面面垂直的判定定理及性质定理
面面垂直的判定定理及性质定理
性质定理：如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。如果两个平面相互垂直，那么经过第一个平面内的一点作垂直于第二个平面的直线在第一个平面内等。
定义：
若两个平面的二面角为的直二面角(平面角就是直角的二面角)，则这两个平面互相横向。
1、如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的.直线垂直于另一个平面。
2、如果两个平面相互横向，那么经过第一个平面内的一点并作旋转轴第二个平面的直线在第一个平面内。
3、如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。
4、如果两个平面互相横向，那么一个平面的垂线与另一个平面平行。(认定定理推断1的逆定理)
线面、面面平行和垂直的八大定理
线面、面面平行和垂直的八大定理 一、线面平行。 1、判定定理：平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与这个平 a a P' b 二.?「a// ■- 面平行。符合表示：a//b 2、性质定理：如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交， 那么这条直线和交线平行。符号表示： a広o a//? =■ a//b a -: -b 二、面面平行。 1、判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条 相交直线，那么这两个平面平行。 n 〃b " m // a a"b = M m □ n = N 符号表示： 2、性质定理：如果两个平面平行同时与第三个平面相交，那它们的交线平行。 a //P ] 符号表示：: =| = l//d （更加实用的性质：一个平 厂L： d 面内的任一直线平行另一平面） 三、线面垂直。 1、判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直 线垂直这个平面符号表示:
$:三垂线定理：（经常考到这种逻辑）在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
符号表示: oA 二、： po -: 2、性质定理：垂直同一平面的两条直线互相平行。（更加实用的性质是：一个平面的垂线垂直于该平面内任一直线。） 四、面面垂直。 1、判定定理：经过一个平面的垂线的平面与该平面垂直。 a _ ■ ,a---: 2、性质定理：已知两个平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面：=b, a x 上，a_b= a -:
Welcome !!! 欢迎您的下载, 资料仅供参考!
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系 1.线面垂直 直线与平面垂直的判定定理:如果 ,那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式: 直线与平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2.面面垂直 两个平面垂直的定义:相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理:(线面垂直?面面垂直) 如果 ,那么这两个平面互相垂直。 推理模式: 两平面垂直的性质定理:(面面垂直?线面垂直) 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系 为:线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面就是判定定理,而从后面推出前面就是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明. 例题:1.如图,AB 就是圆O 的直径,C 就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC. (1)求证:平面PAC ⊥平面PBC; (2)若D 也就是圆周上一点,且与C 分居直径AB 的两侧,试写出图中所有互相垂直的各对平面.
2、如图,棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 就是菱形,11B C A B ⊥ 证明:平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -中,AB=AD=1,AA 1=2,M 就是棱CC 1的中点 (Ⅰ)求异面直线A 1M 与C 1D 1所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1 4、如图,AB 就是圆Ｏ的直径,Ｃ就是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,Ｅ为垂足,Ｆ就是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .
平面与平面垂直的性质和判定
判定定理：如果一个平面经过另一个平面的 ，那么这两个平面互相垂直。 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。 面面垂直的判定方法 ① 面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是 ②面面平行的性质结论：γαβα⊥,//⇒βγ⊥ 平面与平面垂直的性质 一、 选择题： 1、下列命题中，不正确的是（ ） A. 一条直线垂直于平面内无数条直线，则这条直线垂直于这个平面 B. 平面的垂线一定与平面相交 C. 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 D. 过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 2、已知平面a ⊥平面β，l =βα ，点P ∈l ，则给出下面四个结论： ①过P 和l 垂直的直线在平面α内； ②过P 和平面β垂直的直线在平面α内； ③过P 和l 垂直的直线必与β垂直； ④过P 和平面β垂直的平面必与l 垂直。其中真命题是：（ ） A. ② B. ③ C. ①、④ D. ②、③ 3、夹在直二面角两个半平面间的一条线段与两个平面所成的角分别是30°和45°，如果这条线段的长是5，则它在二面角棱上的射影长为（ ） A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 8 4、关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题： ①βα//,//n m 且βα//，则n m //； ②βα⊥⊥n m ,且βα⊥，则n m ⊥； ③βα//,n m ⊥且βα//，则n m ⊥； ④βα⊥n m ,//且βα⊥，则n m //. 其中真命题的序号是（ ） A. ①、② B. ③、④ C. ①、④ D. ②、③ 5、设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面.考查下列命题，其中正确的命题是（ ）
线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质
空间中的垂直关系 1．线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果 ，那么这条直线垂直于这个平面。 推理模式： 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线 。 2．面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：（线面垂直?面面垂直） 如果 ，那么这两个平面互相垂直。 推理模式： 两平面垂直的性质定理：（面面垂直?线面垂直） 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 的直线垂直于另一个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系 为：线线垂直???→←???判定性质线面垂直???→←???判定性质 面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明．
例题：1．如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆周上一点，PA ⊥平面ABC ． （1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）若D 也是圆周上一点，且与C 分居直径AB 的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面． 2、如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ 证明：平面1AB C ⊥平面11A BC 3、如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB=AD=1，AA 1=2，M 是棱CC 1的中点 （Ⅰ）求异面直线A 1M 和C 1D 1所成的角的正切值； （Ⅱ）证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M 1
线线垂直线面垂直面面垂直的判定与性质
空间中的垂直关系 1线面垂直 直线与平面垂直的判定定理：如果________________________________ ,那么这条直 线垂直于这个平面。 推理模式：_________________________ 直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直 线 _______ O 2. 面面垂直 两个平面垂直的定义：相交成_________________ 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理：(线面垂直面面垂直) 如果_______________________________________________ ,那么这两个平面互相垂直。 推理模式：_________________________ 两平面垂直的性质定理：(面面垂直线面垂直) 若两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 ________________ 的直线垂直于另—个平面。 一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线 垂直判定线面垂直判定面面垂直•这三者之间的关系非常密切， 性质性质 可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理•同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，下面举例说明. 例题：1 •如图，AB是圆0的直径，C是圆周上一点，P从平面ABC (1) 求证：平面PACL平面PBC (2) 若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 2、如图，棱柱ABC A伯C1的侧面BCCB是菱形,BC AB 证明：平面ABiC平面ABCi 3、如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB=AD=1 AA=2, M是棱CC的中点 (I)求异面直线AM和GD所成的角的正切值； (U)证明：平面ABML平面A1B1M 4、如虱AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA平面ABC若AEL PC, E为垂足，F是PB上任意一点，求证：平面AEFL平面PBC
高中数学总结归纳 点击面面垂直的判定与性质
点击面面垂直的判定与性质 一、面面垂直的判定与性质 1.两个平面垂直的定义：如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直. 2.两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直. 3.两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直. 二、证明面面垂直的基本方法有： （1）利用定义证明，即利用两平面相交成直二面角来证明； （2）利用面面垂直的判定定理证明，即若a ⊥β，a α⊂，则α⊥β 在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用. 三、典例选析 例1．如下图，过S 引三条长度相等但不共面的线段SA 、SB 、SC ，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC ⊥平面BSC. 剖析：本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据已知条件的特点，取BC 的中点O ，连结AO 、SO ，既可证明AO ⊥平面BSC ，又可证明SO ⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS 是二面角A —BC —S 的平面角，转化为证明∠AOS 是直角. 证法一：取BC 的中点O ，连结AO 、SO.∵AS=BS=CS ，SO ⊥BC ， 又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC ，从而AO ⊥BC. 设AS=a ，又∠BSC=90°，则SO= 2 2 a.又AO=22BO AB -=2221a a -=