经济数学第二章极限与连续

lim
x 2
x 1 3 . x2 4
2.3极限存在准则与两个重要极限
一 极限存在准则
1.夹逼准则(两边夹定理）
定理Ⅰ 如果函数g（x）、f（x）及 h（x） 满足下列条件:
(1) g ( x) f ( x) h( x) (2) lim g ( x) A,
n x0 n x0
lim x n 存在.
n
2 2 xn xn1 3 xn , x n 1 3 x n , lim 1 lim( 3 x n ), n n
1 13 1 13 解得 A , A 2 2 1 13 lim x n . n 2
1、自变量趋于无穷大时函数的极限
直观定义: 设 y f ( x) 在 x M( M 0 )时有定义, 若 x 无限增大时, f ( x) 无限趋近于确定常数A ,则
称
x
时, f ( x) 以A为极限,记为
lim f ( x ) A
x
1 例：当 x 时，研究f（x）= 的极限。 x y 由极限的直观定义可知
则称数列 { xn }的极限不存在，或称数列发散
几个常用极限
•
• • •
lim ① n C=C（常数列的极限就是这 个常数） 1 lim 0 ②设a>0，则特别地 n n n lim q 1 , lim q 1; ③设q∈(-1，1)，则 n qn=0； n 或 q 1, lim q n 不存在。
所以 lim f ( x) 不存在 .
x 0
x 2 1, x 0 例 :已知函数f ( x) .求 lim f ( x), lim f ( x)及 lim f ( x) x 0 x 0 sin x 1, x 0 x0
(sin x 1) 1 解：lim f ( x ) xlim 0
( n 为正整数 )
法则 3： 若
lim f ( x) A , lim g ( x) B , 且 B≠0 , 则有
特别：若
n
lim xn A , lim yn B , 则有
n
n
(1) lim ( xn yn ) A B
(2) lim xn yn AB
x x ：x x0且x x0 x x ：x x0且x x0
x x0
但 x x0
f ( x) A
x x0
0
0
定理： xlim x
lim f ( x) lim f ( x) A
xx0
0
x 1, x 0 1 f ( x) 0 , x 0 o 1 y x 1 x 1 , x 0 讨论 x 0 时 f ( x) 的极限是否存在 .
2
1 cos x （1）求 lim . 2 x 0 x
2、
定义
1 x lim(1 ) e x x 1 n lim(1 ) e n n
1 n 设 x n (1 ) n n 1 n( n 1) 1 n( n 1)( n n 1) 1 1 2 n 1! n 2! n n! n 1 1 1 1 2 n1 1 1 (1 ) (1 )(1 )(1 ). 2! n n! n n n
2、数列极限的定性描述
一个确定的常数A, 则称常数A为数列 { xn } 当n无限
xn 无限趋近于 设有数列 { xn }, 若当n无限增大时，
增大时的极限，或称数列
xn 收敛于a x n a , 或 xn a (n ). 记为 lim n
数， 若当n无限增大时, xn不趋近于一个确定的常
1 y x o x
1 所以f（x）= 的极限是0 x
1 0. 记为：lim x x
2、自变量趋于有限值时函数的极限
直观定义:
设函数 (点 x 0可以除外),若 在点 x 0 的某一邻域内有定义
x以任意方式趋近于 x 0时, f ( x)
f ( x) 以 A为
无限趋近于确定常数 A ,则称 x x0 时, 极限.记为
例1. 求
tan x sin x 1 lim lim 解: x 0 x x 0 x cos x
sin x 1 lim lim 1 x 0 x x 0 cos x
例2
解:
x 2 x 2 sin sin 1 2 2 原式 lim lim x 0 2 x0 x 2 x2 ( ) 2 x sin 1 1 2 1 2 2 lim( ) 1 . x 0 x 2 2 2 2
1
n lim 2 lim n n 1 n
1
1 1 n
1,
1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 2 2 ) 1. n n 1 n 2 n n
1,
由夹逼准则得
2.单调有界准则
如果数列 xn满足条件
x1 x2 xn xn1 , 单调增加 x1 x2 xn xn1 , 单调减少
x2 1 计算 l i m . 2 x 2 x 4 x 2
一般的处理方法是先通分再运用前面介绍过的 求极限的方法.
x2 1 x2 x 2 lim lim 2 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 4 ( x 2)( x 1) lim x 2 ( x 2)( x 2)
2.2极限的运算法则
法则1 ：若
lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
法则2： 若
lim f ( x) A , lim g ( x) B , 则有
推论 1 .
lim[ C f ( x)] C lim f ( x) ( C 为常数 )
n n
推论 2 . lim[ f ( x)] [ lim f ( x) ]
l i m( x 1) x 1 x2 lim x2 x 1 l i m( x 1) x2 2 1 21 1 . 3
作业3 求 解: 时,分母 分子
分子分母同除以 x 2 , 则
原式
lim
4 31 9 x 5 21 x
x
1 x2 1 x2
例6
n
2.1.3函数的极限
自变量变化过程的六种形式:
沿x轴的正向与负向同时无限远离原点 沿x轴的正向无限远离原点 沿x轴的负向无限远离原点 x从x0点的两侧趋向于x0 x从x0点的右侧趋向于x0 x从x0点的左侧趋向于x0
函数极限主要讲两个内容:
1、自变量趋于无穷大时函数的极限
2、自变量趋于有限值时函数的极限
A 2 3 A,
(舍去)
二、两个重要极限
1、
C
B
o
x
sin x lim 1 x 0 x

2 )
D
A
设单位圆 O , 圆心角AOB x , (0 x
作单位圆的切线 ，得ACO .
扇形OAB的圆心角为x ,
OAB的高为BD ,
于是有sin x BD, x 弧 AB, tan x AC ,
x x0
lim f ( x) A
函数的左右极限的定义
(1)若x x0 时, 有f ( x) A, 则称 A为函数 f ( x)在x0处的右极限 .
记作：
f (x0 ) f (x0 +0)= lim f (x) A
x x0
(2)若x x0 时, 有f ( x) A, 则称A为函数 f ( x)在x0处的左极限 .

BD<弧BC<AC sinx<x<tanx
1 x 1 sin x cos x sin x 1 x

上式同时除以sinx,得：
再进一步处理，得：
cos x
上式子对于

x0 2
x 0 x 0
也成立
由于
lim1 1 lim cos x 1
sin x 1 由夹逼准则得： lim x 0 x
x 1 x 1 x 1
lim ( x 2 8 x 7 ) l i m x 2 l i m8 x l i m7
(lim x ) 2 8 lim x lim 7.
x 1 x 1 x 1
由于 lim x 1 , lim 7 7 ,
x 1 x 1
x 1
因此
lim ( x 2 8 x 7) 12 8 1 7 2.
x 3x 2 例 4 求lim 2 . x 2 x x 2
2
解：因为 lim( x 2 x 2) 0 ，在分式里分母不能为0， x2
所以要对分子和分母进行因式分解，得：
x2 3x 2 ( x 1)( x 2) lim 2 lim x2 x x 2 x 2 ( x 1)( x 2)
2.4、无穷小与无穷大,无穷小的比较
1、 无穷小量 2、 无穷大量 3、无穷小的比较
1、 无穷小量
定义1 . 若
(或x )
时 , 函数
则称函数
为 (或x )
解：原式
lim[(2 3 x)(x 2 1)]
x 2
lim(6 x)
x2

lim(2 3 x) lim( x 1)
2 x 2 x2
lim(6 x)
x2
8 3 4 6
例3 求 lim( x 2 8 x 7 ).
x 1
解
x 1
运用法则1、2及推论可得:
准则Ⅱ 单调有界数列必有极限.
单调数列
几何解释:
x1 x 2 x 3x n x n 1
A
M
ห้องสมุดไป่ตู้
x
证明数列 xn 式 )的极限存在 . 证： 显然 xn1 xn ,
xn 是有界的;
例2
3 3 3 ( n重根
xn 是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3, x k 1 3 x k 3 3 3,
xn A (3) 当yn 0 且 B 0时, lim n y n B
n
• 例1求 lim( 2 x 1)
2 x 1
解：原式= lim 2 x
x 1
2
lim1
x 1
2 lim x 2 1
x 1
2 1 1 1
• 例 2求
(2 3x)(x 2 1) lim x 2 6 x
记作：
f (x0 ) f (x0 0)= lim f (x) A
x x0
函数的左右极限统称为单侧极限
函数的左右极限的定义
x0 x x0 x x0含义 x无限地趋近于
x x0 (右极限：x从 x0右侧无限趋近于 x0 ) x x0 x x 0 (左极限：x从x0左侧无限趋近于x0 )
x0

注意 :
讨论分段函数在 分段点处的极限时，
x0
2 ( x 1) 1 lim f ( x ) lim x 0
f ( x ) lim f ( x ) , 因为：lim
x 0 x0
当分段点两侧函数 表达式不同时，要 用左右极限讨论
lim f (x) 1 x 0
解: 利用定理 结合图示法 .因为
x 0 x 0
例 设 函数
y
y x 1
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0
x 0
显然
x 0
lim f ( x ) lim f ( x ) ,
lim h( x) A,
lim f ( x) A 那么函数f（x）的极限存在,n x
0
例1 求 lim(
n
1 n 1
2

1 n 2
2

1 n n
2
).
n 1 1 n , 解 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim 2 lim n n n n