2019版高考数学大一轮复习第十二章不等式选讲第60讲不等式的证明优选学案

第60讲 不等式的证明

1．比较法

作差比较法与作商比较法的基本原理：

.

__b ＞a __⇔0＞b －a 作差法：(1)

．

0)＞b ，0＞a (b ＞a ⇔__1__＞a

b

作商法：(2)

2．综合法与分析法

__

综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过(1)而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法．

__推理论证

，直至__充分条件__分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的(2)所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出

的思考和证明方法．

__执果索因__要证的命题成立．这是一种

3．反证法

理、，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定__不成立__先假设要证的命题或已证明的定理、性质、明显成立的事实(，得到和命题的条件__推理__性质等，进行正确的，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．

__不正确__的结论，以说明假设__矛盾__)等

4．放缩法

以利于化简，并使它

__缩小__或__放大__证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地

与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．

5．数学归纳法

数学归纳法证明不等式的一般步骤：

时命题成立；

__0n ＝n __证明当(1)

时命题也成立．

1__＋k ＝n __，证明时命题成立)0n ≥k ，且*

N ∈k (__k ＝n __假设当(2) 综合(1)(2)可知，结论对于任意n ≥n 0，且n 0，n ∈N *

都成立．

6．柯西不等式

(1)代数形式：设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2

＋b 2

)(c 2

＋d 2

)≥(ac ＋bd )2

，当且仅当ad ＝

bc 时等号成立．

(2)向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，

或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．

(3)三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ，则

错误!＋错误!≥

错误!.

(4)一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 2＋…＋a 2n )(b 21＋b 2＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2

，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，

使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．

7．排序不等式

设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 是b 1，b 2，…，b n 的任一排列，那么a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n .当且仅当a 1＝

a 2＝…＝a n 或

b 1＝b 2＝…＝b n 时，反序和等于顺序和．

1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．

(1)用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时假设为“a ，b ，c 全不为0”. ( × )

(2)若实数x ，y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( √ )

(3)不等式|x ＋a |＋|x ＋b |≥c 恒成立的充要条件是|a －b |≥c .( √ ) (4)不等式|x ＋a |－|x ＋b |＜c 恒成立的充要条件是|a －b |≤c .( × )

2．若a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1

b

，则α＋β的最小值为

( D )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析 ∵12为a ，b 的等差中项，∴a ＋b ＝1

2

×2＝1.