应变状态

例3-1 构件内某点处于平面应变状态，从该点取出的单 元体及其变形如图3-4所示。要求：(1)用解析方法求出 主应变及主应变方向；(2)用应变圆求出最大切应变及 其方向。
解:
（1）主应变及主应变方向：
（2）最大切应变及方向
第3章 应 变 分 析
受力构件内各点处受应力作用，各点处就要发 生变形（约束处的点除外），可用单元体的变形来 描述。 线应变分量描述了单元体棱边长度的改变 切应变分量描述了单元体棱边夹角的改变。
对于空间问题，一点处共有6个应变分量。 通常情况下，构件内不同点处的应变是不相 同的；即便是同一点处，沿不同方向的应变分量 也是不相同的。
3.3 应变协调条件 相容方程
平面问题几何方程为
x
将
对y 的二阶导数和
对x 的二阶导数相加，得
3.4 平面应变状态分析
受力物件内某一点只存在三个应变分量，而且 都在同一个平面内，其余的应变分量为零。
、、
如xoy在 平面内，只有
而 态。
、
、
三个分量，
称此种情况为平面应变状
3.4.1 斜向方向应变
但是对于同一点，其主应变与主应变方向是 确定不变的。本章主要分析平面应变状态。
几何方程描述了一点处的位移与应变间关系， 相容方程描述了变形协调时应变分量间应满足的 条件。
3.1 应变概念
线应变与切应变
a点在 方向的线应变或称为正应变
a点在 x-y 平面内的切应变或角应变
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3.2 位移与应变的关系 几何方程
3.4.2 主应变及主应变方向
在平面应变状态中，通过一点一定存在两 个相互垂直的方向，在这两个方向上，线应变 为极值而切应变为零。 这样的极值线应变称为主应变，这个方向 称为主应变方向或应变主轴
主应变方向为
主应变为
最大切应变及其方向
3.4.3 应变圆
作图时以横坐标表示线应变，以纵坐标表示 切应变的二分之一