10不定方程与整数分拆
不定方程整数解条件
不定方程整数解条件
不定方程整数解条件：
不定方程是指关于两个或多个未知数的整数解的方程。
当我们面对不定方程时，我们希望找到整数解。
然而，并不是所有的不定方程都有整数解。
根据不定方程的形式和特征，我们可以得出一些关于整数解存在的条件。
首先，对于一元一次不定方程 ax + by = c，其中 a、b、c 为给定的整数。
这种
类型的不定方程有解的充要条件是 c 是 a 和 b 的最大公约数的倍数。
另一方面，对于一元二次不定方程ax²+ by²= c，其中a、b、c 为给定的整数。
这种类型的不定方程有解的充要条件是 c 是 a 和 b 的最大公约数的倍数，同时 a 和
b 至少有一个是完全平方数。
对于一般的二元不定方程 ax + by = c，其中 a、b、c 为给定的整数。
不定方程
有解的充要条件是 c 是 a 和 b 的最大公约数的倍数。
此外，我们还可以通过使用模运算来判断一定程度上的整数解条件。
例如，对
于形如ax ≡ b (mod m) 的不定方程，其中 a、b、m 为给定的整数。
该不定方程有解的充要条件是 b 是 a 和 m 的最大公约数的倍数。
总结起来，不定方程的整数解条件取决于方程的形式和特征。
我们可以利用最
大公约数、完全平方数和模运算等方法来判断和求解不定方程的整数解。
三年级数学奥数讲义-整数的分拆(PDF,通用版,无答案)
【例1】(★★) 将12分拆成三个不同的正整数相加之和，共有多少种不同的分拆 方式，请把它们一一列出。
【例2】(★★ ★) 将15分拆成不大于9的三个不同的自然数【0除外】之和有多少种 不同分拆方式，请一一列出。
【例3】(★★★) 古代有孔融让梨的佳话，现在乐乐老师准备在七个装有梨的盘子 中取梨，每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9 个梨.她要从这些盘子中取出15个梨，但要求每个盘子中的梨要么 都拿，要么都不拿。共有多少种不同的拿法？
【本讲总结】 一、概念 整数的拆分： 把一个自然数(0 除外)拆分成几个自然数相加的形式 核心思想： 有序、全面 二、基本型
三、告知最大数
四、求加数的最多个数
五、拆成两个数
1．和一定，差小积大
2．积一定，差小和小
六、拆成多个数，乘积最大
1．相同：3，少2，无1
2．不相同：
2
1
【例4】(★★★) 100这个数最多能写成多少个不同的正整数之和？
【例5】(★★★★) ⑴两个非零自然数的和是14，这两个数分别是多少时，它们的积 最大？最大是多少？ ⑵两个自然数的积为40，这两个数分别为多少时，它 们的和最小？ 最小为多少？这两个数分别为多时， 它们的和最大，最大是多 少？
【拓展】(★★★) 电视台要播放一部30集电视连续剧，若要求每天安排播出的集数互 不相等，则该电视连续剧最多可以播几天？
【例6】(★★★★★) ⑴将10分成若干个自然数的和(允许有相同的)，使得 这些自然数 的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑵将10分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然 数的乘积达到最大，这个乘积是什么？ ⑶将13分成若干个自然数的和(不允许有相同的)，使得这些自然 数的乘积达到最大，这个乘积是什么？
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大。
也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。
2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m进行对n的带余除法，表示成m=np+r，则分成r个(p+1)，(n－r)个P。
3．把自然数S (S＞1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大。
4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。
如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1。
5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数个奇约数。
6．共轭分拆．我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10=4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)：，可以对应的写成5+3+l+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式。
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。
典型例题：1．写出13=1+3+4+5的共轭分拆。
【分析与解】画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1=13，即为13=1+3+4+5的共轭分拆。
2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等。
则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多，若要满足每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少。
选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28，现在就可以播出7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加．即把30表示成：30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇
三年级奥数春季班第10讲整数的分拆之强化篇
（最新版）
目录
1.整数分拆的定义和意义
2.整数分拆的方法和技巧
3.整数分拆的实际应用和强化练习
正文
一、整数分拆的定义和意义
整数分拆是奥数中的一个重要概念，它指的是将一个整数拆分成若干个整数的和，这些整数可以是正数、负数或零。
整数分拆在数学问题中有着广泛的应用，它可以帮助我们简化问题，提高解题效率。
通过学习整数分拆，我们可以培养自己的逻辑思维能力和数学运算技巧。
二、整数分拆的方法和技巧
1.直接分拆法：根据题目要求，直接将整数拆分成若干个整数的和。
这种方法适用于较简单的问题，需要我们熟练掌握整数的加减法。
2.差分法：通过计算两个整数的差，然后逐步逼近目标整数。
这种方法适用于较难直接分拆的问题，需要我们具备较强的观察能力和计算能力。
3.代换法：将题目中的整数用变量表示，通过代数运算求解。
这种方法适用于含有较多未知数的问题，需要我们具备较强的代数运算能力。
4.构造法：通过构造特殊的数列或数组，找到整数的分拆方式。
这种方法适用于题目中存在一定规律性的问题，需要我们具备较强的创新思维和构造能力。
三、整数分拆的实际应用和强化练习
为了更好地掌握整数分拆的方法和技巧，我们需要进行大量的练习。
可以从简单的题目开始，逐步提高难度，巩固所学知识。
在实际应用中，我们要注意观察题目的特点，灵活运用各种方法，以求达到最佳的解题效果。
总之，整数分拆是奥数中一个重要的概念，通过学习整数分拆，我们可以提高自己的数学运算能力和解题技巧。
第七讲 从不定方程的整数解谈起
第七讲 从不定方程的整数解谈起对于形如111n x y=+的方程，寻找整数x 、y 使之满足方程，称为求不定方程的整数解。
这里n 是取定的一个自然数。
对于方程111n x y=+ （1） 显见x=y=12是一个整数解。
还有没有别的解？如何求解？有人凭直觉能看出一些解来，但数学要求我们有一个成熟的方法去处理同一类问题。
由1116xy=+，两边减去1x，得：1116x y -=； 通分：616x x y -=；因此，66xy x =-，这里x －6大于0。
为了使右端的分数形式更简明，我们不妨把x －6看成一个整体，即令t=x-6.那么x=t+6。
因此6(6)666t y t t⨯+⨯==+。
由于y 是整数，上式右边也是整数，所以66t⨯也必须是整数，这样我们推知：t 是62的因数（约数）。
由于是求不定方程1116x y=+的整数解，这样，原先“漫无边际”的找两个未知数x 、y 的困难问题，转换成简单的62的因子t 的问题了。
一个完全平方数的因子必然是奇数个，如62的因子有6、1和36，2和18，3和12，4和9。
6称为自补的因子。
后面的2和18等都称为互补因子，这样，不妨记为：t 0=6,t 1=1,t 1’=36;t 2=2,t 2’=18;t 3=3,t 3’=12;t 4=4,t 4’=9也即2'116t t =， (2)446t t =，x=6+t,y=26t+6=t ’+6,1116x y =+的所有解表示成'111666t t=+++。
这里t 和t ’是62=36的互补因子（当t=t ’=6时自补因子也包括在内），所以1116x y=+的全部整数解为： '00111116,;()612126666t t ===++++'11111111,36,;()674261636t t ===++++'22111112,18,;()682462618t t ===++++'33111113,12,;()691863612t t ===++++'44111114,9,;()610156469t t ===++++由于x 、y 地位对等，11111111,,742427x y x y ====的解与的情况我们都看成一种了。
不定方程的所有解法
不定方程的所有解法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：不定方程是指含有未知数的方程，且未知数的值不受限制，可以是整数、分数、无理数等。
解不定方程的方法有很多种，根据方程的形式和要求选择不同的解法。
本文将介绍不定方程的所有解法，包括质因数分解法、辗转相除法、模运算法、裴蜀定理、试错法等各种方法。
1. 质因数分解法对于形如ax+by=c的不定方程，可以通过质因数分解的方法来求解。
首先分别对a和b进行质因数分解，得到a=p1^a1 * p2^a2 * ... * pn^an，b=q1^b1 * q2^b2 * ... * qm^bm。
然后利用质因数分解的特性，可知如果c不能被a和b的所有质因数整除，那么方程就无整数解；如果c能被a和b的所有质因数整除，那么方程就有整数解。
这个方法在求解一些简单的不定方程时很有效。
2. 辗转相除法辗转相除法又称为欧几里德算法，用于求两个整数的最大公约数。
对于形如ax+by=c的不定方程，可以先利用辗转相除法求出a和b的最大公约数d，然后如果c能被d整除，就存在整数解；如果不能被d整除，那么方程就无解。
这个方法比较简单，但只适用于求解一次不定方程。
3. 模运算法模运算法是一种基于模运算的解法，对于形如ax≡b(mod m)的不定方程，可以通过求解同余方程得到解。
将方程转化为标准形式ax-my=b，然后求解同余方程ax≡b(mod m)，如果方程有解，则可以通过一些变换得到原方程的解。
这个方法适用于求解模运算的不定方程。
4. 裴蜀定理裴蜀定理也称为贝祖定理，是解一元不定方程的重要方法。
对于形如ax+by=c的不定方程，根据裴蜀定理，当且仅当c是a和b的最大公约数的倍数时，方程有整数解。
此时可以通过扩展欧几里德算法求出一组解，然后通过变换得到所有解。
这个方法适用于求解一元不定方程的情况。
5. 试错法试错法是一种通过列举所有可能解，然后逐一验证的方法。
对于一些简单的不定方程，可以通过试错法找到所有整数解。
小升初010-整数分拆与不定方程
例10．试把1999分拆成8个自然数之和，使其乘积最大？
练习7：试将2006分拆成8个自然数和的形式，使其乘积最大？
例11．把14分拆成若干个自然数之和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何分拆？这个最大的乘积是多少？
练习11：将34拆成若干个互不相等的自然数之和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？
例13．396拆成若干个连续自然数和的形式，试问有多少种不同的方法？
练习12：按要求分别求解下列问题：
1．把34分拆成两个自然数之和，再求出这两个自然数的乘积，要使这个乘积最大，应如何分拆？
2．把34分拆成6个自然数之和，再求出这6个自然数的乘积，要使这个乘积最大，应如何分拆？
练习8：(1976年第18届IMO第4题)将1976分拆成若干个正整数之和，再将其相乘，试求所有这种乘积中之最大者．
练习9：将16分拆成若干个整数和的形式，再将其相乘，试求所有这种乘积中之最大者．
例12．将35拆成若干个互不相等的自然数之和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？
练习10：将36拆成若干个互不相等的自然数之和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？
8.参加围棋比赛的八段、九段选手有若干名，他们的段位数字加在一起正好是100段。问：八段、九段选手各几名？
9.有104个同学去操场踢足球和打排球，每个足球场地22人，每个排球场地12人。问：他们占用了足球场地和排球场地各几个？
练习3：已知31x＋47y＝265，请你写出一组整数解．
练习4．已知63x－45y＝549，请你写出一组整数解．
练习5．给出下列不定方程Hale Waihona Puke 一组解Ⅰ．9x－7y＝124；
(完整word版)不定方程的解法与应用
摘要不定方程是初等数论的一个重要内容,在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法;最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明．关键词：不定方程;二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题AbstractThe integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life。
This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution， secondly is further discussed。
For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics， civil servants for test and other subjects， and illustrated with examples。
整数不定方程
整数不定方程整数不定方程是数学中一类有趣的问题，许多数学家对此进行了研究。
1. 什么是整数不定方程整数不定方程可以写成如下形式：$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=b$，其中$a_1,a_2,\cdots,a_n$和$b$是整数，而$x_1,x_2,\cdots,x_n$是整数解。
这里$n$可以是任意正整数。
2. 整数不定方程的求解方法求解整数不定方程的方法有很多，以下介绍常用的几种方法：（1）贪心法这种方法是先求出一个特殊解，然后再利用贪心法来求解。
例如，要求解方程$ax+by=c$，先求出一组整数解$(x_0,y_0)$，然后设$x=x_0+tb,y=y_0-ta$($t$为任意整数)，带入方程式中即可得到一组新的整数解。
（2）裴蜀定理裴蜀定理又称贝祖定理，是由法国数学家裴蜀（Pierre de Fermat）于17世纪提出的。
该定理描述了对于任意给定的整数$a_1,a_2,\cdots,a_n$，它们的最大公约数$d$有整数解的充分必要条件是$d$能够整除它们的线性组合$ax_1+bx_2+\cdots+nx_n$。
（3）欧几里得算法欧几里得算法是一种求解整数不定方程的算法，这个算法的基本思想是：用较大的数除以较小的数，再用余数去除除数，如此反复，直到余数为零时，此时较小的数即为最大公约数。
3. 整数不定方程的应用整数不定方程在实际生活中有很多应用，以下列举几个例子：（1）密码学整数不定方程被广泛应用于密码学中，尤其是公钥密码系统和数字签名。
整数不定方程的解是由一对质数及其积组成的，这些质数构成了加密和解密的密钥。
（2）货币找零在货币找零中也用到了整数不定方程的思想。
例如，当顾客付款总额为$n$元时，商家一般会按照纸币或硬币等面值的不同来找零，且需要让找零总额最小。
这就是一个整数不定方程的问题。
（3）线性规划线性规划是一种数学优化方法，它在解决许多实际问题中被广泛应用。
求不定方程整数解的常用方法
求不定方程整数解的常用方法摘要：不定方程,是指未知数的个数多于方程的个数,且未知数受到某些限制的方程或方程组.因此，要求一个不定方程的全部的解，是相当困难的，有时甚至是不可能或不现实的.本文利用变量替换、未知数之间的关系、韦达定理、整除性、求根公式、判别式、因式分解等有关理论，求得一类不定方程的正整数解.通过一些具体的例子，给出了常用的不定方程的解法，分别为分离整数法、辗转相除法、不等式估值法、逐渐减小系数法、分离常数项的方法、奇偶性分析法、换元法、构造法、配方法、韦达定理、整除性分析法、利用求根公式、判别式、因式分解法等等.关键字：不定方程;整数解;整除性1引言不定方程是数论的一个分支，有悠久的历史与丰富的内容，与其他数学领域有密切联系，是数论中的重要的、活跃的研究课题之一，我国对不定方程的研究以延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理，学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学的解题技能.中学阶段是学生的思维能力迅猛发展的关键阶段.在此阶段要注重培养学生的思维能力，开发学生智力，因此对于初等数论的一般方法、理论有一定的了解是必不可少的.让学生做题讲究思想、方法与技巧、创造性的解决问题，就要有一定的方法与技巧的积累与总结.不定方程的重要性在中学中得到了充分的体现，无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地，而且它还是培养学生思维能力、观察能力、运算能力、解决问题能力的好材料.2不定方程的定义所谓不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些（如要求是有理数，整数或正整数等等)限制的方程或方程组.不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一，不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论都有较为密切的联系.下面对中学阶段常用的求不定方程整数解的方法做以总结：3一般常用的求不定方程整数解的方法(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程025=-++y x x 的整数解 解 已知方程可化为 231232223225++=++++=+++=++=x x x x x x x x y 因为y 是整数，所以23+x 也是整数. 由此5,1,3,1,3,3,1,12---=--=+x x 即相应的.0,2,0,4=y所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2)辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式); 第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解:18433,413337,33237107+⨯=+⨯=+⨯=从最后一个式子向上逆推得到19107)26(37=⨯+-⨯所以25)259(107)2526(37=⨯⨯+⨯-⨯则特解为⎩⎨⎧=⨯=-=⨯-=225259650252600y x 通解为Z t t t y t t x ∈⎩⎨⎧++=+=+--=--=,)6(37337225)6(1078107650或改写为.,3731078Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=--= (3)不等式估值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程1111=++zy x 适合z y x ≥≥的正整数解. 解 因为z y x ≥≥所以zy x 111≤≤ 所以zz z z y x z 1111111++≤++〈 即 zz 311≤〈 所以31≤〈z所以.32==z z 或当2=z 时有2111=+y x 所以y y y x y 11111+≤+〈 所以y y 2211≤〈 所以42≤〈y所以;46,43或相应地或===x y y当3=z 时有3211=+y x 所以yy y x y 11111+≤+〈 所以 y y 2321≤〈 所以.3;3,3==≤x y y 相应地所以).3,3,3(),2,4,4(),2,3,6(),,(=z y x(4)逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为1±的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程2510737=+y x 的整数解.解 因为251)107,37(=，所以原方程有整数解.有10737〈，用y 来表示x ，得 37412313710725y y y x +-+-=-=则令 12374,37412=-∈=+-m y Z m y 即 由4<37,用m 来表示y ,得 49343712m m m y ++=+=令.4,4t m Z t m =∈=得将上述结果一一带回，得原方程的通解为 Z t t y t x ∈⎩⎨⎧=+--=,3731078 注①解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求c by ax =+的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.②对于二元一次不定方程c by ax =+来说有整数解的充要条件是c b a ),(.⎩⎨⎧⎩⎨⎧∈-=+=∈+=-=)(,)(,0000Z t at y y bt x x Z t at y y bt x x 或 (5)分离常数项的方法对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.例5 求不定方程14353=+y x 的整数解.解 原方程等价于0)28(5)1(331405314353=-+-⇔+=+⇔=+y x y x y x因为()15,3=所以⎩⎨⎧∈=-=-Z t t y t x ,32851 所以原方程的通解为.,32851Z t t y t x ∈⎩⎨⎧+=-= (6)奇偶性分析法从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值范围，另一方面又可用n 2或)(12Z n n ∈+代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.例6 求方程32822=+y x 的正整数解.解 显然y x ≠,不妨设0〉〉y x因为328是偶数，所以x 、y 的奇偶性相同，从而y x ±是偶数.令112,2v y x u y x =-=+则1u 、.0,111〉〉∈v u Z v 且所以1111,v u y v u x -=+=代入原方程得1642121=+v u同理，令2211211(2,2u v v u u v u =-=+、)0,222〉〉∈v u Z v 且于是，有822222=+v u 再令3223222,2v v u u v u =-=+得412323=+v u此时，3u 、3v 必有一奇一偶，且 []641033=≤〈〈u v取,5,4,3,2,13=v 得相应的16,25,32,37,4023=u所以，只能是.4,533==v u从而2,18==y x结合方程的对称性知方程有两组解()().18,2,2,18(7)换元法利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.例7 求方程7111=+y x 的正整数解. 解 显见，.7,7〉〉y x 为此，可设,7,7n y m x +=+=其中m 、n 为正整数. 所以原方程7111=+y x 可化为717171=+++n m 整理得 ()()()().49,777777=++=+++mn n m n m 即所以49,1;7,7;1,49332211======n m n m n m相应地56,8;14,14;8,56332211======y x y x y x所以方程正整数解为()()().56,8,14,14,8,56(8)构造法构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映.构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.例8 已知三整数a 、b 、c 之和为13且bc a b =，求a 的最大值和最小值，并求出此时相应的b 与c 的值.解 由题意得⎩⎨⎧==++acb c b a 213，消去b 得()ac c a =--213 整理得到关于c 的一元二次方程()().0132622=-+-+a c a c 因为()().3520,01342622≤≤≥---=∆a a a 解得因,0≠a若,916,014425,12===+-=c c c c a 或解得则有符合题意，此时;9311641⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或若17=a 时，则有,01692=+-c c 无实数解，故;17≠a若16=a 时，则有,09102=+-c c 解得,91==c c 或符合题意，此时;912161416⎪⎩⎪⎨⎧=-==⎪⎩⎪⎨⎧=-==c b a c b a 或综上所述，a 的最大值和最小值分别为16和1，相应的b 与c 的值分别为.9316491214⎩⎨⎧==⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=⎩⎨⎧=-=c b c b c b c b 或和或 (9)配方法把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法.配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法.在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.例9 若.,24522的值求x y y x y x y x ++=++ 解 由题意 045222=+-+-y y x x 即()021122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-y x 所以21,1==y x 所以23211=+=+x y y x (10)韦达定理韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析几何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形或换元等方法，构造出形如b a +、b a ⋅形式的式子，最后用韦达定理.例10 已知p 、q 都是质数，且使得关于x 的二次方程()051082=+--pq x q p x 至少有一个正整数根，求所有的质数对().,q p解 设方程的两根分别为1x 、(),212x x x ≤由根与系数关系得⎩⎨⎧=⋅-=+pq x x q p x x 51082121 因为p 、q 都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数. 所以⎩⎨⎧==p q p q pq pq x q p q p x ,,5,5,,55,5,,,5,121 所以.5,5,5,1521q p p q pq pq x x ++++=+①当1521+=+pq x x 时，即,10815q p pq -=+因为p 、q 均是质数，所以,1081015q p p pq -〉〉+故此时无解.②当5521+=+pq x x 时，即,1085q p pq -=+所以()(),85810-=-⋅+q p 因为p 、q 都是质数，且,810-〉+q p 所以,1,5885,1710⎩⎨⎧--=-=+q p 解得符合条件的质数对为()().3,7,=q p③当p q x x +=+521时，即,1085q p p q -=+所以,157q p =满足条件的质数对. ④当q p x x +=+521时，即,1085q p q p -=+所以,113q p =于是()()()().3,11,3,7,==q p q p 或综上所述，满足条件的质数对为()()()().3,11,3,7,==q p q p 或(11)整除性分析法用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.例11 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k 为整数，当直线k kx y x y +=-=或3的交点为整数时，k 的值可以取()A.2个B.4个C.6个D.8个解 当1=k 时，直线13+=-=x y x y 与平行，所以两直线没有交点;当0=k 时，直线()轴即与x y x y 03=-=交点为整数;当1≠k 、0≠k 时，直线k kx y x y +=-=与3的交点为方程组⎩⎨⎧+=-=kkx y x y 3的解，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧--=---=1413k k y k k x 因为x 、y 均为整数,所以1-k 只能取4,2,1±±±解得.3,5,1,3,0,2-=k综上，答案为C.(12)利用求根公式在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.例12 已知k 为整数，若关于x 的二次方程()01322=+++x k kx 有有理根，求k 值. 解 因为0≠k ，所以()01322=+++x k kx 的根为()()(),25223229843222k k k k k k k x ++±+-=++±+-= 由原方程的根是有理根，所以()5222++k 必是完全平方式. 可设(),52222m k =++则(),52222=+-k m 即 ()(),512222⨯=--++k m k m因为m 、k 均是整数,所以⎩⎨⎧=--=++522122k m k m , ⎩⎨⎧=--=++122522k m k m ⎩⎨⎧-=---=++112522k m k m , ⎩⎨⎧-=---=++522122k m k m 解得,02或-=k 因为,0≠k 所以k 的值是-2.(13)判别式法一元二次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式ac b 42-=∆的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.例13 求方程431112=++xy y x 的整数解. 解 已知方程可化为()044342=-+-xy y x因为x 、y 均为整数，所以,06448162≥+-=∆x x 且为完全平方数.于是，令(),464481622n x x =+-其中n 为正整数所以()04322=-+-n x x因为x 、n 均为整数所以(),04492≥--=∆n 且为完全平方数，即有，742-n 为完全平方数.于是，再令,7422m n =-其中m 为正整数所以()()722=-+m n m n因为m n m n -+22与奇偶性相同，且m n m n -〉+22所以12,72=-=+m n m n由上.2=n相应的,032=-x x 解得()303===x x x ，所以舍去或把3=x 代入已知方程中得(),522舍去或==y y 所以2=y 所以()()2,3,=y x(14)因式分解法因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一.它应用广泛,在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及.因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题目的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解.这种方法的目的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程()0≠=+abc cxy by ax 整数解的基本思路:将()0≠=+abc cxy by ax 转化为()()ab b cy a x =--后,若ab 可分解为,11Z b a b a ab i i ∈=== 则解的一般形式为,⎪⎩⎪⎨⎧+=+=c b b y c a a x ii 再取舍得其整数解. 例14 方程a b a ,4132=-、b 都是正整数，求该方程的正整数解. 解 已知方程可化为ab a b =-128所以()()9696812-=+-+b a ab即()()96128-=+-b a因为a 、b 都是正整数所以1212,0〉+〉b b这样964832241612或或或或=+b所以4=b 或12或20或36或84相应地2=a 或4或5或6或7所以方程的正整数解为:()()()()().84,7,36,6,20,5,12,4,4,24小结本文只针对不定方程整数解问题做一个初步的探索，归纳提炼出一些解这类题的常规方法和技巧，对解不定方程具有一定的指导意义;并且，还根据自己的积累，总结，发掘出一些新的方法，技巧，具有创新和学习的意义.不定方程（组）在人们的实际生活中有一定的现实意义和应用价值.正确解决这类问题的关键,是在把实际问题转化为数学问题后,依据问题中的条件，特别注意挖掘隐含的条件，使理论化与实际化相结合，灵活运用所学的数学知识，从而讨论出符合题意的解.本文对解决这类问题的方法做以总结，在解决实际问题时，应具体问题具体分析，灵活选用方法技巧，这对于学生的思维能力、分析问题、解决问题的能力的提高有很大的帮助.参考文献[1] 王云峰.判别式法[J].数学教学通讯,2011(07):14—16.[2] 濮安山.中学数学解题方法[M].黑龙江:哈尔滨师范大学出版社，2003年10月.[3] 王秀明.浅析不定方程的解法[J].数理化学习,2009(8）:22—25.[4] 黄一生.因式分解在解题中的应用[J].初中生之友，2011(Z):32—35.[5] 张东海，尹敬会.浅谈韦达定理在解题中的应用[J].中学数学教学参考，1994(5):22-23.[6] 范浙杨 .初中数学竞赛中整数解问题的求解方法[J].中学数学研究，2006(12):17-19.[7] 黄细把.求不定分式方程整数解的几种方法[J].数理化学习（初中版），2005（3）:27—31.[8] Grinelord.On a method of solving a class of Diophantineequations[M].Mathcomp.,32(1978):936-940[9] 陈志云.关于不定方程(组)的一些常用的初等解法[J].高等函数学报(自然科学版)，1997(2):14-29.[10] 敏志奇.不定方程的若干解法[J].(自然科学版)，1998(3):87-91.谢辞经过一点时间的查找资料、整理资料、写作论文，今天，我的论文已接近尾声，这也意味着我的大学生活即将拉上帷幕，此时此刻真的让我感慨万分.论文撰写过程的每一个细节都影响着整篇论文的质量，稍一疏忽变出差错，这使我联想到我们的做人处事又何尝不是如此，每一个标点符号对我的考验是千真万确的事,标点符号竟然有着如此重要的地位，我想标点符号大概与我们在日常生活中的每一个细节的决定、每一次不经意的言谈举止一样吧！虽然非常细微却同样举足轻重.当然，在这将要完结的时刻，我将送上我真诚的感谢.首先，我要感谢我的论文指导老师—高丽老师.从初稿的批阅到最后的完成自然都离不开高老师的悉心指导，大体上论文撰写过程中高老师的指导模式是这样的：学生写好—高老师逐一批改—高老师进行当面指导—学生改写一次高老师再批注、再指导，如此不厌其烦的进行指导.在这里我要感谢高老师的随和、平易近人带给我很多心灵上的启迪，我想这是我大学里最后的有意义的一课.我想多少年之后我依然会清晰地记着高老师的和蔼可亲.其次，我要感谢我的同学，你们不但给了我很多宝贵的意见，有时候会亲自帮我修改论文.尤其是在大家时间都这么紧的情况下，竟然有同学花费整天的时间帮助我，在这里，我想表达我的感谢.谢谢！非常感谢！除过这些良师益友，最后我要感谢那些学识渊博并愿意把他所拥有的知识发表于书刊、网站的编写者们，让我有机会了解那么多知识，让我在论文中有了自己的想法和研究，谢谢你们的启迪.再次送上我诚挚的感谢!。
初中数学竞赛中定方程的整数解问题定方程的整数解问题
初中数学竞赛中不定方程的整数解问题1.利用整数分离在解决不定方程问题时，首先逆用分式的加减法，将分式拆分成一个整数与一个分子为常数的分式的和或差的形式，然后利用整数整除的性质通过对简单分式的分析来解决问题。
这种方法是处理含有分式不定方程的整数解问题的一种有效途径。
例1. 方程301x y x +-=+的整数解共有几组？2.因式分解法当不定方程的一边容易化为两个一次因式的乘积，另一边是一个整数时，通常用分解因式法解决不定方程的整数解问题。
例2.方程222522007x xy y ++=的所有不同的整数解共有几组?例3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为 c. 若a,b,c 均为正整数，且1()3c ab a b =-+，求满足条件的直角三角形的个数？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，于是，可利用△≥0，求出参数的范围，然后求解。
例4． 关于x,y 的方程22229x xy y ++=的整数解（x,y ）有几组？4.放缩法是指根据已知条件将不定方程中某些未知数放大或缩小，从而确定某个未知数的取值范围，进而确定该未知数的整数解，然后将其代入原方程求其他未知数的整数解一种解题方法。
例5 当x y z ≤≤时，求方程11178x y z ++=的正整数解。
5.利用整除和同余例6． 关于x,y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为多少？在一个二元不定方程中，若把其中一个未知数当作参数后，该方程变为关于另一个未知数的一元二次方程，则可利用设参数法，即设△=2k ，然后求出方程的解，再利用数论的相关知识求解，或通过因式分解，直接从△=2k 求解例7.设a 为质数，b 为正整数，且29(2)509(4511)a b a b +=+。
求a,b 的值。
练习题1. 求方程6xy x y ++=的整数解。
2. 求满足方程2242011x y -=的整数对（x,y ）的组数有多少？3. 方程22332x xy y x y ++=-的非负整数解（x,y ）的组数为几组？4. 求方程11156x y z ++=的正整数解。
第七讲 整数的分拆
第七讲 整数的分拆1、整数的分拆：把一个整数n 表示为若干个自然数之和的形式，这通常叫整数n 的分拆。
即12m n n n n =+++ (121m n n n ≥≥≥≥ )。
对被加项和项数m 加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆。
自然数的分拆是古老而又十分有趣的问题，著名的歌德巴赫猜想实际上是一个分拆问题。
其相关结论如下：(1)一般的，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大，也就是把整数分拆成两个相等或者相差为1的两个整数。
(2)一般的，把自然数m 分成n 个自然数的和，使其乘积最大，则先把m 进行对n 的带余除法，表示成m=np+r ，则分成r 个(p+1)，(n-r)个p 。
(3)把自然数S(S>1)分拆成若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分成的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样他们的乘积最大。
(4)把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2+3+4+5+…+r (r≤n )的形式，再把r 一轮一轮的从后往前每个加1即可。
(5)若自然数N 有k 个大于1的奇约数，则N 共有k 种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
〖经典例题〗例1、将2006分拆成8个自然数的和的形式，使其乘积最大？分析：要使8个自然数的乘积最大，必须使这8个数中的任意两个数相等或相差1.因为2006÷8=250……6，所以2006=250×8+6，6不能单独存在，所以将6分成6个1，并从后往前加在6个自然数中，2006=250+250+251+251+251+251+251+251。
例2、把60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是几？分析：因为60÷10=6，可以初步判定尽可能小的最大的质数应从能否为7考虑。
60=7×8+2+2.所以最大的数最小是7.〖方法总结〗本题用到了结论(2)，将2006写成8×p+r 的形式，然后余下6，因此有6个251和2个250.当有些特殊要求时，如例2，我们先估算出大致范围，然后再利用结论求解。
六年级05讲 不定方程与整数分拆答案
A1.7x+4y=34A2.3x+5y=19A3.8x+5y=75A4.6x+7y=90A5.4x+9y=64A6.2x+5y=26A7.240x+150y=108024x+15y=108A8. 750x+420y=435075x+42y=435A9.170x+340y=282017x+34y=282A10.320x+560y=2320 32x+56y=232B1.甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?B2．小华和小强各用6角4分买了若干支铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一支和7分一支的两种，而且小华买来的铅笔比小强多．求小华比小强多买铅笔多少支?B3．将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米?B4．有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片。
画片只有两种：3分一张和5分一张．每人都尽量多买5分一张的画片． 问他们所买的3分画片的总数是多少张?2B5。
小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?B6．马小富在甲公司打工，几个月后又在乙公司兼职，甲公司每月付给他薪金470元，乙公司每月付给他薪金350元．年终，马小富从两家公司共获薪金7620元．问他在甲公司打工多少个月?在乙公司兼职多少个月?B7．有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克，现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克，那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?B8．一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2．，蓝球上标有数从3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字的和等于21，问小明摸出的球中红球最多不超过多少个?B9．某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角收费．已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分钱(用电按整度计算)．问甲、乙两家各交了多少电费?B10．有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?C1．设A和B都是自然数，并且满足11A+3B=3317，那么，A十B等于多少?C2．在分母小于15的最简分数中，比52大，并且最接近52的是哪一个?C3．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?C4．在一次植树活动中，两个小组植树总数相同，均为一百多棵，已知两组人数不等，第一组有1人植了6棵，其他人每人植了13棵．第二组有1人植了5棵，其他人每人都植了10棵．问这两个小组共有多少人?C5．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有31的职工各带一个孩子参加．男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了216棵树．那么其中有多少名男职工?C6．哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1． C7．篮、排、足球放在一堆共25个，其中篮球个数是足球个数的7倍，求其中排球的个数．C8．(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?C9．某居民要装修房屋，买来长0．7米和0．8米的两种木条各若干根． 如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：0．7+0．7＝1．4米，0．7 +0．8＝1.5米．那么在3．6米、3．8米、3．4米、3．9米、3．7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?C10．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?用完，那么红笔的单价是多少元?C12．一个自行车选手在相距950千米的甲、乙两地之间训练，从甲地出发，去时每90千米休息一次；到达乙地并休息一天后再沿原路返回，每100千米休息一次；他发现恰好有一个休息地点与去时的一个休息地点相同，问这个休息地点距甲地多少千米?4。
小学奥数 整数分拆与不定方程
整数分拆与不定方程【内容概述】整数分拆：就是把一个自然数表示为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，及时自然数的一个分拆。
不定方程：含有未知数的等式叫做方程，对一个方程而言，若未知数的个数超过一个，统称为不定方程。
整数的分拆：例1 电视台要播出一部30集的电视连续剧，若要每天安排的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播出几天？例2 把12分拆成两个自然数的和，再求出这两个自然数的积，要使这个积最大，应该如何分拆？例3 试把1999分拆成8个自然数之和，使其乘积最大。
例4 把14分拆成若干个自然数之和，再求出这些数的积，要使得到的积最大，应该把14如何分拆？这个最大的乘积应该是多少？例5 将35拆成若干个互不相等的自然数之和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？例6 396拆成若干个连续自然数和的形式，试问有多少种不同的方法？例7 用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图的鸡圈，问鸡圈的长和宽分别是多少时（包括正方形），鸡圈的面积最大？例8 用6米长的篱笆材料靠墙修建如下图的鸡圈，问鸡圈的长和宽分别是多少时（包括正方形），鸡圈的面积最大？不定方程：例1 已知61375=+y x ，请你写出一组整数解。
例2 已知21346=+y x ，请你写出一组整数解。
例3 已知5494563=+y x ，请你写出一组整数解。
例4 求解不定方程5494563=+y x 的解（至少5组）。
运用：例5 中华牌2B 铅笔7角钱一支，2H 铅笔3角钱一支。
高莎莎用5元钱恰好可以买两种铅笔共多少支？例6 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，一天里共吃了722个馒头。
问：庙里至少有多少个和尚？练习：1.将2006分拆成8个自然数和的形式，使其乘积最大。
2.将1976分拆成若干个正整数之和，再将其相乘，试求所有这种乘积中的最大值。
3.将16分拆成若干个整数和的形式，再将其相乘，试求所有这种乘积中的最大值。
关于不定方程整数解的求法
不定方程整数解求法
一、贝祖定理
贝祖定理又称贝祖重定理，是指在一般的多项式方程中，要求求
出该方程的多个整数的解。
这个定理指出，一定可以在多项式方
程中找到一个特定的整数解。
特别的，若多项式中的项数为２，
那么可以求出１个整数的解。
具体的，贝祖定理通过贝祖重根函數（Bazarenko Roots Function）来实现，它表示为：
B（x）=f（x）+f（-x）
其中，ｆ（x）就是要求解的多项式方程，－ｘ代表变换。
二、变量特征技巧
特征技巧是一种基于整数解的全局解法。
特征技巧以把多变量问
题转换为单变量问题为基础，采取基于变量特征技巧来解决不定
方程整数解。
具体步骤为：
1、计算多项式方程（即原问题中的不定方程）的最大位数。
2、取不定方程的最大位数的一半为特征值（c），即：
C=max{S}/2
3、计算 C 与多项式方程的各项乘积的最大位数，即：
S=max{S*C}
4、把多项式方程的每一项乘以（2^（ｓ-1））作为新变量，再根据新变量求解新的不定方程，即：
Y=2^（s-1） * 不定方程
5、根据贝祖定理，求出新不定方程的一组整数解，再根据特征值
c 与得出的解，解出不定方程整数解，即：
不定方程整数解=Y/2^（s-1） / c。
6年级奥数不定方程问题例题解析
【内容概述】整数分拆这一内容，《思维训练导引》应限于当时条件没有过多涉及，现将这一内容补充如下：1．一般的有，把一个整数表示成两个数相加，当两个数相近或相等的时候，乘积最大．也就是把整数分拆成成两个相等或者相差1的两个整数．2．一般的有，把自然数m分成n个自然数的和，使其乘积最大，则先把m 进带余除法，表示成m＝np+r,则分成r个(p+1),(n-r)个p．3．把自然数S(S>1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个)，则分开的数当中最多有两个2，其他的都是3，这样它们的乘积最大．4．把自然数分成若干个互不相等的整数，则先把它表示成2＋3＋4＋5＋…＋n形式，当和等于原数则可以，若不然，比原数大多少除去等于它们差的那个自然数．如果仅大于1，则除去2，再把最大的那个数加1．5．若自然数N有k个大于1的奇约数，则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法．即当有m个奇约数表示的乘积，则有奇约数2m－1个奇约数．6．共轭分拆：我们通过下面一个例子来说明共轭分拆：如：10＝4+2+2+1+1，我们画出示意图，我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到)，可以对应的写成5+3+1+1，也是等于10，即是10的另一种分拆方式．我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆．【例题】题1．写出13＝1+3+4+5的共轭分拆．「分析与解」画出示意图，翻转得到，对应写为4+3+3+2+1＝13，即为13＝1+3+4+5的共轭分拆．题2．电视台要播出一部30集电视连续剧，若要每天安排播出的集数互不相等，则该电视连续剧最多可以播出几天？「分析与解」由于希望播出的天数尽可能地多，若要每天播出的集数互不相等的条件下，每天播出的集数应尽可能地少．选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7＝28，现在就可以播放7天，还剩下2集，由于已经有2集这种情况，就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播放的集数相同．于是只能选择从后加：即把30表示成：30＝1+2+3+4+5+6+9或30＝1+2+3+4+5+7+8．即最多可以放7天．题3．若干只同样的盒子排成一列，小聪把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小明从每支盒子里取出一个小球，然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里去，再把盒子重排了一下．小聪回来，仔细查看，没有发现有人动过小球和盒子．问：一共有多少只盒子？「分析与解」设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加了b只，由于小名没有发现有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个小球的盒子，而这只盒子里原来装有(a+1)个小球．同样，现在另有一个盒子装有(a+1)个小球，这只盒子里原来装有(a+2)个小球．类推，原来还有一只盒子装有(a+3)个小球，(a+4)个小球等等，故原来那些盒子中装有的小球数是一些连续整数．现在变成：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数？因为42＝6×7，故可以看成7个6的和，又(7+5)+(8+4)+(9+3)是6个6，从而42＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋9，一共又7个加数；又因为42＝14×3，故可将42＝13＋14＋15，一共有3个加数；又因为42＝21×2，故可将42＝9＋10＋11＋12，一共有4个加数．所以原问题有三个解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子题4．机器人从自然数1开始由小到大按如下规则进行染色：凡能表示为两个不同合数之和的自然数都染成红色，不符合上述要求的自然数染成黄色(比如23可表示成两个不同合数15和8之和，23要染红色；1不能表示为两个不同合数之和，1染黄色)．问：要染成红色的数由小到大数下去，第2000个数是多少？请说明理由．「分析与解」显然1要染黄色，2＝1＋1也要染黄色，3＝1+2,4＝1+3＝2+2，5＝1+4＝2+3，6＝1+5＝2+4＝3+3，7＝1+6＝2＝5＝3+4，8＝1+7＝2+6＝3+5＝4+4，9＝1+8＝2+7＝3+6＝4+5，10＝1+9＝2+8＝3+7＝4+6＝5＝5，11＝1+10＝2+9＝3+8＝4+7＝5+6．可见，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均应染成黄色．下面我们统一观察其他自然数，说明其他自然数均要染成红色．1)当n为大于等于10的偶数时，n＝2k＝4＋2(k-2)．由于n≥10，所以k≥5，k-2≥3，2(k-2)与4均为合数，且不相等．于是，大于等于10的偶数都可以表示两个不同的合数之和，应染成红色．2)当n为大于等于13的奇数时，n＝2k＋1＝9＋2(k-4)．由于n≥13，所以k≥6，k-4≥2，2(k-2)≥4与9均是合数，且不相等．也就是说，大于等于13的奇数均能表示为两个不同的合数之和，应染红色．所以，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11这10个数染黄色外，其余自然数均染红色，第k个染为红色的数是第(k+10)个自然数(k≥2)．所以第2000个染红色的数是2000＋10＝2010．题5．在整数中，有用2个以上的自然数的和来表达一个整数的方法．比如9：9＝4＋5，9＝2＋3＋4，9有两个用2个以上连续自然数的和来表达它的方法．(1).请写出只有3种这样的表示方法的最小自然数．(2).请写出只有6种这样的表示方法的最小自然数．「分析与解」关于某整数，它的“奇数的约数的个数减1”，就是用连续的整数的和的形式来表示的种数．根据1问知道，有3种表示方法，于是奇约数的个数为3＋1＝4，对4分解质因数4＝2×2，最小的15(1、3、5、15)；有连续的2、3、5个数相加；7＋8；4＋5＋6；1＋2＋3＋4＋5；根据2问知道，有6种表示方法，于是奇数约数的个数为6＋1＝7，最小为729(1、3、9、27、81、243、729)，有连续的2、3、6、9、10、27个数相加：364＋365；242＋243＋244；119＋120＋...＋124；77＋78＋79＋...＋85；36＋37＋...＋45；14＋15＋ (40)题6．从整数1开始不改变顺序的相加，中途分为两组，使每组的和相等．如从1到3的话，1+2＝3;从1到20的话：1＋2＋3＋...＋14＝15＋16＋17＋ (20)请问：除上述两例外，能够列出这样的最短的整数算式是从1到几？「分析与解」我们用这种阶梯图来表示连续的数相加，假设情况见下图，我们通过图得知，c是公共部分，而b＋c为原等式的右边，a+c为原等式的左边，可以表示为奇数×相邻的偶数÷2＝B×B；其中A是连续两个数中较小的一个，B的平方等于连续两个数的乘积除以2．因为相邻的两个数互质，所以，偶数÷2后与原相邻奇数也互质；所以，奇数必定为完全平方数；偶数÷2也为完全平方数，这样：①奇数为1，则偶数为2，除以2，为1，均为完全平方数．A＝1，B2＝1×2÷2＝1，于是为A＋B＝2，A＋2B＝3；所以为1＋2＝3；②奇数为9，则偶数为8，除以2，为4，均为完全平方数．A＝8，B2＝8×9÷2＝36，于是为A＋B＝8＋6＝14，A＋2B＝8＋2×6＝20；所以为1＋2＋3＋...＋14＝15＋16＋17＋ (20)还可以偶数为10，除以2，为5，不是完全平方数，不满足．③奇数为25，则偶数为24，除以2，为12，不是完全平方数，不满足；还可以偶数为26，除以2，为13，不是完全平方数，不满足．④奇数为49，则偶数为48，除以2，为24，不是完全平方数，不满足；还可以偶数为50，除以2，为25，是完全平方数．A＝49，B2＝49×50÷2＝1225，于是为A＋B＝49＋35＝84，A＋2B＝49＋2×35＝119．所以等式为1＋2＋3＋…＋84＝85＋86＋87＋…＋119(＝3570)．所以所求的式子为1＋2＋3＋…＋84＝85＋86＋87＋…＋119(＝3570)．题7．现在我们考虑把一个整数写成非零自然数的和的形式．如果所用的几个自然数相同，只是写的顺序不同，也只算做一种方法．另外，只使用一个自然数，也算做一种方法．(1)比如，把6用三个以内的自然数的和来表示的方法有如下七种：6，5+1，4+2，3+3，4+1+1，3+2+1，2+2+2．请问：把50用三个以内的自然数的和来表示的方法有几种？(2)比如，把7用3以下的自然数的和来表示的方法有如下八种：3+3+1，3+2+2，3+2+1+1，2+2+1+1，3+1+1+1+1，2+2+1+1+1，2+1+1+1+1+1，1+1+1+1+1+1+1．请问：把50用3以下的自然数的和来表示的方法有几种？「分析与解」(1)我们注意到设x+y+z＝50，求x、y、z有不少组可能的值，并且x、y、z代表的数字调换顺序只算一种．为了方便计算，不妨设x≤y≤z．当x＝0时，y+z＝50，y可以取0～25，z对应取值，于是有26组解；当x＝1时，y+z＝49，y可以取1～24，z对应取值，于是有24组解；当x＝2时，y+z＝48，y可以取2～24，z对应取值，于是有23组解；当x＝3时，y+z＝47，y可以取3～23，z对应取值，于是有21组解；当x＝4时，y+z＝46，y可以取4～23，z对应取值，于是有20组解；……………………………………当x＝15时，y+z＝35，y可以取15～17，z对应取值，于是有3组解；当x＝16时，y+z＝34，y可以取16～17，z对应取值，于是有2组解．所以，共有26+24+23+21+20+…+3+2；我们知道有17个数的和，我们注意到这些数的规律，每个数是上一个数－2，－1，－2，－1，…，－2，－1；所以，我们这样计算26+(24+23)+(21+20)+…+(3+2)＝＝26+(47+5)×8÷2＝26+52×4＝234．所以有234种不同的表示方法．(2)我们注意一下，把6也成三个以内的数的和，如：6＝1+1+4．我们注意到从左往右看可以得到下面的数：1+1+4＝6，而从上往下看得到右边的数3+1+1+1＝6，每个数都是3或3以下．并且不光是6满足，其他的也满足，当把它从左到右排列好三个数以内的和，则从上到下一定是3以内的数的和．也就说是一一对应的，于是(1)的种数就是(2)所对应的种数．即234种．题8．洗衣服要打好肥皂，揉搓得很充分，再拧一下，当然不可能全拧干．假设使劲拧紧后，衣服上还留有1千克带污物的水．现在有清水18千克，假设每次用来漂洗的水都是整数千克，试问留下的污物最少是洗涤前的几分之几？「分析与解」我们假设分成n次分别为x，y，z，……，则每次漂洗的时候，总是加上上次剩下的1千克污水，则每次实际水量是：于是，分别为x+1，y+1，z+1，……，则最后剩下，要使最后残留的最少，只要分母最大即可．。
第七讲 整数的分拆
第七讲整数的分拆整数分拆是数论中一个既古老又活跃的问题.把自然数n分成为不计顺序的若干个自然数之和n=n1+n2+…＋n m（n1≥n2≥…≥n m≥1）的一种表示法，叫做n的一种分拆.对被加项及项数m加以一些限制条件，就得到某种特殊类型的分拆.早在中世纪，就有关于特殊的整数分拆问题的研究.1742年德国的哥德巴赫提出“每个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数的和”，这就是著名的哥德巴赫猜想，中国数学家陈景润在研究中取得了突出的成果.下面我们通过一些例题，简单介绍有关整数分拆的基本知识.一、整数分拆中的计数问题例1 有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和？解：根据分拆的项数分别讨论如下：①把6分拆成一个自然数之和只有1种方式；②把6分拆成两个自然数之和有3种方式6=5+1=4+2=3+3；③把6分拆成3个自然数之和有3种方式6=4+1+1=3+2+1=2+2+2；④把6分拆成4个自然数之和有2种方式6＝3＋1＋1＋1=2+2+1+1；⑤把6分拆成5个自然数之和只有1种方式6=2+1+1＋1＋1；⑥把6分拆成6个自然数之和只有1种方式6＝1+1+1+1+1+1.因此，把6分拆成若干个自然数之和共有1+3+3＋2+1+1=11种不同的方法.说明：本例是不加限制条件的分拆，称为无限制分拆，它是一类重要的分拆.例2 有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和？解法1：采用有限穷举法并考虑到加法交换律：1994=1993+1=1＋1993=1992+2=2＋1992=…=998＋996=996+998=997+997因此，一共有997种方法可以把1994写成两个自然数之和.解法2：构造加法算式：于是，只须考虑从上式右边的1993个加号“+”中每次确定一个，并把其前、后的1分别相加，就可以得到一种分拆方法；再考虑到加法交换律，因此共有997种不同的分拆方式.说明：应用本例的解法，可以得到一般性结论：把自然数n≥2表示为两个自然数之和，一共有k种不同的方式，其中例3 有多少种方法可以把100表示为（有顺序的）3个自然数之和？（例如，把3+5＋92与5+3+92看作为100的不同的表示法）分析 本题仍可运用例1的解法2中的处理办法.解：构造加法算式于是，考虑从上式右边的99个加号“+”中每次选定两个，并把它们所隔开的前、中、后三段的1分别相加，就可以得到一种分拆方法。
浅谈不定方程整数解的求解方法
浅谈不定方程整数解的求解方法摘要：不定方程是数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容,所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组.古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一.不定方程解的范围可以是有理数域，整数环，或某一代数域上的代数整数环，本文讨论的是不定方程的整数解的求解方法.) .对于一般的不定方程(组)，除个别情况外，没有统一的解法，因此必须就所给的不定方程(组)的具体形式进行分析，以便确定解题方向.本文具体的从二元一次不定方程，三元一次不定方程，二次不定方程，三次不定方程的求整数解的方法进行探讨并举例说明不定方程的整数解的方法二元一次不定方程整数解的求解方法怎么判断整系数方程有无整数解.用定理1来判断。
定理1 若整系数方程（）有整数解，则必有，反之若，则整系数（）有整数解.其中表示的最大公约数；表示整除c。
若整系数方程有整数解,怎么求出它的整数解时就用以下方法来求解。
1通法：若整系数方程（）满足，，且，是它的一个特解，则方程（）的所有整数解（通解）可以表示为2观察法在二元一次不定方程中，当系数a、b以及c的绝对值比较小时，可以用观察法求它的一个特解，从而得到其通解。
例1.求二元一次不定方程2x + 5y=45的一切整数解。
解:因为(2|5)=1，得(2,5) |45，所以原方程有整数解又因为5|45，所以得到方程的一个特解为并且， .故原方程的一切整数解为:3辗转相除法两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。
辗转相除法基于原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的相除余数的最大公约数。
由辗转相除法也可以得出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，这个重要的等式叫贝祖等式。
例2.求方程的一切整数解。
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不定方程与整数分拆
求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．
补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维导引详解》五年级[第15讲余数问题].
解不定方程的4个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．
本讲讲解顺序：③⇒包括1、2、3题⇒④⇒②⇒①包括4、5题⇒③⇒包括6、7题，其中③④步骤中加入百鸡问题．
复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．整数分拆问题：11、12、13、14、15．
1．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是4的数有多少个?
2．设A和B都是自然数，并且满足
17
11333
A B
+=,那么A+B等于多少?
3．甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?
4．有纸币60张，其中1分、l角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?
5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：
剩余部分的管子最少是多少厘米?
6．一居民要装修房屋，买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：O.7+O.7=1.4米，0.7+0.8=1.5米．那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?
7.小萌在邮局寄了3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封2角，她共用了1元2角2分．那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?
8.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克．那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?
9．哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和．”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1．
10．(1)将50分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少?
(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少?
11．有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种?
12．小明买红、蓝两支笔，共用了17元．两种笔的单价都是整数元，并且红笔比蓝笔贵．小强打算用35元来买这两种笔(也允许只买其中一种)，可是他无论怎么买，都不能把35元恰好用完．那么红笔的单价是多少元?。