正弦函数图像变换性质(新)

函数的图象与性质（一）

1、教学目标：1.能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种

变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。

2.通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到

一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

2、教学重点：用参数思想分层次、逐步讨论字母A、ω变化时对函数图象的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ω

x+φ)图象的简图的作法。

3、教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说A对图象的

影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这种图象变化，不会观察，造成认知难点。

3、教学方法：归纳，猜想，论证；使用geogebra软件。

4、教学过程：

一、实例引入：

1、创设情境：

我们之前学过正弦，余弦函数的图像及性质，生活中处处都有它的应用，比如大家的声音就是不同的正弦波叠加形成的，物理中的振动图像，波动图像也都与之相关。今天我们就要研究这个函数的图像及部分性质。

2、问题提出：

那么我们如何来画出这种函数的图象呢？这些函数又有那些性质呢？下面我们从特殊的几个函数开始研究。

2、解决问题：

例1、画出函数与的简图；

解：“五点法作图”的步骤为：列表，描点，连线。

010-10

020-20

000

描点画图：

然后我们利用其周期性，把它们在[0，]上的简图向左，右分别扩展，便可得到它们的简图。

问题1：大家观察一下，把它们与比较，有什么联系？其哪些性质发生了变化？

归纳：1、的图象可以看作把上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到；函数的值域变为了[-2，2]

2、的图象可以看作把上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍

（横坐标不变）而得到；函数的值域变为了[]

问题2：请大家思考：若换成一般情况，你能归纳出它与的联系吗？

猜想：一般地,函数, (其A>0,且A1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的纵

坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0

函数的值域是[-A，A]，

问题3：能否解释：图形随着A的变化而如此变化的现象呢？

启发：打开Geogebra 软件，演示两点A分别在的变化过程中产生的轨迹。

论证：函数的图像都是由其中每一个点构成，对于中任意一个点而言，

当函数变为，其中对应点的横坐标不变，纵坐标变为即，

每个点都伸长或者缩短A倍，图形也自然会有相应的变化。

【说明】1、在物理上，A称为振幅，我们把这种变换称为振幅变换。这其实就是我们正弦波的响度！

2、在变动中，变的是纵坐标，不变的是横坐标，伸长时

A>1，缩短时0

3、规定的A>0，解释振幅的定义：物体离开平衡位置的距离。

例2．画出函数与的简图。

解：令（换元法）

列表2：

010-10

描点作图：

令，则（换元法）

010-10

描点作图：

同理，利用它们的周期性，把它们分别向左，右扩展得到它们在R上的简图。

问题1：观察一下,它们与比较，有什么联系？其哪些性质发生了变化？

归纳：1、的图象可以看作把上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到；

函数的定义域、值域和奇偶性不变，周期变为原来的倍，单调区间也发生了改变。

2、的图象可以看作把上所有点的横坐标伸长到原来的2倍

（纵坐标不变）而得到；

函数的定义域、值域和奇偶性不变，周期变为原来的2倍，单调区间也发生了改变。

问题2：如果换成一般情况，你能归纳出它与的联系吗？

猜想：一般地,函数, (其>0,且1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有

点的横坐标伸长(当0<<1时)或缩短(当>1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.

函数的中决定了其周期，所以我们把这一变换称为周期变换。

问题3：能否解释：图形随着的变化而如此变化的现象呢？

启发：打开Geogebra 软件，演示两点A分别在的变化过程中产生的轨迹。

论证：函数的图像都是由其中每一个点构成，对于中任意一个点而言，

当函数变为，其中对应点的纵坐标不变，横坐标变为即，说明：1）列表时，x轴上的五个值怎样计算：换元法，解5个一元一次方程。

2）周期变换中，强调是“x轴上的所有点伸长或缩短”；“纵坐标不变”。

3）强调与振幅变换的区别：振幅变换是原来的A倍，周期变换是原来的。决定声音的音调。

3、小结（结合geogebra软件）

4、应用

1.作出函数在长度为一个周期的闭区间上的大致图像，并说明的图像是由函数

的图像经过怎样的变换得到的.并分析说明该函数的函数性质。

2.利用Geogebra软件将按照原点放缩3倍形成的函数图像，求该函数对应解析式。

3.作出在一个周期中的简图，并说明如何由变换得到。