含参变量积分的性质
含参量积分的分析性质及其应用
含参量积分的分析性质及其应用首先，含参量积分具有连续性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对于每个t ∈ [a, b]，函数F(x, t)在D上也是连续的，则对于t ∈ [a, b]，函数F(x, t)的积分函数∫F(x, t)dx在D上是连续的。
这个性质在函数的极限和连续性分析中起着重要的作用。
其次，含参量积分具有可微性。
设函数F(x, t)在区域D上可微且对于每个t ∈ [a, b]，函数的偏导数∂F/∂t也在D上是连续的，则对于t∈ [a, b]，积分函数∫F(x, t)dx在D上是可微的，并且有d/dt∫F(x, t)dx = ∫∂F/∂t dx。
这个性质在微分方程的研究中非常重要，可以用来求解一些复杂的变量关系。
此外，含参量积分还具有积分区间可微性。
设函数F(x, t)在区域D上连续且对t ∈ [a, b]，积分区间[a, b]上是可微的，则对于任意点x∈ D，积分∫F(x, t)dt的导数存在且有d/dx∫F(x, t)dt = ∫∂F/∂x dt。
这个分析性质对于求解偏微分方程、计算场的变化率等都有重要意义。
1. 曲线长度计算：曲线的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲线的长度。
例如，对于曲线x = f(t)，y = g(t)在区间[a, b]上的参数表示，可以通过计算∫sqrt(dx/dt)^2 + sqrt(dy/dt)^2 dt来得到曲线的长度。
2. 曲面面积计算：曲面的参数方程在一定范围内的积分可以得到曲面的面积。
例如，对于曲面z = f(x, y)在区域D上的参数表示，可以通过计算∬sqrt(1 + (df/dx)^2 + (df/dy)^2) dA来得到曲面的面积。
3.物理学中的应用：含参量积分广泛应用于物理学中的各种问题。
例如，对于质点在力场中的运动问题，可以通过计算质点在一段时间内的位移和力的乘积的积分来得到质点所受的总力。
4.工程学中的应用：含参量积分在工程学中也有许多应用。
13-高等数学第十三讲 含参量的积分
387第十三讲 含参量积分§13.1 含参量正常积分一、知识结构 1、含参积分 定义含参积分 ⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F .含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. （1）含参积分的连续性 定理1 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续.定理2 若函数),(y x f 在矩形域{}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=),()( ),(上连续, 函数)(x c 和)(x d 在] , [b a 上连续,则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上连续.（2）含参积分的可微性定理3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数⎰=dcdy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导, 且⎰⎰=dcdcx dy y x f dy y x f dxd ),(),(.即积分和求导次序可换.定理4 设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [q p b a D ⨯=上连续, 函数)(x c 和)(x d 定义在] , [b a 上其值域含于] , [q p 上的可微函数, 则函数⎰=)()(),()(x d x c dy y x f x F 在] , [b a 上可微, 且 ()())()(,)()(,),()()()(x c x c x f x d x d x f dy y x f x F x d x c x '-'+='⎰.(3) 含参积分的可积性定理5 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则函数388⎰=dcdy y x f x I ),()(和⎰=badx y x f y J ),()(分别在] , [b a 上和] , [ d c 上可积.定理6 若函数),(y x f 在区域] , [ ] , [d c b a D ⨯=上连续, 则⎰⎰⎰⎰=badcdcbadx y x f dy dy y x f dx ),(),(.即在连续的情况下累次积分可交换求积分的次序. 二、解证题方法例1 求⎰+→++αααα122.1limx dx例2 计算积分 dx xx I ⎰++=121)1ln(.例3 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续. 验证当||x 充分小时, 函数⎰---=xn dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ的1-n 阶导数存在, 且 )()()(x f x n =φ.§13.2 含参量反常积分一、知识结构 1、含参无穷积分含参无穷积分: 函数),(y x f 定义在) , [] , [∞+⨯c b a 上 (] , [b a 可以是无穷区间) .以⎰+∞=cdy y x f x I ),()(为例介绍含参无穷积分表示的函数)(x I .2. 含参无穷积分的一致收敛性逐点收敛(或称点态收敛)的定义:∈∀x ] , [b a ,c M >∃>∀ , 0ε,使得ε<⎰+∞Mdy y x f ),(.定义 1 (一致收敛性)设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上有定义.若对389c N >∃>∀ , 0ε, 使得当N M >,∈∀x ] , [b a 都有ε<-⎰Mcx I dy y x f )(),(即ε<⎰+∞Mdy y x f ),( 成立, 则称含参无穷积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上(关于x )一致收敛.定理1(Cauchy 收敛准则) 积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔,0>∀εM A A M >∀>∃21, , 0 , ∈∀x ] , [b a⇒ε<⎰21),(A A dy y x f 成立 .3、含参无穷积分与函数项级数的关系 定理2 积分⎰+∞=c dy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛⇔对任一数列}{n A )(1c A =,n A ↗∞+, 函数项级数∑⎰∑∞=∞=+=111)(),(n A A n nn nx udy y x f 在] , [b a 上一致收敛.4、含参无穷积分一致收敛判别法定理3（Weierstrass M 判别法）设有函数)(y g ,使得在) , [] , [∞+⨯c b a 上有)(|),(|y g y x f ≤.若积分∞+<⎰+∞)( cdy y g , 则积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.定理4（Dirichlet 判别法） 设⑴对一切实数,c N >含参量积分⎰Ncdy y x f ),(对参量x在] , [b a 上一致有界; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时,对参量x ,),(y x g 一致地收敛于0,则含参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.定理5（Abel 判别法） 设⑴含参量积分⎰+∞cdy y x f ),(在] , [b a 上一致收敛; ⑵对每个x ∈] , [b a ,函数),(y x g 为y 的单调函数且对参量x ,),(y x g 在] , [b a 上一致有界,则含390参量反常积分⎰+∞),(),(dy y x g y x f 在] , [b a 上一致收敛.5、含参无穷积分的解析性质含参无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质. （1）连续性定理6 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上连续. (化为级数进行证明或直接证明)推论 在定理6的条件下, 对∈∀0x ] , [b a , 有 ⎰⎰⎰∞+∞+∞+→→⎪⎭⎫ ⎝⎛==cccx x x x dy y x f dy y x f dy y x f .),(lim ),(),(lim000 （2）可微性定理7 设函数f 和x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上收敛,积分⎰+∞cx dy y x f ),(在] , [b a 一致收敛.则函数)(x I 在] , [b a 上可微,且⎰+∞='cx dy y x f x I ),()(.（3）可积性定理8 设函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续.若积分⎰+∞=cdy y x f x I ),()(在] , [b a 上一致收敛, 则函数)(x I 在] , [b a 上可积, 且有⎰⎰⎰⎰+∞+∞=baccbady y x f dy dy y x f dx ),(),(.定理9 设函数),(y x f 在) , []) , [∞+⨯∞+c a 上连续.若⑴⎰+∞adx y x f ),(关于y 在任何闭区间] , [d c 上一致收敛,⎰+∞cdy y x f ),(在任何闭区间] , [b a 上一致收敛;⑵积分⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(与⎰⎰+∞+∞cadx y x f dy ),(中有一个收敛,则另一个也收敛,且391⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=accady y x f dy dy y x f dx ),(),(.6、含参瑕积分简介（略）二、解证题方法例1 证明含参量非正常积分⎰+∞sin dy yxy 在) , [∞+δ上一致收敛,其中0>δ.但在区间) , 0 (∞+内非一致收敛.例2 证明含参无穷积分⎰∞++021cos dx xxy 在+∞<<∞-y 内一致收敛.例3 证明含参量反常积分⎰+∞-0sin dx xx exy在] , 0 [d 上一致收敛.例4 证明:若函数),(y x f 在) , [] , [∞+⨯c b a 上连续,又⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上收敛,但在b x =处发散,则⎰+∞cdy y x f ),(在) , [b a 上不一致收敛.例5 计算积分⎰+∞->>-=) , 0 ( , sin sin a b p dx xaxbx eI px例6 计算积分.sin 0dx xax ⎰+∞例7 计算积分⎰+∞-=0.cos )(2rxdx er xϕ例8（北京理工大学2008年）请分别用两种不同方法求()dx xx xI cos 1cos 1lncos 12αααπ-+⋅=⎰，1<α。
参变量积分
由复合函数的连续性
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))
在[0,1][c,d]上连续,由定理1,
F ( y)
在[c,d]上连续.
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
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定理4设f(x,y), fy(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续, a(y), b (y) 存在,且当y[c,d]时,
0
sin t dt 收敛,故对任意>0,存在M>0,使对任意 t
数学分析选讲
A >M>0,有
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sin t | dt | . A t 因此当Aa>M时,对任意x[a,+),有
Ax aA M ,
从而
|
Ax sin xy sin t dt || dy | . A t y
b( y )
a( y )
f ( x, y)dx
数学分析选讲
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证明：作积分变换 x a( y ) t (b( y ) a( y )), 则
F ( y)
b( y )
a( y )
1
f ( x, y)dx
f (a( y ) t (b( y ) a( y )), y )(b( y ) a( y ))dt ,
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定理5设函数f(x,y)在矩形[a,b,c,d]上连续,,是
d
c
dy f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy
b b d a a c
数学分析第十二章广义积分与含参变量积分
数学分析第十二章广义积分与含参变量积分第一，广义积分的概念和性质。
在数学分析中，我们通常通过定积分来求解曲线下面的面积。
然而，如果被积函数在有限区间上发散或无定义，就无法使用定积分。
这时，我们就需要用到广义积分。
广义积分可以看作是一些特殊函数的面积，其被积函数在有限区间上可能发散或无定义，但在无穷区间上是收敛的。
广义积分的概念可以统一定积分与不定积分的特点，并在此基础上建立一些重要的性质。
第二，广义积分的判定和应用。
对于广义积分的求解，我们需要先进行判定，即判断广义积分是否存在。
常用的判定方法有比较判定法、绝对收敛判定法、积分判别法等。
这些方法可以帮助我们准确地判断广义积分的存在性，并进一步应用于实际问题的求解。
广义积分在实际问题中的应用非常广泛，比如物理学、工程学等领域都需要用到广义积分的计算。
第三，含参变量积分的概念和性质。
含参变量积分是将被积函数中的参数视为独立变量进行积分。
含参变量积分可以看作是广义积分的一种特殊情况，其被积函数中的参数在一定范围内变化。
含参变量积分的性质与普通的定积分类似，可以满足线性性质、积分换序等性质。
同时，由于含参变量积分中的参数是变化的，所以可以应用于优化问题的求解，帮助我们找到最优解。
第四，含参变量积分的应用。
含参变量积分在实际中的应用非常广泛。
比如，在经济学中，我们可以用含参变量积分来求解收益函数或成本函数的最优解，从而确定最优生产方案。
在物理学中，我们可以用含参变量积分来求解一个变量随时间变化的过程，如物体的运动方程。
在金融学中，我们可以用含参变量积分来计算一些金融衍生品的价格，如期权的定价。
这些都是含参变量积分在实际问题中的应用。
综上所述，数学分析第十二章的广义积分与含参变量积分的概念、性质以及应用都非常重要。
通过对广义积分与含参变量积分的学习与理解，我们能够更好地理解数学中的积分概念，并应用于实际问题的求解。
数学分析第十二章提供了一种更加灵活且广泛的积分方法，对我们的数学思维与解决问题的能力都有很大的提升作用。
含参变量积分(课件+例题+论文)
含参量反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,) 上一致收敛.
例2 : 证明含参量反常积分 e xy sin x dx
0
x
在 [0,d] 上一致收敛.
证 : 由于反常积分 sin xdx 收敛
0x
(当然，对于参量y,它在[0, d ]上一致收敛)
函数g(x, y) exy对每个x [0, d ]单调且对任何
u 一致收敛的柯西准则:
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
条件是 0, M c,A1, A2 M ,x [a,b],都有
A2 f (x, y)dy . A1
u 一致收敛的充要条件;
含参量反常积分 f (x, y)dy 在 [a,b]上一致收敛的充要 c
解 :
记I ( )
1
1
dx x2
2
.
由于
,1
,
1
1 x2
2
都是和x的连续函数，
所以I( )在 0处连续，从而
lim
0
1
dx
1 x2 2
I(0)
1 dx 0 1 x2
. 4
例2 : 解:
求 I 1 xb x a dx (b a 0).
c
f
( x,
y)g( x,
y)dy
在[a , b]上一致收敛 .
例1 :
证明反常积分
0
cos 1
xy x2
dx
在 (,)上一致收敛.
证:
由于y R有
含参量积分的分析性质和应用
含参量积分的分析性质和应用
参量积分是一种数学技术，其特点是将具有参量的函数的积分写作一组形式中的积分。
它允许使用积分理论进行变量函数的运算，因为在绝大多数结果中，变量积分被认为更具
备计算性。
参数积分表示以参数来确定复合函数的积分并将其建模。
参量积分的分析性质包括：（1）可以表达多元函数中不同参量的函数积分；（2）
可以求解多元函数的导数；（3）可以使用积分理论来表示复合函数的积分；（4）可以
用于特殊函数的快速求解等。
因此，参数积分不仅可以求解多元函数的积分，而且可以用
于求解特殊函数和添加变量。
参量积分在实际应用中也十分重要。
它在工程中被用来计算滚动体的动力，计算温度
分布，计算定点参数，计算水声双曲线，计算表面温度，计算定点反射概率等。
还可以用
于设计液压系统，燃油系统，伺服系统，汽车动力系统，可穿戴运动系统和其他现代技术
系统的计算。
总之，参量积分是一种具有重要理论和实际应用价值的常用技术。
它有助于分析不同
参量的多元函数的积分，并且还可用于生物医学，工程，运动系统等领域的计算。
数学分析 含参变量的积分
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
关于参数的可导性质
(可导性质)
设 f (x, y ) 的偏导数 fy (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 则 I(y ) 关于 y 可导, 且
I (y) =
b a
fy
(x
,
y
)
dx
.
证明. fy (x, y ) 关于 x 在 [a, b] 中的积分记为 ψ(y ). 根据上述引理, ψ(y ) 关于 y 连续. 当 y1, y2 ∈ [c, d] 时, 交换积分次序可得
的函数, 考虑积分 F (y) =
b(y ) a(y )
f
(x
,
y
)
dx
.
若 f (x, y ) 在 [a, b] × [c, d] 中连续, 函数 a(y), b(y) 关于 y 连续, 且 a ≤ a(y ), b(y) ≤ b, 则 F (y ) 关于 y ∈ [c, d] 连续.
积分上下限中的参数
x ∈[a,b]
积分上下限中的参数
因为 f 连续, 故存在 M > 0, 使得 |f (x, y)| ≤ M. 由上式和已知条件得 |F (y ) − F (y0)| ≤ M|a(y ) − a(y0)| + M|b(y ) − b(y0)| + sup |f (x, y ) − f (x, y0)||b − a|,
数学分析第十九章含参量积分
特别地，c和d为常数时，得到定理19.3.
练习2：求F ( y )
解：F ( y )
sin y y2 y cos( xy )dx 2 y
y2
y 2 sin( xy ) dx的导数. y x 3
sin y 2 2y y
sin xy sin y 3 sin y 2 3 sin y 3 2 sin y 2 2 2y . y y y y y
第19章Байду номын сангаас
§1
含参量积分
含参量正常积分
一、含参量积分的概念
从本章开始我们讨论多元函数的各种积分问题, 首先本章研究 含参量积分. 设f ( x, y )是定义在矩形区域R [a, b] [c, d ]上的二元函数. 当固
定x [a, b]时, f ( x, y )是定义在[c, d ]上的以y为自变量的一元函 数. 若此时f ( x, y )在[c,d ]上可积, 则其积分值是在[a, b]上取值的 x的函数, 记为I ( x), 就有 d I ( x) c f ( x, y )dy, x [a, b]. (1)
1 练习1 求0 arctan x dx( y ： y
0)对于参数y的导数.
x 连续，故 x2 y 2
解：当y 0时， arctan x 和[arctan x ]y y y
d 1 x dx 1[arctan x ] dx 0 arctan y 0 y y dy
x dx 1 ln( x 2 2 x y2
arctanx 1 1 ln(1 x 2 ) 1 ln(1 x) 1 0 2 0 0 1 2 1 1 ln 2 ln(1 ) 1 2 4 2 1 I ( )d ln(1 2 ) 1 1 ln 2 arctan 1 I (1) I (1) I (0) 0 0 8 0 2 1
11-3_含参变量广义积分讲解
d
d
d
g( y)dy dy f (x, y)dx dx f (x, y)dy 。
c
c
a
a
c
定理5： 设函数 f (x, y) , f y (x, y) 在区域
{(x, y) | a x , c y d} 上连续且积分
g( y) f (x, y) dx
0
2 1t2
及 ue 1t2 u2 dt eu2 I 0
分别对于t 及u是连续的, 积分互换后的逐次积分显然存在.
于是,(1)式中的积分顺序可以互换, 且有
I 2
dt
0
ue 1t2 u2 du
0
1 2
dt 0 1t2
.
4
I 0, I ex2 dx .
则含参变量无穷积分
f (x, y)g(x, y)dx
a
在 Y 上一致收敛。
对任意项级数（阿贝尔判别法）
若序列an 单调有界，而级数
则级数 anbn 收敛。 n1
bn
n1
收敛，
对函数项级数（Abel 判别法）
若函数项级数 an (x)bn (x) 满足： n1
（1）函数序列an (x) 对于固定的 x X 关于n单调，
都有
f x, y dx A
,
则称含参变量的无穷积分
a
f
x,
y dx
在
Y上一致收敛.
命题: 设含参变量的无穷积分
f x, ydx
a
在 Y上
点点收敛, 若存在常数 l 0 , 不论 N 多么大,
1含参变量的常义积分
同理可定义含参变量 x 的积分：
J ( x)
f ( x, y)dy ,
c
d
x [a , b]
一般就称为含参变量积分。 它们统称为含参变量常义积分，
x2 y2 例如： 计算 椭圆 1 (b a 0)的周 长。 2 2 a b
椭圆的参数方程： x a cos t , y b sin t ,
dI ( y ) dy
b
a
f y ( x , y )dx 。
定理3 的结论也可写成
d dy
b
a
f ( x , y )dx f ( x , y )dx 。 a y
b
说明求导运算和积分运算可以交换。
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定理4 设f ( x, y ), f y ( x, y )都在闭矩形 [a, b] [c, d ]上连续 ,
例3 解
设F ( y )
y
0
ln(1 xy) dx, y 0, 求F ( y )。 x
y
F ( y )
0
1 ln(1 y 2 ) dx 1 xy y
ln(1 xy) y ln(1 y 2 ) 0 y y 2 ln(1 y 2 ) y
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1 I ( )
0
1 dx 1 cos x
x 对 最 后 一 个 积 分 作 万代 能 换 t tan ， 2
0
1 dx 1 cos x
2dt 1 t 2 (1 t 2 )
第十讲含参变量的积分
第十讲含参变量的积分10 . 1 含参变量积分的基本概念含参量积分共分两类：一类是含参量的正常积分；一类是含参量的广义积分． 一、含参量的正常积分 1 ．定义设()y x f ,定义在平面区域[][]d c b a D ,,⨯=上的二元函数，对任意取定的[]b a x ,∈．()y x f ,关于 y 在[]d c ,上都可积，则称函数()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰为含参量二的正常积分．一般地，若 ()()(){}b x a x d y x c y x D ≤≤≤≤=,|, ，也称()()()()[]b a x dy y x f x I x d x c ,,,∈=⎰为含参量x 的正常积分．同样可定义含参量 y 的积分为()()[]d c y dx y x f y J ba,,,∈=⎰或()()()()[]d c y dx y x f y J y b y a ,,,∈=⎰2 ．性质（以 I ( x ）为例叙述）( l ）连续性：若 ()y x f ,必在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,连续，即对[]b a x ,0∈∀，()()()()⎰=→000,lim 0x d x c x x dy y x f x I( 2 ）可积性：若()y x f ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,连续，则 ()x I 在[]b a ,可积．且有()()()⎰⎰⎰⎰⎰==bab ad cbadcdx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,（若 D 为矩形区域， ·( 3 ）可微性：若 ()y x f ,的偏导数()y x f x ,在 D 上连续，()x c ，()x d 在[]b a ,可导，则()x I 在 []b a ,可导，且()()()()()()()()()()x c x c x f x d x d x f dy y x f x I x d xc x''',,,-+=⎰·以上性质的证明见参考文献［ 1 ] ，这里从略，例10. l 求积分⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛10,ln 1ln sin a b dx xxx x ab 解法 1 （用对参量的微分法）：设()⎰>>-⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,ln 1ln sin a b dx x xx x b I ab ，()()()()()()()b I b b dx x x x x b x d x b dx x x b x b x b x d x dxx x b I b b b b b b b '221010121102101010111'11111ln sin |1ln cos 111ln cos 111ln cos 11|1ln sin 111ln sin 1ln sin +-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⎰⎰⎰⎰⎰++++所以()()()()()⎰++=++=⇒++=C b db b b I b b I 1arctan11111122'，令a b =，则 ()()()1arctan 1arctan0+-=⇒++==a C C a a I 所以原积分()()()1arctan 1arctan+-+==a b b I I 解法 2 : （交换积分顺序方法）因为xx x dy x ab bayln -=⎰，所以⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=10101ln sin 1ln sin b a y b a y dx x x dy dy x x dx I同解法()⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛1021111ln sin y dx x x y，所以有 ()()()⎰+-+=++=baa b dy y I 1arctan 1arctan1112注：在以上解题过程中，需要验证对参量积分求导和交换积分顺序的条件，为简洁省略了，但按要求是不能省的． 例10.2 设()()()dz z f yz x y x F xyyx ⎰-=,，其中f 为可微函数，求()y x F xy,·解：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()xy f y y x y x f y x xy f xy x xy f y y x xy f y x x y f y x xy xf F xy f y yx dz z f xy f xy x y dz z f y x f x x y xy f xy x y dz z f F xy xyyx xyyx xyy x x '2222'222222213213111-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+=⎰⎰⎰二、含参量的广义积分含参量的广义积分包括两类：含参量的无穷积分和含参量的瑕积分 （一）含参量的无穷积分1 ．定义：设 ()y x f ,定义在[][)+∞⨯=,,c b a D 上，对每个取定的[]b a x ,∈，积分 ,()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,都收敛（也叫逐点收敛），它是一个定义在[]b a ,上的函数，称该积分为含参量x 的无穷积分 同样可以定义 ()()[]⎰+∞∈=ad c y dx y x f y J ,,,2 ．一致收敛若对c M >∃>∀,0ε，当 A > M 时，对一切[]b a x ,∈，恒有()()()εε<<-⎰⎰+∞AA cdy y x f dy y x f x I ,,或则称含参量积分在[]b a ,上一致收敛．注：非一致收敛定义：若00>∃ε，使得c M >∀，总存在M A >0，及存在[]b a x ,0∈，，使得()()()000000,,εε<<-⎰⎰+∞A A cdy y x f dy y x f x I 或3 ．一致收敛的柯西准则含参量积分（ l ）在[]b a ,上一致收敛⇔对 c M >∃>∀,0ε，当 M A A >>12时，对一切[]b a x ,∈，都有()ε<⎰21,A A dy y x f注：非一致收敛的柯西准则：含参量积分（ 1 ）在[]b a ,上非一致收敛c M >∀>∃⇔,00ε存在M A A >>12，及存在[]b a x ,0∈，使得()0021,ε<⎰A A dy y x f4.一致收敛判别法( I ) M 判别法：若()()()D y x y g y x f ∈∀≤,,,而()⎰+∞cdy y g 收敛，则()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛（同时也绝对收敛） .( 2 ）阿贝尔判别法： ①()⎰+∞cdy y x f ,在[]b a ,上一致收敛； ② 对每一个[]b a x ,∈，()y x g ,关于y 单调，月关于x 一致有界，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛．( 3 ）狄利克雷判别法： ①()[]()c A b a x M dyy x f Ac>∀∈∀≤⎰,,,（即一致有一界）;② 对每一个[]()y x g b a x ,,,∈必关于 y 单调，且当 +∞→y 时()y x g ,对x 一致趋于零，则积分()()⎰+∞cdy y x g y x f ,,在[]b a ,上一致收敛 ·例 10 . 3 讨沦下列积分的一致收敛性： （1）()⎰∞++-122222dx y xx y 在()+∞∞-,；（2）[)⎰+∞-+∞∈0,0,sin y dx xxe xy 解： ( 1 ）因为()()()()+∞∞-∈∀≤+=++≤+-,112222222222222y xy x y xy x y xx y ，而积分 ⎰+∞121dx x 收敛，由M 发，()⎰∞++-122222dx yx x y 在()+∞∞-,一致收敛 ·( 2 )因为⎰+∞sin dx xx收敛，且与y 无关，故关于y 一致收敛，而xy e -对固定的y 关于x 在[)+∞,1上单调减，且1≤-xye ，对()()()+∞⨯+∞∈∀,0,0,y x ．由阿贝尔判别法知，积分⎰+∞-0sin dx xxe xy在()+∞∈,0y 上一致收敛． 5 ．分析性质( l ）连续性：若满足：① ()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上连续，即()()()dy y x f x I x I cx x ⎰+∞→==,lim 000·( 2 ）可积性：参量 []b a x ,∈若满足： ①()y x f ,在[][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可积，即()()()⎰⎰⎰⎰⎰+∞+∞==babaccb adx y x f dy dy y x f dx dx x I ,,参量[)+∞∈,a x ，若满足：① ()y x f ,在 [)[)+∞⨯+∞=,,c a D 上连续； ②()[]()c d d c y dy y x f a>∀∈⎰+∞,,,和()[]()a b b a x dy y x f c>∀∈⎰+∞,,,都一致收敛；③ 积分()⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ,与()⎰⎰+∞+∞cadx y x f dx ,收敛；则()x I 在[]b a ,上收敛，且()()dx y x f dy dy y x f dx acca⎰⎰⎰⎰+∞+∞+∞+∞=,,( 3 ）可微性：若满足：①()y x f ,和()y x f x ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 上连续； ② ()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞收敛；③()[]b a x dy y x f cx ,,,∈⎰+∞一致收敛；则()x I 在[]b a ,上可微，且()()[]b a x dy y x f x I cx ,,,'∈=⎰+∞注： ( 1 ）在定理的条件下，必可导出 ② 也是一致收敛的． ( 2 ）定理的条件都是充分而非必要的． 6 ．狄尼（ Dini ）定理若()y x f ,在 [][)+∞⨯=,,c b a D 连续且非负，则()()dy y x f x I c⎰+∞=,在[]b a ,上连续()x I 在[]b a ,上一致收敛．证明：充分性是显然的，下证必要性． （反证法）假设()()[]b a x dy y x f x I c,,,∈=⎰+∞不一致收敛，由定义，00>∃ε，对cM >∀总存在[]b a x M A ,,00∈∃>，使得()()0000,ε≥-⎰A cdy y x f x I ．特别地，取 M 大于c 的自然数n ·则分别存在 []b a x n A n n ,,∈> ，使得()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I · 注意到f 非负，可写作()()0,ε≥-⎰nA cn n dy y x f x I ．由于{}[]b a x n ,⊂有界，记为{}(),...2,1=k x n ，则[]b a x x nk k ,lim 0∈=∞→，不妨设......21<<<<nk n n A A A ，再注意到 f 非负，因此有()()()()⎰⎰≥-≥-10,,n nkA cA cnk nk nk nk dy y x f x I dy y x f x I ε （*）由已知条件，对固定的1n A ，函数()()()⎰-=1,n A cdy y x f x I x F 在[]b a ,上连续，对（*）令∞→k 取极限得()()()00001,ε≥-=⎰dy y x f x I x F n A c．此与()x I 的定义（即逐点收敛）矛盾，即()()[]⎰+∞∈=cb a x dy y x f x I ,,,一致收敛 ·（二）含参量的瑕积分 1 ．定义设()y x f ,在区域[](]d c b a D ,,⨯=上有定义，对取定的[]c y b a x =∈,,为函数 f 的瑕点, 若积分()()[]⎰∈=dcb a x dy y x f x I ,,,收敛，它是一个定义在[]b a ,上的函数，称其为含参量x 的瑕积分．2 一致收敛对c d -<<∃>∀δδε0:,0，当δη<<0时，恒有()εη<⎰+c cdy y x f ,，对一切[]b a x ,∈成立，称()()dy y x f x I dc⎰=,在[]b a ,上一致收敛．3.M 判别法设 g ( y ）为定义在（ c , d ］上以 c y =瑕点的非负函数．且()()[]()b a x y g y x f ,,∈∀≤ ，而()dy y g d c⎰收敛，则()()[]b a x dy y x f x I dc,,,∈=⎰必一致收敛其余的可仿照含参量无穷积分的相关内容平行推得，当然也可以将它转化为无穷积分进 行讨论，这里不再赘述．。
反常积分与含参变量的积分
116第十二章 反常积分与含参变量的积分一、 反常积分：内容提要：1、 反常积分收敛的定义：● 无穷积分： ():lim ()AaaA f x dx f x dx +∞→+∞=⎰⎰● 瑕积分： 0():lim ()b b a af x dx f x dx δδ+-→=⎰⎰b 为瑕点若极限存在，则称反常积分收敛，否则称其发散. ● 绝对收敛与条件收敛： 若|()|a f x dx +∞⎰收敛，则称()af x dx +∞⎰绝对收敛.若()af x dx +∞⎰收敛，但不绝对收敛则称其为条件收敛.2、 反常积分的敛散性判别：● 比较判别法：若0()()[,)f x c x x a ϕ≤≤∀∈+∞()a x dx ϕ+∞⎰收敛⇒()a f x dx +∞⎰收敛()af x dx +∞⎰发散⇒()ax dx ϕ+∞⎰发散若0()()[,]f x c x x a b ϕ≤≤∀∈()bax dx ϕ⎰收敛⇒()ba f x dx ⎰收敛()baf x dx ⎰发散⇒()bax dx ϕ⎰发散若()()()ax f x g x f x dx +∞→+∞⎰收敛()ag x dx +∞⇔⎰收敛● Dirichlet 判别发： ·若()f x 满足()().[,),0Aaaf x f x dx M A a dx x λλ+∞≤∀∈+∞⇒>⎰⎰收敛. ·若()f x 满足().[,)()(),0xbaaf x dx M x a b x b f x dx λλ≤∀∈⇒->⎰⎰收敛.● ·()f x 满足：().[,)Aaf x dx M A a x ≤∀∈+∞→+∞⎰时()g x 单调趋于0 ()()af xg x dx +∞⇒⎰收敛.117·()f x 满足：().[,)xaf x dx M x a b x b -≤∀∈→⎰时()g x 单调趋于0()()baf xg x dx ⇒⎰收敛.3、学习提示：注意在方法、思路、结果方面比较无穷级数、无穷积分、瑕积分的敛散性判别法.4、 重要结果： 11:1p ap dx x p ∞>⎧⎨<⎩⎰收敛发散b a 11:(x-a)1dx λλλ≥⎧⎨<⎩⎰发散收敛典型例题：例1：讨论下列反常积分的敛散性： 1）1+∞⎰2）2π⎰ 3）21x m ()dx x m x 1∞-++⎰4）10⎰ 解：1）521()f x x=512p =>. 故1∞⎰收敛 2）此积分瑕点为0.0x +→时121x, 故2π⎰收敛. 3) 2222(1)()1()(1)x m m x x m f x x m x x m x -+-=-=+++-. 1m = 时 21()f x x , 所以积分收敛. 1m ≠ 时 1()f x x, 所以积分发散.4) 此积分瑕点为0. 0x +→ 时141()o x = ∴原积分收敛. 例 2. 讨论积分2sin x dx x∞⎰的敛散性:若收敛,它是条件收敛还是绝对收敛？118解:作变量代换 2x t =则x =20sin sin 2x t dx dt x t∞∞=⎰⎰此积分有两个瑕点：0,∞.0x →时sin 1tt10sin tdt t∴⎰绝对收敛. 又:1sin 2[1,)A tdt A ≤∀∈+∞⎰ 1t单调1lim 0t t →∞=由Dirichlet 判别法,10sin tdt t⎰收敛.2sin sin cos 212t t t t t t+≥= 再由Drichilet 判别法1cos 22tdt t∞⎰收敛.但112dt t ∞⎰发散，20sin t dt t ∞∴⎰发散. 从而原级数条件收敛.例3 讨论如下反常积分的收敛性:0ln(1)p x dx x ∞+⎰ 解:此积分有两个瑕点:0,+∞0x →时1ln(1)1p p x x x -+112p p ∴-<<即时 10ln(1)p x dx x +⎰收敛,2p ≥发散. 1p ≤ 时 1ln(1)ln(1)lim .p p px x x x dx x x ∞→∞++=∞∴⎰发散. 1p > 时121ln(1)1ln(1)p p px x o dx x x x +∞⎛⎫++=∴ ⎪⎝⎭⎰ 收敛. 综上所述:仅当 12p << 时原级数收敛.练习题:研究下列积分的敛散性1) 10ln dx x ⎰ 2) 2201x dx x x +∞++⎰ 3) 10ln p x xdx ⎰ 4) 0+∞⎰ 5) 2sin cos p q dx x xπ⎰ 6) 0p q dx x x ∞+⎰ 7) 1ln p q dxx x ∞⎰ 8) 0()()m n p x dx P x +∞⎰. ()()m n P x P x 分别为m 及 n 次互质的多项式.1199) 0sin 1p q x x dx x +∞+⎰10) 10n⎰二、 含参变量的积分:内容提要:1、 含参变量的有限积分：● 定义： ():(,)ba u f x u dx ϕ=⎰(,)f x u 在[,][,]R a b αβ=⨯上定义 .0[,]u αβ∀∈，0(,)f x u 在[,]a b 上可积．● 性质：1) 连续性: (,)f x u 在R 上连续()u ϕ⇒在[,]αβ上连续 . 2) 可微性: (,)f x u 与fu∂∂在R 上连续⇒()u ϕ在[,]αβ上可导且: ()(,)(,)bb a a d d u f x u dx f x u dx du du uϕ∂==∂⎰⎰ 3) 可积性: (,)f x u 在R 连续⇒()u ϕ在[,]αβ上可积且:()(,)(,)bb aau du du f x u dx dx f x u du βββαααϕ==⎰⎰⎰⎰⎰2 . 含参变量的无穷积分● 收敛与一致收敛 称0():(,)u f x u dx ϕ+∞=⎰收敛若(,)f x u 在[,)[,]D a αβ=+∞⨯上定义,0[,]u αβ∀∈0(,)af x u dx +∞⎰收敛.称():(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ上一致收敛.如果:000,0,[,]A A A u εαβ∀>∃>∀>∀∈有:(,).Af x u dx ε+∞<⎰● 一致收敛的无穷积分的性质:1) 连续性: (,)f x u 在[,)[,]D a αβ=+∞⨯上连续 ()(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ上一致收敛，则()u ϕ在[,]αβ上连续 .即：00lim (,)lim (,)aau u u u f x u dx f x u dx +∞+∞→→=⎰⎰.2）可微性：(,)f x u 与(,)u f x u '在D 上连续且(,)af x u dx +∞⎰在[,]αβ120收敛, (,)u af x u dx +∞'⎰在[,]αβ一致连续，则()(,)au f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ可导,且()(,)u a d u f x u dx duϕ+∞'=⎰. 3） 可积性在：(,)f x u 在D 上连续 0()(,)u f x u dx ϕ+∞=⎰在[,]αβ一致收敛 .则()u ϕ在[,]αβ可积且0()(,)u du dx f x u du ββααϕ+∞=⎰⎰⎰.● 一致收敛的判别法：1) Cauchy 准则： (,)af x u dx +∞⎰在区间I 一致收敛⇔01200,A A A A u ε∀>∃∀>∀有21(,)A A f x u dx ε<⎰2）Weierstrass 判别法： (,)(,)().x y f x y g x ∀<且()ag x dx +∞⎰收敛(,)af x u dx +∞⇒⎰一致收敛 .3）Dirichlet 判别法: ,(,)AaA a u If x u dx M ∀>∀∈≤⎰.,(,)u I g x u ∀∈关于u 单调，且0(,)g x u x u I →∞∈且则(,)(,)af x ug x u dx +∞⎰在I 上一致收敛 .典型例题： 例1、研究122()()yf x F y dx x y =+⎰的连续性. 其中()f x 在[0,1] 上是正的连续函数： 解：0y ∀∈.00y ≠时，取0y δ<，则000[,]y y δδ∉-+.显然函数22()yf x x y+在00[0,1][,]y y δδ⨯-+上连续 .根据含参变量积分的连续性，()F y 在00[,]y y δδ-+上连续 .00y =时 0()0F y =.因()f x 在[0,1]是正的连续函数 .[0,1]:min ()0x m f x ∈=>(0,1)y ∈时 12201()4ym F y dx marctg m x y y π≥=>+⎰121(1,0)y ∈-时 1221()4ym F y dx marctg m x y y π≤=<-+⎰lim ()0y F y ±→∴≠ ()F y ∴在(,0)(0,)-∞∞上连续 .例2、求()F y '1） sin ()b y a yxy F y dx x++=⎰2） 22()y x yy F y e dx -=⎰解：1） sin ()sin ()()cos b y a y y b y y a y F y xydx b y a y++++'=-+++⎰ 1111sin ()sin ()y b y a a y y b y y a y ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2） 222222()()y x yxy x yyx y x yF y y ey ee dx y---==∂'''=--∂⎰253222y y y x y yyeex e dx ---=--⎰例3、设2sin()()sin xy xy F x dy y yπ=-⎰ 求 10()F x dx ⎰解：因函数sin()sin y xy y y-在[0,1][,2]ππ⨯上连续，由含参变量积分的积分性质：11200sin()()sin y xy F x dx dx dy y yππ=-⎰⎰⎰21sin()sin y xy dy dx y yππ=-⎰⎰21cos sin ydy y yππ-=-⎰2l n sin ln 2y yππ=-=例4、应用对参数的微分法计算积分：222220ln(sin cos )a x b x dx π+⎰解： 视b 为常数 . a 为参变量 .若00a b >>222220()ln(sin cos )I a a x b x dx π=+⎰1222222202sin ()sin cos a xI a dx a x b xπ'=+⎰若a b = 2202()sin 2I b xdx b b ππ'==⎰若a b ≠作变量代换 t tgx =2222202()(1)()b a t dtI a a t t +∞'=++⎰ 2222222a b a at arctg t arctg a a b a b b b +∞⎛⎫=- ⎪--⎝⎭ a bπ=+()(0,)I a a a bπ'∴=∀∈+∞+积分得：()ln()(0,)I a a b c a π=++∈+∞ 令a b =，()ln(2)I b b c π=+而 22120()ln ln ln I b b dx b c πππ==∴=⎰ ()ln2a bI a π+∴= 若0a <或0b < 同理可得：||||()ln 2a b I a π+=例5、证明下列积分在指定区域一致收敛： 1） 00sin 0x e xdx ααα+∞-<≤<∞⎰2） 1cos xp xe dx xα+∞-⎰ 00p α≤<+∞> 解： 1） 0sin x x e x e αα--≤ 且 00x e dx α+∞-⎰收敛 故积分0sin x e xdx α+∞-⎰ 收敛 .2）由于1cos 2Axdx ≤⎰0α≥时 xp e xα-在1x ≥关于x 递减且10x p p e x x α-<<，故x →+∞ 时 x p e x α-一致趋于0 .由Dirichlet 判别法：1cos x p xe dx xα+∞-⎰在1230α≤<+∞一致收敛 . 练习题：1、求下列极限：1） 1220lim 1y yy dxx y+→++⎰2）10lim y -→⎰ 2、 求()F y ' 1） 0ln(1)()y xy F y dx x+=⎰2） 12()(,)(,)()yF y f x y x y dx f u v c =+-∈⎰3、 设()f x 是以2π为周期的连续函数，令1()()2x hx h F x f t dt h+-=⎰. 试求()F x 的Fourier 系数 . 4、 应用对参数的微分法求积分：20ln(12cos )a x a dx π-+⎰5、设()f x 连续、10()()()xn F x f t x t dt -=-⎰，求()()n F x .6、设2cos 0()cos(sin )xx F x e x d θθθ=⎰，求证：()2F x π≡.7、求下列积分的收敛域：1）201ax e dx x -+∞+⎰2） 20ln p dxx⎰ 8、研究下列积分在指定区间内的一致收敛性：1） 1x x e dx a b αα∞-≤≤⎰2） 0sin 0xx e dx xαα+∞-≤<∞⎰ 3）200x dx αα-≤<∞⎰4） 22(1)sin x e dx ααα+∞-+-∞<<+∞⎰9、 求函数20sin(1)()xF dx xαα+∞-=⎰的不连续点. 10、 设()f x 连续且()A f x A dx x +∞∀>⎰收敛 .试证：0()()(0)ln 00f ax f bx bdx f a b x a+∞-=>>⎰ 11、 利用第10题结果计算：0cos cos00 ax bxdx a bx+∞->>⎰12、利用对参量的微分法计算：2200 ax bxe edx a bx--+∞->>⎰124。
含参变量积分
( x) = f ( x) 的解，并且满足条件 y (a) = y ' (a) =
n −1
= y ( n −1) (a) = 0 。
证明：设 F ( x, t ) = ( x − t )
f (t ) ，则 f ( x, t ), f x ( x, t ) 在 [a, b] × [ a, b] 上连续，因此有
2 ∂ 2u 2 ∂ u 的解。 是弦振动方程 2 = a ∂t ∂x 2
证明：由题设知
∂ 2u ∂ 2u 与 2 均存在，且有 ∂t 2 ∂x
1 ∂u 1 ' = [ f ( x − at )(−a ) + f ' ( x + at ) ⋅ a ] + [aF ( x + at ) + aF ( x − at )] 2a ∂t 2 1 a = [ f ' ( x + at ) − f ' ( x − at )] + [ F ( x + at ) − F ( x − at )] 2 2 2 a ∂u a = [af '' ( x + at ) + af '' ( x − at )] + [ F ' ( x + at ) − F ' ( x − at )] 2 2 2 ∂t
d
d
b
（4）若 f ( x, y ) 在 [ a, b] × [c, d ] 上连续，则
∫
一、 参量的常积分
b
a
dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
c c a
d
d
b
1、 一致收敛性及其判别法 定义 1 设函数定义在无界区域 G = ( x, y ) c ( x ) ≤ x ≤ d ( x), a ≤ x ≤ b 上，若对每一固
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解(含参变量的积分)【圣才出品】
欧阳光中《数学分析》笔记和考研真题详解第25章含参变量的积分25.1复习笔记一、含参变量的常义积分1．含参变量积分的概念（1）称如下形式的积分为含参变量x的积分．（2）当为常值时，称为固定限参变量积分，否则称为可变限参变量积分．2．含参变量积分的分析性质（1）不变限情形①连续性定理设f（x，y）于矩形[a，b]×[c，d]上二元连续，c，d有限，则函数于[a，b]上也连续．②可导性定理设f（x，y）和于矩形[a，b]×[c，d]上连续，则F（x）于[a，b]上也可导且．（2）可变限情形①连续性定理设f（x，y）于上二元连续，，且于[a，b]上连续，则于[a，b]上也连续．②可导性定理设f（x，y）于上二元连续，，且于[a，b]上连续，若导数存在且连续，则也存在，且二、含参变量的广义积分1．含参变量广义积分的一致收敛（1）定义设已给含参变量的广义积分（I是任意区间），假定对每个x∈I，上述积分已收敛．设为“余积分”，它是x，d的二元函数，于矩形I×[C，＋∞）上有定义．①含参变量广义积分在奇点＋∞处一致收敛的定义若数，使得“余积分”绝对值|r（x，d）|在矩形上点点小于ε（图25-1），即则称于奇点＋∞处，积分在x∈I时一致收敛．图25-1②含参变量广义积分在有限奇点处一致收敛的定义若，使得在矩形上点点小于，即则称在奇点c处积分在x∈I时一致收敛．③当一个含参变量积分有限多个奇点时，只有积分在每个奇点处都一致收敛时才称该积分一致收敛．（2）Abe1不等式（u（x）单调，v'（x）可积）也常用来估计“余积分”．2．一致收敛的判别法（1）Cauchy收敛原理如果一致收敛存在，使得，有（2）Weierstrass判别法设①收敛；②收敛，则，一致收敛．（3）A．D．判别法已给若u（x，y）关于y单调，且u，v有一个是有界函数，另一个在y→＋∞时在区间x∈I上一致收敛于零，则上述积分一致收敛（假定偏导数存在且关于y连续）．3．含参变量广义积分的性质（1）定理1设f（x，y）于矩形I×[c，＋∞）上连续且积分，x∈I内闭一致收敛，则于I上连续（连续性）．（2）定理2设f（x，y）于矩形I×[c，＋∞）上连续且积分，x∈I内闭一致收敛，若区间I＝[a，b]有界，则（3）定理3设于上连续，积分，内闭一致收敛，又存在一点，积分收敛，则内闭一致收敛，且（4）定理4设上连续，公式在下列条件之一满足时成立：①②③（5）定理5设f（x，y）于[a，＋∞）×[c，＋∞）上连续且两个“里层”积分都存在．若存在充分大的及函数满足：其中函数一个可积，另一个局部有界（即在任一个内闭区间上有界），则成立三、B函数和Γ函数1．B函数和Γ函数的定义B函数和Γ函数是指2．B函数和Γ函数的性质（1）连续性B（p，q），Γ'（s）都是连续的．（2）对称性B（p，q）＝B（q，P）；（3）Γ函数是阶乘的拓广Γ（s＋1）＝sΓ（s），s>0．特别Γ（n＋1）＝n!；（4）B函数与Γ函数的关系；（5）余元公式；（6）Legendre公式．3．当s→＋∞时Γ（s）的性态公式特别，当s＝n（自然数）时，得。
含参变量反常积分
2、 含参量反常积分一致敛收的定义
对于含参量反常积分c f (x, y)dy 和函数 I (x)
若 0 , N 0 , M N , x [a ,b ]都 , 有 f(x,y)dy, M
则称含参量反常积分 c
f (x, y)dy在 [a,b] 上一致收敛于 I ( x) .
可以交换.即
df(x,y)d y f(x,y)d.y
dc x
c x
• 可积性
设 f(x,y)在[区 a ,b ] [c 域 ,)上 ， 连 若 I(x续 ) f(x,y)dy
在 [a,b]上一,则 致 I(x)在 收 [a,b]上 敛可 ，且 积c
b
b
adcxf(x ,y )d y c dayf(x ,
在
[c, d ]
内一致收敛，所以
a
0 , A 0 a , A A 0 , y [ c ,d ]|,A f ( x ,y ) d | x
因此，当 y[c,d] 时， f(x,yy)dx A
又 f (x, y) 在 [a,A;c,d] 上连续，所以
A
f (x, y)dx
含参量反常积分 e ux2dx 0
在 [a,) 上一致收敛 (a 0).
例4 证明
（1） eyx2 sin ydx 关于 y [0,) 一致收敛； 1
（2） e yx2 sin ydy 关于 x [0,) 不一致收敛. 1
证 （1）用分段处理的方法.
A 1， y 0 ， 令 yx t 得
ac
c
a
则另一个也收敛 ,且
a dcxf(x ,y )d y c dayf(x ,y )d .x
例 1 :
含参变量的积分
一、被积函数含参变量的积分 二、积分限含参变量的积分
第十章
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一、被积函数含参变量的积分
设 f (x, y) 是 形 R =[a,b]×[α, β]上的连续函数, 矩 域
则积分∫ f (x, y) d y 确定了一个定义在[a, b]上的函数,
α β
β
记作
0 2
例2. 求I = ∫
1 ln( + x) 1
d x.
1 1 x t t [ ]d x = + − 2 ∫0 2 2 1+ t 1+ x 1+ x 1+ t x
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故
1 1 1 2 [ ln(1+ x ) +t arctan x −ln(1+t x) ] = 2 0 1+ t 2 1 1 π [ ln2 + t −ln(1+t) ] = 2 4 1+ t 2 1 1 1 π [ ln2 + t −ln(1+t) ]dt I =ϕ(1) −ϕ(0) = ∫ 2 0 1+ t 2 4 1 π 1 1 ln( + t) 1 1 2 dt = ln2arctant + ln( + t ) − ∫ 1 2 0 1+ t 2 8 0 0
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x 1 ϕ′(x) = (x −t)n−2 f (t) dt 即 (n − 2)!∫0 x 1 ϕ′′(x) = (x −t)n−3 f (t) dt , L 同理 (n −3)!∫0
ϕ
于是
(n−1)
冲刺高考数学含参量积分的概念与性质
冲刺高考数学含参量积分的概念与性质在高考数学的众多考点中，含参量积分是一个相对较难但又十分重要的部分。
对于即将面临高考的同学们来说，深入理解含参量积分的概念与性质，掌握相关的解题方法和技巧，是在数学考试中取得高分的关键之一。
一、含参量积分的概念含参量积分是指被积函数中含有参量的积分。
简单来说，如果积分表达式中的被积函数不仅仅是变量 x 的函数，还包含了另一个变量 y （或其他符号表示的参量），那么这样的积分就称为含参量积分。
例如，我们有积分：∫f(x,y)dx ，其中 y 就是参量。
含参量积分主要有两种类型：含参量正常积分和含参量反常积分。
含参量正常积分是指积分上限和下限都是确定的有限值，并且被积函数在积分区间上连续。
比如：∫ₐᵇ f(x,y)dx ，其中 a 和 b 是确定的常数。
含参量反常积分则是指积分上限或者下限是无穷，或者被积函数在积分区间内存在奇点（即函数在该点无定义或极限不存在）。
比如：∫₀^＋∞ f(x,y)dx 。
二、含参量积分的性质1、连续性若函数 f(x,y) 在矩形区域 a,b×c,d 上连续，则含参量正常积分 I(y) ＝∫ₐᵇ f(x,y)dx 在 c,d 上连续。
这意味着当参量 y 在 c,d 内连续变化时，积分的值也会连续变化。
2、可微性若函数 f(x,y) 及其偏导数f'ₓ(x,y) 在矩形区域 a,b×c,d 上连续，则含参量正常积分 I(y) ＝∫ₐᵇ f(x,y)dx 在 c,d 上可微，并且其导数为 I'（y) ＝∫ₐᵇf'ₓ(x,y)dx 。
这个性质在解决一些与导数相关的问题时非常有用。
3、积分顺序交换对于一些特定的含参量积分，我们可以交换积分顺序。
比如对于二元连续函数 f(x,y) 在矩形区域 a,b×c,d 上的积分，∫ₐᵇ（∫ₐᵈ f(x,y)dy)dx ＝∫ₐᵈ（∫ₐᵇ f(x,y)dx)dy 。
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目录1引言 ................................................... 1 2含参变量积分 . (1)2.1一元含参变量的有限积分函数()()⎰=badx u x f u ,ϕ的定义及其分析性质 (1)2.2含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质 ............................................ 4 2．2.1含参变量的有限二重积分函数定义及其分析性质 .. (4)2.2.2含参变量的有限n 重积分函数的分析性质 (10)3例题 .................................................. 11 4结束语 ................................................ 14 参考文献 ............................................... 15 致谢 (16)含参变量积分的性质数学系0803班 陈璐指导教师 王芳摘 要：含参变量积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数但又是以积分形式给出的,所以它在积分计算中起着桥梁作用，本文通过对一元含参变量的有限积分函数:A ()()⎰=ba dx u x f u ,ϕ的定义及其在区间[]b a ,上的分析性质(连续性、可微性与可积性)出发，阐述了含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质，分别推导出含参变量的有限二重积分函数及含参变量的有限n 重积分函数的连续性、可微性与可积性定理与公式，最后给出了一些应用实例。
关键词：含参变量，积分函数，分析性质。
Including the nature of the integral depending on a parameterChen LuClass 0803, Mathematics DepartmentTutor: Wang FangAbstract : Contain integral depending on a parameter is a kind of a special points, because it is an integral form and function are given, so it plays in the integral calculation bridge. This paper, with a yuan of parameter of the integral function limited definition A and in the analysis of the interval nature (continuity, the differentiability and integrality) article, expatiates the heavy integral depending on a parameter with limited definition and nature of the function analysis, were deduced with the double integral depending on a parameter, function and the parameter with limited heavy continuity of integral function, can the sex and integrable theorems and formula. Finally gives some practical examples.Key words: including parameter, integral function, analysis of the interval nature.1引言目前，许多学者对含参变量积分的性质的研究已经达到了一定的深度，主要研究了许多运用含参变量积分的性质解决实际问题的方法。
古希腊的阿基米德和我国的刘徽的著作都体现了积分的思想。
但到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前，有关定积分的各种结果还是孤立零散的，比较完整的积分理论还未能形成，直到牛顿-莱布尼茨公式建立以后，计算问题得以解决。
积分的性质作为求平面图形的面积以及许多实际问题的重要工具，为数学的发展打下了坚实的基础。
含参变量积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数但又是以积分形式给出的，所以它在积分计算中起着桥梁作用。
本文对含参变量积分的函数的定义、连续性、可微性、可积性的进行了较为系统的描述，使其应用更具一般化。
2含参变量积分2.1一元含参变量的有限积分函数()()⎰=ba dx u x f u ,ϕ的定义及其分析性质定义1 设函数()y x f ,在矩形d y c b x a R ≤≤≤≤,:上连续，如果把y 固定为[]d c y ,0∈,函数()0,y x f 就成为一个变量[]b a x ,∈上的连续函数了，则()()⎰=ba dx y x f y I 00,就是一个唯一确定的数，这个数与0y 有关，当y 在[]d c ,上变动时，所得到积分值一般是不同的，记为()()dx y x f y I ba⎰=,，它是y 的函数，其定义域为[]d c ,，称积分()dx y x f ba⎰,为含参变量积分，自变量为y 。
性质1.（极限） 若()y x f ,在[]b a x ,∈，[)(]d y y c y ,,00 ∈上连续，limy y →()()()dx x g dx y x f dx y x f b a ba y y ba⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=→,lim ,0 。
证明：根据()()x g y x f y y =→,lim 0，可得对任给的ε0>,存在0>δ,当0δ<-<0y y 时，()()()a b ab x g y x f >-<-ε,从而()()()()[]()()εε=-<-≤-=-⎰⎰⎰⎰⎰dx ab dx x g y x f dx x g y x f dx x g dx y x f baba ba baba,,,注：当上下限中至少有一个是关于x 的函数时，结论仍成立。
性质2.（连续性） 若函数()y x f ,在矩形d y c b x a R ≤≤≤≤,:上连续，则()()dx y x f y I ba⎰=,是[]d c ,上的连续函数。
证明：任取[],,0d c y ∈()()()()[]dx y x f y x f y I y I ba⎰-=-00,,，因为()y x f ,在闭区域R 上连续，从而就一致连续，因而对任给的0>ε，当δ<-0y y 时，()()ab y x f y x f -<-ε0,,，此时，()()()()ε<-≤-⎰dx y x f y x f y I y I ba00,,，因此，()()00lim y I y I y y =→。
性质3.（可导性） 设()()y x f y x f y ,,,都在矩形d y c b x a R ≤≤≤≤,:上连续，()()dx y x f y I ba⎰=,在[]d c ,上可导，且()()()dx y x f dx y x f y I dydb a b a y ⎰⎰==,,。
证明：利用导数定义()()[]dx y x f y y x f I ba⎰-∆+=∆,,由拉格朗日中值定理()()()y x f y x f y y x f y ∆=-∆+ξ,,,()dx x f y Ib ay ⎰=∆∆ξ,，其中()y y y ∆+∈,ξ 从而()()dx y x f dx x f y Ib a y b ay y y ,,lim lim 0⎰⎰==∆∆→→∆ξξ定理1 若函数()y x f ,及()y x f y ,在矩形d y c b x a R ≤≤≤≤,:上连续，m 为一个常数，且b m a ≤≤，函数()y b 在[]d c ,上可导，当d y c ≤≤时()b y b a ≤≤，则函数()()()dx y x f y F y b m⎰=,在[]d c ,上可导，且()()()()[]()()()dx y x f y b y y b f dx y x f dy d dy y dF y b m y y b m⎰⎰+'==,,,证明：设()()dt y t f y x F xay ,,⎰=是()y x f ,关于x 的一个原函数，则()y x f x F ,=∂∂，()dt y t f yFx a y ,⎰'=∂∂，从而()()()dx y x f dyd dy y dF y b m ⎰=, =()()()[]m x y b x y x F y x F dyd==-,, =()[]()()()y m F dydyF y b y y b f y b x ,,-∂∂+'= =()[]()()()()dx y x f dx y x f y b y y b f m ay y b a y ,,,⎰⎰'-'+' =()[]()()()dx y x f y b y y b f y b ay ,,⎰+'推论 1()()()[]()()()dx y x f y a y y a f dx y x f dyd m y a y my a ,,,⎰⎰'+'-= 其中，()y a 同定理1中()y b 所满足的条件。
推论 2()()()()()()()dx y x f dy d dx y x f dy d dx y x f dy d y b mm y a y b y a ⎰⎰⎰+=,,,=()()()()[]()()[]()y a y y a f y b y y b f dx y x f y b y a y '-'+'⎰,,,2.2含参变量的有限()2≥n n 重积分函数的定义及其分析性质 2．2.1含参变量的有限二重积分函数定义及其分析性质定义2 设()z y x f ,,是定义在闭长方体区域D =[][][]h g d c b a ,,,⨯⨯上的三元函数，当()[][]d c b a y x ,,,⨯∈上取某定值，函数()z y x f ,,就是定义在[]h g ,上的以z 为自变量的一元函数，倘若这时()z y x f ,,在[]h g ,上可积，则其积分值是()y x ,在有界区域[][]d c b a ,,⨯上取值的二元函数，记它为()y x I ,，则有()(),,,,dz z y x f y x I hg⎰= ()[][]d c b a y x ,,,⨯∈ (1)我们把形如（1）的函数叫做二元含参变量积分函数。