含参不等式恒成立问题

不等式中恒成立问题的解法研究

在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。

恒成立问题的基本类型：

类型1：设

（1）上恒成立；

（2）上恒成立。

类型2：设

（1）当时，上恒成立

，

上恒成立

（2）当时，上恒成立

上恒成立

类型3：

。

类型4：

恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。

一、用一次函数的性质

对于一次函数有：

例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范围。

解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为：

，；令，则时，恒成立，所以只需即，所以x的范

围是。

二、利用一元二次函数的判别式

对于一元二次函数有：

（1）上恒成立；

（2）上恒成立

例2：若不等式的解集是R，求m的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。

（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

（2）时，只需，所以，。

三、利用函数的最值（或值域）

（1）对任意x都成立；

（2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。

例3：在ABC中，已知

恒成立，求实数m的范围。

解析：由

，，恒成立，，即恒成立，

四：数形结合法

对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图像法求解。

例5：已知

，求实数a的取值范围。

解析：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图像，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由

得到a分别等于2和0.5，并作出函数

的图像，所以，要想使函数在区间中恒成

立，只须在区间对应的图像在在区间对应图像的上面即可。当才能保证，而才可

以，所以。

由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图像来解。利用函数图像解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。

练习题：1、对任意实数x，不等式恒成立的充要条件是_______。

2、设上有意义，求实数a的取值范围.。

3、当恒成立，则实数a的范围是____。

4、已知不等式：

对一切大于1的自然数n恒成立，求实数a的范围。

含参不等式恒成立问题的求解策略

“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”

一、判别式法

若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有

1）对恒成立;

2）对恒成立

例1．已知函数的定义域为R，求实数的取值范围。

解：由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有

解得。

所以实数的取值范围为。

若二次不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。

例2．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。

解：设，则当时，恒成立

-1

当时，显然成立；

当时，如图，恒成立的充要条件为：

解得。

综上可得实数的取值范围为。

二、最值法

将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：

1）恒成立

2）恒成立

例4．函数，若对任意，恒成立，求实数的取值范围。

解：若对任意，恒成立，

即对，恒成立，

考虑到不等式的分母，只需在时恒成立而得

而抛物线在的最小值得

注：本题还可将变形为，讨论其单调性从而求出最小值。

三、分离变量法

若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：

1）恒成立

2）恒成立

实际上，上题就可利用此法解决。

略解：在时恒成立，只要在时恒成立。而易求得二次函数在上的最大值为，所以。

例5．已知函数时恒成立，求实数的取值范围。

解：将问题转化为对恒成立。

令，则

由可知在上为减函数，故

∴即的取值范围为。

注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。

四、变换主元法

处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。

例6．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。

解：令，则原问题转化为恒成立（）。

当时，可得，不合题意。

当时，应有解之得。

故的取值范围为。

注：一般地，一次函数在上恒有的充要

条件为。

五、数形结合法

数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图像和不等式有着密切的联系：

1）函数图像恒在函数图像上方；

2）函数图像恒在函数图像下上方。

例6、若不等式在内恒成立，求实数的取值范围。

解：由题意知：在内恒成立，

在同一坐标系内，分别作出函数和

观察两函数图像，当时，若函数的图像显然在函数

图像的下方，所以不成立；