例说中学数学部分问题的高等数学背景

例说中学数学部分问题的高等数学背景
随着新课程标准的实施，在近几年的高考中出现了一些有着一定高等数学背景的试题，这类题目形式新颖，既能开阔数学视野，有利于完成高等数学与初等数学的衔接，又能有效地考查考生的学习潜能。

因此，这类以高等数学为背景的高考试题成为高考中的一道新风景。

所以，在中学数学教学中应注意高等数学思想和知识的渗透， 同时注意这方面的能力培养，适当地对初等数学与高等数学的衔接处进行探究，这样有利于提高学生分析解决问题的能力。

1 .以凹凸函数概念为背景
凹凸函数的概念:
（1） f(x)是(a ,b)内的凹函数是指对任意x 1 ,x 2∈(a ,b) 有f(λ1x 1 +λ2x 2)≤λ1f(x 1)+λ2f(x 2) (其中λ1+λ2 = 1，λ1 > 0 ,λ2 > 0)。

若当且仅当x 1 = x 2 时取“=”,则称f(x) 严格下凹。

(2) f(x)是(a ,b)内的凸函数是指对任意x 1 , x 2 ∈ (a ,b) 有f(λ1x 1 +λ2x 2 )≥λ1f(x 1)+λ2f(x 2) (其中λ1 +λ2 = 1 ,λ1 >0 ,
λ2 > 0)。

若当且仅当x 1 = x 2 时取“=”,则称f(x)严格上凸.
判断函数凹凸性的常用方法:若函数f(x)在区间(a ,b)二阶可导,且f ″(x)>0(< 0),则函数f(x)在(a ,b)内严格下凹(上凸)。

对于基本初等函数如二次函数、指数函数、三角函数等, 也可以通过函数图像直观判断其凹凸性.
例1在y = 2x , y =log2 x , y = x 2
, y = cos2 x 这四个函数中 0 <x 1<x 2 <1时,使()12 x x 2f + > ()12 x )( x 2
f f +恒成立的函数的个数是( ) 。

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
解析:当x ∈(0 ,1)时,(2x )″= 2x ln 2 2 > 0 ;(log 2 x)″= -
21ln 2x < 0 ；(x2)″= 2 > 0；(cos2x)″= - 4cos2 x ,当x ∈ (0 , 4
π) 时,(cos2x)″< 0；当x ∈ (4π,1)时,(cos2x)″> 0。

故函数y = log 2 x 在区间内为凸函数,满足题意,因此答案应为(B) . 评注:凹凸函数是高等数学的一类重要函数，自现行高中数学教材中新增了导数的内容后,以该类函数为背景的试题备受命题者的青睐. 本题若用初等数学解法求解, 关键是能正确理解式子()12 x x 2f +>()12 x )( x 2f f +的几何直观含义:在(0 ,1) 上,横坐标为x 1 , x 2 的中点122x x +的函数值 f (122
x x +) ,大于以点( x 1 , f ( x 1 ) ) 和点( x 2 ,f ( x 2 ) ) 为端点的线段的中点的纵坐标值()12 x )( x 2
f f +. 2 .以李普希茨( Lipschitz)条件为背景
若函数f(x)在区间I 上的导函数f ′(x)有界,则存在常数L ,使对I 上任意两点x 1 ,x 2 ,有|f(x 1)-f(x 2 )|≤L|x 1 -x 2|,此时称函数f(x) 在区间I 上满足李普希茨(Lipschitz) 条件.(其中L 为f ′
(x)的界,即满足|f ′(x)|≤L 的数L)
例4 在下列四个函数中,满足性质:“对于区间(1 ,2) 上的任意x 1 , x 2 (x 1≠x 2),|f(x 2)-f(x 1)|<|x 2-x 1|恒成立”的只有( ) . (A) f (x)=1x
(B) f(x)=|x| (C) f(x) = 2x (D) f(x) = x 2 解析:对于选项A 中的f ( x) =1x , f ′(x) =(1x )′= -21x
. 当x ∈(1,2)时,有-1< f ′(x)< -14
,即|f ′(x)|< 1. 因而对于区间(1 ,2) 上的任意x 1 ,x 2(x 1 ≠x 2 ) , | f ( x 2 ) - f ( x 1 ) | <| x 2 - x 1 | 恒成立. 对于选项(B)中的f(x)=|x|,当x ∈(1 ,2)时, f ′(x) = 1 ;
对于选项(C)中的f(x)=2x ,f ′(x) = (2x )′= 2x ln2 ;当x ∈(1 ,2) 时,f ′( x) > 1 ;
对于选项(D)中的f(x) = x 2 ,f ′(x)=(x 2)′= 2x ;当x ∈(1 ,2) 时,f ′(x) > 1.
由以上分析可知:选项(B)、(C)、(D)均不符合李普希茨(Lipschitz)条件;因此答案应选(A) . 评注:要判断函数f(x)是否符合题意,根据李普希茨( Lipschitz )条件,关键是探求导数f ′(x) 的界限.
3 .以闭区间上连续函数的介值性定理为背景
介值性定理 设f 在闭区间[ a , b] 上连续,且f(a)≠f(b) ,若μ为介于f(a) 与f(b) 之间的任何实数f(a)<μ<f(b)与f(a)>μ>f(b),则存在x 0∈(a,b)使f(x 0)=μ.
例1、设函数)ln()(m x x x f +-=，其中常数m 为整数.
(1). 当m 为何值时，0)(≥x f ；
(2). 定理：若函数)(x g 在[]b ,a 上连续，且)(a g 与)(b g 异号，则至少存在一点),(0b a x ∈使)(0x g =0. 试用上述定理证明：当整数m >1时，方程0)(=x f 在[,m e m --m e m -2]内有两个实根.
(1)、解：函数)ln()(m x x x f +-=，在),(∞+-∈m x 上连续，且m
x x f +-
='11)(，令0)(='x f ，得m x -=1.
当)1,(m m x --∈时，0)(<'x f ，)(x f 是减函数，)(x f )1(m f ->. 当),1(∞+-∈m x 时，)(x f '0>，)(x f 是增函数，)(x f )1(m f ->，故m m f -=-1)1(是)(x f 的极小值，且对),(∞+-∈m x 都有)(x f ≥m m f -=-1)1(. 所以当整数1≤m 时，)(x f ≥m -10≥.
(2)、证明：由(1)可知，当整数1>m 时，)ln()(m x x x f +-=在[,m e
m --m -1]上为连续减函数，且m m f -=-1)1(<0，
而)(m e f m --=)ln(m m e m e m m +-----=0>-m e ，即当整数1>m 时)(m e f m --与
)1(m f -异号. 由所给定理知，存在唯一的∈1x (,m e m --m -1)使0)(1=x f .
下面考察)(2m e
f m -的符号： 因为)(2m e f m -=m e m 32-，令=)(m u m e m 32-（1>m ），
则32)(2-='m
e m u ，因为1>m ，所以0)(>'m u ，则=)(m u m e m 32-在1>m 时单调递增，所以=)(m u m e m 32->)1(u =032>-e ，即)(2m e
f m ->0 . 故得)1(m f -与)(2m e f m -异号，又)ln()(m x x x f +-=在[m -1,m e m -2]上是连续增函数，由所给定理知存在唯一的∈2x (m -1,m e m -2)使)(2x f =0.
综上可得，当整数m >1时，方程0)(=x f 在[,m e m --m e m -2]内有两个实根.
评注:在高等数学中有些内容与中学数学比较靠近, 例如函数, 它既是中学数学的重要知识,也是在高等数学中继续深入研究的重要对象; 有些概念、结论只要稍作叙述,就能以中学数学的形式出现,这些试题既能考查学生能力,又有利于高等数学与中学数学在知识内容的衔接.。