病毒传播SIS模型研究1

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数学模型在疾病传播研究中的应用

数学模型在疾病传播研究中的应用疾病是人类社会面临的重大问题之一。

为了有效地防控疾病的传播，科学家们提出了许多预防和治疗的方法。

其中，数学模型在疾病传播研究中的应用越来越受到重视。

在研究疾病传播过程中，数学模型可以帮助我们更加全面地了解疾病的规律，从而提高疾病的治疗水平和预防水平。

一、传染病传播过程的数学模型传染病的传播是一种复杂的动态过程，涉及到众多因素的相互作用，如感染率、感染距离、接触率、隔离措施等。

针对这些因素，科学家们提出了不同的数学模型。

最简单的数学模型是SIR模型，它将人群分为三类：易感人群(Susceptible，S)、感染人群(Infectious，I)和恢复人群(Recovered，R)。

在SIR模型中，易感人群通过接触感染者而感染成为感染人群，感染后若能顺利恢复则成为恢复人群。

基于这种模型，我们可以得到感染者和易感者的数量变化规律，从而为科学家们制定预防和控制策略提供依据。

除了SIR模型外，还有SEIR模型、SIS模型、SI模型等，这些模型对不同类型的传染病都有适用的情况。

例如，SEIR模型常用于研究病毒感染，SIS模型适用于研究疾病传播的平衡状态，SI模型则适用于研究没有治疗和预防措施的疾病。

二、数学模型的应用1、疫情预测数学模型可以帮助我们预测疫情发展趋势，从而有针对性地制定措施来应对疫情。

例如，在新冠疫情期间，国内多家高校和研究机构利用数学模型对疫情进行预测。

他们通过研究SIR模型，预测了新冠疫情在不同人群中的传播情况，并在防控疫情上提出了相应建议。

2、药物治疗数学模型可以帮助我们评估药物治疗的有效性和安全性，从而提高治疗水平。

在抗击艾滋病的过程中，数学模型被广泛应用于药物治疗的设计和评估。

科学家们通过构建数学模型，计算出不同药物治疗方案对病毒的影响，评估药物的疗效，并优化治疗方案。

3、疫苗研究数学模型可以帮助我们优化疫苗的设计和评价疫苗的有效性。

在SIR模型的基础上，科学家们构建了疫苗接种模型。

带有治疗项的SIS反应扩散传染病模型动力学分析

带有治疗项的SIS反应扩散传染病模型动力学分析作者：闫卫平吴素赟来源：《河北科技大学学报》2015年第06期摘要：考虑了一类带有饱和治疗项的SIS反应扩散传染病模型。

根据最小特征值得到疾病流行阈值——基本再生数，当基本再生数R01时，无病平衡点不稳定且存在地方病平衡点。

通过数值模拟，讨论了治疗项对疾病传播的影响。

当疾病流行时，加强治愈率可以有效控制疾病的发展，然而扩大医院规模会促使疾病更大规模的流行。

关键词：微分动力系统；SIS反应扩散传染病模型；治疗项；基本再生数；无病平衡点；地方病平衡点中图分类号：O175.4 MSC（2010）主题分类：34N05 文献标志码：AAbstract：In this paper， we study the SIS epidemic reaction-diffusion model with the saturated treatment. We obtain the prevalence threshold value of disease， namely the basic reproduction number R0， based on the least eigenvalue. We have proved that the unique disease-free equilibrium is local stable when R01. Through numerical simulation， we discuss the influence of treatment on prevalence of disease. When disease outbreaks， it is efficient to increase cure rate for the control of the disease， while expanding the scale of hospitals will cause even more prevalence of the disease.Keywords：differential dynamic system；SIS epidemic reaction-diffusion model； treatment；basic reproduction number； disease-free equilibrium； endemic equilibrium利用数学模型研究传染病具有重要的实际意义[1-2]。

传染病传播模型

传染病传播模型传染病一直是人类面临的严重公共卫生问题之一，了解传染病的传播规律对于控制疫情的蔓延至关重要。

在传染病学领域，研究人员提出了各种传染病传播模型，以帮助我们更好地理解疾病的传播过程。

本文将介绍几种常见的传染病传播模型。

一、SIR模型SIR模型是最经典的传染病传播模型之一，模型中将人群划分为易感者(S)，感染者(I)和康复者(R)三个群体。

在SIR模型中，易感者被感染后转为感染者，感染者经过一段潜伏期后康复并具有免疫力。

该模型适用于传染病传播速度较慢且一旦康复后不再感染的情况。

二、SEIR模型SEIR模型在SIR模型的基础上增加了潜伏者(E)这一群体，即将易感者感染后先转化为潜伏者，再由潜伏者成为感染者。

这样的模型更适用于具有潜伏期的传染病，如流感和艾滋病等。

通过引入潜伏者这一群体，SEIR模型可以更准确地反映出疾病的传播过程。

三、SI模型与SIR模型和SEIR模型不同，SI模型只考虑了易感者和感染者这两类人群，即易感者一旦被感染就无法康复并具有免疫力。

SI模型适用于那些一旦感染就无法康复的传染病，比如艾滋病和病毒性肝炎等。

四、SIS模型SIS模型在SI模型的基础上增加了康复者再次成为易感者这一过程，即感染者可以康复但并没有永久的免疫力。

SIS模型适用于那些患者可以反复感染的传染病，如流感和普通感冒等。

五、SEIRS模型在SEIR模型的基础上，SEIRS模型引入了康复者再次成为易感者这一过程，从而更为贴合实际传染病的传播过程。

SEIRS模型适用于那些感染后康复后不具备永久免疫力的疾病。

以上是一些常见的传染病传播模型，每种模型都有其适用的场景和特点。

在实际研究和预测传染病传播过程时，我们可以根据病原体的特性和传播规律选择合适的模型来进行分析和预测，从而更好地控制疫情的蔓延。

传染病模型的研究为我们提供了有效的工具，帮助我们更好地理解传染病的传播机制，为公共卫生工作提供科学依据。

希望在未来的研究中能够进一步完善传染病传播模型，为防控传染病提供更有力的支持。

SARS传播数学模型

SARS 的传播问题模型一 SI 模型模型假设1、在疾病传播期内，所考察地区的总人数N 不变，人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人，两类人在总人数N 中占的比例分别记作()s t ，()i t ；2、每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，称为日常接触率。

当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变为病人。

模型构成根据假设，每个病人每天可使()s t λ个健康人变为病人，因为病人人数为()Ni t ，所以每天共有()()Ns t i t λ个健康人被感染，于是Nsi λ就是病人人数Ni 的增加率，即有diNNsi dt λ= （1）又因为()()1s t i t += （2）再记初始时刻（t=0）病人的比例为0i，则()()01,0dii i i dt i λ=-= （3）对方程（5）的解有()01111ti t i λ-=⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭（4）由（5），（6）式可知，第一，当12i =时，didt 达到最大值m di dt ⎛⎫ ⎪⎝⎭，这时刻： 101ln 1m t i λ-⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭ （5）这时病人增加的最快，预示着传染病高潮的到来，提前5天采取严格的隔离措施可以推迟传染病高潮的到来，为医疗卫生部门迎接高潮做好充分的准备。

推迟5天则会使感染者更多；第二，当t →∞时1i →，所有人终将被感染，全变为病人，显然，这与实际不符，故必须对上模型做出修正。

模型二 SIS 模型模型假设1、在疾病传播期内，所考察地区的总人数N 不变，人群分为易感染者和已感染者两类，以下简称健康者和病人，两类人在总人数N 中占的比例分别记作()s t ，()i t ；2、每个病人每天有效接触的平均人数是常数λ，称为日常接触率。

当病人与健康者有效接触时，使健康者感染变为病人；3、每天被治愈的病人人数占病人总人数的比例为常数μ，称为日治愈率。

病人治愈后成为仍可被感染的健康人，显然，1μ是该传染病的平均传染期。

SIS传染病模型的性态分析.doc

SIS传染病模型的性态分析摘要：通过对SIS传染病模型的性态分析，来揭示疾病的流行规律，预测其变化发展趋势，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供决策依据。

关键字：传染病，SIS模型，性态分析Infectious disease model SIS modal analysis(Hengyang normal college mathematics and computer science department) Abstract: based on the model of SIS infectious diseases, to reveal the modal analysis and prediction of the prevalent regularity, the change trend of the control measures of evaluation, in order to prevent disease control provides basis for decision-making.Key words: infectious diseases, SIS model, modal analysis传染病的传播模型可追述到1760年Daniel Bernoulli对天花的分析；1911年公共卫生医生Ross博士利用微分方程模型对疟疾在蚊子与人群之间传播的动态行为进行了研究；Kermack与McKendrick为了研究1665-1666年黑死病有伦敦的流行规律，构造了著名的SIR仓室模型，又在1932年提出了SIS仓室模型，在分析模型的基础上提出了区分疾病流行与否的“阀值理论”。

传染病动力学的建模与研究于二十世纪中叶开始蓬勃发展，作为标志性的著作是Bailey于1957年出版的专著《数理流行病学》。

1.传染病SIS模型的基本形式传染病与人类的生活密切相关，因此其模型的研究也是被国内外所重视的。

问题三SIS模型Microsoft Word 文档

易感－感染－易感”（SIS ）模型1. 在疾病传播期内所考察A 类和B 类总人数不变且相等，既不考虑生死，也不考虑迁移。

人群分为易感者和已感者两类，以下就简称健康者和病人。

时刻t 这两类人在两类总人数中所占的比例分别()()()(),;,.A A B B s t i t s t i t2. 设A 类每人每天与B 类接触人数为A φ;B 类每人每天与A 类接触人数为B φ.3. 设A 类个体的感染率为A β,B 类个体的感染率为B β,且2A B ββ=.4. 假设A 类中得病者只能传染B 类中的健康者，同样地， B 类中得病者只能传染A 类中的健康者。

5. 参数γ＝0.1设为该病的治愈率。

根据假设，B 类中得病者每人每天可使()1B B A λββ-个A 类个体得病。

因为B 类病人数为()B N i t ，所以每天共有()1()B B A B N i t λββ-个A 类健康者被感染，那么()1()B B A B N i t λββ-就是A 类病人的增加率，又因为该病的可治愈，每天病人可减少那么实际该病在A 类中的增加率应为()()1()B B A B A Ni t Ni t λββγ--，即有()()1()A B B A B A di N N i t N i t dt λββγ=--① 化简后得()()1()AB B A B A di i t i t dtλββγ=--②再记初始时刻(0)t =A 类病人比例为0A i同理，A 类中得病者每人每天可使()1A A B λββ-个B 类个体得病。

因为A 类病人数为()A N i t ，所以每天共有()1()A A BA N i t λββ-个B 类健康者被感染，那么()1()A A B A Ni t λββ-就是A 类病人的增加率，又因为该病的可治愈，每天病人可减少那么实际该病在A 类中的增加率应为()()1()A A B A B Ni t Ni t λββγ--，即有()()1()B A A B A B di N N i t N i t dt λββγ=--③ 化简后得()()1()BA AB A B di i t i t dtλββγ=--④将②、④联立解得A 类和B 类的得病比例分别为()()2021*()1tB B B A A tA B A B i e i t eγγλβγβγγλλββ--⎡⎤--⎣⎦=-- ⑤()()2021*()1t A A A B B tA B A B i e i t eγγλβγβγγλλββ--⎡⎤--⎣⎦=-- ⑥随即我们可以得到A 类和B 类得病数量，记得A 类病数量为A I 、B 类得病数量B I .()()2021**()1t B B B A A tA B A B i e N I t eγγλβγβγγλλββ--⎡⎤--⎣⎦=-- ⑦()()2021**()1t A A A B B tA B A B i e N I t eγγλβγβγγλλββ--⎡⎤--⎣⎦=-- ⑧由于B β可以取三种情况，那么A 类病数量为A I 、B 类得病数量B I 以及A 类和B 类的得病比例皆有三种情况。

传染病传播模型

传染病传播模型随着世界人口的不断增加和人类活动的频繁交流，传染病的传播成为了一个日益严重的问题。

为了更好地理解和应对传染病的传播，科学家们提出了各种传染病传播模型。

本文将介绍几种常见的传染病传播模型，并分析它们的特点和应用。

一、SI模型SI模型是最简单的传染病传播模型之一，其中S表示易感者(Susceptible)、I表示感染者(Infectious)。

在SI模型中，人群中的个体只有在易感者和感染者两种状态之间相互转换。

具体而言，易感者可以通过与感染者接触而被感染，一旦感染，就成为感染者，并在一段时间内具有传播传染病的能力。

然而，在SI模型中，感染者随着时间的流逝不会重新变回易感者。

由于缺乏免疫力的存在，SI模型所描述的传染病在人群中的传播速度通常很快，例如流感等。

二、SIR模型SIR模型是相对复杂一些的传染病传播模型，其中R表示康复者(Recovered)。

和SI模型一样，SIR模型中的人群也被分为易感者、感染者和康复者三个状态。

然而，SIR模型引入了康复者的概念，即感染者经过一段时间的潜伏期后可以康复并具有免疫力。

在SIR模型中，康复者不再具有传播传染病的能力，不会再感染其他人。

与SI模型相比，SIR模型所描述的传染病传播速度相对较慢，且可能经历一次大规模的传播后逐渐衰减。

三、SEIR模型SEIR模型是在SIR模型的基础上进一步扩展的，其中E表示潜伏者(Exposed)。

在SEIR模型中，人群被分类为易感者、潜伏者、感染者和康复者四个状态。

潜伏者是指已经被感染但尚未表现出症状的个体，潜伏期结束后，潜伏者会进一步转化为感染者，并开始传播传染病。

由于潜伏期的存在，SEIR模型所描述的传染病具有一定的潜伏期，并且在人群中的传播速度相对较慢。

四、SIRS模型SIRS模型是对SIR模型的改进，其中S表示易感者、I表示感染者，R表示免疫者(Susceptible-Infected-Recovered-Susceptible)。

一类含个体意识的SIS网络传播模型的分析

Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＩｎｏｒｄｅｒｔＯｓｔｕｄｙａｎＳＩＳｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌｏｎｎｅｔｗｏｒｋｓｗｉｔｈａｗａｒｅｎｅｓｓ，ｓｐｅｃｉａｌｌｙａｄｄｒｅｓｓｉｔｓｓｏｌｕｔｉｏｎｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ，ｂｙ
ｓｈｏｗｔｈａｔａｎｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌｏｎｎｅｔｗｏｒｋｓｗｉｔｈａｗａｒｅｎｅｓｓａｎｄａｎｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌｏｎｎｅｔｗｏｒｋｓｗｉｔｈｏｕｔａｗａｒｅｎｅｓｓｈａｖｅｔｈｅｓａｍｅｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｎｔｈｅｄｙｎａｍｉｃｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＳＩＳ；ｅｐｉｄｅｍｉｃｓｐｒｅａｄ；ｉｎｄｉｖｉｄｕａｌａｗａｒｅｎｅｓｓ
ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆａｎＳＩＳｎｅｔｗｏｒｋｅｐｉｄｅｍｉｃｍｏｄｅｌｗｉｔｈｉｎｄｉｖｉｄｕａｌａｗａｒｅｎｅｓｓ
ＸｕＺｈｏｎｇｐｕ，１ＡＫｅｚａｎ
（ＳｃｈｏｏｌｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＣｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌＳｃｉｅｎｃｅ，ＧｕｉｌｉｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｇｕｉｌｔｎ５４１００４．Ｃｈｉｎａ）

病毒传播SIS模型研究1

病毒传播问题的研究由来已久，而一再的病毒流行使得这一领域长期以来吸引着人们的注意。

在对病毒传播过程的描述各种模型中，“易感－感染－易感”（SIS ）模型是研究者经常的选择。

关于SIS 模型，可以简单的描述为：一个易感的个体在和一个具有传染性的个体的接触中，在单位时间以一定的概率（β）被感染，同时，已感染的个体以概率（γ）被治愈又重新成为健康（易感）的个体。

实际中大量的问题可以利用网络（图）进行描述，比如在传染病问题的描述中，个体（人、动物、计算机等）可以看作网络的节点，当个体之间有可以导致病毒传播的接触时在两个个体之间连边。

比如，对于接触性传染病，个体存在两种状态，健康的（易感的）和已感染的；将这些个体作为网络的节点，由于两个个体之间的亲密接触可能导致病毒的传播，因此可在两者之间进行连边。

一个个体所接触的其它个体数量称为该节点的度（边数）。

所谓二部网络（图），是网络中的节点可分成两类（比如男性和女性，雄性和雌性等），边仅仅存在于两类节点之间。

在经典的传染病学模型中，总是假定病毒赖以传播的网络具有匀质性，即网络中节点有基本相同的度，但一些研究表明，这一假设远远背离实际情况。

因此，发现实际网络的一些特性，并研究这样的网络上的病毒传播问题具有理论和实际意义。

本题我们主要研究二部网络上的病毒传播问题，根据附件提供的一个二部网络（由10000个A 类节点和10000个B 类节点构成）的节点度的数据，完成以下任务：1．根据“附件”提供的数据data.xls ，选择适当的坐标，作出节点连接度和其出现频率的图形，观察这种类型的连接度数据大致服从什么分布？2．生成上述网络，可以采用如下的机制：先生成一个小型的二部图，随后在A类中加入一个新节点并向B 类中的节点连边，该边指向B 类中i 号节点的概率正比于i 号节点当前的连接度，而后在B 类中产生新节点，以同样的方式向A 类连边，当这两个步骤进行足够多次之后即可得到满足数据文件特点的网络。

一类网络上的SIS传染病模型

一类网络上的SIS传染病模型王惟;张国志【摘要】文章研究了网络上SIS传染病模型,考虑了交叉感染、迁移扩散以及迁移时滞对传染病传播的影响.结合图论中强连通图的相关知识构造出恰当的Lyapunov泛函,证明系统的一致有界性.同时利用强次线性求出了阈值s,给出无病平衡点和地方病平衡的全局渐近稳定的条件.【期刊名称】《太原师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(017)001【总页数】4页(P7-10)【关键词】网络传染病模型;Lyapunov泛函;Lasalle不变集原理;全局渐近稳定【作者】王惟;张国志【作者单位】晋中学院数理学院,山西晋中 030619;晋中学院数理学院,山西晋中030619【正文语种】中文【中图分类】O175.130 引言随着社会发展，不同地区成员交流越来越多，讨论传染病模型时，有必要考虑不同地区成员之间疾病传染的情况，也就是说需要将模型结合网络进行研究.作者Michael Y.Li等将图论知识应用到高维网络结构上的传染病模型，主要研究各个地区之间的成员单独通过交叉感染所形成的网络[1-4]. 本文将讨论双重耦合网络上的SIS模型：(1)其中：Si表示第i个斑块里易感者数量，Ii代表i斑块染病者的数量；bi(bi>0)表示单位时间外界输入到斑块i的成员总数；第i斑块内自然死亡率用符号μi(μi>0)；交叉感染的发生率为βijSiIj，(βij≥0)；γi(γi>0)代表第i斑块内染病者的恢复率系数；dij(i≠j)表示斑块j的成员向斑块i的迁移率系数，则i≠j时dij≥0,而dii表示从斑块i中迁出率系数，则dii≤0且称矩阵D=(dij)n×n为迁移矩阵；μij(μij≥0)表示从第j个斑块到第i个斑块迁移途中的死亡率，假定μii=0，τij是从斑块j到斑块i所需要的时间，假定τii=0.系统(1)的初值条件是且τ=max{τij：i，j=1，2，…，n}.那么，无论初值怎么选取，系统(1)都会存在非负解，而且是唯一的[5].1 平衡点的稳定性1.1 有界性记Ni=Si+Ii，i=1，2，…，n,则(1)可改写成下面形式：(2)其中为了方便，这里记δij=e-μijτij.接下来需要考虑系统(2)的平衡点情况.引理1 系统(2)在上存在唯一的正平衡点.证明首先我们知道 (2)的平衡点为下面方程(3)的解：(3)如果记矩阵则平衡点方程可等价于MN=b,其中N=(N1，N2，…，Nn)T,b=(b1，b2，…，bn)T.注意到矩阵M非对角线上的元素都不是正数，这样M为Z-矩阵[6].又0<δij≤1(i≠j),则故M是严格对角占优矩阵[6]. 从而M是严格对角占优Z-矩阵，于是M是非奇异的且M-1为非负矩阵，即M-1≥0.于是方程(3)的解N0=M-1b唯一并且每一个分量均为正.这即说明系统(3)有惟一的平衡点满足：(4)从而命题得证.引理2 如果D=(dij)n×n不可约，则系统(2)存在平衡点N0,且是唯一的，在全局渐近稳定.证明构造泛函结合 (4)，可以知道Vi沿系统(2)有：记Φ(x)=1-x+lnx，x>0；又因为Φ(x)≤0,则令并记矩阵A=(aij)n×n,于是下面考虑有向赋权图(G，A),其Laplacian 矩阵为由于故矩阵A的非对角元素和矩阵D非对角元素具有相同的符号模式，从而矩阵A也是不可约矩阵，这样有向赋权图(G，A)为强连通图.从而Laplacian 矩阵L满足这样的结果[3]：其对角线上第i(i=1，2，…，n)个元素对应的代数余子式ci>0.利用Kirchhoff’s Matrix Tree定理，容易知道：是系统(2)的Lyapunov泛函[3]，也就是说V'·(2)≤0.当V'·(2)=0时，对∀即从而，系统(2)在{(N1，N2，…，Nn)·V'·(2)=0}中的最大不变子集为单点集{N0},从而平衡点在全局渐近稳定，于是得到下述定理：定理1 假设迁移矩阵D=(dij)n×n不可约，初值时，存在常数K>0，T>0,使得系统(1)的解Si(t)，Ii(t)满足t≥T时，有1.2 平衡点的渐近稳定性根据定理1，在迁移矩阵D=(dij)n×n不可约的前提下，我们知道系统(1)一定存在正向不变集同时可以知道系统(1)的无病平衡点为：定义矩阵M0=(mij)n×n，其中并记其稳定模为s=s(M0)=max{Reλ：λ为矩阵M 的特征值}.我们以定理形式先列出相关结论：定理2[7] 对下面的系统(5)i，j=1，2，…，n， r>0，αj>0，且Fi(0)=0,若下列条件成立：1)映射是合作的且不可约，即∀时有且矩阵不可约；2)∀当Mi=0,Fi(M)≥0，i=1，2，…，n，且∀1≤j≤n，Bi=(b1j，b2j，…，bnj)T≥0；3)设是强次线性的.记矩阵则a)若稳定模则零平衡点在上全局渐近稳定；b)若则有∀有；或者系统(5)存在唯一的正平衡点M*∈Rn,且M*在上全局渐近稳定.定理3 对于系统(1)，若矩阵B=(βij)n×n和迁移矩阵D=(dij)n×n均不可约，则s≤0时，无病平衡点E0全局渐近稳定；s>0时，系统(1)存在唯一的地方病平衡点E*在Ω\{0}全局渐近稳定.证明由于Si=Ni-Ii,且,i=1，2，…，n.那么可以先考虑系统(1)的极限系统：(6)需要首先考虑 (6)的平衡点在不变集渐近行为.下面根据定理2进行证明.为了方便说明，将系统(6改写成如下形式：(7)其中(7)中的里的发现与式(5)中的不同之处是系统(6)中的时滞τij因i，j不同而变化，但这不影响问题的讨论.则：1)∀时有又因为矩阵B=(βij)n×n不可约，可以发现求出的DF(I)不可约；2)∀当Ii=0,Fi(I)≥0，i=1，2，…，n，且由于矩阵D=(dij)n×n不可约，所以∀1≤j≤n，Bi=(b1j，b2j，…，bnj)T≥0；3) 观察Hi(I)=-Iigi(Ii)+Fi(Ii)，i=1，2，…，n.对于∀α∈(0，1)，I>0均有故Hi(αI)>αHi(I),也即是强次线性的.且矩阵M0满足于是根据定理2可得到：a)若s≤0时，系统(6)的零平衡点{(I1，I2，…，In)=(0，0，…，0)}在Ω0上全局渐近稳定；b)若s>0,根据系统的一致最终有界性，可以排除系统(6)的解趋于无穷的情况，从而系统(6)一定存在唯一的正平衡点I*,且在Ω0\{0}上全局渐近稳定.由极限系统理论，当t→+时，故s≤0,系统(1)无病平衡点E0全局渐近稳定；s>0时，系统(1)存在唯一的地方病平衡点E*在Ω\{0}全局渐近稳定.2 结语本文采取的人口输入均为常数，如果尝试B(N)N等输入方式[8]，预期的动力学行为能够更丰富一些，这些将是未来需要努力的方向.参考文献：【相关文献】[1] GUO H B，LI Michael Y，SHUAI Zhisheng.Global stability of the endemic equilibrium of multigroup SIR epidemic models[J].Canadian Applied Mathematics Quarterly，2006，14(3)：259-284[2] GUO H B，LI Michael Y，SHUAI Zhisheng.A graph-theoretic approach to the method of global Lyapunov functions [J].Proceedings of the American Mathematical Society，2008，136(136)：2793-2802[3] LI Michael Y，SHUAI Zhisheng.Global-stability problem for coupled systems of differential equations on networks [J].Journal of Differential Equations.2010，248(1) ：1-20[4] LI Michael Y，SHUAI Zhisheng,WANG Chuncheng.Global stability of multi-group epidemic models with distributed delays [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications.2010，361(1)：38-47[5] YANG K.Delay differential equations with applications in population dynamics [M].Jinan：Academic Press，1993[6] 蒋正新，施国梁. 矩阵理论及其应用[M].北京：北京航空学院出版社，1998[7] ZHAO X Q，JIN Z J.Global asymptotic behavior in some cooperative systems of functional differential equations [J].Canadian Applied Mathematics Quarterly.1996，4(4)：421-444[8] WANG W D，MULONE G.Threshold of disease transmission in a patch environment [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications.2003，285(1)：321-335。

传染病模型SI、SIS、SIR

SI模型利用MATLAB求解传染病模型中的SI模型的解析解: 程序中a即λ,y即i>> y=dsolve('Dy=a*(y-y^2)','y(0)=y0')y =1/(1-exp(-a*t)*(-1+y0)/y0)画图：SI模型的i~t曲线设λ=1, i(0)=0.1>> y=dsolve('Dy=y-y^2','y(0)=0.1')y =1/(1+9*exp(-t))>> x=0:0.01:13;y=1./(1+9.*exp(-x));>> plot(x,y)title('SI模型的i~t曲线');xlabel('t');ylabel('i');axis([0 13 0 1.1]);画图：SI模型的di/dt~i曲线程序中x即i，y即di/dt,λ=1 >> x=0:0.01:1;y=x-x.*x;>> plot(x,y)title('SI模型的di/dt~i曲线'); xlabel('i');ylabel('di/dt');>>SIS模型利用MATLAB求解传染病模型中的SIS模型的解析解:程序中a即λ,b即μ,y即i>> y=dsolve('Dy=a*(y-y^2)-b*y','y(0)=y0')y =(a-b)/(a-exp(-(a-b)*t)*(-a+b+y0*a)/y0/(a-b)*a+exp(-(a-b)*t)*(-a+b+y0*a)/y0/(a-b) *b)画图：SIS模型的di/dt~i曲线（δ>1）程序中x即i，y即di/dt,λ=1,μ=0.3>> x=0:0.01:1;>> y=0.7.*x-x.^2;>> plot(x,y)title('SIS模型的di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');>>画图：SIS模型的i~t曲线（δ>1）设λ=1,μ=0.3,i(0)=0.02>> y=dsolve('Dy=0.7*y-y^2','y(0)=0.02') y =7/(10+340*exp(-7/10*t))>> x=0:1:16;>> y=7./(10+340.*exp(-7./10.*x));>> plot(x,y)title('SIS模型的i~t曲线'); xlabel('t');ylabel('i');>>画图：SIS模型的di/dt~i曲线（δ≤1）程序中x即i，y即di/dt,λ=0.5,μ=0.6 >> x=0:0.01:1;>> y=-0.5.*x.^2-0.1.*x;>> plot(x,y)title('SIS模型的di/dt~i曲线');xlabel('i');ylabel('di/dt');>>画图：SIS模型的i~t曲线（δ≤1）设λ=0.5,μ=0.6,i(0)=0.02>> y=dsolve('Dy=-0.5*y^2-0.1*y','y(0)=0.02') y =1/(-5+55*exp(1/10*t))>> x=0:1:40;>> y=1./(-5+55.*exp(1./10.*x));>> plot(x,y)title('SIS模型的i~t曲线');xlabel('t');ylabel('i');>>SIR模型利用MATLAB求解传染病模型中的SIR模型的数值解: 程序中a=λ=1, b=μ=0.3，i(0)=0.02,s(0)=0.98M文件中：function y=ill(t,x)a=1;b=0.3;y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1),-a*x(1)*x(2)]';命令窗口中：>> [t,x]=ode45('ill',[0:50],[0.02,0.98]);[t,x]ans =0 0.0200 0.98001.0000 0.0390 0.95252.0000 0.0732 0.90193.0000 0.1285 0.81694.0000 0.2033 0.69275.0000 0.2795 0.54386.0000 0.3312 0.39957.0000 0.3444 0.28398.0000 0.3247 0.20279.0000 0.2863 0.149310.0000 0.2418 0.114511.0000 0.1986 0.091712.0000 0.1599 0.076713.0000 0.1272 0.066514.0000 0.1004 0.059315.0000 0.0787 0.054316.0000 0.0614 0.050717.0000 0.0478 0.048018.0000 0.0371 0.046019.0000 0.0287 0.044520.0000 0.0223 0.043421.0000 0.0172 0.042622.0000 0.0133 0.041923.0000 0.0103 0.041524.0000 0.0079 0.041125.0000 0.0061 0.040826.0000 0.0047 0.040627.0000 0.0036 0.040428.0000 0.0028 0.040329.0000 0.0022 0.040230.0000 0.0017 0.040131.0000 0.0013 0.040032.0000 0.0010 0.040033.0000 0.0008 0.040034.0000 0.0006 0.039935.0000 0.0005 0.039936.0000 0.0004 0.039937.0000 0.0003 0.039938.0000 0.0002 0.039939.0000 0.0002 0.039940.0000 0.0001 0.039941.0000 0.0001 0.039942.0000 0.0001 0.039943.0000 0.0001 0.039944.0000 0.0000 0.039845.0000 0.0000 0.039846.0000 0.0000 0.039847.0000 0.0000 0.039848.0000 0.0000 0.039849.0000 0.0000 0.039850.0000 0.0000 0.0398 >> plot(t,x(:,1),t,x(:,2)),grid,pause i(t),s(t)图形如下：>> plot(x(:,2),x(:,1)),grid,pause i~s图形（相轨线）如下：画图：SIR模型的相轨线程序中y即i, x即s, λ=1,μ=0.3①s(0)=0.32;②s(0)=0.58;③s(0)=0.73;④s(0)=0.85>> x=0:0.01:1;>> y=1-x;>> y1=1-x+0.3.*(log(x)-log(0.32));>> y2=1-x+0.3.*(log(x)-log(0.58));>> y3=1-x+0.3.*(log(x)-log(0.73));>> y4=1-x+0.3.*(log(x)-log(0.85));>> plot(x,y,x,y1,x,y2,x,y3,x,y4)axis([0 1 0 1]);title('SIR模型的i~s曲线'); xlabel('s');ylabel('i');。

传染病的数学模型

For personal use only in study and research; not for commercial use传染病模型详解2.2.2 /,SI SIS SIR 经典模型经典的传播模型大致将人群分为传播态S ，易感染态I 和免疫态R 。

S 态表示该个体带有病毒或谣言的传播能力，一旦接触到易感染个体就会以一定概率导致对方成为传播态。

I 表示该个体没有接触过病毒或谣言，容易被传播态个体感染。

R 表示当经过一个或多个感染周期后，该个体永远不再被感染。

SI 模型考虑了最简单的情况，即一个个体被感染，就永远成为感染态，向周围邻居不断传播病毒或谣言等。

假设个体接触感染的概率为β，总人数为 N ，在各状态均匀混合网络中建立传播模型如下：dS SI dt N I SId tN ββ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 从而得到(1)di i i dtβ=- 对此方程进行求解可得：0000(),01tti e i t i i i i e ββ==-+（）可见，起初绝大部分的个体为I 态，任何一个S 态个体都会遇到I 态个体并且传染给对方，网络中的S 态个数随时间成指数增长。

与此同时，随着I 态个体的减少，网络中S 态个数达到饱和，逐渐网络中个体全部成为S 态。

然而在现实世界中，个体不可能一直都处于传播态。

有些节点会因为传播的能力和意愿的下降，从而自动转变为永不传播的R 态。

而有些节点可能会从S 态转变I 态，因此简单的SI 模型就不能满足节点具有自愈能力的现实需求，因而出现SIS 模型和SIR 模型。

SIR 是研究复杂网络谣言传播的经典的模型。

采用与病毒传播相似的过程中的S ，I ，R 态代表传播过程中的三种状态。

Zanetee ，Moreno 先后研究了小世界传播过程中的谣言传播。

Moreno 等人将人群分为S （传播谣言）、I （没有听到谣言），R （对谣言不再相信也不传播）。

假设没有听到谣言I 个体与S 个体接触，以概率()k λ变为S 个体，S 个体遇到S 个体或R 个体以概率()k α变为R ，如图 2.9 所示。

一类SIS流行病传播数学模型全局渐近稳定性

令 D= 0, d + A= L, 系统( 1) 和 ( 2) 化为文[ 6] 中的模型 S Û = r - dS I = Û 推论成立 : bIS , 1 + aI ( 7) ( 8)
Q
S r d
r x- d dx + I , x
ad ( A + d + D) 2 ( R 0 - 1) - ( A+ d ) b( A+ d + ar ) ad ( A+ d + D) 2 ( R 0 - 1) b( A+ d + ar)
,
显然 V 定正, 且沿系统 ( 1) 和( 2) V 对 t 的全导数 r Sd V= Û S+ Û I = S Û dS - r ( r - dS - bIS + D I) + dS 1 + aI bIS - ( A+ d + D) I = 1 + aI ( dS - r ) 2 br - [ A+ d + D]IdS d( 1 + aI ) r ( - 1) D I = dS
*
5
讨论
4 临界情形数值模拟结果
考虑临界情形 R 0 = 1, 将系统 ( 1) 和 ( 2) 离散化, 做数值模拟分析 . 选取 r = 0. 02, b = 0. 05, a = 5, A= 0. 01, d = 0. 03, D = 0. 02, 取 9 组初值进行数值计算, 计算机模拟结果如图 1 所示 .
bIS - ( d + A+ D) I , 1 + aI 可见 , 在临界情况下, 无病平衡点很有可能是渐近稳定的.
则 5 ( BP ) 5( BQ) r D ab + =- 2 - 2< 0. 5S 5I S I S ( 1 + aI ) 2 利用 Dulac 判定定理可知系统( 1) 和( 2) 在第一象限内无闭轨线 , 故结合定理 2. 2 可知 : 当 R 0 > 1 时 , 地方病平衡点 E 全局渐近稳定 .

SI.SIR.SIS-模型

数学模型实验—实验报告10学院：专业：姓名：学号：___ ____ 实验时间：__ ____ 实验地点：一、实验项目：传染病模型求解二、实验目的和要求a.求解微分方程的解析解b.求解微分方程的数值解三、实验内容问题的描述各种传染病给人类带来的巨大的灾难，长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。

不同类型传染病有各自不同的特点，在此以一般的传播机理建立几种3模型。

分别对3种建立成功的模型进行模型分析，便可以了解到该传染病在人类间传播的大概情况。

模型一（SI模型）：（1）模型假设1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，人群分为健康人和病人，时刻t这两类人在总人数中所占比例为s（t）和i（t）。

2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数a，a成为日接触率，当病人与健康者有效接触时，可使其患病。

（2）建立模型根据假设，每个病人每天可使as（t）个健康人变成病人，t时刻病人数为Ni（t），所以每天共有aNs（t）i（t）个健康者被感染，即病人的增加率为： Ndi/dt=aNsi又因为s（t）+i（t）=1再记时刻t=0时病人的比例为i0则建立好的模型为：i(0)=i0（3）模型求解（代码、计算结果或输出结果）syms a i t i0 % a：日接触率，i：病人比例， s：健康人比例，i0：病人比例在t=0时的值i=dsolve('Di=a*i*(1-i)','i(0)=i0','t');y=subs(i,{a,i0},{0.3,0.02});ezplot(y,[0,100])figurei=str2double(i);i=0:0.01:1;y=0.3*i.*(1-i);plot(i,y)SI模型的i~t曲线 SI 模型的di/dt~i 曲线（4）结果分析由上图可知，在i=0:1内，di/dt总是增大的，且在i=0.5时，取到最大值，即在t->inf时，所有人都将第1页/ 共5页患病。

基于SIS模型的封闭系统中传染病传播问题分析

隹 Isl^iSlsV 12021年第03期(总第219期)基于SIS 模型的封闭系统中传染病传播问题分析王旭，尹若宇,李成龙，陈嘉良,于庭任(itFa 航空航天大学，辽宁忧阳110136)摘要：文章采用情境假设、分类逐步讨论、模型优化的理论或方法，通过构建相比于其他经典疾病预测模型诸如SI 、SIR以及SEIR 等更为准确、合理的SIS 模型，并运用MATLAB 软件进行求解，以预测在封闭系统内同一人可多次被感染的疾病，在初始患病者分别为工作人员和非工作人员的条件下，系统中患病人数的变化情况。

根据患病人数变化趋势的预测结果，继续使用SIS 模型，讨论在封闭系统中，当采取不同类型的防疫措施时，对抑制疫情传播产生的影响。

最后结合研究结果以及实际情况给出合理化建议。

关键词:SIS 疾病预测模型；分类讨论法;假设法;MATLAB中图分类号:R181.3 文献标识码:A 文章编号:2096-9759( 2021 )03-0041-02传染性疾病具有传播范围广、扩散速度快、防控难度大等特点。

对传染病传播问题的研究分析关乎国家卫生安全，具有很高的社会价值。

首先,本文针对封闭系统中，如细菌性痢疾、伤风等治愈后仍会被感染的疾病传播问题进行分析，建立SIS 模型以预测初始患病者为不同人群时封闭系统内患病人数的变化情况，有助于相关部门在疫情大范围扩散前及时釆取有效防控措施。

其次，本文根据预测结果进行深入研究，分析当因各种缘故釆取不同类型的防疫措施时，对疫情传播趋势产生抑制的程度，釆取对应的防疫措施以阻断疫情的进一步蔓延。

1问题分析针对所要研究的问题进行分类讨论，本文先建立了一个封闭的系统模型，这个模型包括两个自然环境:一个是工作人员所处的人流密集的商场,一个是非工作人员所处的居民区，如图1所示。

当最初患病者为工作人员时，由于工作人员活动于封闭系统人员密集的地区，所以患病者每天接触易感者的概率会很高;当非工作人员为最初患病者时,由于患病者生活在居民区，在一定程度上相当于隔离，所以患病者每天接触易感者的概率会低一些。