整数线性规划IntegerLinearProgramming

线性规划的对偶理论
这里的对偶是指对同一事物(问题)从不同的角度(立 场)观察,有两种对立的表述。如“平面中矩形的面积 与周长的关系。” 1.周长一定，面积最大的矩形是正方形； 2.面积一定，周长最短的矩形是正方形。 本节所讨论的对偶理论是线性规划理论中一个重 要而又有趣的概念。对偶理论告诉我们：对于每个 一个线性规划(P)，总存在另一个线性规划(D)，两者 之间存在着密切的联系，甚至人们常常通过求解对 偶问题(D)来获得原规划(P)的最优解。
max z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 , x2 0
max c x
T 上述LP1和 两个线性规划问题，通常称 LP1 ALP2 c 为原问题， b ？ Ax s.t. s.t. LP2是LP1者的对偶问题。 x0 0
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对偶问题的提出？
模型LP2 模型LP1
minz 15 y1 24 y2 5 y3 6 y2 y3 2 s.t. 5 y1 2 y2 y3 1 y , y , y 0 1 2 3
min bT
由此可知 是规划(Ⅱ)的最优解。
反之亦然。
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标准形式LP的对偶规划
min c x Ax b s.t. (I) x 0
max T b s.t. T A c (II)
（Ⅰ）
其中 x, c Rn ,b Rm , A Rmn 。
根据单纯形理论，若 x 是最优基可行解，其对应的基阵为 B ，则其对应 的检验数为 T 1 T 1 B cB B B cB 0 ， N cB B N cN 0，
1 同时 xB B1b ， xN 0 ，最优值为 c x cB B b。
因美佳公司用 5h 设备 A，2h 设备 B 和 1h 调试可生产一件产品Ⅱ，盈利 1 元，故
5 y1 2 y2 y3 1
该公司希望用最小的代价把佳美公司的全部资源收买过来，故 目标：
min z 15 y1 24 y2 5 y3
变量非负，即 蕴含约束：
yi 0 i 1,2,3
1 T 1 因为 T cT B A c 0， 如果令 T cB B ，则有 B
T A cT 0,
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T b c x .
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标准形式LP的对偶规划
A c 0, b c x .
T T
ຫໍສະໝຸດ Baidu
T

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对偶问题的提出
引例 美佳公司计划制造两种产品。已知各制造一件时分别占 用的设备A、B的台时、调试工序时间、每天可用于生产这两 种产品的能力以及出售每件产品可获得利润如表2.5.1所示， 试制订总利润最大的生产计划。
项目 设备A(h) 产品Ⅰ 0 产品Ⅱ 5 每天可用能力 15
原规划
对偶规划
两个规划的最优解之间存在着密切的关系，通过一个规 划的最优解可以得到另一个规划的最优解。
同时从形式上两者之间也有本质的相似， 给定 ( A, b, c) 两个规划相伴而存在，因而称以上两个规划互为对偶规划。
T b c x
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表2.5.1
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对偶问题的提出
设 y1 ， y2 和 y3 表示单位时间(h)设备 A、设备 B 和调试工序的出让代价。 可控因素：
因美佳公司用 6h 设备 B 和 1h 调试可生产一件产品Ⅰ，盈利 2 元，故 受制条件： 6 y2 y3 2
min c x Ax b(I) s.t. x 0
（Ⅱ）
那么 是下列规划的可行解
max T b s.t. T A c
由于 x 同时是规划(Ⅰ)的可行解， 所以 对于规划(Ⅱ)的任意可行解 ，
T b T Ax c x T b
对偶问题的提出
现在从另外一个角度提出上述问题 假设有某个公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付 出多大的代价，才能使美佳公司愿意放弃生产，出让自己的 资源。显然美佳公司出让自己资源的条件是：出让代价应不 低于用同等数量资源由自己组织生产时获得的利润。
项目 设备A(h) 设备B(h) 调试工序(h) 利润（元） 产品Ⅰ 0 6 1 2 产品Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
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对偶规划

标准形式线性规划的对偶规划
规范形式线性规划的对偶规划 一般形式线性规划的对偶规划



实例
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标准形式LP的对偶规划
考虑线性规划的标准形式
min c x Ax b s.t. x 0
模型LP1
max z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 , x2 0
4
设备B(h)
调试工序(h) 利润（元）
6
1 2
2
1 1
24
5
表2.5.1
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线性规划
Linear Programming
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线性规划
线性规划问题 可行区域与基本可行解 单纯形算法 对偶问题的提出 初始可行解 对偶规划 对偶理论 对偶理论 灵敏度分析 对偶单纯形算法 计算软件 案例分析
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