正弦函数图像变换性质(新)
正弦函数余弦函数的图像和性质
正弦函数、余弦函数的图像和性质四川省平昌中学王铮（一）教学具准备直尺、圆规、投影仪．（二）教学目标1．了解作正、余弦函数图像的四种常见方法．2．掌握五点作图法，并会用此方法作出上的正弦曲线、余弦曲线．3．会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像．（三）教学过程（可用课件辅助教学）1．设置情境引进弧度制以后，就可以看做是定义域为的实变量函数．作为函数，我们首先要关注其图像特征．本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法．2．探索研究（1）复习正弦线、余弦线的概念前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画图1）设任意角的终边与单位圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，则有向线段叫做角的正弦线，有向线段叫做角的余弦线．（2）在直角坐标系中如何作点由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角的大小，就能用几何方法作出对应的正弦值的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点？教师引导学生用图2的方法画出点．我们能否借助上面作点的方法在直角坐标系中作出正弦函数，的图像呢？①用几何方法作，的图像我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图像误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点的几何方法来描点，从而使图像的精确度有了提高．（边画图边讲解），我们先作在上的图像，具体分为如下五个步骤：a．作直角坐标系，并在直角坐标系中轴左侧画单位圆．b．把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）．过单位圆上的各分点作轴的垂线，可以得到对应于0，，，，…，角的正弦线．c．找横坐标：把轴上从0到（）这一段分成12等分．d．找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点．e．连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得，的图像．②作正弦曲线，的图像．图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数，，且的图像与函数，的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数，的图像向左、右平移（每次个单位长度），就可以得到正弦函数数，的图像，如图1．正弦函数，的图像叫做正弦曲线．③五点法作，的简图师：在作正弦函数，的图像时，我们描述了12个点，但其中起关键作用的是函数，与轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次它们的坐标吗？生：（0，0），，，，师：事实上，只要指出这五个点，，的图像的形状就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图．④用变换法作余弦函数，的图像因为，所以，与是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移个长度单位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图2，师：请同学们说出在函数，的图像上，起关键作用的五个点的坐标．生：（0，1），，，，3．例题分析【例1】画出下列函数的简图：（1），；（2），．解：（1）按五个关键点列表利用五点法作出简图3师：请说出函数与的图像之间有何联系？生：函数，的图像可由，的图像向上平移1个单位得到．（2）按五个关键点列表利用五点法作出简图4师：，与，的图像有何联系？生：它们的图像关于轴对称．练习：（1）说出，的单调区间；（2）说出，的奇偶性．参考答案：（1）由，图像知、，为其单调递增区间，为其单调递减区间（2）由，图像知是偶函数．4．总结提炼（1）本课介绍了四种作，图像的方法，其中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点．（2）用平移诱变法，由这不是新问题，在函数一章学习平移作图时，就使用过，请同学们作比较．应该说明的是由平移量是不惟一的，方向也可左可右．5．演练反馈，（投影）（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图像①，②，（2）观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的的区间．①，②，③，④（3）画出下列函数的简图①，②，③，参考答案：（1）（2）①，，②、，③④（3）（五）板书设计．作点，．变换法作教学设计示例4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第二课时）（一）教学具准备直尺，投影仪．（二）教学目标1．掌握，的定义域、值域、最值、单调区间．2．会求含有、的三角式的定义域．（三）教学过程1．设置情境研究函数就是要讨论一些性质，，是函数，我们当然也要探讨它的一些属性．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质．2．探索研究师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等．师：很好，今天我们就来探索，两条最基本的性质——定义域、值域．（板书课题正、余弦函数的定义域、值域．）师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像．师：请同学思考以下几个问题：（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？（2）正弦、余弦函数的值域是什么？（3）他们最值情况如何？（4）他们的正负值区间如何分？（5）的解集如何？师生一起归纳得出：（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是．（2）正弦函数、余弦函数的值域都是即，，称为正弦函数、余弦函数的有界性．（3）取最大值、最小值情况：正弦函数，当时，（）函数值取最大值1，当时，（）函数值取最小值－1．余弦函数，当，（）时，函数值取最大值1，当，（）时，函数值取最小值－1．（4）正负值区间：（）（5）零点：（）（）3．例题分析【例1】求下列函数的定义域、值域：（1）；（2）；（3）．解：（1），（2）由（）又∵，∴∴定义域为（），值域为．（3）由（），又由∴∴定义域为（），值域为．指出：求值域应注意用到或有界性的条件．【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时的集合：（1），；（2），；（3）（4）．解：（1）当，即（）时，取得最大值∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为．（2）当时，即（）时，取得最大值．∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为．（3）若，，此时函数为常数函数．若时，∴时，即（）时，函数取最大值，∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为．（4）若，则当时，函数取得最大值．若，则，此时函数为常数函数．若，当时，函数取得最大值．∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值．指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论．思考：此例若改为求最小值，结果如何？【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？（1）；（2）．解：（1）由，∴当时，式子有意义．（2）由，即∴当时，式子有意义．4．演练反馈（投影）（1）函数，的简图是（）（2）函数的最大值和最小值分别为（）A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4（3）函数的最小值是（）A．B．－2 C． D．（4）如果与同时有意义，则的取值范围应为（）A． B． C． D．或（5）与都是增函数的区间是（）A．， B．，C．， D．，（6）函数的定义域________，值域________，时的集合为_________．参考答案：1．B 2．B 3．A 4．C 5．D6．；；5．总结提炼（1），的定义域均为．（2）、的值域都是（3）有界性：（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的集合为无限集．（5）正负敬意及零点，从图上一目了然．（6）单调区间也可以从图上看出． （五）板书设计课后思考题：求函数 的最大值和最小值及取最值时的 集合提示：教学设计示例4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）（一）教学具准备 直尺、投影仪． （二）教学目标1．理解 ， 的周期性概念，会求周期．2．初步掌握用定义证明 的周期为 的一般格式．（三）教学过程 1．设置情境自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等．数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角的终边每转一周又会与原来的位置重合，故， 的值也具有周而复始的变化规律．为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性（板书课题） 2．探索研究（1）周期函数的定义引导学生观察下列图表及正弦曲线正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．联想诱导公式，若令 则 ，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：对于函数 ，如果存在一个非零常数 ，使得当 取定义域内的每一个值时，都有，那么函数叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期．如 ， ，…及 ，…都是正弦函数的周期．注意：周期函数定义中有两点须重视，一是 是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立．师：请同学们思考下列问题：①对于函数 ， 有 能否说是正弦函数的周期．生：不能说 是正弦函数 的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式 成立，所以不符合周期函数的定义．② 是周期函数吗？为什么生：若是周期函数，则有非零常数，使 ，即 ，化简得，∴（不非零），或 （不是常数），故满足非零常数不存在，因而不是周期函数．思考题：若 为 的周期，则对于非零整数 ， 也是 的周期．（课外思考）（2）最小正周期的定义师：我们知道…，，，，…都是正弦函数的周期，可以证明（且）是的周期，其中是的最小正周期．一般地，对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期．依据定义，和的最小正周期为．（3）例题分析【例1】求下列函数的周期：（1），；（2），；（3），．分析：由周期函数的定义，即找非零常数，使．解：（1）因为余弦函数的周期是，所以自变量只要并且至少要增加到，余弦函数的值才能重复取得，函数，的值也才能重复取得，从而函数，的周期是．即，∴（2）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，就是说，变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复取得，而所以自变量只要并且至少要增加到，函数值就能重复取得，从而函数，的周期是．即∴（3）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，由于，所以自变量只要并且至少要增加到，函数值才能重复取得，即是能使等式成立的最小正数，从而函数，的周期是．而∴师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关，其规律如何？你能否求出函数，及函数，（其中，，为常数，且，）的周期？生：∴．同理可求得的周期．【例2】求证：（1）的周期为；（2）的周期为；（3）的周期为．分析：依据周期函数定义证明．证明：（1）∴的周期为．（2）∴的周期为．（3）∴的周期为．3．演练反馈（投影）（1）函数的最小正周期为（）A．B．C．D．（2）的周期是_________（3）求的最小正周期．参考答案：（1）C；（2）∴（3）欲求的周期，一般是把三角函数化成易求周期的函数或的形式，然后用公式求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．由4．总结提炼（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．（2）设 ， ．若 为的周期，则必有：① 为无限集，②；③在上恒成立．（3）只有 或 型的三角函数周期才可用公式 ，不具有此形式，不能套用．如 ，就不能说它的周期为 ．（四）板书设计思考问题①②的周期的周期思考题：设是定义在上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当 时，，求上的表达式参考答案： 典型例题例1．求函数的定义域．分析：要求，即，因为正弦函数具有周期性，所以只需先根据正弦曲线在一个周期上找出适合条件区间，然后两边加．解：由题意，即．在一周期上符合条件的角为，∴定义域为．小结：解题时注意结合正弦曲线，而由于正弦函数的周期性，只需先在一个周期上求范围，这个周期的长度为，并非一定取，而应该是否得到一个完整区间为标准，如本题若在上求范围则分为两段和，不如在上是完整的一段．例2．求函数的定义域。
正弦函数图像变换
长到原来的2倍 3
D、向左平移 p 个单位，再将图象上各点的横坐标伸 长到原来的2倍 6
7、函数y=sin(2x+θ)的图象关于y轴对称，则 B
A 、 =2kp+p,kZ B、 =kp+p,kZ
2
2
C 、 =2kp+p,kZ D 、 =kp+p,kZ
8、要得到函数y= 2 cosx的图象，只需将函数
正弦型函数的图象和性质2
教学目标 1、“五点法”画y=Asin(ωx+φ)的图象。 2、会用图象变化的方法画y=Asin(ωx+φ)的图象。
例 1、作y=2sinx2+p3的图象
解：周期T=4π， x 振幅A=2，
- 2p 3
p 3
4p 3
x+p 23
0
p 2
p
描点作图
y
02
0
7p 10p
3
3
3p
1) y=12sin2x+p6+45
xx|x=kp+p6,kZ
时y取得最大值 7
4
.
向左平移 p
2) 将y=sinx 横坐标缩短为原来的 1
2
纵坐标缩短为原来的 1
2
6
y=
sin
x+
p
6
y=
sin
2x+
p
6
y=
1 2
sin
2x+
p
6
向上平移 5
4
得 图 象
随堂练习
1、要得到y=sin(2x- p )的图象,只要将y=sin2x的图象
又将y=sin2x的图象沿x轴向左平移 p 个单位，则得到
三角函数的图像变换
cosθ = 邻边/斜边，在单位圆中表示为x坐标。
正切函数（tangent）
三角函数的周期性
tanθ = 对边/邻边，表示为正弦与余弦之比。
正弦、余弦函数周期为2π，正切函数周期为 π。
三角函数在各象限表现
第一象限
所有三角函数值均为正。
第三象限
正弦、余弦函数值为负，正切函数值为正。
第二象限
正弦函数值为正，余弦、正切函数值为负。
伸缩变换对正弦函数影响
横向伸缩
改变正弦函数图像的周期长度。缩小周期使得函数图像更加紧密，扩大周期则 使得函数图像更加稀疏。
纵向伸缩
改变正弦函数图像的振幅大小。增大振幅使得函数图像波动范围更大，减小振 幅则使得函数图像波动范围更小。
周期性与相位调整方法
周期性调整
通过改变正弦函数的周期来调整图像的疏密程度。可以通过调整函数中的系数来 实现周期的变化。
相位调整
通过改变正弦函数的相位来调整图像出现的位置。可以通过在函数中添加常数项 来实现相位的调整。同时，利用三角函数的和差化积公式，也可以实现相位的调 整。
03 余弦函数图像变换分析
余弦函数基本图像特征
波形图像
余弦函数图像呈现周期性波动，具有典型的波形 特征。
振幅和周期
余弦函数的振幅和周期是确定其图像形状和尺寸 的关键参数。
拓展：其他类型周期函数图像变换
锯齿波和方波
除了正弦波和余弦波外，还有其 他类型的周期函数如锯齿波和方 波等，它们的图像变换同样具有 实际应用价值。
周期函数的合成与分解
通过三角函数的线性组合可以合 成其他类型的周期函数；反之， 其他类型的周期函数也可以通过 傅里叶级数展开成三角函数的线 性组合。
高中数学正弦函数的图象与性质
当０＜ω＜1时，y sin x
横坐标伸长到原来的 倍 纵坐标不变
练习：
x 1．为了得到函数 y sin , x R 的图象，只需把正弦曲线上的所有的 5 点的（ A ）
A．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变． 1 B．横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变． 5
C．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变． 1 D．纵坐标缩短到原来的 倍，横坐标 1
y
2 1
2
0 1
3 2
2 0 1 步骤： 1.列表 2.描点 3.连线
1 2
-1 0
1+sinx
y=1+sinx，x[0, 2]
2
o -1
2
x 3 2 2 y=sinx，x[0, 2]
观察下列正弦型函数,是由正弦曲线怎样得到的?先 平移再缩小或扩大横坐标,或先伸缩横坐标再平移都 可以.
( 2 ,0) 2 3 4
5
6
3 ( ,-1) 2
x
3.正弦函数的性质
观察图像，y=sin x的定义域：R
y=sin x 的值域为[-1,1]。
那么正弦函数还有哪些性质呢？
观察正弦曲线，每隔2个单位长度，其图像有什么 变化？ 从三角函数诱导公式也可得出，对于任意一个角 x， 都有 sin( x 2k ) sin x 特别的，当k=1时，有
2
o -1
2
3 2
2
x
y=sinx x[0,2] y=sinx xR
y
1
正弦曲 线
2
-4
-3
-2
-
o
-1
3
1.5正弦型函数图象的平移和伸缩变换
向右平移 个单位
y sin x
3
y
sin(x
3
)
纵坐标不变 横坐ห้องสมุดไป่ตู้变为原来的1
倍
y sin(2x )
3
2
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
法二：先伸缩（ 变换）后平移（ 变换）：
纵坐标不变
y sin x 横坐标变为原来的1 倍 y sin 2x 2
函数y Asin(x ) b的图象
A是振幅：A变换也叫振幅变换；
T为周期：T 2 ，变换也叫周期变换；
f是频率：f 1 ; T
x 是相位：变换也叫相位变换； 是初相：x 0时的相位.
要得到y 3sin(2x ) 1的图象,需将y sin x的图象作怎样的变换？
3
法一：先平移（ 变换）后伸缩（ 变换）：
向右平移 个单位 6
y sin(2x )
3
横坐标不变 总坐标变为原来的3倍
y 3sin(2x ) 向上平移1个单位
3
y 3sin(2x ) 1
3
总结：1.箭头图：起始→终止；
2. 四个数据，四个变换：先：， 后：A，b
正弦函数余弦函数的图像与性质
三角函数在物理学中的应用
振动与波动
正弦和余弦函数是描述简谐振动和波动的基本函 数，广泛应用于声学、光学等领域。
交流电
交流电的电压和电流是时间的正弦或余弦函数， 用于驱动各种电器设备。
磁场与电场
在电磁学中，正弦和余弦函数用于描述磁场和电 场的分布和变工程中的许多振动问题都可以用 正弦和余弦函数来描述，如桥梁 振动、车辆振动等。
周期性
正弦函数具有周期性， 其周期为2π。
奇偶性
正弦函数是奇函数，满 足sin(-x) = -sin(x)。
余弦函数的定义
定义
余弦函数是三角函数的另一种形式，定义为直角三角形中锐角的邻边与斜边的比值，记作 cos(x)。
周期性
余弦函数也具有周期性，其周期为2π。
奇偶性
余弦函数是偶函数，满足cos(-x) = cos(x)。
奇偶性
总结词
正弦函数是奇函数，而余弦函数是偶 函数。
详细描述
奇函数满足$f(-x) = -f(x)$，偶函数满 足$f(-x) = f(x)$。对于正弦函数， $sin(-x) = -sin(x)$；对于余弦函数， $cos(-x) = cos(x)$。
最值与振幅
总结词
正弦函数和余弦函数都具有最大值和最小值，这取决于它们的振幅。
正弦函数余弦函数的图像与性质
目录
• 正弦函数与余弦函数的定义 • 正弦函数与余弦函数的图像 • 正弦函数与余弦函数的性质 • 正弦函数与余弦函数的应用 • 正弦函数与余弦函数的扩展知识
01 正弦函数与余弦函数的定 义
正弦函数的定义
定义
正弦函数是三角函数的 一种，定义为直角三角 形中锐角的对边与斜边 的比值，记作sin(x)。
正弦函数图象及其变换
π π π 2π 6 3 2 3 3 1 3 1 2 2 2
5π π 7π 4π 3π 5π11π 6 6 3 2 3 6 2π 3 3 10 1 0 1 1 1 2 2 2 2 2
.
π/2
o1
A
.o
-1
. π
3π/2
2
.π
x
.
函数y=sinx, x∈[0,2π]的图象 函数 ∈ π 的图象
五点画图法
A
y=
1 2
5π π 12
A
-A
0
5π π 6
x
(3) y=sin2x
解: x 2x 0 0
π 4 π 2 π 2 3π 4 π 3π 2π π 2
1 (4) y=sin x 2
x
1 x 2 1 sin x 2
0 0 0
π
π 2
2π 3π 4π π π π
π
π
3π 2π π 2
sin2x 0 y 1 o -1
π/2
y=1+sinx, x∈[0,2π] ∈ π
.
π 3π/2
.
o
.
2π
实质: 实质:f(x)=sinx向左平 向左平 移π/2,即f(x+π/2)=sin , (x+ π/2)=cosx
y
1
π -4
π -3
π -2
-π
-1
o
π/2 π 3π/2 2 π
3 π
4 π
x
函数y=cosx x∈R的图象 函数 ∈ 的图象
变换后正弦函数的五点法作图
y=Asin(wx+φ)(A>0, w>0)中的常数 ,w, φ 中的常数A, , 中的常数 的作用 正数A决定了? 正数 决定了? 决定了
高中数学三角函数图像的性质及变换规律
高中数学三角函数图像的性质及变换规律三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们的图像性质及变换规律是我们学习和应用三角函数的基础。
在本文中，我将详细介绍正弦函数、余弦函数和正切函数的图像性质，并讨论它们的平移、伸缩和翻转变换规律。
一、正弦函数的图像性质及变换规律正弦函数的图像是一条连续的波浪线，它的周期是2π，振幅为1。
正弦函数的图像在原点处有一个特殊点，即(0, 0)，称为正弦函数的零点。
正弦函数的图像在每个周期内呈现对称性，即关于y轴对称。
下面我们来看一个具体的例子：求解方程sin(x) = 0.5在区间[0, 2π]内的解。
首先，我们可以通过观察正弦函数的图像，知道sin(x) = 0.5有两个解，一个在第一象限，一个在第二象限。
我们可以通过求解sin(x) = 0.5的解析解来验证这一点。
sin(x) = 0.5的解析解为x = π/6 + 2πn和x = 5π/6 + 2πn，其中n为整数。
在区间[0, 2π]内，满足sin(x) = 0.5的解为x = π/6和x = 5π/6。
这个例子说明了正弦函数的图像性质，以及如何通过观察图像来快速得到方程的解。
二、余弦函数的图像性质及变换规律余弦函数的图像也是一条连续的波浪线，它的周期也是2π，振幅为1。
余弦函数的图像在原点处有一个特殊点，即(0, 1)，称为余弦函数的最大值点。
余弦函数的图像在每个周期内呈现对称性，即关于y轴对称。
下面我们来看一个具体的例子：求解方程cos(x) = -0.5在区间[0, 2π]内的解。
根据余弦函数的图像性质，我们可以知道cos(x) = -0.5有两个解，一个在第二象限，一个在第三象限。
我们可以通过求解cos(x) = -0.5的解析解来验证这一点。
cos(x) = -0.5的解析解为x = 2π/3 + 2πn和x = 4π/3 + 2πn，其中n为整数。
在区间[0, 2π]内，满足cos(x) = -0.5的解为x = 2π/3和x = 4π/3。
正弦三角函数的图像与性质
知识探究（二）：周期概念的拓展
思考1：函数f(x)=sinx（x≥0）是否为 周 期 函 数 ？ 函 数 f(x)=sinx （ x≤0 ） 是 否为周期函数？
4.一个函数总具有许多基本性质，要直 观、全面了解正、余弦函数的基本特性， 我们应从哪个方面人手？
精品课件
精品课件
知识探究（一）：正弦函数的图象 思考1：作函数图象最原始的方法是什么？
思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在 [0，2π]内的图象，可取哪些点？
思考3：如何在直角坐标系中比较精确地 描出这些点，并画出y=sinx在[0，2π] 内的图象？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
精品课件
思考7：函数y=sinx，x∈R的图象叫做 正弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？
-6π -4π -2π -5π -3π
y 1
-π
O
-1
π
3π 5π
2π 4π
6πx
精品课件
思考8：你能画出函数y=|sinx|， x∈[0，2π]的图象吗？
事2
物
都
呈
现
“
周
而
复
始
”
的变化规律，如年有四季更替，月有阴
晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，
在函数领域里，周期性是函数的一个重
要性质.
精品课件
精品课件
知识探究（一）：周期函数的概念 思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔2π个单位重复出现， 这一规律 的理论依据是什么？
. s in (x 2 k) s in x (k Z )
高二数学正弦函数的图像与性质1(新编201908)
课件3：1.3.1 正弦函数的图像与性质
(2) 当3x+ =2k+ 即 x= 2k (kZ)时, y的最
4
2
3 12
大值为0.
例题
例3、求下列三角函数的周期：
(1)y=sin(x+ )； (2) y=3sin( + x )
3
52
(3) y=|sinx|
解： (1) 令z= x+ 而 sin(2+z)=sinz
3
即：f (2+z)=f (z) ,
例题
例2、利用正弦函数的图象，求满足下列条件的x 的集合：sin x 1
2
解：在y轴上取点(0, 0.5)，过该点作x轴的平行线,与正弦
函数图象相交于点 ( , 1) (5 , 1) 等，所以不等式的解集
是 {x | 2k
6
x 2k
2
5
62
,k Z}
6
6
2、正弦函数的性质
由正弦函数y=sinx的作图过程以及正弦函数的 定义，容易得出正弦函数y=sinx还有以下重要性质.
1、正弦函数的图象
1、正弦函数的图象
第三步：连线，用光滑曲线把这些正弦线的终点连 结起来，就得到正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图 象．
1、正弦函数的图象
1、正弦函数的图象
以上我们作出了y=sinx，x∈[0，2π]的图象，因 为sin(2kπ+x)=sinx (k∈Z)，所以正弦函数y=sinx在 x∈[－2π，0]，x∈[2π，4π]，x∈[4π，6π]时的图象 与x∈[0，2π]时的形状完全一样，只是位置不同。
2、正弦函数的性质
(5)单调性
从y＝sinx的图象上可看出：
当x∈
[ , ]
正弦型函数的图像与性质(课堂PPT)
当函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))表示一个
简谐振动时，则A叫做振幅，T＝
2π ω
叫做周期，f＝
1 T
叫做频率，
ωx＋φ叫做相位，x＝0时的相位φ叫做初相．
第三章 第4讲
第12页
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学（文）
[填一填]
抓住2个必备考点 突破3个热点考向 破译5类高考密码 迎战2年高考模拟
抓住2个必备考点 突破3个热点考向 破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
1个特别提醒——图象平移时必须注意的一个问题 由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单 位数应为|ωφ |，而不是|φ|.原因在于相位变换和周期变换都是针对x 而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
第4讲 正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
第三章 第4讲
第2页
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学（文）
抓住2个必备考点 突破3个热点考向 破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
1．了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝Asin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．
第三章 第4讲
第3页
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学（文）
抓住2个必备考点 突破3个热点考向 破译5类高考密码
迎战2年高考模拟
限时规范特训
2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三 角函数解决一些简单的实际问题.
第三章 第4讲
第4页
金版教程 ·高三一轮总复习 ·新课标 ·数学（文）
正弦函数、余弦函数的图像
2.“五点法”作正弦函数、余弦函数的简图. 教
学难点：正弦函数的作图；正弦函数与余弦函数图象间的关
系.
本节课的易错点是：
1、画正弦函数图像为什么借助定义出发利用单位圆去作图，
而不使用描点法？
实际上，直接描点画图不仅不够精确，它也剥离了函数图像与三
角函数定义之间内在的逻辑联系，使得函数图像徒有其“形”而少
y=-cosx
x
[0,2 ]
●
1
o
3
2
●
2
●
3
2
2
●
x
y
2
y=1+sinx x
2 ]
1
o
1
2
y
1
o
1
2
[0,
3
2
x
3
2
x
函数y=1+sinx的
图象与函数
y=sinx的图象有
什么关系？
y=sinx
2
x [0,
可以利用函数图象变换
2 ] 来作出函数图象
y=cosx
x
函数y=-cosx的图
[0, 2 ]
0
sinx
0
y
3
2
2
0
-1
0
1
2
1
o
-1
2
3
2
2
x
探究3：能借助正弦函数的图像画出余弦函数 y
？
诱导公式： ( +
)
2
cos x 的图象吗
=
由此可知，余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线向左平移
正弦型函数图像及性质(学生用)
北师大版高一数学三角函数 函数)sin(ϕϖ+=x A y 的图像知识点梳理1．,,A ωϕ的物理意义当sin()y A x ωϕ=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T πω=称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数。
x ωϕ+称为相位，0x =时的相位ϕ称为初相。
2.图象的变换例 ： 画出函数3sin(2)3y x π=+的简图。
解：函数的周期为22T ππ==，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用五点法画图：x6π-12π 3π 712π 56π 23x π+0 2ππ 32π 2π3sin(2)3x π+3 03- 0函数3sin(2)3y x π=+的图象可看作由下面的方法得到的：①sin y x =图象上所有点向左平移3π个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3y x π=+的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3y x π=+的图象。
一般地，函数sin()y A x ωϕ=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到：①把正弦曲线上所有点向左（当0ϕ>时）或向右（当0ϕ<时）平行移动||ϕ个单位长度；②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。
即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。
问题：以上步骤能否变换次序？∵3sin(2)3sin 2()36y x x ππ=+=+，所以，函数3sin(2)3y x π=+的图象还可看作由下面的方法得到的：①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到函数sin 2y x =的图象；②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6π个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的图象；③再把函数sin 2()6y x π=+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2()6y x π=+的图象。
正弦、余弦、正切函数的图象与性质
讲解新课：正弦、余弦函数的图象（1）函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.第二步：在单位圆中画出对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.第三步：连线.用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.（2）余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线 根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移2π单位即得余弦函数y=cosx 的图象.y=cosxy=sinxπ2π3π4π5π6π-π-2π-3π-4π-5π-6π-6π-5π-4π-3π-2π-π6π5π4π3π2ππ-11y x-11o xy（3）用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0) 余弦函数y=cosx x [0,2]的五个点关键是哪几个(0,1) (2π,0) (,-1) (23π,0) (2,1)讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， （2）y=-COSx探究 如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到 （1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象； （2）y=sin(x- π/3)的图象小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。
正弦函数、余弦函数的图象和性质
7 6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
x
-
图象的最低点 ( ,1)
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
例1．画出下列函数的简图
（1）y=sinx+1, x∈[0,2π]
（2）y=－cosx , x∈[0,2π] 解:（2 1）列表
xx
cos x x 01 sin sin cosx x 1 1 -1
2。用平移诱变法，由正弦图象平移得到佘弦 函数图象，这不是新问题，在函数一章学习 平移作图时，就使用过，请同学多作比较。 应该说明的是平移量是不唯一的，方向也可 左可右。
单位 ：蠡县南庄实验中学 网址 ：
;
/
y sin x, x [0,2 ]
2
2 2
xx
y cos x, x [0,2 ]
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
练习：（1）作函数 y=1+3cosx，x∈[0,2π]的简图 (２)作函数 y=2sinx-1，x∈[0,2π]的简图
（1） y
x
总结提炼
1。本节课介绍了四种作函数图象的方 法，其中五点作图法最常用，要牢记五 个关键点的选取特点。
-1
o
-1 -
6
2
3
2 3
5 6
7 6
4 3
2
x
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点) (3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
-
图象的最低点 ( 3 ,1)
2
4.8 正弦函数.余弦函数的图象和性质
利用变换法作余弦函数的图像
正弦函数图像变换性质(新)
函数sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>的图象与性质（一）一、教学目标：1.能借助计算机课件，通过探索、观察参数A 、ω对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种 变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。
2.通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到 一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。
二、教学重点：用参数思想分层次、逐步讨论字母A 、ω变化时对函数图象的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ω x+φ)图象的简图的作法。
三、教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。
因为相对来说A 对图象的 影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这种图象变化，不会观察，造成认知难点。
三、教学方法：归纳，猜想，论证；使用geogebra 软件。
四、教学过程： 一、实例引入： 1、创设情境：我们之前学过正弦，余弦函数的图像及性质，生活中处处都有它的应用，比如大家的声音就是不同的正弦波叠加形成的，物理中的振动图像，波动图像也都与之相关。
今天我们就要研究)sin(ϕω+=x A y 这个函数的图像及部分性质。
2、问题提出：那么我们如何来画出这种函数的图象呢？这些函数又有那些性质呢？下面我们从特殊的几个函数开始研究。
二、解决问题：例1、画出函数2sin ,[0,2]y x x π=∈与1sin ,[0,2]2y x x π=∈的简图； 解：“五点法作图”的步骤为：列表，描点，连线。
描点画图：然后我们利用其周期性，把它们在[0，2π]上的简图向左，右分别扩展，便可得到它们的简图。
问题1：大家观察一下，把它们与sin ,y x x R =∈比较，有什么联系？其哪些性质发生了变化？归纳：1、2sin ,y x x R =∈的图象可以看作把sin ,y x x R =∈上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍 （横坐标不变）而得到； 函数的值域变为了[-2，2]2、1sin ,2y x x R =∈的图象可以看作把sin ,y x x R =∈上所有的点的纵坐标缩短到原来的12倍 （横坐标不变）而得到；函数的值域变为了[11,22-]问题2：请大家思考：若换成一般情况sin ,y A x x R =∈，你能归纳出它与sin ,y x x R =∈ 的联系吗？ 猜想： 一般地,函数sin ,y A x x R =∈, (其A>0,且A ≠1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A 倍(横坐标不变)而得到.函数sin ,y A x x R =∈的值域是[-A ，A]，maxmin ,y A y A ==-问题3：能否解释：图形随着A 的变化而如此变化的现象呢？启发：打开Geogebra 软件，演示两点A )sin 2,(),sin ,(ααααB 分别在α的变化过程中产生的轨迹。
正弦函数图像的变换
小结： （1）三角函y=Asin(ѡx+φ ) 的五点作图法. （3）注意变换的语言叙述.
正弦函数图像的变换
方法二：先伸缩后平移 对 y=Asin(ѡx+φ )图像可以看作由 y=sinx图像上所有点的横坐标缩短（当 ѡ>1时)或伸长（当0< ѡ <1时)到原来的 1/ ѡ倍（纵坐标不变），再向左（当 φ >0时)或向右（当φ <0时)平移φ /ѡ个 单位，再把所得个点的纵坐标伸长(当 A>1时）或缩短（当0 <A < 1时）到原来 的A倍（横坐标不变）.
正弦函数图像的变换
正弦函数图像变换
1 两种变换方法
2例
3小
题
结
正弦函数图像的变换
方法一：先平移后伸缩 对 y=Asin(ѡx+φ )图像可以看作由 y=sinx图像上所有点先向左（当 φ >0时) 或向右（当φ <0时)平移φ 个单位，再把 所得个点的横坐标缩短（当ѡ>1时)或伸 长（当0< ѡ <1时)到原来的1/ ѡ倍（纵 坐标不变），再把所得个点的纵坐标伸 长(当A>1时）或缩短（当0 <A < 1时） 到原来的A倍（横坐标不变）.
正弦函数及其图像变换
周期变换
周期缩短：正弦函数的图像 在周期内进行平移，使得图 像的周期缩短。
周期延长：正弦函数的图像 在周期内进行平移，使得图 像的周期延长。
周期变换规律：正弦函数的 图像变换遵循一定的规律，
即周期变换规律。
周期变换的应用：周期变换 在信号处理、振动分析等领
域有着广泛的应用。
相位变换
相位变换的概念：通过改变正弦函数的相位，使其在时间上移动。
信号处理：正弦函数在信号处理领 域中用于滤波、调制和解调等操作， 提高信号质量和通信效率。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
交流电：正弦函数用于描述交流电 的电压和电流，广泛应用于电力传 输和分配。
物理实验：在物理实验中，正弦函 数常用于测量、分析和建模各种物 理现象，如光干涉、衍射等。
在工程学中的应用
正添加弦副函标数题 及其图像 变换
汇报人：XX
目录
PART One
正弦函数的性质
PART Two
正弦函数的图像 变换
PART Three
正弦函数的应用
PART Four
正弦函数的扩展弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，其中x是角度，y是正弦值。
正弦函数的周期为360度，即每隔360度重复一次。
正弦函数的图像是一个周期性变化的波形，最高点为1，最低点为-1。 正弦函数的表达式可以表示为y=Asin(ωx+φ)，其中A是振幅，ω是角频 率，φ是初相。
周期性和振幅
正弦函数的周期性：正弦函数在一定周期内呈现规律性的变化，其周期为2π。 正弦函数的振幅：振幅是正弦函数图像在垂直方向上的最大或最小值，表示函数值的波动幅度。
三角函数的积化和差公式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的图象与性质（一）
1、教学目标：1.能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种
变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。
2.通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到
一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。
2、教学重点：用参数思想分层次、逐步讨论字母A、ω变化时对函数图象的形状和位置的影响,掌握函数y=Asin(ω
x+φ)图象的简图的作法。
3、教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。
因为相对来说A对图象的
影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这种图象变化，不会观察，造成认知难点。
3、教学方法：归纳，猜想，论证；使用geogebra软件。
4、教学过程：
一、实例引入：
1、创设情境：
我们之前学过正弦，余弦函数的图像及性质，生活中处处都有它的应用，比如大家的声音就是不同的正弦波叠加形成的，物理中的振动图像，波动图像也都与之相关。
今天我们就要研究这个函数的图像及部分性质。
2、问题提出：
那么我们如何来画出这种函数的图象呢？这些函数又有那些性质呢？下面我们从特殊的几个函数开始研究。
2、解决问题：
例1、画出函数与的简图；
解：“五点法作图”的步骤为：列表，描点，连线。
010-10
020-20
000
描点画图：
然后我们利用其周期性，把它们在[0，]上的简图向左，右分别扩展，便可得到它们的简图。
问题1：大家观察一下，把它们与比较，有什么联系？其哪些性质发生了变化？
归纳：1、的图象可以看作把上所有的点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到；函数的值域变为了[-2，2]
2、的图象可以看作把上所有的点的纵坐标缩短到原来的倍
（横坐标不变）而得到；函数的值域变为了[]
问题2：请大家思考：若换成一般情况，你能归纳出它与的联系吗？
猜想：一般地,函数, (其A>0,且A1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有点的纵
坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
函数的值域是[-A，A]，
问题3：能否解释：图形随着A的变化而如此变化的现象呢？
启发：打开Geogebra 软件，演示两点A分别在的变化过程中产生的轨迹。
论证：函数的图像都是由其中每一个点构成，对于中任意一个点而言，
当函数变为，其中对应点的横坐标不变，纵坐标变为即，
每个点都伸长或者缩短A倍，图形也自然会有相应的变化。
【说明】1、在物理上，A称为振幅，我们把这种变换称为振幅变换。
这其实就是我们正弦波的响度！
2、在变动中，变的是纵坐标，不变的是横坐标，伸长时
A>1，缩短时0<A<1
3、规定的A>0，解释振幅的定义：物体离开平衡位置的距离。
例2．画出函数与的简图。
解：令（换元法）
列表2：
010-10
描点作图：
令，则（换元法）
010-10
描点作图：
同理，利用它们的周期性，把它们分别向左，右扩展得到它们在R上的简图。
问题1：观察一下,它们与比较，有什么联系？其哪些性质发生了变化？
归纳：1、的图象可以看作把上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）而得到；
函数的定义域、值域和奇偶性不变，周期变为原来的倍，单调区间也发生了改变。
2、的图象可以看作把上所有点的横坐标伸长到原来的2倍
（纵坐标不变）而得到；
函数的定义域、值域和奇偶性不变，周期变为原来的2倍，单调区间也发生了改变。
问题2：如果换成一般情况，你能归纳出它与的联系吗？
猜想：一般地,函数, (其>0,且1)的图象,可以看作是把正弦曲线上所有
点的横坐标伸长(当0<<1时)或缩短(当>1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
函数的中决定了其周期，所以我们把这一变换称为周期变换。
问题3：能否解释：图形随着的变化而如此变化的现象呢？
启发：打开Geogebra 软件，演示两点A分别在的变化过程中产生的轨迹。
论证：函数的图像都是由其中每一个点构成，对于中任意一个点而言，
当函数变为，其中对应点的纵坐标不变，横坐标变为即，说明：1）列表时，x轴上的五个值怎样计算：换元法，解5个一元一次方程。
2）周期变换中，强调是“x轴上的所有点伸长或缩短”；“纵坐标不变”。
3）强调与振幅变换的区别：振幅变换是原来的A倍，周期变换是原来的。
决定声音的音调。
3、小结（结合geogebra软件）
4、应用
1.作出函数在长度为一个周期的闭区间上的大致图像，并说明的图像是由函数
的图像经过怎样的变换得到的.并分析说明该函数的函数性质。
2.利用Geogebra软件将按照原点放缩3倍形成的函数图像，求该函数对应解析式。
3.作出在一个周期中的简图，并说明如何由变换得到。