圆与圆的位置关系(必修2)
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解：将两圆的一般方程化为标准方程： C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 所以圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝ 50－k(k<50)． 从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5， 当1＋ 50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．
实数m的取值范围是 A．[0，＋∞) C．(0,4) B．(0，＋∞) D．(0,4] ( )
解析：由条件知C1(0,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝ m(m>0)， ∵两圆相离，∴|C1C2|>r1＋r2，即3>1＋ m>0，∴0<m<4. m ，∴m<4.又
答案：C
3．实数k为何值时，圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，圆
(2)常见的圆系方程有：
①设两相交圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2
＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，则C3：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋
λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两相交圆交点
的圆(不包括C2)；当λ＝－1时，(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋
由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径 |3k－4－k| 3 2，即 ＝2，解之得k＝4. 2 k ＋1 所求直线l1的方程为x＝1或3x－4y－3＝0.
(2)依题意设D(a,2－a)，又已知圆C的圆心(3,4)， r＝2，由两圆外切，可知|CD|＝5， ∴可知 a－32＋2－a－42＝5，
C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9；C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4.其 中C1(m，－2)，C2(－1，m)，r1＝3，r2＝2. (1)如果C1与C2外切，则有 m＋12＋m＋22 ＝3＋2， 即(m＋1)2＋(m＋2)2＝25. ∴m2＋3m－10＝0，解得m＝－5，或m＝2.
人教版高中数学必修二 第四章 圆与方程4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用
4.2.2 圆与圆的位置关系 4.2.3 直线与圆的方程的应用[学习目标] 1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.体会用代数方法处理几何问题的思想.知识点一 圆与圆的位置关系及判定 1.圆与圆的位置关系圆与圆有五种位置关系，分别是外离、外切、相交、内切、内含. 外离和内含统称为相离；外切和内切统称为相切. 如图：2.圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r 1、r 2，两圆的圆心距为d ，则两圆的位置关系的判断方法如下：的关系d >r ＋r d ＝r ＋r|r －r |<d <r ＋rd ＝|r －r |d <|r －r |(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程――→消元一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含思考 当两个圆仅有一个公共点时，这两个圆一定外切吗？ 答 不一定，也有可能是内切.知识点二 用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”题型一 两圆位置关系的应用例1 已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0，圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，问：m 为何值时，(1)圆C 1与圆C 2外切？(2)圆C 1与圆C 2内含？ 解 将圆C 1、圆C 2的方程配方，得C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4. (1)若圆C 1与圆C 2外切，则有(m ＋1)2＋(－2－m )2＝3＋2， 即(m ＋1)2＋(m ＋2)2＝25，m 2＋3m －10＝0， 解得m ＝－5或m ＝2. (2)若圆C 1与圆C 2内含，则有(m ＋1)2＋(－2－m )2＜3－2， 即(m ＋1)2＋(m ＋2)2＜1，m 2＋3m ＋2＜0， 解得－2＜m ＜－1.反思与感悟 判断两圆的位置关系一般用几何法，用几何法判断两圆的位置关系的步骤： (1)分别计算两圆的半径长r ，R ； (2)计算两圆的圆心距d ；(3)根据d 与r ，R 之间的关系得出结论.跟踪训练1 已知圆C 1的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －20＝0，圆C 2的方程为x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0，试判断圆C 1与圆C 2的位置关系.解 方法一 将圆C 1与圆C 2的方程联立，得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋4y －20＝0，①x 2＋y 2－4x ＋4y －2＝0.②两式相减，得6x －18＝0，即x ＝3. 将x ＝3代入①或②，解得y 1＝－5，y 2＝1.因此圆C 1与圆C 2有两个不同的公共点，故两圆相交.方法二 把圆C 1的方程化成标准方程，得(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25， ∴圆C 1的圆心坐标为(－1，－2)，半径长为r 1＝5.把圆C 2的方程化成标准方程，得(x －2)2＋(y ＋2)2＝10， ∴圆C 2的圆心坐标为(2，－2)，半径长为r 2＝10. ∵圆C 1与圆C 2的圆心距为(－1－2)2＋(－2＋2)2＝3， |r 1－r 2|＝5－10，r 1＋r 2＝5＋10，且5－10＜3＜5＋10， ∴|r 1－r 2|＜3＜r 1＋r 2，∴两圆相交. 题型二 与两圆相切有关的问题例2 求与圆x 2＋y 2－2x ＝0外切且与直线x ＋3y ＝0相切于点M (3，－3)的圆的方程. 解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 则(a －1)2＋b 2＝r ＋1，① b ＋3a －3＝3，② |a ＋3b |2＝r .③ 联立①②③解得a ＝4，b ＝0，r ＝2，或a ＝0，b ＝－43，r ＝6，即所求圆的方程为(x －4)2＋y 2＝4或x 2＋(y ＋43)2＝36.反思与感悟 两圆相切时常用的性质有：①设两圆的圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则两圆相切⎩⎪⎨⎪⎧内切⇔|O 1O 2|＝|r 1－r 2|，外切⇔|O 1O 2|＝r 1＋r 2.②两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦). 跟踪训练2 求与圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4相切于点A (4，－1)且半径为1的圆的方程. 解 设所求圆的圆心为P (a ，b )，则 (a －4)2＋(b ＋1)2＝1.①(1)若两圆外切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝1＋2＝3，② 联立①②，解得a ＝5，b ＝－1，所以，所求圆的方程为 (x －5)2＋(y ＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有(a －2)2＋(b ＋1)2＝|2－1|＝1，③ 联立①③，解得a ＝3，b ＝－1，所以，所求圆的方程为 (x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 综上所述，所求圆的方程为(x －5)2＋(y ＋1)2＝1或(x －3)2＋(y ＋1)2＝1. 题型三 与两圆相交有关的问题例3 已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.解 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解，①－②得：3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程. 易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3.又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋(－4)2＝95.∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝⎛⎭⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.反思与感悟 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. 2.公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.跟踪训练3 已知圆C 的圆心为(2,1)，若圆C 与圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线过点(5，－2)，求圆C 的方程.解 设圆C 的半径长为r ，则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2， 即x 2＋y 2－4x －2y ＋5＝r 2， 两圆的方程相减，得公共弦所在的直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0. 因为该直线过点(5，－2)，所以r 2＝4， 则圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 题型四 直线与圆的方程的实际应用例4 设有半径长为3 km 的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且其速度比为3∶1，问：甲、乙两人在何处相遇？解 如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴建立平面直角坐标系. 设甲向东走到D 转向到C 恰好与乙相遇，CD 所在直线的方程为x a ＋yb＝1(a ＞3，b ＞3)，乙的速度为v ，则甲的速度为3v .依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|ab |a 2＋b 2＝3，a 2＋b 2＋a 3v＝bv .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.75.所以乙向北前进3.75km 时甲、乙两人相遇.反思与感悟 坐标法是研究与平面图形有关的实际问题的有效手段，因此要建立适当的平面直角坐标系，用直线与圆的方程解决问题.建立平面直角坐标系时要尽可能有利于简化运算.跟踪训练4 已知一个圆形的公园，其半径为2 km ，有两个村庄A 和B ，其中村庄A 在公园的正东方向4 km 处，村庄B 在公园的西北方向22km 处(A ，B 相对于公园的位置都是指相对于公园的中心位置).现在要修一条连接村庄A 和村庄B 的公路，但公路不能穿过公园，现有两种方案可供选择：方案一：分别从A ，B 沿与公园相切的方向修路，直至两公路相交；方案二：分别从A ，B 沿与公园相切的方向修路，至切点处，再环绕公园修路，直至连接两个切点.两种方案哪种更好？解 如图所示，以公园中心O 为坐标原点，以连接公园中心与村庄A 的直线为x 轴建立平面直角坐标系.由已知得圆的方程为x 2＋y 2＝4，A (4,0)，B (－2,2)，由A 向圆作切线，切点为D ，过B 向圆作切线，切点为E ，两切线相交于C ，易知E (0,2)， 直线BC 的方程为y ＝2.连接OD ，则OD ⊥AC ，在Rt △OAD 中，OD ＝2，OA ＝4. ∴∠OAD ＝30°，∴直线AC 的斜率为k ＝tan 150°＝－33，直线AC 的方程为y ＝－33(x －4). 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2，y ＝－33(x －4)，解得⎩⎨⎧x ＝4－23，y ＝2， 即C 点的坐标为(4－23，2)， ∴|BC |＝6－23，|AC |＝4.如果按方案一修路，那么公路的长度为l 1＝|BC |＋|AC |＝10－23(km).过D 作DF ⊥x 轴，垂足为F ，可求得|DF |＝3，|OF |＝1，即D (1，3)，∴|AD |＝2 3. 由题意知∠AOD ＝60°，∴∠DOE ＝30°， ∴DEl＝30180·π·2＝π3. 如果按方案二修路，那么公路的长度为l 2＝|AD |＋DEl ＋|BE |＝23＋π3＋2(km).∵l 1－l 2＞0，∴采用方案二更好.利用圆系方程求圆的方程例5 求过两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＝0的交点，且与直线x －3y －6＝0相切的圆的方程.分析 过两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＝0的交点的圆的方程可设为x 2＋y 2－1＋λ(x 2＋y 2－4x )＝0，通过整理，利用直线与此圆相切，则该圆的圆心到此直线的距离等于半径长，求得λ. 解 设所求圆的方程为x 2＋y 2－1＋λ(x 2＋y 2－4x )＝0(λ≠－1)， 整理，得x 2＋y 2－4λ1＋λx －11＋λ＝0，配方，得⎝⎛⎭⎫x －2λ1＋λ2＋y 2＝4λ2＋λ＋1(1＋λ)2，因为圆与直线x －3y －6＝0相切，所以⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪2λ1＋λ－3×0－61＋32＝4λ2＋λ＋1(1＋λ)2.化简得11λ＋8＝0，λ＝－811.所以所求圆的方程为3x 2＋3y 2＋32x －11＝0. 经检验x 2＋y 2－4x ＝0也与直线x －3y －6＝0相切.所以所求圆的方程为3x 2＋3y 2＋32x －11＝0或x 2＋y 2－4x ＝0.解后反思 因为过两圆x 2＋y 2－1＝0和x 2＋y 2－4x ＝0的交点的圆系方程x 2＋y 2－1＋λ(x 2＋y 2－4x )＝0(λ≠－1)中不包含圆x 2＋y 2－4x ＝0，所以解答此题时容易漏掉圆x 2＋y 2－4x ＝0也适合的条件.因此，在解答完后，应专门对圆系之外的圆x 2＋y 2－4x ＝0进行检验.1.两圆x 2＋y 2＝9和x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0的位置关系是( ) A.相离 B.相交C.内切 D.外切 答案 B解析 圆C 1：x 2＋y 2＝9的圆心为C 1(0,0)，半径长为r 1＝3；圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋6y ＋9＝0化为(x －4)2＋(y ＋3)2＝16，圆心为C 2(4，－3)，半径长为r 2＝4，圆心距|C 1C 2|＝42＋(－3)2＝5. 因为|r 1－r 2|＜|C 1C 2|＜3＋4＝r 1＋r 2，所以两圆相交.2.圆x 2＋y 2＝1与圆x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0的交点坐标为( ) A.(1,0)和(0,1) B.(1,0)和(0，－1) C.(－1,0)和(0，－1) D.(－1,0)和(0,1)答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.3.若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)的圆心位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案 B解析 因为直线通过第一、二、四象限，所以a ＜0，b ＞0，故圆心位于第二象限. 4.圆x 2＋y 2＝50与圆x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0的公共弦长为( ) A. 5 B.6C.2 5 D.2 6 答案 C解析 x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x ＋y －15＝0.圆x 2＋y 2＝50的圆心(0,0)到2x ＋y －15＝0的距离d ＝|2×0＋0－15|22＋12＝35，因此，公共弦长为250－(35)2＝2 5.故选C.5.已知两圆x 2＋y 2＝10和(x －1)2＋(y －3)2＝20相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是_____. 答案 x ＋3y ＝0解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝10，x 2＋y 2－2x －6y ＝10⇒2x ＋6y ＝0，即x ＋3y ＝0.1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：一、选择题1.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( ) A.x ＋y ＋3＝0 B.2x －y －5＝0 C.3x －y －9＝0 D.4x －3y ＋7＝0答案 C解析 根据题意作出图形，由图可知两圆圆心所在直线即为所求.圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心的坐标是(2，－3)，圆x 2＋y 2－6x ＝0的圆心坐标是(3,0)，则所求直线方程为y －0－3－0＝x －32－3，即3x －y －9＝0.2.集合M＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，N＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤r2，r＞0}，且M∩N＝N，则r的取值范围是()A.(0，2－1)B.(0,1]C.(0,2－2]D.(0,2]答案 C解析由已知M∩N＝N，知N⊆M，∴圆x2＋y2＝4与圆(x－1)2＋(y－1)2＝r2内切或内含，∴2－r≥2，∴0＜r≤2－ 2.3.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于()A.21B.19C.9D.－11答案 C解析圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.又∵两圆外切，∴5＝1＋25－m，解得m＝9.4.已知方程x2＋y2＋4x－2y－4＝0，则x2＋y2的最大值是()A.9B.14C.14－6 5D.14＋6 5答案 D解析方程化为(x＋2)2＋(y－1)2＝9，所以圆心为(－2,1)，r＝3，而x2＋y2＝((x－0)2＋(y－0)2)2.所以x2＋y2的最大值为((－2－0)2＋(1－0)2＋3)2＝14＋6 5.5.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|等于()A.4B.4 2C.8D.8 2答案 C解析因为两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，所以两圆C1，C2的圆心都在y＝x上.设圆C1，C2的圆心坐标分别为(x1，x1)，(x2，x2)，则(4－x1)2＋(1－x1)2＝x21，(4－x2)2＋(1－x2)2＝x22，即x1，x2是方程(x－4)2＋(x－1)2＝x2的两根.即x2－10x＋17＝0.所以x1＋x2＝10，x1x2＝17.所以|C1C2|＝2|x1－x2|＝2(x1＋x2)2－4x1x2＝8.6.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过()A.1.4米B.3.5米C.3.6米D.2米答案 B解析建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)，半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62把A(0.8，h－3.6).代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米).7.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是()A.(x －5)2＋(y －7)2＝25B.(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15C.(x －5)2＋(y －7)2＝9D.(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9 答案 D解析 设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则(x －5)2＋(y ＋7)2＝4－1， ∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9. 二、填空题8.过两圆x 2＋y 2－x －y －2＝0与x 2＋y 2＋4x －4y －8＝0的交点和点(3,1)的圆的方程是________. 答案 x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0解析 设所求圆的方程为(x 2＋y 2－x －y －2)＋λ(x 2＋y 2＋4x －4y －8)＝0，将(3,1)代入，得λ＝－25，故所求圆的方程为x 2＋y 2－133x ＋y ＋2＝0.9.台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险地区，城市B 在A 地正东40 km 处，B 城市处于危险区内的时间为________. 答案 1 h解析 如图，以A 为原点，正东和正北方向为x 轴、y 轴正方向，则B (40,0).台风中心在直线y ＝x 上移动.则问题转化成以点B 为圆心，30 km 为半径的圆与直线y ＝x 相交的弦长就是B 处在危险区内台风中心走过的距离.则圆B 的方程为(x －40)2＋y 2＝302，圆B 与直线y ＝x 截得弦长为CD ＝2·302－⎝⎛⎭⎫4022＝20(km).故B 城市处于危险区的时间为t ＝2020＝1(h).10.若⊙O ：x 2＋y 2＝5与⊙O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度为________. 答案 4解析 如图所示，在Rt △OO 1A 中，OA ＝5，O 1A ＝25，∴OO 1＝5，∴AC ＝5×255＝2，∴AB ＝4.11.与直线x ＋y －2＝0和曲线x 2＋y 2－12x －12y ＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是______________.答案 (x －2)2＋(y －2)2＝2解析 曲线化为(x －6)2＋(y －6)2＝18，其圆心C 1(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离为d ＝|6＋6－2|2＝5 2.过点C 1且垂直于x ＋y －2＝0的直线为y －6＝x －6，即y ＝x ，所以所求的最小圆的圆心C 2在直线y ＝x 上，如图所示，圆心C 2到直线x ＋y －2＝0的距离为52－322＝2，则圆C 2的半径长为 2.设C 2的坐标为(x 0，y 0)，则|x 0＋y 0－2|2＝2，解得x 0＝2(x 0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2,2)， 所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2. 三、解答题12.已知圆C 1：x 2＋y 2＝4和圆C 2：x 2＋(y －8)2＝4，直线y ＝52x ＋b 在两圆之间穿过且与两圆无交点，求实数b 的取值范围.解 直线方程是5x －2y ＋2b ＝0. 当直线与圆C 1相切时，|2b |5＋4＝2， 解得b ＝±3.当直线与圆C 2相切时，|－16＋2b |5＋4＝2，解得b ＝5或b ＝11. 结合图，知3＜b ＜5.13.求圆心在直线x －y －4＝0上，且过两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点的圆的方程. 解 方法一 设经过两圆交点的圆系方程为 x 2＋y 2－4x －6＋λ(x 2＋y 2－4y －6)＝0(λ≠－1)，即x 2＋y 2－41＋λx －4λ1＋λy －6＝0，所以圆心坐标为(21＋λ，2λ1＋λ).又圆心在直线x －y －4＝0上，所以21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，即λ＝－13.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－6x ＋2y －6＝0.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4x －6＝0，x 2＋y 2－4y －6＝0得两圆公共弦所在直线的方程为y ＝x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x 2＋y 2－4y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－1，y 1＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝3. 所以两圆x 2＋y 2－4x －6＝0和x 2＋y 2－4y －6＝0的交点分别为A (－1，－1)、B (3,3)，线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为y －1＝－(x －1).第11页 共11页 由⎩⎪⎨⎪⎧ y －1＝－(x －1)，x －y －4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1， 所以所求圆的圆心为(3，－1)，半径为(3－3)2＋[3－(－1)]2＝4. 所以所求圆的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝16.。
2.2.3.2 圆与圆的位置关系 课件(北师大必修2)
4．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－12＝0的相交 弦方程为 A．x＋2y－6＝0 C．x－2y＋6＝0 B．x－3y＋5＝0 D．x＋3y－8＝0 ( )
解析：两圆方程相减得：
C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？
解：将两圆的一般方程化为标准方程： C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1， C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k. 所以圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径r1＝1； 圆C2的圆心为C2(1,7)，半径r2＝ 50－k(k<50)． 从而|C1C2|＝ －2－12＋3－72＝5， 当1＋ 50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．
F1－F2＝0表示两圆的公共弦所在的直线方程．
②方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0，
表示过圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0与直线ax＋by＋c＝0
交点的圆．
6．(2011· 江西九江检测)求与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋
y2－12x－12y＋54＝0都相切，且半径最小的圆的标
实数m的取值范围是 A．[0，＋∞) C．(0,4) B．(0，＋∞) D．(0,4] ( )
解析：由条件知C1(0,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝ m(m>0)， ∵两圆相离，∴|C1C2|>r1＋r2，即3>1＋ m>0，∴0<m<4. m ，∴m<4.又
答案：C
3．实数k为何值时，圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，圆
2．求两圆的公共弦所在的直线方程，只 Nhomakorabea把两个圆的方程相减即可．而在求两圆的公共弦长时，则应注 意数形结合思想方法的灵活运用. 3.过圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆x2＋y2＋D2x＋ E2y＋F2＝0交点的圆方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1) ＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，这就是过两圆交 点的圆系方程，特别地，λ＝－1时，为两圆公共弦的方 程．
必修二4.2.2圆与圆的位置关系
图形示意
复习作业：
习题4.2 A组8、9、10、11.
易错探究 例4:求与圆(x-2)2+(y+1) 2=4相切于点A(4,-1)且半径长 为1的圆的方程. 错解:设所求圆的圆心C(a,b),则
由①②解得a=5,b=-1. ∴所求圆的方程为(x-5) 2+(y+1) 2=1.
错因分析:两圆相切包括内切和外切两种情况,错解中 认为相切就是外切,思考不到位,丢掉了内切的情况, 造成错解. 正解:设所求圆的圆心C(a,b),则 2 2 ( a 4) (b 1) 1, ① 2 2 ( a 2) ( b 1) 3, ② (1)当两圆外切时,有 由①②解得a=5,b=-1. ∴所求圆的方程为(x-5)2+(y+1) 2=1.
1、点和圆的位置关系有几种？如何判定?
答：三种。点在圆外；点在圆上；点在圆内。
设点P(x0，y0)，圆(x-a)2+(y-b)2=r2, 圆心(a,b)到P(x0，y0)的距离为d,则:
几何法:点在圆内d<r 点在圆上d=r 点在圆外d>r 代数法:点在圆内(x0 -a)2+(y0 -b)2＜r2 点在圆上(x0 -a)2+(y0 -b)2=r2 点在圆外(x0 -a)2+(y0 -b)2＞r2
题型三： 与两圆相切有关的问题 例2:求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线 x 3 y 0 相切于点 (3, 3) 的圆的方程. 分析:先设出圆的方程(x-a) 2+(y-b) 2=r2 (r>0),利用 题设条件,得到关于a、b、r的三个方程,解方程组 求得a,b,r即可.
新课标高中数学人教A版必修二全册课件4.2.2圆与圆的位置关系
第四页，编辑于星期日：十三点 十六分。
讲授新课
例1. 已知圆C1: x2＋y2＋2x＋8y－8＝0， 圆C2: x2＋y2－4x－4y－2＝0，试判断 圆C1与圆C2的位置关系.
第五页，编辑于星期日：十三点 十六分。
探讨: 问题如何根据圆的方程，判断
两圆之间的位置关系？
第六页，编辑于星期日：十三点 十六分。
探讨: 问题如何根据圆的方程，判断
两圆之间的位置关系？
方法：通常是通过解方程或不等式
等方法加以解决.
第七页，编辑于星期日：十三点 十六分。
例2.圆C1的方程是: x2＋y2－2mx＋4y＋m2 －5＝0， 圆C2的方程是: x2＋y2＋2x－2my＋m2 －3＝0，
4.2.2圆与圆 的位置关系
第一页，编辑于星期日：十三点 十六分。
复习引入
1. 两圆的位置关系有哪几种？
第二页，编辑于星期日：十三点 十六分。
复习引入
2. 如何利用半径与圆心距之间的关系 来判断两圆的位置关系？
第三页，编辑于星期日：十三点 十六分。
复习引入
2. 如何利用半径与圆心距之间的关系 来判断两圆的位置关系？
第十三页，编辑于星期日：十三点 十六分。
2. 已知圆C与圆x2 y2 2x 0相外切, 并 且与直线x 3 y 0相切于点Q(3, 3), 求圆C的方程 .
3. 求两圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋y2＝4的外 公切线方程.
第十二页，编辑于星期日：十三点 .129到P.130； 2. 《习案》二十八.
人教版数学必修二4.2.2圆与圆的位置关系
课堂小结
1.本节课你收获了什么？ （1）知识方面：
判断圆与圆的位置关系的两种方法，以及这两种方法的优劣。 求圆与圆相交弦所在直线方程的方法。 求圆与圆相交弦的弦长的方法。
（2）数学思想方面：
数形结合的思想，等价转化的思想，类比思想。
复习回顾 构建新知 例题讲授 总结反思 变式探究 跟踪训练 课堂小结 拓展训练
|r1-r2|< c1c2 < |r1+r2| c1c2 = |r1-r2| c1c2 < |r1-r2|
复习回顾 构建新知 例题讲授 总结反思 变式探究 跟踪训练 课堂小结 拓展训练
例题讲解
例1.已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2 ： x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的 位置关系.
普通高中课程准实验教科书
数 学2 必修
A 人民教育出版社 版
4.2.2 圆与圆的位置关系
复习回顾
1. 平面中直线和圆的位置关系的判断有哪两种方法？
（1）几何法：
r o
d l
r o
dl
r
od
l
（1）直线l 和⊙O相离 d>r
（2）直线l 和⊙O相切
d=r
（3）直线l 和⊙O相交
d<r
复习回顾 构建新知 例题讲授 总结反思 变式探究 跟踪训练 课堂小结 拓展训练
复习回顾 构建新知 例题讲授 总结反思 变式探究 跟踪训练 课堂小结 拓展训练
例题讲解
例1.已知圆C1 : x2+y2+2x+8y-8=0和圆C2 ： x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的 位置关系.
《圆与圆的位置关系》课件2 (北师大版必修2)
两个圆有一个公共点
两个圆没有公共点
后退 前进
两个圆没有公共点
两圆外离 两圆内含
两个圆有一个公共点
两圆外切
相切 两圆内切
后退 前进
两圆外离
两个圆没有公共点，并且每个 圆上的点都在另一个圆的外部 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，每个圆上 的点都在另一个圆的外部 两个圆有两个公共点 两个圆有一个公共点，并且除 了这个公共点以外，一个圆上 的点都在另一个圆的内部 两个圆没有公共点 （两圆同心是内含的特例）后退 前进
两 两圆外切 个 圆 的 位 两圆相交 置 关 系 两圆内切
两圆内含
思考：两个圆是否也组成一个轴对称图形？
O1
O2
结论1、通过两圆圆心的 直线叫做连心线。
O1
O2
O2
结论2、如果两个圆相切， 那么切点一定在连心线上。
后退 前进
R
两 个 圆 的 位 置 关 系 的 判 断
r
O1
d
O2
复习：
（1）点与圆有哪几种位置关系？ 如何判断？
（2）直线与圆有哪几种位置关系？ 如何判断？
问题：两个圆有哪几种位置关
系呢？如何判断？
后退 前进
注：d是指点到圆心的距离
点在圆外
d>R
点在圆上
d=R
点在圆内
d<R
后退 前进
注：d是指圆心到直线的距离
相离
d>R
相切
d=R
相交
d<R
返回 后退 前进
d 指 圆 心 距
后退 前进
R
两 个 圆 的 位 置 关 系 的 判 断
高中数学必修二教学课件圆与圆的位置关系共9张PPT
图 形
公共 点个
数
性质 及判 定方
法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0
与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2
y2
4
与
x y
3 2cos 1 2cos
判断两圆位置关系的方法：
1.几何方法
小结：
1、圆和圆的五种位置关系、判断及应用。 2、相交两圆的有关计算。 3、圆的几何性质及运用。
A
O
Bx
6. 过两圆 x2 + y2 + 6x – 4 = 0
和 x2 + y2 + 6y – 28 = 0 的交点 且圆心在直线 x - y - 4 = 0上的圆方程是( ) (A)x2+y2+x-5y+2=0 (B)x2+y2-x-5y-2=0 (C)x2+y2-x+7y-32=0 (D)x2+y2+x+7y+32=0
的公切线有且仅有
条。
3. 求与点A(1,2)的距离为1，且与 点B(3,1)之距离为2的直线共有 条。
4.已知以C(- 4,3)为圆心的圆
与圆 x2 y2 1相切，求圆C的方程。
5.过圆 x2 + y2 = 4外一点 P( 3 , 4 )
作圆的两条切线，切点分别为数方法
例题讲解
例1：判断下列两圆的位置关系
（1） x2 y2 4x 4 y 7 0 与 x2 y2 4x 10 y 13 0
（2）
x2 y2 4
与
x y
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高中数学必修二 圆与圆的位置关系 附答案解析版
4.2.2圆与圆的位置关系基础巩固1.圆C 1:(x+2)2+(y-2)2=1与圆C 2:(x-2)2+(y-5)2=16的位置关系是（）A.外离B.相交C.内切D.外切2.圆C 1:x 2+y 2+4x+8y-5=0与圆C 2:x 2+y 2+4x+4y-1=0的位置关系为（）A.相交B.外切C.内切D.外离3.已知圆A 与圆B 相切,圆心距为10cm,其中圆A 的半径为4cm,则圆B 的半径为（）A .6cm 或14cmB .10cmC .14cmD .无解4.已知圆O 1的方程为x 2+y 2=4,圆O 2的方程为(x-a )2+y 2=1,如果这两个圆有且只有一个公共点,那么a 的所有取值构成的集合是（）A.{1,-1}B.{3,-3}C.{1,-1,3,-3}D.{5,-5,3,-3}5.圆x 2+y 2+4x-4y+7=0与圆x 2+y 2-4x+10y+13=0的公切线的条数是（）A.1B.2C.3D.46.已知以C (4,-3)为圆心的圆与圆O :x 2+y 2=1相切,则圆C 的方程为（）A .(x-4)2+(y+3)2=16B .(x+4)2+(y-3)2=36C .(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36D .(x+4)2+(y-3)2=16或(x+4)2+(y-3)2=367.圆C 1:x 2+y 2-12x-2y-13=0和圆C 2:x 2+y 2+12x+16y-25=0的公共弦所在的直线方程是.8.若圆C 1:(x-3)2+(y-4)2=16与圆C 2:x 2+y 2=m (m>0)内切,则实数m=.9.已知圆O :x 2+y 2=25和圆C :x 2+y 2-4x-2y-20=0相交于A ,B 两点,则公共弦AB 的长为.10.求与圆O :x 2+y 2=1外切,切点为1,22P ⎛-- ⎝⎭,半径为2的圆的方程.能力提升1.圆C 1:(x+1)2+(y+2)2=4与圆C 2:(x+2)2+(y+3)2=1的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切2.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+ay-2=0的公共弦的长度为,则常数a 的值为（）A .2±B .2C .-2D .4±3.已知圆C :(x-3)2+(y-4)2=1和两点A (-m ,0),B (m ,0)(m>0).若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m的最大值为（）A .7B .6C .5D .4★4.若圆(x-a )2+(y-a )2=4上,总存在不同的两点到原点的距离等于1,则实数a 的取值范围是（）A.22⎛ ⎝⎭B.22⎛-- ⎝⎭C.,2222⎛⎛-- ⎝⎭⎝⎭D.22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭5.若点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,则圆(x-a )2+y 2=1与圆x 2+(y-b )2=1的位置关系是.6.求和圆(x-2)2+(y+1)2=4相切于点(4,-1)且半径为1的圆的方程.7.一动圆与圆C 1:x 2+y 2+6x+8=0外切,与圆C 2:x 2+y 2-6x+8=0内切,求动圆圆心的轨迹方程.★8.圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,圆O 2的圆心O 2(2,1).(1)若圆O 2与圆O 1外切,求圆O 2的方程;(2)若圆O 2与圆O 1交于A ,B 两点,且AB =求圆O 2的方程.参考答案基础巩固1.【解析】圆C 1的圆心是C 1(-2,2),半径r 1=1,圆C 2的圆心是C 2(2,5),半径r 2=4,则圆心距|C 1C 2|=5.因为|C 1C 2|=r 1+r 2,所以两圆外切.【答案】D2.【解析】由已知,得C 1(-2,-4),r 1=5,C 2(-2,-2),r 2=3,则d=|C 1C 2|=2,所以d=|r 1-r 2|.故两圆内切.【答案】C3.【解析】令圆A 、圆B 的半径分别为r 1,r 2,当两圆外切时,r 1+r 2=10,所以r 2=10-r 1=10-4=6;当两圆内切时,|r 1-r 2|=10,即|4-r 2|=10,r 2=14或r 2=-6(舍),即圆B 的半径为6cm 或14cm .【答案】A4.【解析】因为两个圆有且只有一个公共点,所以两个圆内切或外切.当两圆内切时,|a|=1;当两圆外切时,|a|=3,即实数a 的取值集合是{1,-1,3,-3}.故选C .【答案】C5.【解析】两圆的圆心分别为C 1(-2,2),C 2(2,-5),则两圆的圆心距d =又半径分别为r 1=1,r 2=4,则d>r 1+r 2,即两圆外离,因此它们有4条公切线.【答案】D6.【解析】设所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=r 2(r>0).因为圆C 与圆O 相切,所以|r-1|=5或r+1=5,解得r=6或r=4(负值舍去).故所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.【答案】C7.【解析】两圆的方程相减得公共弦所在的直线方程为4x+3y-2=0.【答案】4x+3y-2=08.【解析】圆心距5d =,由题意得两圆半径差的绝对值45-=,解得m=81.【答案】819.【解析】两圆方程相减得弦AB 所在的直线方程为4x+2y-5=0.圆x 2+y 2=25的圆心到直线AB 的距离d ==故公共弦AB 的长为AB =10.【解析】设所求圆的圆心为C (a ,b ),则所求圆的方程为(x-a )2+(y-b )2=4.因为两圆外切,切点为1,22P ⎛-- ⎝⎭,所以|OC|=r 1+r 2=1+2=3,|CP|=2.所以2222913422a b a b ⎧+=⎪⎪⎛⎨⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎪⎝⎭⎩,解得322a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩.所以圆心C 的坐标为333,22⎛-- ⎝⎭,所求圆的方程为223422x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.能力提升1.【解析】圆心距d =,两圆半径的和为2+1=3,两圆半径之差的绝对值为1,1212r r d r r -<<+,所以两圆的位置关系是相交.【答案】C2.【解析】两圆方程左右两边分别相减得公共弦所在直线的方程为ay+2=0.由题意知0a ≠.圆x 2+y 2=4的圆心到直线ay+2=0的距离为2a,又公共弦长为,所以=解得2a =±.【答案】A3.【解析】因为A (-m ,0),B (m ,0)(m>0),所以使90APB ∠=︒的点P 在以线段AB 为直径的圆上,该圆的圆心为O (0,0),半径为m.而圆C 的圆心为C (3,4),半径为1.由题意知点P 在圆C 上,故两圆有公共点.所以两圆的位置关系为外切、相交或内切,故11m CO m -≤≤+,即151m m -≤≤+,解得46m ≤≤.所以m 的最大值为6.故选B .【答案】B4.【解析】圆(x-a )2+(y-a )2=4的圆心C (a ,a ),半径r=2,到原点的距离等于1的点的集合构成一个圆,这个圆的圆心是原点O ,半径R=1,则这两个圆相交,圆心距d =,则|r-R|<d<r+R ,则13<<,所以22a<<,所以22a-<<或22a <<.【答案】C5.【解析】因为点A (a ,b )在圆x 2+y 2=4上,所以a 2+b 2=4.又圆x 2+(y-b )2=1的圆心C 1(0,b ),半径r 1=1,圆(x-a )2+y 2=1的圆心C 2(a ,0),半径r 2=1,则122d C C ===,所以d=r 1+r 2.所以两圆外切.【答案】外切6.【解析】设所求圆的圆心为(a ,b ),1=.①若两圆外切,则有123+=.②由①②,解得5,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1.若两圆内切,则有211-=.③由①③,解得3,1a b ==-,所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=1.综上,可知所求圆的方程为(x-5)2+(y+1)2=1或(x-3)2+(y+1)2=1.7.【解析】圆C 1:(x+3)2+y 2=1,所以圆心为(-3,0),半径r 1=1;圆C 2:(x-3)2+y 2=1,所以圆心为(3,0),半径r 2=1.设动圆圆心为(x ,y ),半径为r ,由题意得1r =+1r =-,2,化简并整理,得8x 2-y 2=8(1x ≥).所以动圆圆心的轨迹方程是8x 2-y 2=8(1x ≥).8.【解析】(1)设圆O 1的半径为r 1,圆O 2的半径为r 2.因为两圆外切,所以|O 1O 2|=r 1+r 2,r 2=|O 1O 2|-r 1=1-),故圆O 2的方程是(x-2)2+(y-1)2=1-)2.(2)设圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=22r .因为圆O 1的方程为x 2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦AB 所在直线的方程224480x y r ++-=,①作O 1H ⊥AB ,则|AH|=12,O 1,由圆心O 1(0,-1)到直线①的距离得=,得224r =或2220r =,故圆O 2的方程为(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.。
高中数学人教新课标B版必修2--《4.2.2圆与圆的位置关系》课件
例题
已知圆C1:x 2+y2+2x+8 y-8=0 ，圆 C2:x2+y2-4x-4 y-2=0
试判断圆 C1与圆C2 的位置关系？
解法一: 圆C1与圆C2的方程联立, 得到方程组
x2+y2+2x+8y-8=0 (1)
x2+y2 - 4x - 4 y - 2=0 (2)
(1)-(2)，得 x + 2y -1=0
如何判断圆与圆的位置关系步骤：
已知两圆 C1:x 2+y2+D1x+E1 y+F1=0
C2:x 2+y2+D2 x+E2 y+F2=0 ,如何判断圆与圆的位置
关系？
1、将两圆的方程化为标准方程；
2、求两圆的圆心坐标（a,b）和半径r1和r2； 几
3、求两圆的圆心距d；
何 法
4、比较d与|r2-r1|，r2+r1的大小关系。
0个
数
两圆的位置关系
相交 内切或 外离或 外切 内含
法
圆与圆的位置关系判定：
相离：
r1
r2
d > r1 + r2
d
外切：
r1 r2
d
d = r1 + r2
内切： r1 d
r2
d = r1 - r2
相交：
r1 r2
d
r1 - r2 < d < r1 + r2
内含：
r1 d
r2
0 ≤d < r1 - r2
例题
已知圆 C1:x 2+y2+2x+8 y-8=0 ，圆 C2:x2+y2-4x-4 y-2=0
高中数学《圆和圆的位置关系》课件1北师大版必修2
这是一块铁板，上面有A、B、C三个点，经 测量，AB=9cm,BC=13cm,CA=14cm,以各 顶点为圆心的三个圆两两外切。求各圆的半 径。
A
B
C
你一定能行
一个内径3cm的圆钢管在内径为 10cm的钢管内沿管壁滚动。
（1）小钢管的圆心与大钢管的圆心的距 离是多少？
（2）小钢管的圆心经过的路线是什么？
圆和圆的位置关系
两个圆没有公共点，并且每个圆上的点
都在另一个圆的外部时，叫做这两个圆外离
两个圆有唯一的公共点，并且除了
这个公共点以外，每个圆上的点都在另
一个圆的外部时，叫做这两个圆 外切 这个唯一的公共点叫做 切点
两个圆有两个公共点时，叫
做这两个圆 相交
两个圆有唯一的公共点，并且 除了这个公共点以外，一个圆上的 点都在另一个圆的内部时，叫做这
PB=13cm
答案
请 你 参 加
设圆O和圆P的半径分别为R、r，圆心 距为d。在下列情况下，两圆的位置关系怎 样？
R=6，r=3，d=4 R=6，r=3，d=0
R=3，r=7，d=4
R=5，r=3，d=3
1、若两圆有唯一公共点，且两圆 半径分别为5和2，则两圆圆心距 为。
2、 已知，两圆相外切，半径分别 是1㎝和2㎝ ，要作和这两个已知 圆都相切且半径等于3㎝的圆，可 作_____个。
天每
开个
放孩
；子
有的
的花
孩期
子不
是一
菊样
花，
，有
选的
择孩
在子
秋是
天牡
开丹
放花
；，
而选
有择
的在
孩春
➢ He who falls today may rise tomorrow.
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(2)C1 : x2 y2 9 C2 : (x 2)2 y2 1
解：C1(0, 0) r1 3
C2 (2, 01 r2 内切
(3) C1：x2 y2 2x 8y 8 0 C2：x2 y2 4x 4 y 1 0
相交
几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
思考
C1 : x2 y2 2x 8y 8 0 C2 : x2 y2 4x 4 y 2 0
把C1与C2两式相减，得到的方程表示什么图形？ 这条直线与两圆的公共弦所在直线又有什么关系？
我们是否可以用这种方法求任意两个圆的公共弦 所在的直线呢？ 结论：只能在已知两圆位置关系是相交、相切 时才可以用来求公共弦所在直线，和过公共点 的切线方程。
直线与圆的三种位置关系
d
d
d
公共点个数 判别式
d与r的关系
相交
相切
相离
2个
1个
方程有两个 方程只有一 解 △>0 个解 △=0
dr d r
0个
方程无解 △<0
dr
小结：判断直线和圆的位置关系
方法一
方法二
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
(x a)2 ( y b)2 r 2
❖ 解：联立两个方程组得
x2 y2 2x 8 y 8 0 ①
x2
y2
4x
4y
2
0
②
①-②得
x 2y 1 0 ③
把上式代入①
x2 2x 3 0 ④
(2)2 41 (3) 16
得 x1=-1，x2=3 把x1，x2代入方程③得到 y1=1，y2=-1
所以圆C1与圆C2有两个不同的交点A(-1,1),B(3,-1) 最后得到公共弦所在直线：x+2y-1=0,
O1O2 两圆心间的距离
内切
外切
0 内含
R-r 相交
R+r 外离
x
(1)外离 | O1O2 | R r (2)外切 | O1O2 | R r (3)相交 R r | O1O2 | R r (4)内切 | O1O2 || R r |
(5)内含 0 | O1O2 || R r |(特殊情况，同心圆O1O2=0)
A(x1,y1),B(x2,y2)
反思
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆位置关系是 内切或外切
（2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系可以是 内含或相离
几何方法直观，但不能 求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判 圆的位置关系，最后还是借助几何法。
如果要求相交时的公共弦所在的直线，怎么求？
切于原点的圆的方程。
设所求圆的圆心为 A(a,b)
y
C(5, 5)
C、A、O三点共线
kCO kAO
5 0 b 0 5 0 a 0
a b （1）
| AO | 3 2
A
Ox CB
a2 b2 3 2 （2） 由(1)、(2)可知，a=b=3，或 a=b=-3
小结：判断两圆位置关系
利用几何性质
反思
代数方法
圆心距d （两点间距离公式）
比较d和r1，r2的 大小，下结论
？
判断C1和C2的位置关系
C1 : x2 y2 2x 8y 8 0 C2 : x2 y2 4x 4 y 2 0
判断C1和C2的位置关系
❖ 解：联立两个方程组得
x2 y2 2x 8 y 8 0 ①
猜想
圆与圆的位置关系是不是也可以由这两方面 来判断？
圆与圆的 五 种 位置关系
Rr
O1
O2
外离
|O1O2|>R+r
Rr
O1
O2
外切
|O1O2|=R+r
Rr O1 O2
相交
|R-r|< |O1O2|<R+r
R
O1 O2r
R
O1 O2r
R
O
1O
r
2
内切
内含
同心圆 (一种特殊的内含)
|O1O2|=|R-r| 0≤ |O1O2|<|R-r| |O1O2|=0
代数方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
圆心距d （两点间距离公式）
比较d和r1，r2的 大小，下结论
(
(x a1)2 ( y b1)2 x a2 )2 ( y b2 )2
r12 r22
消去二次项、y（或x）
px2 qx r 0
0 : 相交
0
:内切或外切
0 : 相离或内含
对称：圆是轴对称图形，两个圆是否也组成轴 对称图形呢？如果能组成轴对图形，那么对称 轴是什么？我们一起来看下面的实验。
从以上实验我们可以看到，两个圆一定组成 一个轴对称图形，其对称轴是两圆连心线。 当两圆相切时，切点一定在连心线上。
问题探究
求半径为 3 2 ，且与圆x2 y2 10x 10 y 0
x2
y2
4x
4y
2
0
②
联立方程组
①-②得
x 2y 1 0 ③
消去二次项
把上式代入①
x2 2x 3 0 ④
(2)2 41 (3) 16
消元得一元 二次方程
把所x以1，方x程2代④入有方两程个③不得相到等y1的，实y2根x1，x两2用圆Δ判的断位 所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 置关系
Ax
By
C
0
消去y（或x）
px2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
4.2.2 圆与圆的位置 关系
问 ：圆与圆的位置关系有几种？分别是什么？
直线和圆的位置关系
d与r的大小关系 （几何性质）
类比
方程组解的组数 （代数）
限时训练（5分钟）
• 判断C1和C2的位置关系 (1)C1 : (x 2)2 ( y 2)2 49
解：C1(2, 2) r1 7
C2 : (x 4)2 ( y 2)2 9 C2 (4, 2) r2 3
d (2 4)2 2 22 6 r1 r2 d r1 r2 相交