数理经济学第5章课后题答案

第五章 习题答案

1．求下面等式约束最优化问题可能的极值点，要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组。 （1）

16

4..),(max 212121=+=x x t s x x x x f ，（2）

3

2.

.),(min max 22

2

1

2

2

121=+

=x x t s x x x x f or

（3）

1

1..),(min max 2

2

=+=+=y x y x t s xy y x f or 和

解：（1）首先写出拉格朗日函数：121212(,,)(164)L x x x x x x λλ=+--

将L 对1x ，2x 和

λ分别求偏导数可得：

1221120

40

1640

x x L x L x L x x λλλ=-=⎧⎪

=-=⎨⎪

=--=⎩ 解得128, 2x x **

==，2λ*=，此时16f =。

则点(8,2)为目标函数的驻点，且在该点处约束条件满足约束规格。

（2）首先写出拉格朗日函数：222

121212(,,)(32)L x x x x x x λλ=+--

将L 对1x ，2x 和 λ分别求偏导数可得：

121212

12221224020320

x x L x x x L x x L x x λλλ=-=⎧⎪=-=⎨⎪=--=⎩ 解得121, 1x x **==，12λ*

=

，此时1f =；或者121, 1x x **==-，12

λ*

=-，此时1f =-；或者121, 1x x **=-=，12λ*=，此时1f =；或者121, 1x x **=-=-，12

λ*

=-，

此时1f =-。

则点(1,1)、(1,1)-、(1,1)-和(1,1)--为目标函数的驻点，且在这些点处约束条件满足约束规格。

（3）首先写出拉格朗日函数：22

1212(,,,)(1)(1)L x y xy x y x y λλλλ=+--+--

将L 对x ，y ，1λ和2λ分别求偏导数可得：

1

2

121222

2020

1010x y

L y x L x y L x y L x y λλλλλλ=--=⎧⎪=--=⎪⎨=--=⎪⎪=--=⎩ 解得111,0,2x y λ*

*

*

===-

2,1λ*=，此时0f =；或者110,1,2

x y λ***===- ，21λ*=，此时0f =。

则点(1,0)和点(0,1)为目标函数的驻点，且在这两点处约束条件满足约束规格。 2．利用等式约束极值问题的二阶充分条件判断习题1中求得的点是否为极大值点或极小值点。

解： （1）对120x L x λ=-=，2140x L x λ=-=求偏导数可得11220x x x x L L ==，

12211x x x x L L ==，加边元素11x g =-，24x g =-。所以，海赛加边行列式为：

0111

04801

4

H -=-=>-- 所以，由定理5.2得，在128,2x x **==处函数取得极大值16f *

=。

（2）对1121240x L x x x λ=-=，22

1220x L x x λ=-=求偏导数可得11224x x L x λ=-，

22122112,2x x x x x x L L L x λ=-==，加边元素114x g x =-，222x g x =-。所以，海赛加边行列

式为：

211121

2

2424222420

x x x H x x x x λλ--=

---- 当121, 1x x **==，1

2

λ*

=

时， 0242

124804

2

H -=--=>-- 所以，由定理5.2得，在121, 1x x **==处函数取得极大值1f *

=。 当121, 1x x **==-，1

2

λ*

=-

时，

024

2

124804

2

H -==-<- 所以，由定理5.2得，在121, 1x x **==-处函数取得极小值1f *

=-。 当121, 1x x **=-=，1

2

λ*

=

时， 024

2

124804

2

H -=---=>- 所以，由定理5.2得，在121, 1x x **=-=处函数取得极大值1f *

=。 当121, 1x x **=-=-，1

2

λ*

=-

时， 0

24

2

124804

2

H -=-=-< 所以，由定理5.2得，在121, 1x x **=-=-处函数取得极小值1f *

=-。

（3）对1220x L y x λλ=--=，1220y L x y λλ=--=求偏导数可得2xx yy L L λ==-，

1==yx xy L L ，加边元素12x g x =-，12y g y =-，221x y g g =-，1-=y g 。所以，海

赛加边行列式为：

2121122122001

1

x y H x y λλ------=

----

当11

1,0,2

x y λ***

===-

2,1λ*=时， 11211101402000110

H ---=

=>---

当110,1,2

x y λ***

===-

，21λ*

=时，