲
北京航空航天2018年《单考数学》考试大纲一、考试内容高等数学、线性代数二、高等数学部分的考试大纲（一）函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数简单应用问题函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限与右极限无穷小和无穷大的概念及其关系无穷小的性质及无穷小的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：e x x x xx x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→→11lim ,1sin lim 0函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质考试要求理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题的函数关系式。
了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
理解复合函数及分段函数概念，了解反函数及隐函数的概念。
掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
理解极限的概念，理解函数的左极限与右极限概念，以及函数极限存在与左、右极限之间的关系。
掌握极限的性质及四则运算法则。
掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限的方法。
理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
（二）一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和物理意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线基本初等函数的导数导数和微分的四则运算复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L’Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。
北京航空航天大学线性代数第六章64正定二次型和正定矩阵.ppt
答疑时间：星期二晚上18:00－20:30 星期四晚上18:00－20:30
答疑地点：J4-102 Email: liyongzhu@
朱立永
线性代数
第六章 二次型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准形 §6.3 惯性定理 §6.4 正定二次型和正定矩阵
线性代数
§6.4 正定二次型和正定矩阵
定义6.4.1 设 f (x1, x2 ,, xn ) X T AX 为n元
实二次型. 若对于任意非零实向量 X
(x1, x2, , xn )T 0 ,都有
f (x1, x2 , , xn ) X T AX＞0 则称实二次型 f 为正定二次型;相应的实对 称矩阵 A称为正定矩阵.
件是 A的特征值全大于0,从而正定矩阵的
行列式大于0. 证 由定理5.3.5,必有正交矩阵 Q ,使
线性代数
1
QT AQ Q1AQ B
2 ,
n
其中,1, 2, , n 是 A 的全部特征值.因为
，
A正定的充要条件是B 正定.而 B对应的
二次型为
，
Y T BY
1 y12
2
y
2 2
n
y
2 n
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必
要条件是 i 0(i 1, 2, , n).
线性代数
由于 A B 12 n＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕.
例6.4.1 判断实二次型 f (x1, x2, x3)
3x12 3x22 x32 4x1x2 的正定性.
，
解 二次型 f 的矩阵为
A3 A t
1
北京航空航天大学线性代数第六章6-4-正定二次型和正定矩阵
所以 B 为对称矩阵. 对于任意的 n 维实向量 X ,有
X BX X
T T
(kE A A ) X kX
T T
T
X X
T
A AX
T
kX
X ( AX ) AX .
T
T T
当X
0 时,有 X X 0 , ( AX ) AX 0
.因此,当
线性代数
k 0
时,有
X
T
BX kX
t 1 1 2 5
1 t
2
0 , 即 1 t 1,
t 1 2
5t
2
4t 0, 即
4 5
t 0.
于是当 5 t 0 时, f 为正定二次型.
线性代数
AX 为n元 定义6.4.3 T 实二次型, X ( c1 , c 2 , , c n ) 为任一非零的实向
1 n
2
2
1
n
必要性 设
A
是 n 阶正定矩阵,则
A
线性代数
为实对称矩阵,从而存在正交矩阵 Q ,使得
1 1 T Q AQ Q AQ n
即
1 A Q T Q n
其中
1
, , n
是 A 的 n 个特征值,且都大于
Y
T
BY
2 1 y1
2 2 y2
2 n yn
由定理6.4.1可知,该二次型正定的充分必 要条件是 0 ( i 1, 2 , , n ).
i
线性代数
由于 A B 1 2 n ＞ 0 ,即正定矩阵 的行列式大于0.证毕. 例6.4.1 判断实二次型 f ( x , x , x )
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14 北京理工大学 A 28 电子科技大学 AB+等(63个)：湖南师范大学、重庆大学、华中师范大学、东华大学、河北师范大学、桂林电子科技大学、辽宁大学、内蒙古大学、哈尔滨工程大学、南京师范大学、华南师范大学、华东理工大学、陕西师范大学、西北师范大学、广东工业大学、安徽师范大学、徐州师范大学、东北大学、北京交通大学、辽宁师范大学、上海师范大学、西南交通大学、山东科技大学、武汉理工大学、暨南大学、南京航空航天大学、郑州大学、大连海事大学、江苏大学、合肥工业大学、上海理工大学、浙江工业大学、宁波大学、四川师范大学、浙江师范大学、河海大学、北京科技大学、安徽大学、福建师范大学、中国矿业大学、广西大学、南昌大学、北方工业大学、西安建筑科技大学、河南师范大学、温州大学、成都理工大学、扬州大学、武汉科技大学、长江大学、南京信息工程大学、北京工业大学、兰州理工大学、湖南科技大学、南京财经大学、西安理工大学、青岛大学、南京农业大学、河北工业大学、五邑大学、太原理工大学、渤海大学、江南大学B等(62个)：山东师范大学、山西大学、中北大学、哈尔滨理工大学、深圳大学、广西师范大学、云南师范大学、长春工业大学、大连大学、安庆师范学院、湖北大学、汕头大学、烟台大学、黑龙江大学、河北大学、河南大学、杭州电子科技大学、西南大学、长沙理工大学、信阳师范学院、北京邮电大学、西安科技大学、兰州交通大学、南京邮电大学、西北农林科技大学、中国海洋大学、江西师范大学、集美大学、重庆师范大学、中国人民大学、上海财经大学、南京理工大学、中国计量学院、聊城大学、宁夏大学、海南师范大学、西华师范大学、辽宁工程技术大学、中国传媒大学、中国农业大学、漳州师范学院、中国地质大学、青岛科技大学、辽宁工学院、西华大学、贵州大学、安徽理工大学、哈尔滨师范大学、天津工业大学、三峡大学、华北水利水电学院、华北电力大学、重庆工学院、天津工程师范学院、山东理工大学、湖北师范学院、北京化工大学、中国石油大学、青岛理工大学、河北科技大学、华东交通大学、广西师范学院C等(42个)：名单略关键词：考研应用数学院校排名概率论与数理统计考研院校排名来源： 2011-01-18 14:30:37 编辑：sunrain 浏览次数：3849 网友评论0 条转播至:我很喜欢这篇文章！收藏到网摘:高等学校概率统计课的教材，内容包括概率论的基本概念、随机变量及其概率分布、数字特征、大数定律与中心极限定理、统计量及其概率分布、参数估计和假设检验、回归分析、方差分析以及用Excel进行概率统计计算。
考研数学《线性代数》考点知识点总结
第一章行列式二元线性方程组：a x11ax21a12a22yyb1b2aa1112D，aa2122ba112D，1ba222ab111D2ab212xD1D，yD2D排列的逆序数：ttn1ti〔t为排列p1p2p n中大于p i且排于p i前的元素个数〕it为奇数奇排列，t为偶数偶排列，t0标准排列。
a 11 a12a1nn阶行列式：Daaa21222ndet(a)=ij(1)t为列标排列的逆序数．t aaa1p12p np2na n1 an2ann定理1：排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性推论：奇〔偶〕排列变为标准排列的对换次数为奇〔偶〕数定理2：n阶行列式可定义为tD(1)a1a2a=pppn12n (1)．t aaat aaa1p12p np2nT 1．D=DT，D为D转置行列式．(沿副对角线翻转，行列式同样不变)推论：两行(列)完全一样的行列式等于零．2．互换行列式的两行(列)，行列式变号．记作：r i r〔c i c j〕DD．j 记作：r i r〔c i c j〕DD0．j推论：某一行(列)所有元素公因子可提到行列式的外面．3．行列式乘以k等于某行(列)所有元素都乘以k．记作：kDr i k〔kDc i k〕．记作：kDrki〔kDc i k〕．4．两行(列)元素成比例的行列式为零．记作：r j r i k〔c j c i k〕D0．行列式的性质：a11a12(a1ia1i) a1na11a12a1ia1na11a12a1ia1n5．D a21a22(a2ia2i) a2n Da21a22a2ia2na21a22a2ia2na n1 an2(aniani) annan1an2aniannan1an2aniann上式为列变换，行变换同样成立．6．把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．记作：c i ckc(r i r i kr j)，D不变．ij注：任何n阶行列式总能利用行运算r i+kr j化为上(下)三角行列式．对角行列式上D〔下DT〕三角形行列式00a11011212nn(n1)2 2，n(1)12aa2122Da11a22ann00nn an1an2anna 11 a1ka11a1kabD1det(aij)假设对Dak1c11akkc1kb11b1k设ak1bakkb，假设2nabD2，n11 1n 阶行列式cdc k1 ckkbk1bkkD2det(bij)bn1bnncd2n那么有D=D1D2．有D2n=(ad-bc)n．n．ij余子式：n 阶行列式中把a ij 所在的第i 行和第j 列去掉后，余下n-1阶行列式．代数余子式：ijA ij (1)M引理：n 阶行列式D 中，假设第i 行所有元素除a ij 外都为零，那么有Da ij A ij ．行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘机之和．定理3：推论：行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘机之和等于零． (代数余子式性质) D,ij,当n aAD ki 当kjijk10,ij;或 D,当j i naAD ikjkij 当 k 10,ij, ; 其中 ij1, 0, 当 当 i ij , j.1111X 德蒙德 行列式：xxxx123n2222Dxxxx ＝n123nnij ( 1x i x)．证明用数学归纳法．jn x11n x21n x 31n nx1设方程组a x111ax211a12a22x2x2a xnxn1na2nb,1b,2aa111n，假设0D ，那么方程组有惟一解：克拉默法ax n11a n2 x 2a nnx nbna n1 ann那么：DDD12nx,x,,x1，其中2nDDDD ja 11 a n1 a 1,a n ,j j 1 1 b 1 b n a 1,a n,j j 1 1a 1nann(j1,2,,n)．定理4：假设上线性方程组的系数行列式D0，那么方程组一定有惟一解；假设无解或有两个不同解，那么D0．定理5：假设齐次线性方程组(b n =0)的系数行列式D0，那么齐次线性方程组无非零解；假设有非零解，那么D0．第二章矩阵及其运算对角矩阵(对角阵)：n 阶单位矩阵(单位阵)：纯量阵：100 λ000λ1E0100Λλ00 λ2E00100 λ0n0 λEAAEA．另可记作diag(,,,)Λ．12n(E)AA，A(E)A．矩阵与矩假设(a)Α是一个ms矩阵，B(b ij)是一个sn矩阵，且CAB，那么C(c ij)是一个mn矩阵，ij阵相乘：且cabababimij1122(1,2,,;j1,2,,n)．假设ABBA ，称A与B是可交换的．ijijissjT矩阵转置：假设Α(a ij)，那么(a)ΑjiTTTTTT(AB)AB，(AB)BA假设TA，A为对称阵A方阵的行列式：n阶方阵A元素构成的行列式，记A或det A．方阵行列式的运算规律：A 11 A21An1A为行列式A中对应元素的ijT；1．AA伴随矩阵：A* A12A22An2代数余子式．n；2．AAA 1n A2nAnnAA**A A A E 13．ABAB，1AA．逆矩阵：假设ABBAE，那么A可逆，且称B为A的逆矩阵，记B=A-1，A的逆阵是唯一的．定理1：假设矩阵A可逆，那么A0．定理2：假设A0，那么矩阵A可逆，且A1 1．*AA奇异矩阵：当A0时，A称为奇异矩阵．矩阵A可逆的充要条件：A0，即矩阵A是非奇异矩阵。
[考研数学]北京航天航空大学线性代数 6-2 二次型的规范形
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根据惯性定理, 实二次型的正、 根据惯性定理 实二次型的正、负惯性指数 与其秩一样, 也是满秩线性变换下的不变量. 与其秩一样 也是满秩线性变换下的不变量 因此虽然实二次型的标准形不唯一, 因此虽然实二次型的标准形不唯一 但标准 形中总项数r, 正项个数p都是唯一的 都是唯一的. 形中总项数 正项个数 都是唯一的 可得 其秩相等, 正惯性指数相等. 两实对称矩阵合同 其秩相等 正惯性指数相等
是复数域上的二次型, 设f (x1, x2, …, xn)是复数域上的二次型 经过 是复数域上的二次型 满秩变换化为标准形 2 2 2 f = d1 y1 + d2 y2 + ⋯+ dr yr , 1 y1 = z1 d1 di ≠ 0(i = 1,2,⋯r) 其中r是二次型 的秩, 其中 是二次型 f 的秩 r n. ⋮ y = 1 z r r 作满秩变换 dr yr+1 = zr+1 ⋮ yn = zn
作齐次方程组
g11 y1 + g12 y2 + ⋯+ g1n yn = 0 g21 y1 + g22 y2 +⋯+ g2n yn = 0 ⋯ gq1 y1 + gq2 y2 + ⋯+ gqn yn = 0 yp+1 = 0 ⋯ yn = 0
此方程组必有非零解, 此方程组必有非零解 令 ( y1 ,⋯, yp , yp+1 ,⋯, yn ) = (k1 ,⋯, kp , kp+1 ,⋯, kn )
一 复数域
2 2 2 f = z1 + z2 +⋯+ zr 二次型化为 称为复二次型的规范形 复二次型的规范形. 称为复二次型的规范形 显然复二次型的规范 形完全由原二次型的秩决定. 形完全由原二次型的秩决定 定理2.1 任何复系数二次型经过适当的满秩线 定理 性变换可化为规范形, 且规范形是唯一的, 性变换可化为规范形 且规范形是唯一的 由二 次型的秩决定. 次型的秩决定 1 的对角 用矩阵表示 形矩阵, ⋱ 形矩阵 复数域上的对称 1的个数 的个数 1 矩阵合同于形式 为对称 0 为 矩阵的 ⋱ 秩. 0
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出
x11 x22 xnn
则称有序数 x1 , x2 , , xn 为向量在基底
1 ,2 , ,n 下的坐标, 记作 ( x1 , x2 , , xn )
定理3.1 设1, 2, …, n是向量空间V的一组基 底, V, 则表达式
x11 x22 xnn
是唯一的(坐标的唯一性).
由 1, 2, …, n线性无关, 则
a11k1 a21k2 an1kn 0 a12k1 a22k2 an2kn 0 a1nk1 a2nk2 annkn 0
此方程组只有零解系数行列式不为零
注
D aij 0.
例2给出了用已知基底构造其它基的方法.
2. 基变换与坐标变换
二.子空间
定义2 设有向量空间 V1及V2，若向量空间V1 V2， 就说 V1 是 V2 的子空间． 实例
设V 是由 n 维向量所组成的向量空间， 显然V Rn 所以V总是 Rn的子空间.
三.向量空间的基与维数
定义3 设 V是向量空间，如果 r 个向量 1,2 , ,r V，且满足
(1) 1, 2 , , r线性无关;
（3）若向量组
1 ,2 ,
,
是向量空间
r
V
的一
个基，则 V 可表示为
V x 11 22 rr 1 , ,r R
四.向量的坐标, 基变换与坐标变换 书P250
将本小节中的“元素”改为“向量”即可
(一) 向量的坐标
定义 设V是数域K上的n维向量空间, 1 ,2 , ,n
是V的一组基底, 对任意V, 可由基底线性表
1 a111 a122 a1nn
an22 annn
也是V中一组基底 D aij 0. 证明 只要证明1, 2, …, n线性无关.
1, 2, …, n线性无关
k1 1+k2 2+…+kn n=0只有零解.
代入 1, 2, …, n的表达式, 得
(2)V中任一向量都可由1,2 , ,r线性表示.
那末，向量组 1 ,2 , ,r 就称为向量 V 的一个
基，r 称为向量空间 V 的维数，并称 V 为 r 维向量
空间．
说明
（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量 空间，因此它没有基．
（2）若把向量空间 V看作向量组，那末V的基
就是向量组的最大无关组, V 的维数就是向量组的 秩.
问题：同一元素在不同基底下的坐标不同, 坐 标之间的关系如何？
定义 设 1, 2, …, n与1, 2, …, n是n维向量空间V 的两组基, 并且
1 p111 p122 p1nn
2 p211 p222 p2nn
(1)
n pn11 pn22 pnnn
令 p11
P
p12
p1n
p21 p22 p2n
pn1 pn2 pnn
称P为由基底 1, 2 , …, n到1, 2, …, n的过渡 矩阵, (1)称为基底变换 公式.
利用矩阵乘法运算的规则, (1)可以写成
( 1, 2, …, n)=( 1, 2, …, n)P
( 1, 2, …, n)=( 1, 2, …, n)P
k1(a111 a122 a1nn ) k2(a211 a222 a2nn ) kn(an11 an22 annn )
(k1a11+k2a21+…+knan1) 1+ (k1a12+k2a22+…+knan2) 2 +…+ (k1a1n+k2a2n+…+knann) n=0
一.向量空间的概念
定义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V非空，
且集合V对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称 集合 V为向量空间． 说明
集合V 对于加法及乘数两种运算封闭指
1.若 V , V , 则 V;
2.若 V , R, 则 V .
例1 3 维向量的全体R3 ,是一个向量空间.
有 0,a2 b2 , ,an bn T V1
0, a2 , , an T V1 .
例3 判别下列集合是否为向量空间.
V2 x 1, x2 , , xn T x2 , , xn R
解 V2不是向量空间.
因为若 1,a2 , ,an T V2 , 则2 2,2a2 , ,2an T V2 .
基底变换公式.
定理3.2 设 1, 2, …, n与 1, 2, …, n是向量空间
V的两组基底, 由 1, 2, …, n到1, 2, …, n的过渡 矩阵为P, 如果V中任意元素在这两组基底下坐标分 别为(x1, x2, …, xn)与(y1, y2, …, yn), 则
x1 y1
x2
P
y2
或
xn yn
y1
x1
y2
P
1
x2
yn
xn
坐标变换公式.
证明 设 =x1 1+x2 2+ …+xn n
1 2
=y1 1+y2 2+ …+yn n
1 2
x1
n
x2
xn
y1
n
y2
yn
由 ( 1, 2, …, n)=( 1, 2, …, n)P,
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 .
类似地，n维向量的全体Rn，也是一个向量空 间.
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 , , xn T x2 , , xn R
解 V1是向量空间 .
因为对于V1的任意两个元素
0, a2 , , an T , 0, b2 , , bn T V1 ,
代入得
y1
1
2
n
P
y2
由坐标的唯一性, 得
yn
x1 y1
x2
P
y2
证明 设在基底1, 2, …, n下有两种表达式
x11 x22 xnn y11 y22 ynn 则 ( x1 y1 )1 ( x2 y2 )2 ( xn yn )n 0
由1, 2, …, n线性无关, 得 xi yi (i 1,2, ,n)
例2 若1, 2, …, n是向量空间V的基底, 则