微分积分公式(全集)

高中大学数学微分与积分公式（全集）

（高中大学数学）

一、0

101101

lim 0n n n m

m x m a n m

b a x a x a n m b x b x b n m

--→∞⎧=⎪⎪++

+⎪

=<⎨+++⎪

∞>⎪⎪

⎩

（系数不为 的情况） 二、重要公式（ ）0sin lim 1x x

x

→=

（ ）()1

0lim 1x x x e →+= （ ）)1n a o >=

（ ）1n = （ ）limarctan 2

x x π

→∞

= （ ）lim tan 2

x arc x π

→-∞

=-

（ ）limarccot 0x x →∞

= （ ）lim arccot x x π→-∞

= （ ）lim 0x x e →-∞

= （ ）lim x x e →+∞

=∞ （ ）0lim 1x x x +

→=

三、下列常用等价无穷小关系（0x →）

sin x

x tan x x arcsin x x arctan x

x 2

11cos 2

x

x -

()

ln 1x x + 1x e x - 1ln x a x a - ()11x x ∂

+-∂

四、导数的四则运算法则

()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭

五、基本导数公式

⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=

⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅ ⑼()x x e e '= ⑽()ln x x a a a '= ⑾()1ln x x

'= ⑿()1

log ln x a x a '=

⒀(

)arcsin x '= ⒁(

)arccos x '= ⒂()21arctan 1x x '=

+ ⒃()

2

1arccot 1x x '=-+⒄()1x '=

⒅

'

=

六、高阶导数的运算法则

（ ）()()()()()()()n n

n

u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （ ）()()

()

()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦

（ ）()()

()

()n n n

u ax b a u ax b +=+⎡⎤⎣⎦

（ ）()()()

()()()()

n

n n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑

七、基本初等函数的 阶导数公式

（ ）()()!n n x n = （ ）()()n ax b n ax b e a e ++=⋅ ()()

ln n x x n a a a =

()()sin sin 2n n

ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦

⎝

⎭

()()cos cos 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦

⎝

⎭

()

()

()

1

1!

1n n n

n a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪

+⎝⎭

+ ()()

()

()()

1

1!

ln 1n n n n

a n ax

b ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+

八、微分公式与微分运算法则

⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =- ⑸()2tan sec d x xdx = ⑹()2cot csc d x xdx =- ⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx =-⋅ ⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1

ln d x dx x

= ⑿()1

log

ln x a d dx x a =

⒀()arcsin d x =

⒁()arccos d x = ⒂()21arctan 1d x dx x =

+ ⒃()2

1

arccot 1d x dx x

=-+

九、微分运算法则

⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =

⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2

u

vdu udv

d v v -⎛⎫

=

⎪⎝⎭

十、基本积分公式

⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμ

μ+=++⎰ ⑶ln dx

x c x

=+⎰ ⑷ln x

x

a a dx c a

=+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻2

21sec tan cos dx xdx x c x

==+⎰

⎰