排列组合与统计初步
概率论与数理统计
第一章 概率论第一节 随机事件和概率一、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
（2）加法原理（两种方法均能完成此事）：n m +某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
（3）乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：n m ⨯某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由n m ⨯种方法来完成。
（4）一些常见排列① 特殊排列② 相邻③ 彼此隔开④ 顺序一定和不可分辨【例1】 袋中有N 个球，其中M 个为白色，从中有放回地取出n 个：①N ＝10，M ＝2， n ＝3；②N ＝10，M ＝4，n ＝3．考虑以下各事件的排列数： (Ⅰ)全不是白色的球． (Ⅱ)恰有两个白色的球． (Ⅲ)至少有两个白色的球． (Ⅳ)至多有两个白色的球． (Ⅴ)颜色相同． (Ⅵ)不考虑球的颜色．解：①当M ＝2时，(Ⅰ)83． (Ⅱ)3³22³8． (Ⅲ)3³22³8＋23．(Ⅳ)3³22³8＋3³2³83＋83(或103－23)． (Ⅴ)23＋83． (Ⅵ)103． ②当M ＝4时，将上面的2→4，8→6即可．二、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
试验的可能结果称为随机事件。
例如：掷一枚硬币，出现正面及出现反面；掷一颗骰子，出现“1”点、“5”点和出现偶数点都是随机事件；电话接线员在上午9时到10时接到的电话呼唤次数（泊松分布）；对某一目标发射一发炮弹，弹着点到目标的距离为0.1米、0.5米及1米到3米之间都是随机事件（正态分布）。
高考数学总复习------排列组合与概率统计
高考数学总复习------排列组合与概率统计【重点知识回顾】1.排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计 数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶排列与组合的主要公式①排列数公式：An m(n n! n(n1) (nm1) (m ≤n)m)!A n n=n!=n(n―1)(n ―...2)21.·②组合数公式：Cn mn! n(n 1) (n m 1) (m ≤n).m!(n m)! m (m 1) 2 1③组合数性质：①C n mC n nm(m ≤n). ②C n 0C n 1C n 2C n n2n③Cn 0C n 2C n 4C n 1C n 32n12.二项式定理⑴二项式定理(a+b)n=C n 0a n+C 1n a n －1b+⋯+C n ra n －rb r+⋯＋C n n b n，其中各项系数就是组合数C n r，展开r － r b r . 式共有n+1项，第r+1项是T r+1=C n a n⑵二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1 项Tr+1=C n r a n －r b r(r=0,1, ⋯叫n)做二项展开式的通项公式。
⑶二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， r n r (r=0,1,2, ⋯,n). 即C n =C n②若n 是偶数，则中间项 (第n n项)的二项公式系数最大，其值为 C n 2；若n 是奇数， 12则中间两项(第n 1项和第n3 n1 n1项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C n 2 =C n 2. 2 2③所有二项式系数和等于 2n，即C 0n +C 1n ＋C 2n +⋯+C nn =2n.④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，10213n ―1 即C n +C n +⋯=C n +C n +⋯=2 . 3.概率（1）事件与基本事件：随机事件: 在条件下, 可能发生也可能不发生的事件S事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件 确定事件 S必然事件:在条件下,一定会发生的事件 S基本事件：试验中不能再分的最简单的 “单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的； 试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（ 2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件 的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．（3）互斥事件与对立事件：事件定义集合角度理解 关系事件 A 与B 不可能同时两事件交集为空事件A 与B 对立，则A互斥事件与B 必为互斥事件；发生事件 A 与B 不可能同时两事件互补 事件A 与B 互斥，但不对立事件一是对立事件 发生，且必有一个发生（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件 ”的概率模型．几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的， 但古典概型问题中所有可能出现的 基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：P(A)A 包含的基本事件的个数 ．基本事件的总数构成事件A 的区域长度(面积或体积) 几何概型的概率计算公式： P (A )．试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)两种概型概率的求法都是 “求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性质与公式①事件A 的概率P(A)的X 围为：0≤P(A)≤1．②互斥事件A 与B 的概率加法公式： P(AB)P(A) P(B)．③对立事件A与B的概率加法公式：P(A) P(B) 1．（7）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是p kkn―kn的展开式的第k+1 项.n (1 ―p).实际上，它就是二项式[(1 ―p)+p] (k)=C n p2（8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为( X k )k k (1)nk(012 )P Cp p，k ，，，，nn．此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率．4、统计（1）三种抽样方法①简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，⋯，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．②系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k，当N（Ｎ为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，nk N；当N不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n整除，n n这时k N；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l，再按事先确定的规则n抽取样本．通常是将l加上间隔 k得到第2个编号(l k)，将(l k)加上k，得到第3个编号(l 2k)，这样继续下去，直到获取整个样本．③分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．（2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个X围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．3①用样本频率分布估计总体频率分布时， 通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作 频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤． 画样本频率分布直方图的步骤： 求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点： 一是所有的信息都可以从图中得到； 二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程1 n 2．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，度，其计算公式为s(x i x)ni1两者实质上是一样的．（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值， 获得对这两个变量之间的整体关系的了解． 分析两个变量的相关关系 时 ,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估 计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系： 如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近， 那么就说这两个变量之间具有线性相关关系， 这 条直线叫做回归直线， 其对应的方程叫做回归直线方程． 在本节要经常与数据打交道， 计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器． （4）求回归直线方程的步骤：n n 2；第一步：先把数据制成表，从表中计算出 ，， x i y i ， xy x ii1 i1 第二步：计算回归系数的 a ，b ，公式为n n nn x i y i ( x i )( y i ) b i 1 i1 i 1 ， n 2 n x i )2n x i (i 1 i 1a y ；bx第三步：写出回归直线方程y bxa ． （4）独立性检验①22 列联表：列出的两个分类变量 X 和Y ，它们的取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2}的 样本频数表称为 2 2列联表1分类y1 y2 总计x1 a b a bx2cdc d总计 a c b da bcd构造随机变量K2(an(ad bc)2d)（其中n ab cd）b)(c d)(a c)b4得到K2的观察值k常与以下几个临界值加以比较：如果k 2.706，就有9000的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果k 3.841 就有9500的把握因为两分类变量如果k 6.635 就有9900的把握因为两分类变量如果低于k 2.706，就认为没有充分的证据说明变量【典型例题】考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：X和Y是有关系；X和Y是有关系；X和Y是有关系．①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。
统计与排列组合教案：适合孩子加强对排列组合思想的掌握和理解
统计与排列组合教案：适合孩子加强对排列组合思想的掌握和理解作为数学中非常重要的一个分支，排列组合在我们的生活和学习中都能发挥着重要的作用。
孩子们在初中阶段学习排列组合是非常关键的一环，而帮助孩子更好地掌握和理解排列组合思想，则需要编写合适的教案。
下面，本文将为大家介绍一份针对初中阶段学生的“统计与排列组合教案”。
一、教学目标1.学习排列组合的基本概念；2.掌握排列和组合的计算方法；3.能够熟练地应用排列组合知识解决有关问题；4.加深对排列组合思想的理解。
二、教学重点和难点1.重点：排列、组合的计算和应用；2.难点：能够自主思考，独立解题。
三、教学准备1.教科书、笔记本、笔；2.充足而有适度难度的练习题。
四、教学过程第一节：排列1.引入：“想象一下，你有十个球，你想用其中五个球排队，问你可以有多少种不同的排列方式？”请同学们思考并举手回答；2.解答：这种问题，我们称之为排列问题。
因为要选出一定数量的元素，并按照一定的顺序进行排列。
回答问题的方式可以使用乘法原理，即有n个元素要选出k个元素并按照一定顺序进行排列，则总的排列方式为：A(n,k)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)。
答案为A(10,5)=10x9x8x7x6=30240。
让同学们自己计算一下；3.让同学们自己去思考下一道题目：4个人买一副扑克牌，现在这4个人要按照顺序抽牌，问抽出牌时的排列方式有多少种。
引导同学们找到答案；第二节：组合1.引入：“想象一下，你有十个球，你想用其中五个球组成一组，你可以有多少种不同的组合方式？”请同学们思考并回答；2.解答：这种问题我们称之为组合问题。
因为不要求元素的顺序，每一种组合只能被列举出一次。
从n个元素中选出m个元素，一共有多少种不同的组合方式？C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)=n!/[m!(n-m)!]。
答案为C(10,5)=252。
让同学们自己计算一下；3.让同学们自己去思考下一道题目：有10名选手，要从中选出3名选手进行比赛，不考虑名次，问选手的不同组合方式有多少种。
排列组合及其在统计中的应用-
排列组合及其在统计中的应用-排列组合及其在统计中的应用在数学中，排列和组合是基本的数学概念，它们在各个领域中都有广泛的应用。
本文将介绍排列组合的定义、性质以及在统计学中的应用。
一、排列和组合的定义1. 排列的定义排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序排列的方式。
假设有n个元素，要从中选取r个元素进行排列，则排列的个数用符号P(n, r)表示。
其计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，计算公式为n! = n × (n - 1) × (n - 2) × ... × 2 × 1。
2. 组合的定义组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑其排列顺序的方式。
假设有n个元素，要从中选取r个元素进行组合，则组合的个数用符号C(n, r)表示。
其计算公式为：C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)二、排列和组合的性质排列和组合具有一些重要的性质，对于问题的解决和计算具有指导作用。
1. 排列的性质- 排列个数为0：当n < r时，P(n, r) = 0。
- 排列个数相等：当n = r时，P(n, r) = n!。
- 排列个数的关系：P(n, r) = n × P(n-1, r-1)。
- 唯一性：排列是唯一的，不同的排列顺序会产生不同的结果。
- 可重复：元素可以在不同的位置重复出现。
2. 组合的性质- 组合的个数相等：当n = r时，C(n, r) = 1。
- 组合的个数的关系：C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)。
- 无序性：组合不考虑元素的排列顺序，只关注元素的选择组合。
- 不可重复：元素不可重复选择，组合结果是唯一的。
三、排列组合在统计中的应用排列组合在统计学中有着广泛的应用，主要用于计算事件发生的可能性以及计算概率。
1. 事件发生的可能性在有限的样本空间中，排列和组合可以帮助我们计算事件的发生可能性。
排列组合与概率统计
三 排列组合，概率统计（一）排列组合1知识点 1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的方法 2，排列排列定义：从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素（被取出的元素各不相同），按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
排列数定义；从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有排列的个数m nA公式m nA=!()!n n m - 规定0！=13，组合组合定义 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合组合数 从n 个不同元素中，任取m （m≤n ）个元素的所有组合个数m nCm nC=!!()!n m n m -性质mnC =n m nC-11m m m n n n C C C -+=+2 排列组合题型总结 一 直接法1 .特殊元素法例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个（1）数字1不排在个位和千位（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择25A ，其余2位有四个可供选择24A ，由乘法原理：25A 24A =240 2．特殊位置法（2）当1在千位时余下三位有35A =60，1不在千位时，千位有14A 种选法，个位有14A 种，余下的有24A ，共有14A 14A 24A =192所以总共有192+60=252 二 间接法当2）可用间接法2435462A A A +-=252Eg 有五张卡片，它的正反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数333352A C ⨯⨯个，其中0在百位的有2242⨯C ⨯22A 个，这是不合题意的。
高中数学中的排列组合与概率统计
高中数学中的排列组合与概率统计高中数学是我们学习的重要学科之一，其中排列组合与概率统计是数学中的两个重要概念。
它们在数学中的应用广泛，不仅帮助我们解决实际问题，还培养了我们的逻辑思维和分析能力。
一、排列组合排列组合是数学中的一种方法，用于计算一组对象的不同排列或组合的数量。
在排列中，对象的顺序是重要的，而在组合中，对象的顺序是不重要的。
排列的计算方法可以通过以下例子来理解。
假设有3个球，分别是红球、蓝球和绿球，现在要将这3个球放在一个篮子里。
那么，一共有多少种不同的排列方式呢？首先，我们可以将红球放在篮子的第一个位置，然后将蓝球放在第二个位置，最后将绿球放在第三个位置。
这样的排列方式是一种情况。
同样的，我们可以将红球放在第一个位置，绿球放在第二个位置，蓝球放在第三个位置，这样的排列方式也是一种情况。
根据这个思路，我们可以得出结论，一共有3个球，所以一共有3!（3的阶乘）种不同的排列方式。
组合的计算方法则是通过以下例子来理解。
假设有5个人，我们要从中选出3个人组成一个小组。
那么，一共有多少种不同的组合方式呢？首先，我们可以从5个人中选出一个人作为小组的第一个成员，然后从剩下的4个人中选出一个人作为第二个成员，最后从剩下的3个人中选出一个人作为第三个成员。
这样的组合方式是一种情况。
同样的，我们可以从5个人中选出一个人作为第一个成员，从剩下的4个人中选出一个人作为第二个成员，从剩下的3个人中选出一个人作为第三个成员，这样的组合方式也是一种情况。
根据这个思路，我们可以得出结论，一共有5个人，我们要选出3个人，所以一共有5C3（5的组合数）种不同的组合方式。
二、概率统计概率统计是研究随机事件发生的可能性的一门学科。
它可以帮助我们预测事件发生的概率，并根据概率进行决策和分析。
概率的计算方法可以通过以下例子来理解。
假设有一个装有10个红球和10个蓝球的箱子，现在我们从中随机抽取一个球。
那么，抽到红球的概率是多少呢？首先，我们可以计算出总共有20个球，其中10个是红球。
(完整版)《概率论与数理统计》讲义
第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念1、排列组合初步（1）排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。
)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。
例1．1：方程xx x C C C 76510711=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？(2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。
(3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。
例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法A．120种B．140种 C．160种D．180种(4)一些常见排列①特殊排列②相邻③彼此隔开④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？①3个舞蹈节目排在一起；②3个舞蹈节目彼此隔开；③3个舞蹈节目先后顺序一定。
例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？③ 顺序问题例1．13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的种数？（有序） 例1．14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的种数？（有序） 例1．15：3白球，2黑球，任取2球，2白的种数？（无序）2、随机试验、随机事件及其运算（1）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。
成考数学教案-第13讲--排列、组合、概率初步、统计初步
文化理论课教案-10-j-01审阅签名：【组织教学】1. 起立，师生互相问好2. 坐下，清点人数，指出和纠正存在问题 【导入新课】 【讲授新课】 第十三章 排列与组合 §13.1 两个基本原理 一、分类计数原理完成一件事有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法……，在第n 二类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有不同的方法的种数为12n N m m m =+++二、分步计数原理完成一件事要分成n 个步骤，在第一步骤中中有1m 种不同的方法，在第二步骤中有2m 种不同的方法……，在第n 步骤中有n m 种不同的方法，那么完成这件事的方法的种数共有12n N m m m =⨯⨯⨯§13.2 排列与组合 一、排列1.排列的定义、排列数 从n 个不同的元素中,任取()m m n ≤个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同的元素中,取出()m m n ≤个不同的元素的一个排列.当n m =时,又叫全排列. 从n 个不同的元素中,任取()m m n ≤个不同的元素的所有排列的个数,叫做从n 个不同的元素中取()m m n ≤个不同的元素的的排列数.用符号mn P 表示.如从,,,a b c d 四个字母中,四个字母都参与排列的排列数为如下24种:abcd bacd cabd dabc abdc badc cadb dacb acbd bcad cbad dbacacdb bcda cbda dbca adbc bdac cdab dcab adcb bdca cdba dcba排列数是24，排列的过程可用以下的步骤完成:第一步，从,,,a b c d 中任选一个排在最前面，共有4种不同的选法；第二步，从第一步选剩的3个字母中任选一个排在第二位，共有3种不同的选法； 第三步，从第一步、第二步选剩的2个字母中任选一个排在第三位，共有2种不同的选法； 第四步，经过第一步、第二步、第三步的选排，剩下的字母只有一个，共有1种选法。
排列组合与概率统计问题PPT教学课件
1. 分组（堆）问题 分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；
1. 分组（堆）问题 例1.有五项不同的工程，要发包给三个工程队，要
求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同 的发包方式？
解：要完成发包这件事，可以分为1-1-3、1-2-2两 类发包方式.
⑴完成1-1-3发包方式有两个步骤：
①先将四项工程分为三“堆”，有
C53C21C11 A22
10
种分法；
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A53 1 A53
4.消序法(留空法) 变式：如下图所示,有5
解: 如图所示
B
横8竖构成的方格图,从
A到B只能上行或右行
也共可有以多看少作条是不同的路线?
1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B
④顺序一定的排列，
A
将一条路经抽象为如下的一个
有
A11 11
排法(5-1)+(8-1)=11格:
（或
C53 10
种分法）
②再将分好的三“堆”依次给三个工程队，
有3!＝6种给法.
∴ 1-1-3发包方式共有10×6＝60种.
1. 分组（堆）问题
例1.有五项不同的工程，要发包给三个工程队，要
求每个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同
的发包方式？
解：要完成发包这件事，可以分为1-1-3、1-2-2两
般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以
精品教案：排列组合、二项式定理、概率、统计
条件概率：在事件B已 经发生的情况下，计算 事件A发生的概率，即 P(A∣B)=P(A∩B)/P(B)
04
统计
统计的定义
统计是对数据进 行收集、整理、 分析和解释的科 学
统计方法常用于 研究数据的分布 规律和特征
统计在各个领域 都有广泛应用， 如经济学、社会 学、生物学等
统计的主要目的 是为决策提供数 据支持，帮助人 们做出科学合理 的决策
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汇报人：XX
排列组合在金融领域的应用： 投资组合优化、风险评估、
决策理论等。
排列组合在游戏设计中的应 用：游戏策略、AI算法、 概率计算等。
排列组合的解题技巧
理解概念：排 列组合的概念 是解题的基础， 需要理解并掌
握。
掌握公式：排 列组合的公式 是解题的关键， 需要熟练掌握
并运用。
分类讨论：对 于复杂的问题， 需要进行分类 讨论，将问题 分解成若干个 简单的问题。
统计的公式和定理
内容1：统计的公式和定理 内容2：统计的公式和定理 内容3：统计的公式和定理 内容4：统计的公式和定理
统计的应用
数据分析：对大量数据进行整理、分析和解释，以揭示其内在规律和趋势 预测模型：利用统计方法对未来进行预测和推断，例如市场预测、气象预报等 决策制定：基于统计数据为决策者提供依据，例如制定政策、投资决策等 质量控制：通过统计技术对生产过程进行监控和评估，以确保产品质量符合标准
二项式定理的解题技巧
掌握二项式定理 的基本公式和展 开式
理解各项系数和 字母指数的含义 和作用
掌握二项式定理 的通项公式及其 应用
学会利用赋值法 简化计算和提高 计算效率
03
概率
排列组合、二项式定理及概率与统计
⑶当 中含有4个元素时，从5个元素中选出4个元素，有 =5种选法，再分成1-3；2-2；3-1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；
（4）某人射击6次，恰好有3枪命中的结果有多少种？
2、以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（）个、计算：（1） ＋ ＋ ＋ =_______
（2）若 ，则 =_______
4、四面体的一个顶点为A，从其它顶点与各棱中点中取三个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有（）种。
A． B． C． D．
集合 选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数。也就是A和B满足：① ;② 至少含有2个元素，至多5个元素。自然按照 中的元素多少可以分类计算了。
解法一：
⑴当 中含有2个元素时，从5个元素中选出2个元素，有 =10种选法，小的给A集合，大的给B集合。有10×1＝10种方法；
第十章
知识体系：
第一讲
一、基础知识再现
1、分类计数原理：
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
（4）最多有一条次品的抽法有_________种。
二、典型例题
例1、若｛1，2｝ Z ｛1，2，3，4，5｝，满足这个关系式的集合Z共有（）个。
排列组合及概率统计基础
►►► 第10讲 排列组合及概率统计基础129第10讲排列组合及概率统计基础考纲解析排列组合及概率论部分的内容是比较重要的，因为它很容易和别的部分的知识结合起来，例如条件概率或一些概率分布很容易运用在可靠性计算及图、路径和一些相应的算法问题上，所以在复习中一定要灵活掌握，从原理出发，活学活用，能够根据例题将知识运用到别的方面上。
资源链接 本讲对应CIU 视频资源：概率论及数理统计.jbl 。
本讲内容10.1 排列组合基础10.1.1 排列的基本概念及实例从n 个不同的元素中，任取m (m ≤n )个元素（被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列。
如果元素和顺序至少有一个不同。
则叫做不同的排列。
元素和顺序都相同的排列则叫做相同的排列。
排列数的计算公式为)1()2)(1(+---=m n n n n A mn （其中m ≤n ，m ，n ∈Z ）。
10.1（1）7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作7个元素的全排列——77A = 5040。
（2）7位同学站成两排（前3后4），共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理7×6×5×4×3×2×1 = 7！= 5040。
（3）7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作余下的6个元素的全排列——66A = 720。
（4）7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ 解：根据分步计数原理，第一步，甲、乙站在两端有22A 种；第二步，余下的5名同学进行全排列有55A 种，则共有22A 55A =240种排列方法。
（5）7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？这类问题在各种考试中出现得都比较多，关键在于熟练，同时要注意审题，题意是可能设置陷阱的地方。
对于这类问题，要掌握常用的方法，对于“在”与“不在”的问题，常常直接使用“直接法”或“排除法”，对特殊元素可优先考虑。
第十章统计与概率10-6排列与组合(理
2．正确区分是组合问题还是排列问题，要 把“定序”和“有序”区分开来．
3．正确区分分堆问题和分配问题
一、“分类”与“分步”，应该如何理解与 区分
(1)分类：“做一件事，完成它可以有n类办 法”．每一类办法中的每一种方法都能将这 件事完成．分类时，首先据问题特点确定一 个合理的分类标准，在这个“标准”下分类 能够做到：
答案：D
(8)数字问题首位不能为0 [例8] (09·陕西)从0,1,2,3,4,5这六个数字中
任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数 字的四位数的个数为
( ) A．300 B．216 C．180 D．162 解析：分两类：①选0.从其余2个偶数中选1
个，从3个奇数中选2个，首位不排0，故有 C21C32C31A33＝108(种)；
点评：实际解题中，先找出符合题设条件的 一种情形，然后选取一种替代方案，注意是 否相邻、相间等受限条件，然后确定有无顺 序是排列还是组合，再去求解．
[例12] 如图，从上往下读(不能跳读)构成 句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同 读法种数是( ) 构 建 建 和 和 和 谐 谐 谐 谐 社 社 社 社 社 会 会 会 会 会 会 创 创 创 创 创
第二类：a、b中有一个为0，则不同的直线 仅有两条x＝0和y＝0.
∴共有不同直线14条．
答案：14
(2010·重庆一中)高三某学生计划报名参加 某7所高校中的4所学校的自主招生考试，其 中仅甲、乙两所学校的考试时间相同，因此
该学生不能同时报考这两所学校，那么该学 生不同的报考方法有( )种．( )
[例4] (2010·山东理)某台小型晚会由6个节
排列组合与统计学中的应用
排列组合与统计学中的应用在排列组合与统计学中的应用在数学领域中，排列组合和统计学是两个重要的概念和工具。
它们在各种实际问题中的应用非常广泛，从生活中的事件概率计算到工程项目规划，排列组合和统计学的知识都能帮助我们更好地理解和解决问题。
一、排列组合的基本概念排列组合是数学中研究对象之一，主要涉及集合元素的选择和排列方式。
在排列中，元素的顺序非常重要，而在组合中，元素之间的顺序并不重要。
下面将介绍一些常见的排列组合概念及其应用。
1.1 排列排列是指从给定的元素集合中选择若干元素并按某种顺序排列，计算方法遵循下面的原则：如果有n个元素可供选择，需要选择r个元素进行排列，那么排列的总数为n!/(n-r)！，其中“！”表示阶乘运算。
排列的应用非常广泛，例如在密码学中，密码的破解往往涉及多种排列情况的尝试；在竞赛中，排列的计算可以帮助我们计算出可能的比赛结果等。
1.2 组合组合是指从给定的元素集合中选择若干元素，而不考虑其排列顺序。
计算方法遵循下面的原则：如果有n个元素可供选择，需要选择r个元素进行组合，那么组合的总数为n!/(r!(n-r)！。
组合在实际应用中也非常常见。
比如在概率统计中，我们需要计算某个事件发生的可能性，就可以借助组合来计算事件发生的总情况数。
二、排列组合在概率统计中的应用概率统计是指利用统计学方法来分析和预测随机事件的发生概率。
在概率统计中，排列组合是基础知识，为我们计算事件发生的可能性提供了重要的工具。
2.1 事件发生的可能性在实际生活中，我们常常需要计算某个事件发生的可能性。
例如，当从一副扑克牌中抽取5张牌，计算获得一对、两对、三条、四条等的可能性，这就需要借助排列组合的知识来进行计算。
2.2 正态分布的应用正态分布是概率统计中的重要概念之一，它描述了大量独立、随机变量的分布情况。
在实际应用中，正态分布为我们提供了一种有效的模型来描述各类现象。
通过排列组合的计算，我们可以确定正态分布曲线下某个特定区域的面积，进而计算出相应的概率。
第十章概率与统计初步§10.1排列与组合
第十章概率与统计初步有一个人生了病，到一位医生那里去就诊．医生检查后，与病人进行了如下的对话：“你生的病可谓九死一生啊！”“啊?!”“幸好你到我这里来就诊！”“喔！”“在你之前我已经看了九个这种病例，”“大夫经验丰富．”“可是他们都死了，”“...!!!”“你是第十个，因此一定看得好．”要你是那位病人的话，你肯定不会相信那位医生的胡诌，拔脚开溜了．电视上几乎天天有交通事故伤亡的报道，那些罹难者除了极个别者外，不会自己去送死，但是不幸还是降临到了他们的头上．因此你每次上街都在冒伤亡的风险，但是你不会因此就不上街吧？第一个笑话中的那位病人，如果真的留下来请医生治疗，也不见得必死无疑，或许真的给医生治好了；第二个调侃中的你，也不见得每次外出必定安全返回，或许真有那么一次直奔急诊室去了．因为这两个事件有一个公共特点：都带有不确定的因素，发生或是不发生是随机的，差别仅在于这种随机事件发生的可能性有多大．笑话中的那位病人，估计继续治疗是凶多吉少，治愈的可能性太小了，因此开溜为上；第二则调侃中的你，预计出车祸的可能性微乎其微，因此不必每次上街都抱着英勇赴难的决心．这种预计、估计的依据是生活经验．有没有可能把随机事件发生的可能性数字化，提出一个明确的大小呢？如何把随机事件发生的可能性数字化，才是科学可信的呢？这就是你在本章中所要学习的内容—概率与统计．§10.1 排列与组合重点∙排列与组合的概念∙选排列数公式和全排列数公式∙组合数公式难点∙区分排列与组合∙组合数的性质∙排列与组合在实际中的应用学习要求∙能准确区分排列与组合∙掌握排列数、组合数计算公式∙在实际中能准确区分不太复杂的排列于组合问题∙初步会应用组合数的性质，解决一些计算或证明问题接着上面的话题，你之所以每次上街不担心出车祸，是因为你知道出车祸的可能性极小，所谓极小，从数量上分析，无非是上街几万次、甚至几十万次，才可能会发生一次不测事件．如果上街十次就会发生一次车祸，你每次上街就得非常小心了；如果上街百次会发生一次车祸，你会定心一些；上街千次会发生一次车祸，你会更定心一些；现在是几万甚至几十万，所以你就笃定无忧．“十次”“百次”“千次”...，实际上是一个计数问题．要从数量上分析随机事件发生的可能性，必须首先要对发生的事件计数．因此我们首先学习计数的有关知识．你可能会觉得好笑，计数这么一个老古董，原始人就知道结绳记事；还没有上小学，我就会数数；对已经掌握了许多代数、几何知识的我，还得炒这碗“冷饭”？且慢得意，你马上就会发现，就是在你身边发生的、日常生活中的一些计数问题，你未必能顺利解决． 1. 排列 (1)选排列①选排列和选排列数先来看一个简单的实例．在1,2,3三个数码中，取出二个组成一个二位数，可以组成几个不同的二位数？你立即能给出答案：12,13; 21,23; 31,32，共6个；稍为复杂一些，数码增加为1,2,3,4四个，还是难不倒你：12,13,14; 21,23,24; 31,32,34; 41,42,43，共12个；问题再变一下：在四个数码1,2,3,4中，选取三个组成一个三位数，能组成几个不同的三位数？你可能要多花一点时间，但还是能得到答案：123, 124, 132, 134, 142, 143；213, 214, 231, 234, 241, 243； 312, 314, 321, 324, 341, 342；412, 413, 421, 423, 431, 432共24个．把问题改成下面这样，你恐怕要失去找答案的勇气了：在9个数码1,2,3,4,5,6,7,8,9中，选取7个数码组成一个7位数，能组成多少个不同的数？你失去勇气的原因，可能不是不会，而是怕繁，因为你已经预计到，把所有可能的7位数写出来再计个数，将是一个庞大的数字．其实我们只是要你回答可以组成多少个7位数，并没有说要你写出所有的7位数，再去统计个数．能不写出具体的7位数，直接得到所要求的个数吗？设7位数的总个数是79A ．7位数中的第一位，可以在1~9中任挑一个，共有9种可能的选择；对第一位的每一种选择，后面的6位数，将在余下的8个数码中选取6个组成，这样的6位数总个数是68A ；因此7位数的个数是79A =968A ；类比分析，同样又有68A =857A ，57A 是在7个数码中选5个组成5位数的个数；依此类推，得到79A =968A =9⋅857A =9⋅8⋅746A =...=9⋅8⋅7⋅...⋅4⋅13A13A 是最后余下的三个数码中选一个组成一位数的个数，当然仅有3个．于是最终得到A=9⋅8⋅7⋅6⋅5⋅4⋅3=181440．79抽象上面的实例，可以提出这样的问题：在n个不同的元素中，选取其中的k个(k≤n)，按选取的顺序组成一列，共有几种不同的结果？称这样的问题为n个元素选k个的选排列问题；每一种选取的结果称为一个排列；所有A．不同结果的个数，称为选排列数，记作kn选排列问题就是求kA．注意，之所以称为选排列，一则是“选”：k个元n素是从n个元素中选出来的，二则“排”：选取的元素即使相同，但选取的顺序不同，应该认为是两个不同的结果．也就是说，一个选排列，除了选哪些元素之外，还有一个选出元素的排列问题．这种选排列问题，在生活实际中随处可见．例1把下列问题归结为选排列问题：(1)北京、上海、广州、重庆四地间的直航飞机票，需要有多少种？(2)年底，10位同学互寄贺卡，共寄多少张？(3)30位学生组成的班级中，选正、副班长、生活委员、文体委员、学习委员各一人，组成班委，有多少种不同的组成方法？解(1)四地是四个不同的元素；每张机票要选取两个元素(地方)；从甲地飞往乙地与从乙地飞往甲地，是两种不同的机票，因此与选取元素的排列A▌顺序有关，因此是4选2的选排列．需要机票种数为24(2)10位同学是10个元素；一份贺卡是两个同学之间的行为，因此一份贺卡要选两个元素(同学)；甲寄给乙与乙寄给甲是两份不同的贺卡，因此与A▌选取元素的排列顺序有关，因此是10选2的选排列．需要贺卡数为210(3)30位学生是30个不同的元素；班委由5人组成，因此是30选5；选出的5人，各人担任不同的职务，是不同的组成方法，因此与排列顺序有关，A▌因此是30选5的选排列．所以组成方法的个数是530课内练习11. 把下列问题归结为选排列问题：(1)铁路沿线有20个车站，需准备多少种车票？(2)16支球队举行比赛，采用主客场循环比赛制，即每个球队必须与其余球队在主客场各比赛一次，共需比赛多少场？(3)10个人互写一封信，共要写多少封信？(4)10个人中选正副组长各一名，共有多少种选法？(5)由1~9可组成多少个没有重复数字的四位数？ ②选排列数计算公式n 个元素选k 个的选排列数kn A ，可以完全仿照实例的(1)那样分析出来：第一个元素有n 种选取方法；余下的是n -1个元素选取k -1个的选排列数，所以 k n A =n 11--k n A ； 依此类推，得：k n A =n ⋅(n -1)⋅22--k n A =n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅33--k n A =... 最后得到 k n A = n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅... ⋅[n -(k -1)] (10-1-1)在具体计算时，当连乘的项数较多，即使用计算器计算，也是很不方便的．因此把公式(10-1-2)改写一下：k n A =12)...1)((12)...1)(()]1()...[2)(1(⋅⋅---⋅⋅---⋅----k n k n k n k n k n n n n ，引进一个运算记号：n !=n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅...⋅3⋅2⋅1，称为n 的阶乘；当n =0，规定0!=1．于是(10-1-2)可以写成k n A =)!(!k n n - (10-1-2)因为计算器有计算n !的功能键，把选排列数的公式写成(10-1-2)后，可以应用计算器计算kn A ．但是阶乘运算的增加速度是非常快的，一般的10位计算器可以以十进制表示13!的结果，14!或更大的数的阶乘，只得以科学记数法表示，从而给k n A 的计算带来误差．因此14以上的阶乘应当用电脑计算．例2 对例1各题求出结果．解 (1)机票数=24A =4⋅(4-1)=12 ▌ (2)贺卡数=210A =10⋅(10-1)=90 ▌(3)班委组成数=530A =30(30-1)(30-2)(30-3)(30-4)=17100720 ▌例3 计算(1) 55A ；(2) 5106105A A-；(3)570670A A ．解 (1)55A =!0!5)!55(!5=-=5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120 ▌(2)5106105A A -=)!55!41(!10)!510(!105)!610(!10-=-⋅--=)!41!41(!10-=0 ▌(3)570670A A =!64!65)!570(!70!70=-=65 ▌ 例4 若(1)2n A =30；(2)2n A =56n ，求n ．解 (1)2n A =n (n -1)=n 2-n =30，即n 2-n -30=0，或 (n -6)(n +5)=0，得n =6或n =-5， 舍去负根，得n =6 ▌(2) 2n A =n (n -1)=n 2-n =56n ，即n 2-57n =0，或 n (n -57)=0，得n =57或n =0， 舍去零根，得n =57 ▌例5 证明：(1)k n A =(n -k +1)1-k n A ；(2)11--=n n n n nA A ． 证明 (1)右=)]!1([!)1(--+-k n n k n=)!(!)!](1[!)1(k n n k n k n n k n -=-+-⋅+-=kn A =左 ▌ (2)左=)]!1()1[()!1()!(!----⋅=-=n n n n n n n A nn =11--n n nA =右 ▌ 课内练习21. 算出课内练习1第1题各小题的结果．2. 计算(1)45A ；(2)55A ；(3)3105104A A-；(4)810710A A ． 3. 已知(1)n n A n ⋅-=1333；(2)3454nn n A A A ⋅=+，求n ． (2)全排列我们来分析例5第(2)小题．根据记号k n A 的含义，刻板地诠释n n A ，它表示n 个不同元素中选n 个的选排列．但一共只有n 个元素，你就取n 个排列，还谈得上什么选？那不就是全部参加排列吗？因此对n n A 不能再理解为选排列，我们称它是n 个元素的全排列的排列数；也就是说，称n 个不同元素的一种排序方式，为一个全排列；全部可能排列方式的总数，为全排列数，记作n n A ．同时它的计算公式也含在例5第(2)小题中了：n n A =)!(!n -=n !=n ⋅(n -1)⋅(n -2)⋅...⋅3⋅2⋅1 (10-1-3)全排列问题，在实际中也屡见不鲜．例6 信号弹有红、绿、黄三种颜色，如果向天空连发3枪表示一个信号．如果规定连续发射的三枪必须是不同的颜色，那么共能表示多少种不同的信号？如果允许有相同的颜色呢？ 解 三种颜色是三个不同的元素．如果规定连续发射的三枪必须是不同的颜色，那么是三个元素的全排列，因此可以表达信号数33A =3!=3⋅2⋅1=6；若允许有相同的颜色，那情况要复杂得多了： 总信号数=三色信号数+二色信号数+单色信号数，A=6；单色信号数=3(三红或三绿或三黄)．三色信号数=33对二色信号数，重复的颜色有有三种不同的选择，例如红色重复的信号有：红红绿，红绿红，绿红红；绿改黄同样有三种，所以二色信号数为3⨯3⨯2=18种．合之，总信号数=6+3+18=27 ▌本例允许有相同元素的情况，称为有重复的全排列，即参加排列的元素允许有相同、甚至全部相同．可以证明，n个元素有重复的全排列数=n n，本例中n=3,所以排列数=33=27．当然对选排列也可以考虑有元素重复的方式，情况就更复杂了．我们在后文中将会有简单的介绍．例7以所有26个英文字符组成一个26位的密码，规定在一个密码中不出现相同的字符，那么可以组成多少种不同的密码？以单台计算机去解密，若计算机解密的速度是每秒种能检查107个不同的密码，那么最坏的情况下，需要多少时间才能解密？解26个英文字符是26个不同的元素，一个密码是26个元素的一个全排列，总计密码数是26的全排列数，所以A=26!≈4.0329⨯1026．组成的密码数=2626计算机解密的最坏情况，是直到最后一个才检查到设置的密码，此时耗时T为T=4.0329⨯1026÷107=4.0329⨯1019(s)≈1.120254⨯1016 (h)≈1.2788⨯1012(年)，即约12788.3亿年▌你可以想像一下，如果密码中的字符还允许重复，这将是一个何等巨大的数字！在高科技飞速发展的现代，如何设置不易被破译的密码，已经成为一门专门学科——密码学，有些密码长达40位，但还有人竟然能予以破译，你不得不佩服这些高手．课内练习31. 写出字母a,b,c的全排列．2. 填表：3. 古代兵营以白天挂彩旗、黑夜挂彩灯的方式传递信息，现有若使用7面不同颜色的彩旗或7只不同的颜色的彩灯，从上至下挂成一列来表达要传递的信息，那么可以表示多少种不同的信息？4. (1)7人排队，甲必须站在正中间有多少种排法？(2)7人排队，甲、乙必须站头尾有多少种排法？5. 6位同学站一列，要求甲必须在乙前面，共有多少种排法？A⋅=(n+1)!-n!．6. 证明n nn2. 组合(1)组合的概念我们还从一个简单的问题谈起．从甲、乙、丙三人中选2人做代表，显然只有甲与乙、乙与丙、丙与甲，共3种方法；同样地，从甲,乙,丙,丁4人中选两人做代表，有：甲乙,甲丙,甲丁,乙丙,乙丁,丙丁，共有6种方法．与选排列问题比较，这类问题也有一个从全部元素中选取部分元素的问题，但排列问题与选取顺序有关，例如甲、乙、丙三人中选2人做代表，先选出者为首席代表，则先选甲、后选乙和先选乙后选甲是不同的组成；现在的情况却与选取顺序无关，只要选出两人组成代表团，无首席、一般之分．因此这是有别于选排列问题的另一类选取方案个数问题，我们称之为组合问题．具体来说，从n个不同的元素中取出k(k≤n)个元素并成一组，称为从n 个不同元素中取出k个元素的一个组合；组合的总数称为组合数，记作kC．n 例8 把下面的问题归结为排列或组合问题：(1)在人数为50人的班级中，选举正、副班长、学习委员、生活委员和文体委员各一人，组成班委，求可能的组成方案数．(2)在人数为50人的班级中，选举五人组成班委，然后在班委内部分工，确定正、副班长、学习委员、生活委员和文体委员，求可能的组成方案数．(3)由20人组成的足球队中，除守门员外，还需选10人作为首发阵容，求可组成多少个不同的首发阵容．又在50名啦啦队员中要挑选20人前往助阵，有几种挑选方案？(4)10份内容相同的信函，发给20个人中的10人，每人一份，有几种发信的方案？解(1)50位学生中选出5人；因不同分工是班委的不同组成方案，因此A▌与顺序有关，所以组成班委的方案数为550(2)50位学生中选出5人；因为选出班委后再分工，所以与选取顺序无关，所以组成班委的方案数为5C▌50(3)去掉守门员，19位球员中选10人出阵；因为10人担当后卫、前锋等角色不同，是不同的组成方案，因此与选取顺序有关，所以可组成的首发阵容数为1019A ；选助阵啦啦队员无顺序问题，故挑选方案数为2050C ▌(4)因为信函只有10封，人数有20人，因此只能从中挑选10人发予信函；因信函内容相同，故与选取顺序无关，所以发信的方案数为1020C ▌课内练习41. 把下面的问题能归结为排列或组合问题吗？如果能，请写出排列数或组 合数的记号，如果不能，请说明理由：(1)在人数为60人的班级中，分成各30名学生的两个助残公益活动小组， 可以有多少种分法？(2)有一个由6人组成的全能乐队，每人都能玩6种乐器．要挑选5名队 员参加某次演出，可以组建多少种不同的演出阵容？ (3)6个朋友互相握手道别，共握手多少次？ (4)5道习题任意选做3题，有多少不同的选法？ (5)10支球队进行循环赛，共需安排多少场比赛？(6)某种饮料是混合四种原料配制而成．现在每种原料都有9种不同品牌 可供选择，共有几种选择原料的方案？ (7)一个正16边形，能连成几条对角线？ (2)组合数的计算公式组合数的计算与排列数的计算有紧密联系．还是从一个简单的例子看起．你已经知道，在数码1~9中取k 个(k ≤9)组成k 位数的个数kA 9=)!9(!9k -；在1~9中取k 个(k ≤9)组成含有k 个数码的数集，则数集的个数是kC 9． k C 9与k A 9的差别在哪里呢？k 个数码组成数集，只与数码本身有关，与这k 个数码的次序无关；但是同一个数集中的k 个数码，按不同次序排列，却是不同的k 位数，k 个数码可以组成k k A =k !个不同的k 位数，那就是说，每一个数集，在将对应于k A 9中k !个排列，因此k A 9是k C 9的k !倍，即k A 9=kC 9⋅k k A ，k C 9=kkkA A 9．同理，在一般情况下，kn C 中由k 个元素组成的每一个组合，可以有k kA 个不同的排列，因此k n A =k n C ⋅k k A ，k n C =kk kn A A ．以kk A =k !, kn A =)!(!k n n -代入，得到kn C =!)1)...(2)(1()!(!!k n n n n n +---=-⋅ (10-1-4) 这就是组合数的计算公式．例9 计算例8中属于组合问题的各题的组合数． 解 例8(2)组成班委的方案数为550C =!5)450)(350)(250)(150(50----=2118760；例8(3)助阵啦啦队员挑选方案数为 2050C =!30!20!50)!2050(!20!50⋅=-⋅≈4.7⨯1013；例8(4)发信的方案数为 1020C =2)!10(!20)!1020(!10!20=-⋅=184756；例10 据下面的等式，求出n 或k ：(1) 32nn C A =；(2)135358-=k k C C ． 解 (1))1(2-=n n A n ，!3)2)(1(3--=n n n C n ， 两式相等，有!3)2(-n =1，解得n =8 ▌ (2))!35(!!3535k k C k -⋅=，)!135()!1(!35135+-⋅-=-k k C k 两式相等，有13581+-=k k ，解得k =4 ▌例11 求证1)1()(++=-k nk n C k C k n ． 证明 右边=(k +1))]!1([)!1(!)1(1+-⋅+⋅+=+k n k n k C k n =]!1[!!--⋅k n k n=])!1()[(!!)(--⋅-⋅⋅-k n k n k n k n =)!(!!)(k n k n k n -⋅⋅-=(n -k )k n C =左边．你也可以试试从等式左边证到右边 ▌ 课内练习51. 把课内练习4中，属于组合问题的组合数计算出来．2. 写出从a , b , c , d 四个字母中取两个字母的可能组合．3. 计算26C ，37C ，3100C ．4. 计算05C +15C +25C +35C +45C +55C ．5. 据下面的等式，求出n 或k ：(1)432n n C A =；(2)139399-=k k C C ． 6. 证明：(1) 310C =710C ；(2)29C +39C =310C ．7. 证明：(1) k n k n C k C n ⋅=⋅--11； (2)k nk n C k n C n ⋅-=⋅-)(1． (3)组合数的两个重要性质在上述一些形式不同的组合数相等的结论中，有两个特别有用的等式，我们把它们单独列出来． ①对偶原则在课内练习5的第6题(1)中，你曾经证明计算过710310C C =．从组合数的含义来看，这个等式可以得到一个简单的解释：从10个元素中选出7个元素的组合数，与从10个元素中选留3个元素的组合数当然是相等的． 在一般情况下也是如此：从n 个元素中选取k 个元素的组合数，与从n 个元素中选留n -k 个元素的组合数是相等的．因此有等式k n nk n C C -= (10-1-5) 把“选出”改为“选留”，是一种意义相反的对偶，因此可以把(10-1-5)称为对偶原则．在n 个元素中取n 个的组合数，当然仅有一种，因此n n C =1；用(10-1-5)，其中的k =n ，即有0n C =1．按照k n C 的含义，0n C 表示在n 个元素中一个元素也不取的组合数，既然什么也不取，还侈谈什么组合数？因此0n C 本来是没有意义的，但是我们仍然规定0n C =1，这样(10-1-5)对k ≤n 都成立．这就像0!=1一样，是一个数学上的规定，这种规定既合乎逻辑，又方便． ②增一原则在课内练习5的第6题(2)，你曾经证明29C +39C =310C ，这个等式的特点是同一个n =9、k 从2增1成为k =3的组合数之和，与n 增1、k 增1的组合数相等．这不是一种巧合，从组合数的含义来看，也能得到简单的解释．例如，在0,1,..,9这10个数码中取3个、构成含有3个数码的数集的组合数310C ，等于不含数码‟0‟的数集个数m 1与含数码…0‟的数集个数m 2之和；前者是在1,..,9中选取3个，构成3个数码的数集的组合数，即m 1=39C ；后者中的每个数集，是…0‟与1,..,9中选取2个构成，可能选取方法有29C 个，即m 2=29C ，所以310C =m 1+m 2=39C +29C ．把数码换成一般的元素，数集换成一般的组合，数码…0‟换成其它实际含义的另类元素，道理完全是一样的．把这个浅显的道理，推广到一般的情况，就得到组合数的第二个重要性质： 111+++=+k n k n k n C C C (10-1-6) 这个公式的左边是n 不变，k 增加1；右边则是n , k 都增加1，因此可以形象地称它为增一原则． 课内练习71. 有100件礼品，其中有一件礼品是一只手表．允许你挑选其中的9件礼 品．以手表作为另类礼品，请从你可选9件礼品的方案数，分析出等式9100999899C C C =+． 2. 你的班级有50位同学，现在要选出6位组成班委，组成的方案数是650C ．试从你入选班委和你未入选班委两种情况，分析组成的可能方案数，得出结论 650649549C C C =+． (4)组合数性质在计算中的应用从组合数计算公式(10-1-4)可以看出，当n 稍大、且k 又与n 比较接近时，k n C 的分子分母各有k 项相乘，计算起来是很繁的．但此时n -k 却比较小了，公式(10-1-5)告诉我们k n nk n C C - ,是一样的，你可以以计算k n n C -来得到k nC ，而计算kn n C -，分子分母各只有n -k 项相乘，计算起来要简单得多．这就是公式(10-1-5)之重要性所在． 例12 求下列组合数：(1) 4850C ；(2)296300C ．解 (1)4850C =485050-C =250C =!2)150(50-=25⋅49=1225 ▌ (2)296300C =!42972982993004300296300300⋅⋅⋅==-C C =330791175 ▌ 这两个算例，若不用公式(10-1-5)，那计算量要大的多了！例13 已知 31111-=n n C C ，求n ．解 如果直接写出n =n -3，得到矛盾的等式0=-3．因为n n C C -=111111，所以必定成立3111111--=n n C C ． 所以 11-n =n -3，n =7 ▌(本题也可以用下面的方法来求：因为 31111-=n n C C ， 所以 n +(n -3)=11，n =7 ▌) 课内练习81. 求下列组合数：(1)97100C ；(2)198200C ．2. 求等式中n ：231010-=n n C C (注意本题有两个解)． 现在再来看看公式(10-1-6)在计算中用什么用处．就单个公式来看，可以把两项计算合并为一项；若多次重复这种合并，最后可能会把多个组合数的计算，合并为少数几项．例14 计算：(1)210002999242322C C C C C +++++ ； (2)959353252151050C C C C C ++++ ． 解 (1)3322C C ==1，所以在原式中把22C 换成33C ， 原式=210002999242333)(C C C C C +++++ =210002999252434C C C C C +++++ =210002999252434)(C C C C C +++++ =2100029992535)(C C C C ++++ =... =2100031000C C +16666650031001==C ▌ (2)051050C C ==1，所以 原式=959353252151051}]){[(C C C C C ++++ =959353252152}]{[C C C C +++ =959353253}{C C C ++ =... =959859C C +=960C ≈1.4783⨯1010 ▌ 把例子中的具体数字一般化，可以得到下面的公式：k k n k k n k k n n n n C C C C C C 11122110+++--+++=+++++ ， 11121++++-+++=+++++n k n n k n n k n n n n n n n C C C C C C ．这两个公式很长，比较难记，你要掌握的是合并的过程和思想方法，而不是死背． 课内练习91. 计算：(1) 310036353433C C C C C +++++ ； (2) 919313212111010C C C C C ++++ ． 例15 求下列等式中的n ：(1)61512++++=n n n n C C C ；(2)211113-+-+++++=n nn n n n n n C C C C ．解 (1)因为=+++6151n n C C 62+n C ，所以 622++=n n n C C ． 所以 n =6 ▌(2)因为n n n n n n C C C 2111++-+=+，所以只需求n 使2213-++++=n nn n n n C C C ； 应用对偶原则， 222222213,,n n n n n n n n n C C C C C C ====+++++， 因此n 应满足!2)1(!2)1()2(!2)2)(3(-++⋅+=++n n n n n n ，即 n 2+5n +6=(n 2+3n +2)+(n 2-n )， 整理得 n 2-3n -4=0，(n +1)(n -4)=0， 去掉负根，得到n =4 ▌ 课内练习101. 求使下列等式成立的n ：(1)716112++-++=n n n n C C C ；(2)1112224-++++++++=n n n n n n n n C C C C ． 2. 求证：(1)k n k n k n k n C C C C 11111+----=++；(2)k n k n k n k n C C C C 2212+--=++．课外习题 A 组1. 计算：(1)3105104A A -；(2)810710A A ；(3)958482A A -；(4)49594858A A A A -+；(5)52555A A -；(6)4477A A ． 2. 证明：(1)35242322A A A A =++；(2)11--⋅=n n n n A n A ；(3)!111)1(++--++-⋅=n n n n n n n n A A n A n A ； (4)k n k n k n A kA A 11+-=+； (5)nnn n n n A n A A 11111+=+--． 3. 已知：3454nn n A A A =+，求n ． 4. 计算：(1)812C ；(2)5759C ；(3)4447C C ⋅；(4)710081018100C C C +-． 5. 证明：(1)68575655C C C C =++； (2)k n k n C k C n 1⋅=⋅-； (3)k n k n C k n C n ⋅-=⋅-)(1；（4）k n k n C n C k ⋅+=⋅+++)1()1(11． 6．（1）已知：23n n A C =，求n ；（2）2132411+⋅=⋅n n C C ，求n ． 7．证明：k n k n k n k n k n C C C C C 332133+---=+⋅+⋅+8．（1）已知：61512++++=n n n n C C C ，求n ；（2）已知：231010-=n n C C ，求n ； （3）已知：211113-+-+++++=n nn n n n n n C C C C ，求n ．B 组1．求证：1)!1(32332211-+=⋅++⋅+⋅+n A n A A A nn ．2．已知：k k k C C C 76510711⋅=-，求：k C 8．3．100100332211A A A A ++++ 的个位数字是多少？ 4．求证：k k n k k n k k n n n n C C C C C C 11122110+++--+++=+++++ ． 5．圆上有10个点，由这些点连成的弦最多能在圆内相交于多少个点？。
排列、组合、概率与统计基础知识与典型例题
排列、组合、概率与统计基础知识与典型例题一、排列与组合1．分类计数原理: 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，……，在第n类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有N= n1+n2+n3+…+nM种不同的方法．2.分步计数原理:完成一件事,需要分成n个步骤,做第一步有种不同的方法,做第二步有种不同的方法,……,做第n步有种不同的方法，那么完成这件事共有N=n1•n2•n3•…nM 种不同的方法．注：分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，既可用来推导排列数、组合数公式，也可用来直接解题。
它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
只不过利用分类计算原理时，每一种方法都独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。
利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性.比较复杂的问题，常先分类再分步。
3.⑪排列的定义：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.⑫排列数的定义: 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数，用符号表示. 其中n，m∈，并且m≤n．⑬排列数公式:!(1)(1)(,,)()!mnnA n n n m m n n m Nn m=--+=∈-≤当m=n时，排列称为全排列，排列数为= 记为n!, 且规定O!=1.注：;4.⑪组合的定义: 从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.⑫组合数的定义: 从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号表示.⑬组合数公式: .规定，其中m，n∈N+，m≤n.注: 排列是“排成一排”，组合是“并成一组”, 前者有序而后者无序.⑭组合数的两个性质:①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素，因此从n个不同元素中取出n-m个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的.②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n个元素中再取m-1个元素，所以有C ，如果不取这一元素，则需从剩余n个元素中取出m个元素，所以共有C 种，依分类原理有.5．解排列、组合题的基本策略与方法(Ⅰ)排列、组合问题几大解题方法：①直接法; ②排除法;③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”;④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，()m m n <个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有mm nnA A 种排列方法.(Ⅱ)排列组合常见解题策略：①特殊元素优先安排策略； ②合理分类与准确分步策略；③排列、组合混合问题先选后排的策略（处理排列组合综合性问题一般是先选元素，后排列）； ④正难则反，等价转化策略； ⑤相邻问题插空处理策略；⑥不相邻问题插空处理策略； ⑦定序问题除法处理策略；⑧分排问题直排处理的策略； ⑨ “小集团”排列问题中先整体后局部的策略； ⑩构造模型的策略.6.二项式定理:⑪对于n N *∈，00110()n n n r n r r n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b --+=+++++ ,这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做()na b +的展开式. 注:展开式具有以下特点： 项数：共有1+n 项；系数：依次为组合数;,,,,,,210nn r n n n n C C C C C且每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幂排列，b 的升幂排列展开. ⑫二项展开式的通项：()na b +的展开式第r+1为1(0,)r n rrr n T C a b r n r Z -+=∈≤≤.⑬二项式系数的性质.①二项展开式中的(0,1,2,,)rn C r n = 叫做二项式系数．．．．．②在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；即011,,,.n n r n r n n n n n n C C C C C C --===③二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大且当12n +k <时，二项系数是逐渐增大，当12n +k >时，二项式系数是逐渐减小的．(Ⅰ)当n 是偶数时,中间项是第12n +项,它的二项式系数2nnC 最大;(Ⅱ)当n 是奇数时,中间项为两项,即第12n +项和第112n ++项,它们的二项式系数1122n n nnCC-+=最大.④系数和：所有二项式系数的和：012n nn n nC C C+++= ;奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和:0241312n n n n n n C C C C C -+++=++= . ⑤1121m mm m m m m m m nm n C C CCC++++++++=⑭如何来求()n a b c ++展开式中含p q r a b c 的系数呢？其中,,,p q r N ∈且p q r n ++=把()[()]n n a b c a b c ++=++视为二项式，先找出含有r c 的项()r n rrn C a b c -+，另一方面在()n ra b -+中含有q b 的项为q n r qqq p q n rn rCab Ca b ----=，故在()na b c ++中含pqra b c 的项为rq pqrn n rC Ca b c -.其系数为!()!!!()!!()!!!!r q pqr n n rn n pr n n r n C C C CC r n r q n r q r q p ---=⋅==---.⑮二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。
排列组合概率论数理统计 (1)精选全文
2、元素允许重复的排列:
元素允许重复包括元素重复和元素不重复两种情况，
元素允许重复的排列指的是在排列中允许出现相同的元素. 下面讨论从n个不同的元素中允许重复地任取m个元素 组成的排列的方法种数. 从n个不同的元素中任取一个放在第一个位置上
共有n种方法， 然后把该元素放回去，再从这n个元素中任取一个放 在第二个位置上仍有n种方法，……
•12
组合
定义2 从n个不同的元素中任取 m(m≤n)个元素为一组,叫
作从n个不同的元素中取出m个元素的组合.所有这样组合
的个数称为组合数,记为
C
m n
Cmn
Amn Amm
Anm m!
n! (n m)!m!
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
证 从n个不同的元素中取 m个的元素进行排列可分为两步
总体单位总量，就是总体单位数，它是由每个总体单位相加汇总得到的。 通过总体单位总量可以观察总体的具体规模和水平.要确定总体单位总量 首先要根据统计研究目的确定总体范围。
总体标志总量，即总体各单位数量标志值之和，它是由总体单位的某一数 量标志值相加汇总得到的。在一个特定总体内，总体单位总量只有一个， 但可以同时并存若干个总体标志总量，从而产生一系列指标。
包括“2红3白”和“3红2白”两种情形， 结合乘法原理和加法原理， 共C32 C63 +C33 C62 =75种取法
(4)任取5个球中至多有1个红球， 包括“1红4白”和“0红5白”两种情形， 结合乘法原理和加法原理，
共C31 C64 +C30 C65 =51种取法 •19
例7 从1,3,5,7,9中任取3个数字，从2,4,6,8中任取2个 数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
数据统计排列与组合的计算与应用
数据统计排列与组合的计算与应用数据统计是指通过收集、整理、分析和解释数据来揭示事物之间的关系以及事物的分布规律的过程。
在数据统计中，排列与组合是两个常用的计算方法，它们在解决问题、优化方案以及进行预测等方面具有重要的应用。
本文将介绍排列与组合的概念、计算方法以及在实际应用中的具体案例。
一、排列的计算与应用排列是指从给定的n个元素中选出r个元素进行排列的方式，可以用于解决问题的顺序性要求，如座位的安排、密码的破解等。
1. 排列的计算公式设有n个元素，从中选取r个元素进行排列，排列的计算公式为：A(n,r) = n! / (n-r)!其中，"!"表示阶乘运算，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
2. 排列的应用案例排列在实际生活中的应用非常广泛。
例如，某班级有30名学生，要按照一定的顺序进行座位安排，求座位的排列方案数。
根据排列的计算公式可知：A(30,30) = 30! / (30-30)! = 30!所以，座位的排列方案数为30!。
二、组合的计算与应用组合是指从给定的n个元素中选出r个元素进行组合的方式，可以用于解决问题的无序性要求，如抽签、选课等。
1. 组合的计算公式设有n个元素，从中选取r个元素进行组合，组合的计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)2. 组合的应用案例组合也有许多实际应用场景。
例如，某商店有10种不同的商品，要从中选择3种商品进行优惠促销，求优惠活动的方案数。
根据组合的计算公式可知：C(10,3) = 10! / (3!(10-3)!) = 10! / (3!7!)所以，优惠活动的方案数为10! / (3!7!)。
三、排列与组合的综合应用排列与组合经常在实际问题中综合运用，通过计算排列与组合的方案数，可以得到问题的解决方案、优化方案以及预测结果。
1. 综合应用案例假设某公司有5个职位需要填补，共有10名应聘者。
要求每个职位只能由一名应聘者担任，每个应聘者只能获得一个职位。
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第一章 排列组合、概率统计一、考点：分类计数法和分步计数法分类计数法：完成一件事有两类办法，第一类办法由m 种方法，第二类办法有n 种方法，无论用哪一类办法中的哪种方法，都能完成这件事，则完成这件事总共有m+n 种方法。
分步计数法：完成一件事有两个步骤，第一个步骤有m 种方法，第二个步骤有n 种方法，连续完成这两个步骤这件事才完成，那么完成这件事总共有m ×n 种方法。
二、考点：排列和组合的公式排列（有顺序），公式：mn P =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -；组合（没有顺序），公式：mn C =!)1()1(m m n n n +-- =！！！)(m n m n -⋅； m n C =m n n C - m n C +1-m n C =mn C 1+2001年(12) 有5部各不相同的手机参加展览，排成一行，其中2部手机来自同一厂家，则此2部手机恰好相邻的排法总数为（ ）(A) 24 (B) 48 (C) 120 (D) 60解法一 分步法①将同一厂家的2部手机看成“一”部手机，从“四”部手机任选“四”部的排列数为44P ；②被看成“一”部手机的二部手机可交换位置排列，排列数为22P 。
根据分步计数原理，总排列数为4242P P =48()种 解法二 分类法将同一厂家的2部手机看成手机“1'”.①手机“1'”排在1位，有33P 种排法（1234'，，，、1243'，，，1324'，，，、1342'，，，、1423'，，，、1432'，，，）； ②手机“1'”排在2位，有33P 种排法； ③手机“1'”排在3位，有33P 种排法； ④手机“1'”排在4位，有33P 种排法；上述排法共24种，每种排法中手机“1'”各有二种排法，故总排列数为：242=48()⨯种2002年（11） 用0，1，2，3可组成没有重复数字的四位数共有（ ）（A ）6个 （B ）12个 （C ）18个 （D ）24个解法一 ①从0，1，2，3这四个数字中取出四个数字的总排列数为44P ； ②将0排在首位的排列数为33P ，而0不能排在首位；总排列数44P 减去0排在首位的排列数34P 即为所求。
因此，用0，1，2，3可组成没有重复数字的四位数的个数为4343P P =4321321=18-⨯⨯⨯-⨯⨯个（）解法二 第一步：从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有13P 种取法； 第二步：从剩下的三个数字中任取一个排在第二位，有13P 种取法；第三步：从剩下的二个数字中任取一个排在第三位，有12P 种取法； 第四步：从剩下的一个数字中任取一个排在第四位，有11P 种取法.根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有11113321P P P P 个。
11113321P P P P =3321=18⨯⨯⨯个（）.解法三 第一步：从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有13P 种取法； 第二步：把剩下的三个数字分别排在百位、十位、个位，有33P 种取法；根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有1333P P 个。
1333P P =3321=18⨯⨯⨯个（）解法四 第一类：把0固定在个位上，1，2，3排在千位、百位、十位的排法有33P ； 第二类：把0固定在十位上，1，2，3排在千位、百位、个位的排法有33P ； 第三类：把0固定在百位上，1，2，3排在千位、十位、个位的排法有33P ；根据分类计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数共有：33333333P P P =3P =3321=18++⨯⨯⨯个（）2003年（7）用0，1，2，3，4组成的没有重复数字的不同3位数共有（A ）64个 （B ）16个 （C ）48个 （D ）12个解法一 ①从0，1，2，3，4这五个数字中取出三个数字的总排列数为35P ； ②将0排在首位的排列数为24P ，而0不能排在首位；总排列数35P 减去0排在首位的排列数24P 即为所求。
因此，用0，1，2，3可组成没有重复数字的四位数的个数为3254P P =54343=48-⨯⨯-⨯个（）解法二 第一步：.从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有14P 种取法； 第二步：从剩下的四个数字（含0）中任取一个排在第二位，有14P 种取法；第三步：从剩下的三个数字中任取一个排在第三位，有13P 种取法； 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有111443P P P 个。
111443P P P =443=48⨯⨯个（）.解法三 第一步：从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有14P 种取法； 第二步：从剩下的四个数字（含0）中任取二个排在十位、个位，有24P 种取法；根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有1244P P 个。
1244P P =443=48⨯⨯个（）解法四 第一类：把0固定在个位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、十位的排法有24P ；第二类：把0固定在十位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、个位的排法有24P ； 第三类：0不参加排列，1，2，3，4中任取三个的排法有34P ；根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：23442P P =243+432=48+⨯⨯⨯⨯个（）解法五 列举法(麻烦且容易漏列，但直接明了)第一类：1排在百位的数是102103104120123124130132134140142143，，，，，，，，，，，，共12个；第二类：2排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个； 第三类：3排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个； 第四类：4排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个；根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：124=48⨯个。
2004年（8）十位同学互赠贺卡，每人给其他同学各寄出贺卡一张，那么他们共寄出贺卡的张数是（A ）50 （B ）100 （C ）1010 （D ）90（2102C ）2005年（11）从4本不同的书中任意选出2本，不同的选法共有（A ）12种 （B ）8种 （C ）6种 （24C ） （D ）4种2006年（11）4 个人排成一行，其中甲、乙两人总排在一起，则不同的排法有（A ）3⊆ （B ）6⊆ （C ）12⊆ （3232P P ） （D ）24⊆2007年（16）在一次共有20人参加的老同学聚会上，如果每二人握手一次，那么这次聚会共握手多少次？（A ）400 （B ）380 （C ）240 （D ）190()220C2008年（12）某学生从6门课程中选修3门，其中甲课程必选修，则不同的选课方案共有（A ）4种 （B ）8种 （C ）10种 （D ）20种（甲课程必选，从其他5门课程任选2门的组合数为25(-1)(-1)5410!2m n m m P n n n m C P m +⨯====…三、考点：相互独立事件同时发生的概率乘法公式定义：对于事件A 、B ，如果A 是否发生对B 发生的概率没有影响，则它们称为相互独立事件。
把A 、B 同时发生的事件记为A ·B 四、考点：独立重复试验定义：如果在一次实验中事件A 发生的概率为P ，那么A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：k n k kn n P P C k P --=)1()(五、考点：求方差设样本数据为,,,,21n x x x 则样本的平均数为：)(121n x x x nx +++=样本方差为：])()()[(1222212x x x x x x ns n -++-+-=解析：方差填空题必考，大家务必要记住公式2001年(15)）(A)41 (B) 31 (C) 43113133(1)0.5(10.5)3/8P C -⎤=⨯⨯-=⎦ 2002年（15） 袋中装有3只黑球，2只白球，一次取出2只球，恰好黑白各一只的概率是（ ）（A ）51 （B ）103 （C ）52 （D113225P P C ⎫⎪⎭2003年（12）从3个男生和3个女生中选出二个学生参加文艺汇演，选出的全是女生的概率是（A 2326C C ⎛⎫ ⎪⎝⎭（B ）110 （C ）14 （D ）13 （18）某篮球队参加全国甲级联赛，任选该队参赛的10场比赛，其得分情况如下99， 104， 8794， 100， 92， 108， 1102004年（11）掷两枚硬币，它们的币值面都朝上的概率是（A ）12 （B ）13 （D ）18（19）从篮球队中随机选出5名队员，他们的身高分别为（单位cm ） 188， 200， 195， 1872005年（15）8名选手在8条跑道的运动场上进行百米赛跑，其中有2名中国选手。
按随机抽签的方式决定选手的跑道，2名中国选手在相邻的跑道上的概率为（A ）12 77882P P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）18 （D ）116（19）从一批袋装食品中抽取5袋分别称重，结果（单位：g ）如下：98.6，100.1，101.4，99.5，102.22g ）（精确到0.12g ） 2006年（16）两个盒子内各有三个同样的小球，每个盒子内的小球分别标有1，2，3这三个数字，从两个盒子3的概率是（A ）19 1133P =⨯) （C ）13 （D ）23（21）任意测量一批相同型号的制作轴承用的滚球8个，它们的外径分别是（单位mm ）13.713.8 13.3 12.7 13.5 13.62007年（17）已知甲打中靶心的概率为0.8，乙打中靶心的概率为0.9，两人各打靶一次，则两人都打不中的概率为（A ）0.01 （B ）0.02 [](10.8)(10.9)-- （C ）0.28 （D ）0.72 （20）经验表明，某种药物的固定剂量会使人心率增加，现有8个病人服用同一剂量的这种药物，心率增加的次数分别为13 14 10 8 12 13 112008年（16）5个人排成一行，则甲排在中间的概率是（A ）12 （B ）25 （D ）110（21）用一仪器对一物体的长度重复测量5次，得结果(单位:cm)如下:1004 998 999 10032。