圆与圆的位置关系(必修2)

代数方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
圆心距d （两点间距离公式）
比较d和r1，r2的 大小，下结论
(
(x a1)2 ( y b1)2 x a2 )2 ( y b2 )2
r12 r22
消去二次项、y（或x）
px2 qx r 0
0 : 相交
0
:内切或外切
0 : 相离或内含
直线与圆的三种位置关系
d
d
d
公共点个数 判别式
d与r的关系
相交
相切
相离
2个
1个
方程有两个 方程只有一 解 △>0 个解 △=0
dr d r
0个
方程无解 △<0
dr
小结：判断直线和圆的位置关系
方法一
方法二
求圆心坐标及半径r （配方法）
圆心到直线的距离d （点到直线距离公式）
(x a)2 ( y b)2 r 2
切于原点的圆的方程。
设所求圆的圆心为 A(a,b)
y
C(5, 5)
C、A、O三点共线
kCO kAO
5 0 b 0 5 0 a 0
a b （1）
| AO | 3 2
A
Ox CB
a2 b2 3 2 （2） 由(1)、(2)可知，a=b=3，或 a=b=-3
小结：判断两圆位置关系
利用几何性质
限时训练（5分钟）
• 判断C1和C2的位置关系 (1)C1 : (x 2)2 ( y 2)2 49
解：C1(2, 2) r1 7
C2 : (x 4)2 ( y 2)2 9 C2 (4, 2) r2 3
d (2 4)2 2 22 6 r1 r2 d r1 r2 相交
Ax
By
C
0
消去y（或x）
px2 qx t 0
d r : 相交 d r : 相切 d r : 相离
0 : 相交 0 : 相切 0 : 相离
4.2.2 圆与圆的位置 关系
问 ：圆与圆的位置关系有几种？分别是什么？
直线和圆的位置关系
d与r的大小关系 （几何性质）
类比
方程组解的组数 （代数）
反思
代数方法
圆心距d （两点间距离公式）
比较d和r1，r2的 大小，下结论
？
判断C1和C2的位置关系
C1 : x2 y2 2x 8y 8 0 C2 : x2 y2 4x 4 y 2 0
判断C1和C2的位置关系
❖ 解：联立两个方程组得
x2 y2 2x 8 y 8 0 ①
猜想
圆与圆的位置关系是不是也可以由这两方面 来判断？
圆与圆的 五 种 位置关系
Rr
O1
O2
外离
|O1O2|>R+r
Rr
O1
O2
外切
|O1O2|=R+r
Rr O1 O2
相交
|R-r|< |O1O2|<R+r
R
O1 O2r
R
O1 O2r
R
O
1O
r
2
内切
内含
同心圆 (一种特殊的内含)
|O1O2|=|R-r| 0≤ |O1O2|<|R-r| |O1O2|=0
x2
y2
4x
4y
2
百度文库
0
②
联立方程组
①-②得
x 2y 1 0 ③
消去二次项
把上式代入①
x2 2x 3 0 ④
(2)2 41 (3) 16
消元得一元 二次方程
把所x以1，方x程2代④入有方两程个③不得相到等y1的，实y2根x1，x两2用圆Δ判的断位 所以圆C1与圆C2有两个不同的交点 置关系
对称：圆是轴对称图形，两个圆是否也组成轴 对称图形呢？如果能组成轴对图形，那么对称 轴是什么？我们一起来看下面的实验。
从以上实验我们可以看到，两个圆一定组成 一个轴对称图形，其对称轴是两圆连心线。 当两圆相切时，切点一定在连心线上。
问题探究
求半径为 3 2 ，且与圆x2 y2 10x 10 y 0
思考
C1 : x2 y2 2x 8y 8 0 C2 : x2 y2 4x 4 y 2 0
把C1与C2两式相减，得到的方程表示什么图形？ 这条直线与两圆的公共弦所在直线又有什么关系？
我们是否可以用这种方法求任意两个圆的公共弦 所在的直线呢？ 结论：只能在已知两圆位置关系是相交、相切 时才可以用来求公共弦所在直线，和过公共点 的切线方程。
❖ 解：联立两个方程组得
x2 y2 2x 8 y 8 0 ①
x2
y2
4x
4y
2
0
②
①-②得
x 2y 1 0 ③
把上式代入①
x2 2x 3 0 ④
(2)2 41 (3) 16
得 x1=-1，x2=3 把x1，x2代入方程③得到 y1=1，y2=-1
所以圆C1与圆C2有两个不同的交点A(-1,1),B(3,-1) 最后得到公共弦所在直线：x+2y-1=0,
(2)C1 : x2 y2 9 C2 : (x 2)2 y2 1
解：C1(0, 0) r1 3
C2 (2, 0)
r2 1
d 22 02 2
d r1 r2 内切
(3) C1：x2 y2 2x 8y 8 0 C2：x2 y2 4x 4 y 1 0
相交
几何方法
两圆心坐标及半径 （配方法）
A(x1,y1),B(x2,y2)
反思
（1）当Δ=0时，有一个交点，两圆位置关系是 内切或外切
（2）当Δ<0时，没有交点，两圆位置关系可以是 内含或相离
几何方法直观，但不能 求出交点； 代数方法能求出交点，但Δ=0， Δ<0时，不能判 圆的位置关系，最后还是借助几何法。
如果要求相交时的公共弦所在的直线，怎么求？
O1O2 两圆心间的距离
内切
外切
0 内含
R-r 相交
R+r 外离
x
(1)外离 | O1O2 | R r (2)外切 | O1O2 | R r (3)相交 R r | O1O2 | R r (4)内切 | O1O2 || R r |
(5)内含 0 | O1O2 || R r |(特殊情况，同心圆O1O2=0)