2019年高考数学(理)第十二章概率与统计 12-2-2 习题及答案

1．已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i＝1,2)个球放入甲盒中．

(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个记为ξi(i＝1,2)；

(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i(i＝1,2)．

则( )

A．p1>p2，E(ξ1)

B．p1E(ξ2)

C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)

D．p1

答案 A

解析当i＝1时，若从乙盒中抽取的1个球为红球，记从甲盒

中取1个球是红球的事件为A1，则P(A1)＝m

m＋n

.

若从乙盒中抽取的1个球为蓝球，记从甲盒中取1个球是红球的

事件为A2，则P(A2)＝1

2×

n

m＋n

＝

n

m＋n

，而A1与A2互斥，则p1＝

P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝n＋2m

m ＋n

.此时，ξ1的取值为1或2，P(ξ1

＝1)＝

n

m＋n

，P(ξ1＝2)＝

m

m＋n

，则E(ξ1)＝1×

n

m＋n

＋2×

m

m＋n

＝

n＋2m

m＋n

.

当i＝2时，若从乙盒中抽取的2个球都为红球，记从甲盒中取1个

球是红球的事件为B1，则P(B1)＝

C2m

C2m＋n

.

若从乙盒中抽取的2个球为1个红球和1个蓝球，记从甲盒中取

1个球是红球的事件为B 2，则P (B 2)＝23×C 1m C 1

n

C 2m ＋n

.

若从乙盒中抽取的2个球都是蓝球，记从甲盒中取1个球是红球

的事件为B 3，则P (B 3)＝13×C 2

n

C 2m ＋n

.因为B 1，B 2，B 3互斥，则p 2＝P (B 1＋

B 2

＋B 3)＝P (B 1)＋P (B 2)＋P (B 3)＝3C 2m ＋2C 1m C 1n ＋C 2

n

3C 2m ＋n

＝

3m 2－3m ＋4mn ＋n 2－n

m ＋n m ＋n －＝

n ＋3m

m ＋n －m ＋n m ＋n －

＝

3m ＋n m ＋n

.则p 1

－p 2＝

n

m ＋n

>0，即有p 1>p 2.此时，ξ2的取值为1,2,3.P (ξ2＝1)＝C 2n C 2m ＋n ，P (ξ2＝2)＝C 1m C 1n C 2m ＋n ，P (ξ2＝3)＝C 2m C 2m ＋n ，则E (ξ2)＝1×C 2n C 2m ＋n ＋2×C 1m C 1

n C 2

m ＋n ＋3×C 2m C 2m ＋n ＝C 2n ＋2C 1m C 1n ＋3C 2

m

C 2m ＋n

＝3p 2＝n ＋3m n ＋m ，则有E (ξ1)

p 1>p 2，E (ξ1)

2．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1

5

，E (ξ)＝1，则

D (ξ)＝________.

答案 25

解析 设P (ξ＝1)＝p ，则P (ξ＝2)＝45－p ，从而由E (ξ)＝0×

1

5

＋1×p ＋2×⎝ ⎛⎭

⎪⎫45－p ＝1，得p ＝35.故D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2

×

35＋(2－1)2

×15＝2

5

.

3．设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：

(1)求T

(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

解(1)由统计结果可得T的频率分布为

从而E(T)32(分钟)．

(2)设T1，T2分别表示往、返所需时间，T1，T2的取值相互独立，且与T的分布列相同．设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”．

解法一：P(A)＝P(T1＋T2≤70)＝P(T1＝25，T2≤45)＋P(T1＝30，T2≤40)＋P(T1＝35，T2≤35)＋P(T1＝40，T2≤30)＝0.2×1＋0.3×1＋0.4×0.9＋0.1×0.5＝0.91.

解法二：P(A)＝P(T1＋T2>70)＝P(T1＝35，T2＝40)＋P(T1＝40，T2＝35)＋P(T1＝40，T2＝40)＝0.4×0.1＋0.1×0.4＋0.1×0.1＝0.09.

故P(A)＝1－P(A)＝0.91.

4.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动

员组队参加．现有自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．

(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手自同一个协会”，求事件A 发生的概率；

(2)设X 为选出的4人中种子选手的人，求随机变量X 的分布列和学期望．

解 (1)由已知，有

P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23

C 48

＝635.

所以，事件A 发生的概率为6

35

.

(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4.

P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3

C 48

(k ＝1,2,3,4)．

所以，随机变量X 的分布列为

随机变量X 的学期望E (X )＝1×14＋2×7＋3×7＋4×114＝5

2.

5．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X