角平分线的性质与全等三角形

角平分线的性质与全等三角形
一、知识回顾
1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。

∵△ABC≌△A＇B＇C＇
∴AB=A＇B＇,BC=B＇C＇,AC=A＇C＇; ∠A=∠A＇, ∠B=∠B＇, ∠C=∠C＇
二、典型例题
例1：下列定理中逆定理不存在的是（）
A．角平分线上的点到这个角的两边距离相等
B．在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等
C．同位角相等，两直线平行
D．全等三角形的对应角相等
分析：把每个选项的逆命题写出，然后利用相关的知识进行证明，不能证明的是错误的，选项D的逆定理是不存在的．
解答：A、角平分线上的点到这个角的两边距离相等的逆定理存在，可通过三角形全等来证明，正确；
B、在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等逆定理存在，可通过证明三角形全等来证明，正确；
C、同位角相等，两直线平行的逆定理是平行线的性质定理之一，正确；
D、对应角相等的三角形不全等，及其逆命题不正确，也就是逆定理不存在．
故选D．
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例2：如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PA平分∠BAC，则△APD与△APE 全等
的理由是（）
A．SAS B．AAS
C．SSS D．ASA
分析：根据已知条件在三角形中的位置来选择判定方法，本题中有两角及一角的对边对应相等，所以应选择AAS，比较简单．
解答：由已知得，AP=AP，∠DAP=∠EAP，∠ADP=∠AEP所以符合AAS判定．
故选B．
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例3：已知，如图，△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F．下列说法，正确的有（）
①DE=DF，②AE=AF，③AD平分∠EDF；④AD⊥BC，⑤图**有3对全等三角形．
A．B． 3个C．4
个D．5个
分析：根据题意可以推出DE=DF，△AED≌△AFD，即可推出说法①②③为正确．
解答：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，
∴△AED≌△AFD，
∴AE=AF，AD平分∠EDF．
故选B．
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例4：（2002·四川）以下命题中，真命题是（）
①同一平面内的两条直线不平行就相交；②三角形的外角必定大于它的内角；
③两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；④两个全等三角形的面积相等．
A．①、③B．①、④C．①、②、
④D．②、③、④
分析：同一个平面内的两条直线的位置关系：平行、相交；
三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角；
全等三角形的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA；
全等三角形的面积比相等．
解答：A、根据平面内两条直线的位置关系，故正确；
B、三角形的外角应大于任何一个和它不相邻的内角，故错误；
C、不符合全等三角形的判定定理，故错误；
D、根据全等三角形的定义，故正确．
故选B．
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例5：如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，下列结论中不正确的是（）
A．∠DAE=∠CBE B．CE=DE
C．△DEA不全等于△CBE D．△EAB是等腰三角形
分析：由题中条件可得，△ABD≌△BAC，由全等可得对应角相等，对应线段相等，即可得△ADE≌△BCE，所以C中说两个三角形不全等是错误的；再由角相等也可得△EAB为等腰三角形，进而可得出结论．
解答：∵∠1=∠2，∠C=∠D，且AB为公共边，
∴△ABD≌△BAC，
∴∠DAB=∠CBA，AD=BC，
又∠1=∠2，
∴∠DAE=∠CBE，A正确；
又AD=BC，∠D=∠C，
∴△ADE≌△BCE，C错误；
∴CE=DE，B正确；
∵∠1=∠2
△EAB为等腰三角形，D正确．
故C错，选C．
三、解题经验
角平分线的性质很简单，也比较容易掌握。

一般情况下会伴随着全等三角形的判定、性质出现，我们要灵活运用其知识。