电子工程专业毕业设计、电子通信工程基于COMSOL电磁场数值仿真设计论文

本科毕业设计(论文) 论文题目：基于COMSOL的电磁场数值仿真学生姓名：
学号:
班级：
专业：电子信息工程
院（系）：电子工程学院
指导教师：
年月日
摘要
基于COMSOL的电磁场数值仿真
本文利用多物理场仿真软件COMSOL主要进行了简单电磁场，变化电磁场的仿真、并对Halbach转子的静磁场：一个向外磁通聚焦磁场的静态磁场模型和平面反向F（PIFA）天线进行重点模拟仿真。

仿真结果符合电磁场理论计算结果，天线频率范围在2.11GHz到2.155GHz之间，2.13GHz时，S参数达到最小值约-15.4 dB，天线输入阻抗匹配的最佳参考阻抗为50Ω。

展示了COMSOL MULTHYSICS 软件所提供的简单的、高度集成的数值解决方案。

关键词：电磁场、模拟仿真、天线、COMSOL
Abstract
The Research of Magnetic Field Simulation System Based on COMSOL
Multiphysics simulation software COMSOL which used in this paper is mainly focused on the simple electromagnetic field, variation of the electromagnetic field simulation, and the rotor Halbach static magnetic field: a outward flux focusing magnetic field of static magnetic field model and the plane reverse F (PIFA) antenna focus on simulation. Simulation results accord with theory of electromagnetic field calculation results, the frequency range of the antenna in the 2.11GHz to 2.155GHz, 2.13GHZ, s parameter reaches the minimum value of about - 15.4 dB, the antenna input impedance matching the best reference impedance is 50 ohms. The COMSOL MULTHYS ICS software provides a simple, highly integrated numerical solution.
Key Words：electromagnetic field、simulation 、antenna 、COMSOL
目录
第一章绪论 (5)
1.1本论文的背景和意义 (5)
1.2 本论文的主要研究内容 (6)
1.3 本论文的结构安排 (6)
第二章数值计算方法简介和COMSOL Multiphysics建模基础 (7)
2.1 电磁学基础知识 (7)
2.1.1麦克斯韦方程组（Maxwell’s Equations） (7)
2.1.2 相对关系（Constitutive Relations） (8)
2.1.3电动势 (9)
2.1.4电磁场的能量Electromagnetic Energy (9)
2.1.5 准静态近似和洛伦兹定理 (10)
2.1.6 材料属性 (11)
2.1.7关于边界条件和物理接口 (11)
2.1.8 向量Phasors (12)
2.1.9相关变量属性 (12)
2.2 电磁场数值分析方法理论基础 (14)
2.2.1 有限差分法 (14)
2.2.2 矩量法 (14)
2.2.3 有限元法 (15)
2.3 AC/DC模块建模的过程 (16)
2.3.1 模块概述 (16)
2.3.2 根据模型的几何特点选取恰当的空间维度 (16)
2.3.3 力和力矩的计算 (16)
第三章基于Comsol的电磁场数值仿真 (18)
3.1 COMSOL Multiphysics软件介绍 (18)
3.2 普通电磁场仿真 (20)
3.2.1 本例仿真简介 (20)
3.2.2 导入几何三维模型 (21)
3.2.3 定义材料属性 (21)
3.2.4 定义边界条件 (22)
3.2.5 划分网格 (22)
3.2.6 设置求解器 (23)
3.2.7后处理及模型数据分析 (23)
3.3 Halbach转子的静磁场仿真 (24)
3.3.1 本案例仿真简介 (24)
3.3.2导入模型并定义几何尺寸 (25)
3.3.3设置全局变量 (25)
3.3.4设置材料属性 (25)
3.3.5电磁场参数设置 (26)
3.3.5网格划分 (28)
3.3.6求解器设置 (29)
3.3.7后处理及模型数据分析 (29)
3.4 变化电磁场的仿真 (31)
3.4.1 20kHZ磁场中的铁球 (32)
3.4.2 60Hz磁场中的铁球 (37)
3.4.3 13.56 MHz 磁场中的铁球 (46)
3.4.4 变化电磁场三种案例综合分析 (54)
3.5 天线仿真 (55)
3.5.1 本例仿真简介 (55)
3.5.2 导入模型并定义几何参数，见图3.5.3. (56)
3.5.3 定义材料属性 (56)
3.5.4 划分网格 (57)
3.5.5 设置求解器 (58)
3.5.6 用求解器进行求解 (58)
3.5.7 结果分析及后处理 (58)
3.6 本章小结 (61)
第四章结束语 (62)
4.1论文总结 (62)
4.2个人总结 (62)
参考文献 (63)
致谢 (65)
基于COMSOL电磁场数值仿真
第一章绪论
1.1本论文的背景和意义
现代化的研究科学中，先进行科学试验，其次进行理论分析，再进行高性能计算三步骤已经成为三种重要的研究手段。

在电磁学领域中，经典电磁理论只能在几种种可分离变量坐标系中求解麦克斯韦方程组或者其退化形式，最后得到解析解。

解析解是具备很多好处的，可以通过运用已经知道的函数，以此将解答的东西表示出来。

这样的做的优点还在于可以让得到的数值变得更加准确;可以作为近似解和数值解的检验标准;在解析过程中和在解的显式中可以观察到问题的内在联系和各个参数对数值结果所起的作用。

这种方法可以得到问题的准确解，而且效率也比较高，但是适用范围太窄，只能求解具有规则边界的简单问题。

当遇到不规则形状或者任意形状边界问题时，则需要比较复杂的数学技巧，甚至无法求得解析解。

20 世纪60 年代以来，随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算方法也迅速发展起来，并在实际工程问题中得到了广泛地应用，形成了计算电磁学研究领域，已经成为现代电磁理论研究的主流。

简而言之，计算电磁学是在电磁场与微波技术学科中发展起来的，建立在电磁场理论基础上，以高性能计算机技术为工具，运用计算数学方法，专门解决复杂电磁场与微波工程问题的应用科学。

相对于经典电磁理论分析而言，应用计算电磁学来解决电磁学问题时受边界约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题。

原则上来讲，从直流到光的宽广频率范围都属于该学科的研究范围。

近几年来,电磁场工程在以电磁能量或信息的传输、转换过程为核心的强电与弱电领域中显示了重要作用。

在电磁场的数值分析的计算方法中，有限差分法（也被称为网格法finite difference method）是被人们应用的最早的一种方法，早在上世界五六十年代，有限差分法就以其直观简单的特点在电磁场数值分析领域得到了广泛的应用。

近代科学的发展，使这种方法本身经历了从笔算到计算机电脑运算的变革，与此同时的方法涉及到的方方面面也由线性场扩展到了非线性场；由时不变场扩展到了时变场。

虽然现阶段电磁场的数值分析计算方法日新月异，即便是有限差分法与变分法相结合的基础上形成的有限元方法日益得到广泛的应用，有限差分法仍然有其固有的优点，还是一种不可忽略的数值计算分析方法。

矩量法是一种将连续方程离散化成为代数方程组的方法。

它不但适用于微分方程而且适用于积分方程，但是由于已经有有效的数值计算方法求解微分方程，所以目前矩量法大都用来求解积分方程。

矩量法只有在计算机可供使用以后才得
到了广泛的应用同时也得到了更快的发展。

有限元法（finite element method）是一种高效能、常用的数值计算方法。

科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。

有限元法在早期是以变分原理为基础发展起来的，所以它广泛地应用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各类物理场中这类场与泛函的极值问题有着紧密的联系。

自从1969年以来，某些学者在流体力学中应用加权余数法中的迦辽金法(Galerkin)或最小二乘法等同样获得了有限元方程，因而有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。

有限元分析方法主要分为三个步骤：一、将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合。

元素（单元）的形状原则上是任意的。

二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等。

每个单元的顶点称为节点（或结点）；二、进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数。

；三、用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。

有限元法把连续体离散成有限个单元：杆系结构的单元是每一个杆件；连续体的单元是各种形状（如三角形、四边形、六面体等）的单元体。

每个单元的场函数是只包含有限个待定节点参量的简单场函数，这些单元场函数的集合就能近似代表整个连续体的场函数。

根据能量方程或加权残量方程可建立有限个待定参量的代数方程组，求解此离散方程组就得到有限元法的数值解。

有限元法已被用于求解线性和非线性问题，并建立了各种有限元模型，如协调、不协调、混合、杂交、拟协调元等。

有限元法十分有效、通用性强、应用广泛，已有许多大型或专用程序系统供工程设计使用。

结合计算机辅助设计技术，有限元法也被用于计算机辅助制造中。

本文在讨论了有限差分法、矩量法和有限元分析方法之后，主要采取有限元分析法使用多物理场分析软件COMSOL用有限元分析法对几种典型的电磁场做出了仿真分析。

1.2 本论文的主要研究内容
本论文以有限元分析法为理论依托，在多物理场仿真软件COMSOL的平台上，对普通电磁场、时变电磁场、普通手机天线做出了仿真分析。

1.3 本论文的结构安排
本论文的结构安排如下
第一章、绪论，介绍了本论文的研究背景和研究意义；
第二章、主要介绍了COMSOL Multiphysics进行电磁场数值计算的理论基础和建模基础；
第三章、在这一章节使用了多物理场仿真软件COMSOL Multiphysics，在此软件的平台上面构造了六个仿真案例，包含了对普通电磁场、时变电磁场、普通手机天线，分别对其进行了模型搭建、边界条件初始化、运行求解器、结果后处理，并对运行结果做出了相应的评价与分析。

第四章、全文总结。

第二章 数值计算方法简介和COMSOL Multiphysics 建模
基础
本文主要运用COMSOL Multiphysics 中的AC/DC 模块进行数值仿真模拟计
算。

AC/DC 模块为解决二维、三维电磁学问题提供了一个相对独立和特殊的环
境，对于处理线圈、电容、电感等电子器件提供了强大的处理功能。

并且为解决
静态、准静态、瞬态和时变问题提供了图形化接口。

这些问题涵盖了电场、磁场、
电导体内的电流、低频电磁场等分析范围。

2.1 电磁学基础知识
2.1.1麦克斯韦方程组（Maxwell’s Equations ）
麦克斯韦方程组（Maxwell' equations ）是19世纪的英国伟大的物理学家詹
姆斯麦克斯韦（J.Maxwell ）建立的一组方程组，在这个方程组中，以偏微分方
程描述了电场、磁场和电荷密度、电流密度之间的关系。

0ρ
∂⎧∇⨯=+⎪∂⎪∂⎪∇⨯=-⎨∂⎪∇=⎪⎪∇=⎩
D H J t B
E t D B E 为电场强度；
D 为电位移；
H 为磁场强度；
B 为磁通量密度；
J 为电流密度；
ρ为电荷密度；
前两个公式还可以叫做''Maxwell Ampe re s law （麦克斯韦——安培定律）和
'Faraday law （法拉第定律），三四公式分别为'Gauss law （高斯定律）的电场
形式和磁场形式。

另外一个非常有用的基础性公式是 ρ∂∇=-∂J t
2.1.2 相对关系（Constitutive Relations ）
上述五个公式中，只有三个是相互独立的，前面两个公式与高斯定律中的任意一个公式或者再加上最后一个公式就可以构成一个独立的系统。

为了得到一个闭合系统的宏观性质，我们需要用到以下公式
00()εμσ=+⎧⎪=+⎨⎪=⎩
D E P B H M J E
0ε为真空中的电导率；、
0μ为真空中的磁导率；
σ为电导率；
在国际单位制中，真空中的电导率70410/επ-=⋅H m ，真空中的电磁波速度0c 和真空中的电导率有以下关系
12902001
18.85410/10/36εμπ
--==⋅≈⋅F m F m c 在COMSOL Multiphysics 中，真空中的电导率、磁导率、电磁波的速度这些参数都是预定义好的参数，可以直接拿来使用。

P 是电极化强度适量，他是一个表示在电场E 中材料的电极化的程度和极化方向的物理量。

P 是电场强度E 衍生出来的物理量。

尽管某些时候电场不存在，但是材料的电极化强度矢量也不为零。

相对应的M 是磁极化强度矢量，它描述的是材料在一个磁场H 中的磁极化强度和极化方向的物理量。

M 是磁场强度H 衍生出来的物理量。

尽管某些时候磁场不存在，但是材料的磁极化强度矢量也不为零。

对于线性材料而言，在电场中的电极化强度也随场强度的变化程线性变化，
0εχ=e P E
χe 是电极化系数。

相似的，在磁场中线性材料的磁极化强度也随着磁场做线性变化，
χ=m M H
χm 是磁极化系数。

所以诸如此类的线性材料有如下关系式
()()000011εχεεεμχμμμ⎧=+==⎪⎨=+==⎪⎩e r m r D E E E B H H H
εr 是材料的相对电导率，μr 是材料的相对磁导率。

如果是非线性材料，对于电场而言，有如下关系式
0εε=+r r D E D
r D 是残余位移，表示电场不存在空间的位移量。

对于磁场而言则有
0μμ=+r r B H B
r B 是残余磁通量密度，表示在磁场不存在空间的磁通量密度。

2.1.3电动势
在特定的情况下，我们需要定义电动势V 和磁矢量A 的关系来处理问题：
=∇⨯⎧⎪∂⎨=-∇-⎪∂⎩
B A A E V t 这两个公式是高斯定律和法拉第定律直接推到出来的结果，在电磁场中没有电流存在的情况下麦克斯韦——安培定律就成为0∇⨯=H ，那么就可以得出=-∇m H V 。

2.1.4电磁场的能量 Electromagnetic Energy
电场和磁场的能量有以下公式得出
()()
0000⎧∂⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎪∂⎪⎝⎭⎨∂⎛⎫⎪=⋅=⋅ ⎪⎪∂⎝⎭⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D D e V V B T m V V D W E dD dV E dt dV t B W H dB dV H dt dV t 从时域上将就是各自的功率，也就是：
∂⎧=⋅⎪⎪∂⎨∂⎪=⋅⎪∂⎩
⎰⎰e V m V D P E dV t B P H dV t 这些变量涉及到了阻性辐射能量和能量损失，根据波因庭理论（Poynting’s theorem ）可以得到
()∂∂⎛⎫-⋅+⋅=⋅+⨯⋅ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰V V S
D B
E H dV J EdV E H ndS t t 其中V 是计算区域，S 是V 中的闭合曲面。

波因庭等式右边第一项h P 表示电阻能量的损失：
=⋅⎰h V
P J EdV 这部分能量损失是由材料的热损耗引起的（在此式中电流密度J 送麦克斯韦—安培定律的一种显示形式）。

波因庭等式右边第二项r P 为辐射损失：
()=⨯⋅⎰r S
P E H ndS =⨯S E H 被称为波因庭矢量。

在这个假设下，材料是线性并且等方向性的：
12112εεμμ⎧∂∂∂⎛⎫⋅=⋅=⋅ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎪⎨⎛⎫∂∂∂⎪⋅=⋅=⋅ ⎪⎪∂∂∂⎝⎭⎩
D E E E E E t t t B B H B B B t t t 经过计算和推到后能够得到
()1122εμ⎛⎫∂-⋅+⋅=⋅+⨯⋅ ⎪∂⎝⎭
⎰⎰⎰V V S E E B B dV J EdV E H ndS t 左边被积函数就是总的电磁场能量密度： 1
122ωωωεμ=+=⋅+
⋅e m E E B B 2.1.5 准静态近似和洛伦兹定理
麦克斯韦方程组有一个重要的结论就是时域的电流和电荷不会随着电磁场的变化同步变化。

在有限速度电磁波的场中，场的变化通常都滞后于源的变化。

在这个假设下这种效应可以被忽略，我们可以得到电磁场的静态电流在任意位置的值。

这种计算方法被称为准静态近似（Quasi-Static Approximation ）。

这种准静态近似要求被研究物的几何尺寸小于波长。

可以用连续性等式0∇⋅=J 来表示准静态近似的时域衍生∂∂D t ，可以再麦克斯韦——安培定律中忽略不计。

几何尺寸的变动同样会产生其他的影响，假设在一个相关的系统中被研究物以速度v 运动，单位电荷受力的改变F q 由以下的洛伦兹力方程
=+⨯F E v B q
这意味着对于从几何角度观测一个带电颗粒的受力情况，可以被视为由电场引起：
'E E v B =+⨯
在带电导体中，同样可以观测到电流密度
()e J E v B J σ=+⨯+
e J 是外部产生的电流密度。

因此麦克斯韦——安培定律可以扩展为()e H E v B J σ∇⨯=+⨯+，在这里法拉第定律依然没有实效。

2.1.6 材料属性
材料属性主要分为四种，见表2-1，关于一般常用材料的定义在后面章节还会详述。

2.1.7关于边界条件和物理接口
为了描述一个完整的电磁学问题，我们必须指定一系列恰当的边界条件，边界条件包括材料属性和物理属性。

在两种材料的边界，可以用下列方程式表示
()()()()2122122122
1200s s
n E E n D D n H H J n B B ρ⎧⨯-=⎪⋅-=⎪⎨⨯-=⎪⎪⋅-=⎩ s ρ表示表面电荷密度，s J 表示表面电流密度，2n 则表示两种材料中间的外
法线。

这四个条件中，只有两个独立的，首先选择方程一或四，然后在选择方程二或三，就可以建立起独立的方程组。

所以就可以由电流密度推导出边界条件
()212s n J J t
ρ∂⋅-=-∂ 理想的电导体拥有无穷大的电导率，所以内部是不存在电磁场的，否则他就会产生一个无穷大的电流密度。

在绝缘体和理想电导体之间，边界条件的E 和D 就可以简化，比如假设下标1代表一个理想电导体，那么1D =0和1E =0.如果这是个时变系统，那么1B =0和1H =0，这和麦克斯韦方程组推到出来的结果是一致的。

22222
22200
s s n E n D n H J n B ρ-⨯=⎧⎪-⋅=⎪⎨-⨯=⎪⎪-⋅=⎩ 上面四个方程就是时变电介质中边界条件的定义情况
2.1.8 向量 Phasors
当一个量是由谐波方式构成的，比如
()()()ˆ,cos E r t E
r t ωφ=+ 如果不是使用余弦函数将他展示出来，那么我们可以更加方便的以下面的方法将他展开
()()()()()
()()ˆˆ,cos Re Re j j t j t E r t E r t E r e e E r e φωωωφ=+== 在这里()E r 是一个向量，他有相位和模值构成，并且能够独立于参数t ，通过下面这个公式可以看出向量这种表达方式是更加适合使用的
()()Re j t E j E r e t
ωω∂=∂ 这种在频域的公式只适用于线性方程组。

2.1.9相关变量属性
在AC/DC 模块中，常用的相关变量总结见表2-2，这里涵盖了国际单位制
下相关变量的名称、符号和国标单位。

2.2 电磁场数值分析方法理论基础
2.2.1 有限差分法 设函数()f x 他的独立变量x 的一段很小的增量x h ∆=，那么相应的可以得到()f x 函数的增量就是
()()()f x f x h f x ∆=+-
称之为函数()f x 的一阶差分，与微分不同的是因为差分方法是存在有限量的差值，所以我们一般也成他为有限差分。

但是值得提到的是只要增量h 很小那么差分f ∆与其微分之间的差异就会相差很小。

我们可以根据差分的定义，在差分运算中经常使用一阶中心差分也就是：
()22h h f x f x f x ⎛⎫⎛⎫∆=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 然而一阶差分f ∆除以增量h 的商，称之为一阶差商
()()f x h f x f x h +-∆=∆
将接近于一阶导数df
dx ，按照这种方法可以类似的计算二阶差商：
()
()()()222
f x f x h f x h x ∆∆+-∆=∆
同理我们可以定义更高阶的差分和差商，由于高阶差分、差商在电磁场数值分析的有限差分法中并没有实际应用，所以在此不做讨论。

有限差分法就是以差分原理为基础的一种数值计算方法，它用各离散点上函数的差商来计算近似替代该点的片倒数，把需要求解的边值问题转化为一组相应的差分方程问题，然后再根据差分方程组求解处位于各个离散点上的代求函数值，便得到了所求边值问题的数值解析。

2.2.2 矩量法
矩量法是计算电磁学中最为常用的方法之一。

自从二十世纪六十年代
Harrington 提出矩量法的基本概念以来，它在理论上日臻完善，并广泛地应用于工程之中。

特别是在电磁辐射与散射及电磁兼容领域，矩量法更显示出其独特的优越性。

矩量法的基本思想是将几何目标剖分离散，在其上定义合适的基函数，然后建立积分方程，用权函数检验从而产生一个矩阵方程，求解该矩阵方程，即可得到几何目标上的电流分布，从而其它近远场信息可从该电流分布求得。

矩量法可以分为三个基本的求解过程：
在这一过程中的主要目的是在于将算子方程化为代数方程。

针对算子方程()L f g
=中算子L 的定义域适当地选择一组线性无关的基函数(或称为展开函数) 12,,,n f f f ，将未知函数f 在算子L 的定义域内展开为基函数的线性组合，并且
取有限项近似，即：1N n n N n n
n f a f f a f ==≈=∑∑。

再将此式代入到算子方程中，利
用算子的线性性质，将算子方程转化为代数方程，即()1
N n n n a L f g ==∑。

于是，求
解未知函数f 的问题就转化为求解系数n a 的问题。

为了使未知函数f 的近似函数N f 与f 之间的误差极小，必须进行取样检验，在抽样点上使加权平均误差为零，从而确定未知系数n a 。

在算子L 的值域内适当选择一组线性无关的权函数(又称为检验函数)m W ，将其与上述代数方程取内积进行抽样检验，即(
)(),,1,2,,n m m L f W g W m N ==。

利用算子的线性和内积性质，将其化为矩阵方程，得到(
)()1,,1,2,,N n n m m n a L f W g W m N ===∑。

于是求解代数方程的问题就转化为求解矩阵方程的问题。

一旦得到了矩阵方程，通过常规的矩阵求逆或求解线性方程组，就可以得到矩阵方程的解，从而确定展开系数n a ，得到原算子方程的解。

2.2.3 有限元法
有限元方法是在20 世纪40 年代被提出, 在50 年代用于飞机设计。

后来这种方法得到发展并被非常广泛地应用于结构分析问题中。

目前, 作为广泛应用于工程和数学问题的一种通用方法, 有限元法已非常著名。

有限元法是以变分原理为基础的一种数值计算方法。

应用变分原理, 把所要求解的边值问题转化为相应的变分问题, 利用对场域的剖分、插值, 离散化变分
问题为普通多元函数的极值问题, 进而得到一组多元的代数方程组, 求解代数方程组就可以得到所求边值问题的数值解。

一般要经过如下步骤:
区域离散化。

即将场域或物体分为有限个子域，如三角形、四边形、四面体、六面体等；
选择插值函数。

选择插值函数的类型如多项式，用结点(图形定点)的场值求取子域各点的场的近似值。

插值函数可以选择为一阶(线性)、二阶(二次)、或高阶多项式。

尽管高阶多项式的精度高，但通常得到的公式也比较复杂；
方程组公式的建立。

可以通过里兹方法或者迦辽金方法建立；选择合适的代数解法求解代数方程, 即可得到待求边值问题的数值解。

2.3 AC/DC 模块建模的过程
2.3.1 模块概述
该模块可以用来分析静态、时变问题，时变问题可以被等效为准静态问题进行求解。

准静态模型和高频模型的最大区别是模型取决于电磁元器件的物理尺寸。

这个无量纲的数值就是电磁场中两点最大距离与波长的比值。

准静态的物理接口尺寸可以达到电磁场尺寸的十分之一。

这种物理假设是建立在电磁场中的电流和电荷的变化是十分缓慢的基础上的，这样看来电磁场的状态基本和静止状态是一样的。

随着时间的变化，电磁场的变化频率加快，当达到一定程度的时候就有必要通过完整的麦克斯韦方程组来求解这时候的高频电磁波。

AC/DC 模块同样可以解决非线性、非均匀、各项异性的材料问题。

2.3.2 根据模型的几何特点选取恰当的空间维度
绝大多数情况下我们选取三维模型来解决实际问题，但是当模型满足特定的条件时，选择二维模型或轴对称模型来解决问题会更加地便捷。

通过选取适当的边界条件可以有效地简化模型，在没有重大影响的前提下，可以截断模型将其分为更加小的模块分别进行分析。

2.3.3 力和力矩的计算
电磁场中的受力和力矩的计算有两种方法：最常用的是利用麦克斯韦张力公式计算，还有一种方法是在满足特定的条件下用洛伦兹求解。

2.3.3.1 麦克斯韦张力方法
使用麦克斯韦张力公式求解电磁场的受力分析适用于电场、电流、磁场以及电场和磁场交界处。

在电场中，分析公式如下，此公式同样适用于分析物体的表面处理：
()()121112
T n T n E D n E D =-⋅+⋅ 在磁场中，表达式变为：
()()121112
T n T n H B n H B =-⋅+⋅ 同样也适用于分析磁场中表面的处理。

在电场和磁场的交界处，要综合运用这两个公式进行求解。

E 是电场强度，H 是磁场强扶，D 是电位移，B 是磁通量密度。

2.3.3.2 洛伦兹力方法
洛伦兹力被定义为F J B =⨯，在电磁领域洛伦兹力随着电磁场的变化，这种变化步调是十分同步的。

在频域可以用下面公式的实部来计算：
()()()()****1,21111111Re 222T T av n T n E D n E D n H B n H B ⎛⎫=-⋅+⋅-⋅+⋅ ⎪⎝⎭
第三章基于Comsol的电磁场数值仿真本章节首先简单介绍了数值仿真软件COMSOL Multiphysics，然后用该软件
进行了简单电磁场、变化电磁场、Halbach转子的静磁场和手机天线的仿真，并进行了后处理分析。

3.1 COMSOL Multiphysics软件介绍
3.1.1 软件简介
COMSOL公司是全球多物理场建模与仿真解决方案的提倡者和领导者，使工程师和科学家们可以通过模拟，赋予设计理念以生命。

它有无与伦比的能力，使所有的物理现象可以在计算机上完美重现。

COMSOL的用户利用它提高了手机的接收性能，利用它改进医疗设备的性能并提供更准确的诊断，利用它使汽车和飞机变得更加安全和节能，利用它寻找新能源，利用它探索宇宙，甚至利用它去培养下一代的科学家。

3.1.2 本论文中材料属性的定义和电磁场属性定义
作为仿真案例中边界条件，下面将给定材料主要属性的定义，见表3-1。