整数线性规划IntegerLinearProgramming
最优化理论与方法2(整数线性规划)
- x1 x 2 1
约束条件：
max Z x1 x2
① ② ③ ④ ⑤
3 x1 x 2 4 x1 , x 2 0
x1 , x2为整数
最优化理论与方法
先不考虑条件⑤的整数约束条件， 求得相应的松弛线性规划的最优。 解为：
x1 3 / 4, x2 7 / 4
x2
3
⑴
⑵
(3/2,10/3)
标函数值最大，即为Z=4。
3
x1
最优化理论与方法
按整数规划约束条件，其可行解肯定在线性规划问题的可行 域内且为整数点。故整数规划问题的可行解集是一个有限集。 由上例看出，将线性规划的最优解经过“化整”来解原整数 线性规划，虽是最容易想到的，但常常得不到整数线性规划的最 优解，甚至根本不是可行解。 1、整数规划问题解的特征 （1）最优点不一定在顶点处取得； （2）最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整数解； （3）整数可行解远多余于顶点，枚举法不可取； （4）可行解是其松弛问题的可行解，反之不一定，但如果松 弛问题的最优解还满足整数约束条件，是整数规划的最优解。
最优化理论与方法
整数规划问题的求解方法：
ü 割平面法 ü 分枝定界法
2.6.1.1 割平面法的基本思想
1、基本思想：由松弛问题的可行域向整数规划的可行域逼近。 2、方法—利用超平面切除。 3、要求： (1)整数解保留； (2)松驰问题最优值增加。 具体为：即 n 首先不考虑变量 Xi 是整数这一条件，仍然是用解线性规
2.6
整数线性规划
线性规划问题的最优解可能是分数或小数，但对于某些问 题，常要求解必须是整数(称为整数解)。这样的问题称为整数线 性规划(integer linear programming)，简称ILP。 一、 整数规划(IP) (1) 要求一部分或全部决策变量取整数值的规划问题称为 整数规划。 A 不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规 划问题称为整数规划的松弛问题。 B 若松弛问题是一个线性规划，则称整数规划为整数线性规划。
求解整数线性规划问题的分支定价算法
求解整数线性规划问题的分支定价算法摘要本文简要介绍求解大规模整数线性规划问题的分支定价（Branch-and-Price）精确算法,该类算法可用于求解含有大规模变量的整数线性规划问题(Integer Linear Program，ILP)或混合整数线性规划问题(Mixed Integer Linear Program，MILP)。
分支定价算法综合了列生成(Column Generation)和分支(Branching)策略。
列生成算法用于求解含有大规模变量的线性规划问题。
分支定价算法在每个分支节点处采用列生成策略求得对应松弛问题的最优解。
由于列生成策略大大降低了松弛问题的规模,可在很大程度上降低求解时间。
本文主要对分支定价算法的基本思想，执行步骤及关键问题进行详细的介绍。
关键词整数线性规划分支定价列生成算法一引言整数规划(Integer Programming,IP)问题最早出现在20世纪50年代,现在整数规划适用于工程、电子信息、工程管理和经济等领域。
整数规划是带有整数变量的最优化问题,即最大化或最小化全部或部分变量为整数的多元函数受约束于一组等式或不等式条件的最优化问题。
有时候我们求解的结果要求我们取整数,但是有时候我们求得的解是小数,而且当我们把小数的解四舍五入化为整数，发现化整后的解并不是可行解，或虽是可行解,但不是最优解,因此,对求解最优整数解的问题,我们称之为整数规划。
对于小规模的整数规划问题,其求解通常采用分支定界算法,但当问题规模特别大时,分支定界算法的执行效率会很低,有时甚至得不到可行解。
因此研究者们致力于寻找求解大规模整数规划问题更好的方法。
Barnhart[1]等人研究了求解整数线性规划问题的分支定价算法(Branch-and-Price),该类算法可用于求解含有大规模变量的整数线性规划问题或混合整数线性规划问题,其核心思想是在分支定界的基础上采用列生成(Column Generation)策略。
线性整数规划
D4
命题1：
设D E，z ( x)在D与E上有最大(小)值， 则有 max z ( x) max z ( x)
xD xE
min z ( x) min z ( x)
xD xE
15 2014-1-22
1.
例2 人工算法（P160）
x2
5
x1=4
(2,3.3)D A(2.44,3.26) B(3,2.86)
s.t 4x1+5x2≤20
2x1+x2 ≤6
x (5 / 3, 8 / 3) ，注意到 由图解法可得最优点A(5/3,8/3)或 ~ ~ 1≤5/3≤2， 2≤8/3≤3，故对 两分量取整有如表 2所示， x 可得多种取整结果，取整法有多种结果，其误差不好 估计。
7 2014-1-22
x1,x2≥0
LA2
max z =2x1+3x2 s.t 195x1+273x2≤1365 4x1+40x2≤140 x1≤4 x1≥3 x1,x2≥0
~ x 3 (3, 2.86)T B点 z(~ x 3 ) 14.58
~ x 2 ( 2, 3.3)T D点 z(~ x 2 ) 13 .90 z ( ~ x 3 ) 14 .58
LA21 ~ x 4 ( 4, 2)T , z ( ~ x 4 ) 14
LA22无可行解
注： (1)若L21之最优解~ x 4为非整数解时，需比较z ( ~ x 2 )与z ( ~ x 4) 21 (2)若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA1分支；若z ( ~ x 2 ) z(~ x 4 )，则对LA21分支
4
3 2 1
整数线性规划
解： 引入0-1变量xij ，
xij =1：第i人做第j项工作
xij =0：第i人不做第j项工作
• 一人只能完成一项任务
x11 x12 x13 x14 1 x21 x22 x23 x24 1 x31 x32 x33 x34 1 x41 x42 x43 x44 1
三、分支定界法
不考虑整数限制先求出相应松弛问题的最优解， 若松弛问题无可行解，则ILP无可行解； 若求得的松弛问题最优解符合整数要求，则是 ILP的最优解； 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件 的变量 xi0 来构造新的约束添加到松弛问题中形 成两个子问题
0 0 xi xi ; xi xi 1
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160x1 210x2 60x3 80x4 180x5 210x1 300x2 150x3 130x4 260x5 600 x1 x2 x3 1 x3 x 4 1 x x 1 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0或1
x1 ≤ 1
LP1 ： 7 10 x1 1, x2 , Z 3 3
41 10 9 3
x2 ≥3
x2≤2
LP3 ： x1 33 61 , x2 2, Z 14 14
LP4：无解，查清
x1 ≥3
LP6：
61 10 14 3
x1≤2
LP5：
10 4, 3 x1 3, x2 1, Z 4，查清 x1 2, x2 2, Z 4，查清 LP1被剪枝
假设：yj=1，要租用生产线j yj=0，不租用生产线j
第六章 整数线性规划
（3.1.1 ）
整数规划与线性规划在形式上相差不多 , 但是由于整
数规划的解是离散的正整数 ,实质上它属于非线性规划 .若
去掉整数规划的整数约束 ——— x j 为整数 ,则该规划就变
成了一个线性规划 ,一般称这个线性规划为该整数规划的 松弛问题 .
§6.1 整数线性规划问题的提出 Page 6
一些原则
Page 22
序号 分支问题1
1 无可行解
2 无可行解 3 无可行解
4
整数解
5
整数解，优 于问题2
6
整数解
7 非整数解
分支问题2 无可行解
整数解 非整数解
整数解
非整数解 非整数解， 优于问题1
非整数解
说明 原问题无可行解 此整数解为最优解 对问题2继续分支 较优的为最优解
问题1为最优解 问题1停止分支，继续 对问题2分支 继续分支,较优的先分
解： x1——甲货物的托运箱数； x2——乙货物的托运箱数；
这就是一个(纯)整数线性规划问题，数学模型为：
max2 24
(2)
2
x1
5 x2
13
(3)
x1
,
x2
0
(4)
x1 , x2为整数.
数学建模常用方法
数学建模常用方法数学建模是利用数学工具和方法来研究实际问题，并找到解决问题的最佳方法。
常用的数学建模方法包括线性规划、非线性规划、动态规划、整数规划、图论、最优化理论等。
1. 线性规划（Linear Programming, LP）: 线性规划是一种在一定约束条件下寻找一组线性目标函数的最佳解的方法。
常见的线性规划问题包括生产调度问题、资源分配问题等。
2. 非线性规划（Nonlinear Programming, NLP）: 非线性规划是指当目标函数或约束条件存在非线性关系时的最优化问题。
非线性规划方法包括梯度方法、牛顿法、拟牛顿法等。
3. 动态规划（Dynamic Programming, DP）: 动态规划方法是一种通过将复杂的问题分解成多个子问题来求解最优解的方法。
动态规划广泛应用于计划调度、资源配置、路径优化等领域。
4. 整数规划（Integer Programming, IP）: 整数规划是一种在线性规划的基础上，将变量限制为整数的最优化方法。
整数规划常用于离散变量的问题，如设备配置、路径优化等。
5. 图论（Graph Theory）: 图论方法研究图结构和图运算的数学理论，常用于解决网络优化、路径规划等问题。
常见的图论方法包括最短路径算法、最小生成树算法等。
6. 最优化理论（Optimization Theory）: 最优化理论是研究寻找最优解的数学方法和理论，包括凸优化、非凸优化、多目标优化等。
最优化理论在优化问题建模中起到了重要的作用。
7. 离散数学方法（Discrete Mathematics）: 离散数学方法包括组合数学、图论、概率论等，常用于解决离散变量或离散状态的问题。
离散数学方法在计算机科学、工程管理等领域应用广泛。
8. 概率统计方法（Probability and Statistics）: 概率统计方法通过对已有数据进行分析和建模，提供了一种推断和预测的数学方法。
概率统计方法在决策分析、风险评估等领域起到了重要的作用。
整数规划
5 2 C = 0 0
0 2 0 3 0 0 0 6 7 8 0 0
步骤3： 若 n ，作最少直线覆盖当前零元素。 已知例12中的系数矩阵为 ⒈变换系数矩阵
4 7 C = 6 6 6
8 7 15 12 9 17 14 7 9 12 6 10 7 14 8 10 9 6 10 8
最多有3个独立0元素！
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 0 5 6 7 8 0 0
5 2 C = 0 4
0 2 0 3 0 7 5 6 0 8 0 3
至于如何找覆盖零元素的最少直线，通过例子来说明。 例1 现有一个4×4的指派问题，其效率矩阵为：
整数线性规划数学模型的一般形式为：
max(or min) z = ∑ c j x j n ∑ aij x j ≤ (or =, ≥)bi , i = 1, 2,L , m s.t j =1 x j ≥ 0, x j 中部分或全部为整数， = 1, 2,L , n j
j =1
n
整数线性规划类型
B1 B2 B3 B4 B5
C=
A1 4 A2 7 A3 6 A4 6 A5 6
8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
这是一个标准的指派问题。若设0-1变量
1 xij = 0
例12：某商业公司计划开办五家新商店。为了尽早建成 营业，商业公司决定由5家建筑公司分别承建。已知建筑 公司 Ai (i = 1,2, L ,5) 对新商店B j ( j = 1,2, L,5) 的建造 报价（万元）为 cij (i, j = 1,2, L ,5) , 见矩阵C。商业公 司应当对5家建筑公司怎样分配建筑任务，才能使总的建 筑费用最少？
运筹04整数线性规划
A1 A2 A3 A4 年需求 量 2 8 7 4 350
B2
9 3 6 5 400
B3
3 5 1 2 300
B4
4 7 2 5 150
年生产能力
400 600 200 200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为 1200万或1500万元。 现要决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少。
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称 为松弛问题）。
max Z x1 x 2 14 x1 9 x 2 51 6 x1 3 x 2 1 x , x 0 1 2
用图解法求出最优解为：x1＝3/2, x2 = 10/3，且有Z = 29/6
现求整数解（最优解）：如用 x2 “舍入取整法”可得到4个点即(1， 3) (2，3)(1，4)(2，4)。显然，它 们都不是整数规划的可行解,因而不 3 是最优解。
5
4 24
2
5 13
20
10
解：设X1 , X2 为甲、乙两货物各托运箱数
maxZ = 20 X1 + 10 X2 5X1+4X2 24 2X1+5X2 13 X1 , X2 0
X1 , X2为整数
例4.2 背包问题
背包可装入8单位重量，10单位体积物品 物品 1 2 名称 书 摄像机 重量 5 3 体积 2 1 价值 20 30
变量约束：
x12 x 22 x 32 x 42 1 x13 x 23 x 33 x 43 1 x14 x 24 x 34 x 44 1
xij 0或，、 1 i j 1, 2,3, 4
整数线性规划问题数学模型的一般形式：
§3.1 整数线性规划
§3.1 整数线性规划整数线性规划( Integer Linear Programming ，简记为 ILP )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⊂∈∈≥=},,2,1{,0..min n J i I x x b Ax t s x c i T Λ （3.1.1）其中，},2,1,0{Λ=I<1>若 },,2,1{},1,0{n J I Λ==，则称（3.1.1）为0-1规划问题；<2>若 J 是 },,2,1{n Λ的非空真子集，则称（3.1.1）是混合整数线性规划问题；<3>若 },,2,1{n J Λ=，则称（3.1.1）是纯整数线性规划问题。
1、整数线性规划问题举例例 3.1.1 某部门在今后五年中有 B 万元的资金可以用于投资，有 )2(≥n n 个可以考虑的投资项目。
假定每个项目最多投资一次，其中第 j 个项目需投资金额为 j b 万元，将会获得的利润为 j c 万元，问应如何选择项目，才能使获得的总利润最大？解：设投资决策变量为n j j j x j ,,1,0,1Λ=⎩⎨⎧=个项目，决定不投资第个项目，决定投资第，设获得的总利润为 z ，则⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≤<=∑∑==n j x Bx b t s x c z j n j j j n j jj ...,2,1;010..max 11或 （3.1.2） 问题（3.1.2）是一个0-1规划。
01或=j x 这个约束可以用一个等价非线性约束0)1(=-j j x x来代替它。
因而变量限制为整数本质上是一个非线性约束。
例 3.1.2 某建筑公司承包两种类型宿舍。
甲种宿舍每幢占地面积为 31025.0⨯平方米；乙种宿舍每幢占地面积为 3104.0⨯平方米。
该公司已购进 3103⨯平方米的建筑用地。
计划要求建甲种宿舍不超过8幢，乙种宿舍不超过4幢。
建甲种宿舍每幢可获利10万元，建乙种宿舍每幢可获利20万元。
第八章 整数线性规划(ILP)
v 1 , v 2 , ⋯ , v n 各 一 次 ，最 后 返 回 v 0 ，已 知 从 v i 到 v j
的 旅 费 为 C ij ， 问 他 应 按 怎 样 的 次 序 访 问 这 个 城 市，才能使得总旅费最少？
解：对每一对城市设一个变量 xij ，令
( P)
可先求其对应的线性规划问题
minz = minCX AX = b X ≥ 0
(P0 )
如果 P0 中的最优解满足 P 中的整数要求，则以求得 P 的整 数最优解。如果 P0 的最优解的分量不全是整数，就对 P0 增 加一 个约束条件（ 称它为割平 面方程） 新增加的割平面 方 ， 程 将 P0 的 可 行 域割 去一块 ，并且 非 整 数 的 最优解 恰好在 这 一块中， 即非整数的最优解被割去而 P 的全部整数可行解保 留， 然后在解新的线性规划， 看其最优解是否满足整数要求， 就这样继续进行下去，直到得到最优解满足整数要求为止。
*
分枝定界法可用于解纯整数规划问题，也可以 分枝定界法可用于解纯整数规划问题， 用于求混合整数规划问题。 20世纪60年代初由 世纪60 用于求混合整数规划问题。在20世纪60年代初由 Land和Dong提出经Dakin修正的 提出经Dakin修正的， Land和Dong提出经Dakin修正的，其优点是方法 灵活并且十分便于计算机求解， 灵活并且十分便于计算机求解，所以现在它已成 为求解整数规划的重要方法之一， 为求解整数规划的重要方法之一，目前已成功地 应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、旅 应用于求解整数规划问题、生产进度表问题、 行推销员问题、工厂选址问题、 行推销员问题、工厂选址问题、背包问题及分配 问题等。分枝定界法比穷举法优越， 问题等。分枝定界法比穷举法优越，因为它仅在 一部分可行解的整数解中寻求最优解， 一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比 穷举法小，但若变量数目很大， 穷举法小，但若变量数目很大，其计算工作量也 是相当可观的。因此，它有时也需要与其他方法 是相当可观的。因此， 如切割平面法)配合使用， (如切割平面法)配合使用，效率更高一些。
第三章整数线性规划
第三章 整数线性规划【教学内容】整数线性规划问题举例、整数线性规划模型及其求解的困难性、可用线性规划求解的整数线性规划问题、求解整数线性规划问题的Gomory 割平面法、求解整数线性规划问题的分枝定界方法、0－1规划问题举例、0－1规划问题的解法、整数线性规划问题的一些例子、用LINGO 软件包求解整数线性规划问题。
【教学要求】要求学生熟悉整数线性规划模型，能熟练地掌握求解整数线性规划问题的Gomory 割平面法和分枝定界方法；熟悉并会求解0－1规划问题，能够建立整数线性规划模型并用软件求解整数线性规划问题。
【教学重点】整数线性规划模型，Gomory 割平面法，分枝定界方法，0－1规划问题。
【教学难点】Gomory 割平面法，分枝定界方法，0－1规划问题的求解。
【教材内容及教学过程】整数线性规划(Integer Linear Programming ，简记为ILP )问题研究的是要求变量取整数值时，在一组线性约束条件下一个线性函数最优问题，是应用非常广泛的运筹学的一个重要分支。
其中变量只取0或1的整数线性规划问题称为0－1规划。
只要求部分变量取整数值的线性规划称为混合整数线性规划。
整数线性规划与线性规划有着密不可分的关系，它的一些基本算法的设计都是以相应的线性规划的最优解为出发点的。
但是变量取整数值的要求本质上是一种非线性约束，因此解整数线性规划的“困难度”大大超过线性规划，一些著名的“困难”问题都是整数线性规划问题。
本章主要介绍整数线性规划一些基本概念、基本理论、实际背景及常用算法。
第一节 整数线性规划模型§1．1 整数线性规划问题举例例3.1.1[2] 工地上需要长度为m l l l ,,,21 的钢材数分别为m b b b ,,,21 根，取长为l 的原材料进行截取。
已知有n 种截取方案：()12i iimi A a a a =，1,2,,i n =其中，ji a 表示一根原料用第i 种方案可截得长为j l 的钢材的根数（1,2,,i n =，1,2,,j m =），因此 1122i i m mi l a l a l a l +++≤，1,2,,i n =下料问题就是在满足要求：截取长度为m l l l ,,,21 的钢材数分别为m b b b ,,,21 根时，用的原料材根数最少的方案。
整数规划 all
cj z alj
j
alj
0
min
2 3
,
2 1
1 6
将x3做为换入变量，再按原单纯形法进行迭代， 得下表。
CB XB 1 x1 1 x2 0 x3
cj-zj
cj b 1 1 1 2
11 0
x1 x2
x3
10 0
01 0
00 1
00 0
0
0
x4
x5
1/3 -1/12
0 1/4
1/3 -1/3
但若和其他方法（如分支定界法）配合使用， 也是有效的。
隐枚举法
金磊
目录
概述 具体步骤 特点
概述
• 线性模型中，当变量的取值只能是“0”或“1” 时，称之为“0-1规划问题”。有种极其简单 的解法，就是将变量取值为0或1的所有组合列 出，然后分别代入目标函数，选出其中能使目 标函数最优化的组合，即为最优解。但是真的 这样会做很多无用功，浪费大量资源，所以， 需要改进方法。下面主要介绍隐枚举法的应用 原理，意在剖析其“隐”在何处，从而帮助大 家更好地应用这种方法。
以下只讨论纯整数线性规划的情形， 下面举例说明。
割平面求解举例
Max Z=x1+x2 ① -x1+x2≤1 ② 3x1+x2 ≤4 ③ 松弛问题 x1 , x2≥0 ④
x1 , x2为整数⑤
Max Z=x1+x2 -x1+x2≤+1x3 =1 3x1+x2 ≤4+x4=4 x1 , x2≥0
如不考虑条件⑤，容易求得相应的线性规划的最优解： x1=3/4，x2=7/4，max z=10/4
该有特殊的方法来求解整数规划。
整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的数学模型及解的特点整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。
例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP。
松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。
若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。
一、整数线性规划数学模型的一般形式整数线性规划问题可以分为以下几种类型1、纯整数线性规划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。
有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3、0—1型整数线性规划(zero—one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。
1 解整数规划问题0—1型整数规划0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的变量xi称为0—1变量，或称为二进制变量。
0—1型整数规划中0—1变量作为逻辑变量(logical variable)，常被用来表示系统是否处于某一特定状态，或者决策时是否取某个方案。
一、0—1型整数规划的典型应用问题例1：背包问题：一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。
每种物品的重量和重要性系数如表所示。
设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携带的物品。
序号1234567物品食品氧气冰镐绳索帐篷照相器材通信设备重量/Kg55261224重要性系数201518148410解：引入0—1变量xi, xi=1表示应携带物品i，,xi=0表示不应携带物品i上述问题就是一个标准的0-1整数规划问题，解得： X*=(1,1,1,1,0,1,1)’ Z*=81例2：集合覆盖和布点问题某市消防队布点问题。
第五章整数规划
解：设xj为第j种产品的生产数量，j=1,2,3；
1 当生产第 j种产品, 即 xj＞ 0 时 yj = 0 当不生产第 j种产品即 xj = 0 时 引入约束 xi ≤ M yi ，i =1，2，3，M充分大，
以保证当 yi = 0 时，xi = 0 。 可建立如下的数学模型：
Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3
有三种资源被用于生产三种产品，资源量、产 品单件可变费用及售价、资源单耗量及组织三种产 品生产的固定费用见下表。要求制定一个生产计划， 使总收益最大。
Ⅰ Ⅱ Ⅲ 资源量
A
2
4
8
500
B
2
3
4
300
C
1
2
3
单件可变费用 4
5
6
固定费用 100 150 200
2020/3单/5 件售价
8
10 12
100
2020/3/5
26
例：设整数规划问题如下
max Z x1 x2
146xx1193xx22
51 1
x1
,
x2
0且为整数
首先不考虑整数约束，得到线性规划问题（一般称
为松弛问题）。 max Z x1 x2
146xx1193xx22511 x1, x2 0
x4 + x5 ≥ 5
x5 ≥ 3
xi ≥ 0 ，且为整数
2020/3/5
17
例6、合理下料 造某种机床，需要 A ，B ，C 三种轴件，其规格
与数量如下表，各类轴件都用5.5米长的同一种圆钢 下料。若计划生产100台机床，最少要用多少根圆 钢？
线性规划与整数规划模式Linear and Integer Programming
1000
700
500
紅色線段
Profit =$1250
X2 由任一個 profit開始, say profit = $1,250. 往利潤增加方向移動 increase the profit, if possible... 持續平行移動到無法增加為止 continue until it becomes infeasible
700
Total production 限制式
X1+X2 700 (多餘)
500
Infeasible
Production
Feasible
Mix限制式
X1-X2 350
Time 限制式
3X1+4X22400
500 700
內部點Interior points. 邊界點 Boundary points.
可行區域 FEASIBLE REGION
13
圖形表示法(graphical presentation) ―所有限制式(all the constraints) ―目標函數(objective function) ―可行點(three types of feasible points)
14
圖形分析 – 可行區域 Graphical Analysis – the Feasible Region
非束縛方程式(Non-Binding Constraints)：最佳點不在其等式之限制式 寬鬆(Slack)：限制式右邊與左邊的差額，代表資源的剩餘數量
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端點與最佳解 (p.72) Extreme points and optimal solutions
– 若一個線性規劃問題有一組最佳解，此最佳解一 定發生在”端點”上 (端點最佳解之候選人,True/False)
整数线性规划IntegerLinearProgramming
2019/5/29
Ludong University
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定理2.5.1
对于规划(Ⅰ)的任意可行解 x 和规划(Ⅱ)的任意可行解 ，由于 x 0 所以有
Tb T Ax cx
如果 cx Tb 则显然 x 和 分别是原规划和对偶规划的最优解。 反之 x 是原规划的最优解，则存在最优基可行解 x~ ，使得
Tb cx
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规范形式LP的对偶规划
min cx
s.t.
Ax x
0
b
标准化
min c x
s.t.
Ax Iy x, y 0
b
max Tb
s.t. T ( A, I ) (c , 0)
T A cT
每天可用能力 15 24 5
表2.5.1
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对偶问题的提出
可控因素：设 y1 ， y2 和 y3 表示单位时间(h)设备 A、设备 B 和调试工序的出让代价。
受制条件：因美佳公司用 6h 设备 B 和 1h 调试可生产一件产品Ⅰ，盈利 2 元，故
6 y2 y3 2
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对偶问题的提出
引例 美佳公司计划制造两种产品。已知各制造一件时分别占
用的设备A、B的台时、调试工序时间、每天可用于生产这两 种产品的能力以及出售每件产品可获得利润如表2.5.1所示， 试制订总利润最大的生产计划。
项目
产品Ⅰ 产品Ⅱ 每天可用能力
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模型LP1
max z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 , x2 0
4
设备B(h)
调试工序(h) 利润（元）
6
1 2
2
1 1
24
5
表2.5.1
2018/8/8 Ludong University
表2.5.1
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对偶问题的提出
设 y1 ， y2 和 y3 表示单位时间(h)设备 A、设备 B 和调试工序的出让代价。 可控因素：
因美佳公司用 6h 设备 B 和 1h 调试可生产一件产品Ⅰ，盈利 2 元，故 受制条件： 6 y2 y3 2
由此可知 是规划(Ⅱ)的最优解。
反之亦然。
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标准形式LP的对偶规划
min c x Ax b s.t. (I) x 0
max T b s.t. T A c (II)
min c x Ax b(I) s.t. x 0
（Ⅱ）
那么 是下列规划的可行解
max T b s.t. T A c
由于 x 同时是规划(Ⅰ)的可行解， 所以 对于规划(Ⅱ)的任意可行解 ，
T b T Ax c x T b
线性规划的对偶理论
这里的对偶是指对同一事物(问题)从不同的角度(立 场)观察,有两种对立的表述。如“平面中矩形的面积 与周长的关系。” 1.周长一定，面积最大的矩形是正方形； 2.面积一定，周长最短的矩形是正方形。 本节所讨论的对偶理论是线性规划理论中一个重 要而又有趣的概念。对偶理论告诉我们：对于每个 一个线性规划(P)，总存在另一个线性规划(D)，两者 之间存在着密切的联系，甚至人们常常通过求解对 偶问题(D)来获得原规划(P)的最优解。
1 T 1 因为 T cT B A c 0， 如果令 T cB B ，则有 B
T A cT 0,
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T b c x .
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标准形式LP的对偶规划
A c 0, b c x .
T T
T
（Ⅰ）
其中 x, c Rn ,b Rm , A Rmn 。
根据单纯形理论，若 x 是最优基可行解，其对应的基阵为 B ，则其对应 的检验数为 T 1 T 1 B cB B B cB 0 ， N cB B N cN 0，
1 同时 xB B1b ， xN 0 ，最优值为 c x cB B b。
线性规划
Linear Programming
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线性规划
线性规划问题 可行区域与基本可行解 单纯形算法 对偶问题的提出 初始可行解 对偶规划 对偶理论 对偶理论 灵敏度分析 对偶单纯形算法 计算软件 案例分析
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max z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 , x2 0
max c x
T 上述LP1和 两个线性规划问题，通常称 LP1 ALP2 c 为原问题， b ？ Ax s.t. s.t. LP2是LP1者的对偶问题。 x0 0
对偶问题的提出
现在从另外一个角度提出上述问题 假设有某个公司想把美佳公司的资源收买过来，它至少应付 出多大的代价，才能使美佳公司愿意放弃生产，出让自己的 资源。显然美佳公司出让自己资源的条件是：出让代价应不 低于用同等数量资源由自己组织生产时获得的利润。
项目 设备A(h) 设备B(h) 调试工序(h) 利润（元） 产品Ⅰ 0 6 1 2 产品Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
Ludong University 6
2018/8/8
对偶问题的提出？
模型LP2 模型LP1
minz 15 y1 24 y2 5 y3 6 y2 y3 2 s.t. 5 y1 2 y2 y3 1 y , y , y 0 1 2 3
min bT
因美佳公司用 5h 设备 A，2h 设备 B 和 1h 调试可生产一件产品Ⅱ，盈利 1 元，故
5 y1 2 y2 y3 1
该公司希望用最小的代价把佳美公司的全部资源收买过来，故 目标：
min z 15 y1 24 y2 5 y3
变量非负，即 蕴含约束：
yi 0 i 1,2,3
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对偶问题的提出
引例 美佳公司计划制造两种产品。已知各制造一件时分别占 用的设备A、B的台时、调试工序时间、每天可用于生产这两 种产品的能力以及出售每件产品可获得利润如表2.5.1所示， 试制订总利润最大的生产计划。
项目 设备A(h) 产品Ⅰ 0 产品Ⅱ University 7
对偶规划
标准形式线性规划的对偶规划
规范形式线性规划的对偶规划 一般形式线性规划的对偶规划
实例
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标准形式LP的对偶规划
考虑线性规划的标准形式
min c x Ax b s.t. x 0
原规划
对偶规划
两个规划的最优解之间存在着密切的关系，通过一个规 划的最优解可以得到另一个规划的最优解。
同时从形式上两者之间也有本质的相似， 给定 ( A, b, c) 两个规划相伴而存在，因而称以上两个规划互为对偶规划。
T b c x
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