第十四课时1.3.1函数的单调性与最值I

k 分析：按题意，只要证明函数 p 在区间（0， V +∞）上是减函数即可．
k 例2：物理学中的玻意耳定律p （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之． 证明：根据单调性的定义，设V1,V2是定义域 （0，+∞）上的任意两个实数，且V1<V2，则 取值 V2 V1 k k p V1 p V2 k 作差 V1 V2 VV 1 2 由V1,V2 ∈（0，+∞）得V1V2>0；
实例引入
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（2）f(x)=x2． 观察红线部分：
①从左至右图象上升还 是下降? _______ 上升 ②在区间 ________ 上， [0 ，+∞) 随着 x 的增大， f(x) 的值随着 ________ ． 增大
实例引入
观察蓝线部分：
①从左至右图象上升还 是下降? _______ 下降 （-∞，0 ） ②在区间 ________ 上， 随着 x 的增大， f(x) 的值随着 ________ ． 减小
1、函数的单调性
从上面的观察分析，能得出什么结论？
从上面的观察分析可以看出：不 同的函数，其图象的变化趋势不同， 同一函数在不同区间上变化趋势也不 同，函数图象的这种变化规律就是函 数性质的反映，也就是我们所要研究 的函数的一个重要性质 —— 函数的单 调性（也就是增减性）．
1、函数的单调性的定义
3、 证明函数单调性的一般步骤：
⑴取值：设x1 ，x2是给定区间内的两个任意 值，且x1< x 2 . ⑵作差：作差f(x1)－f(x2).
（3）变形：并将此差式变形（要注意变形到 能判断整个差式符号为止）. （ 4）定号：判断f(x1)－f(x2)的正负（要注意 说理的充分性）,必要时要讨论.
（5）下结论：根据定义得出其单调性.
一般地，设函数f(x)的定义域为I:
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值 x1 , x2，当 x1 x2 时，都有f ( x1 ) f ( x2 )，那么就说函 数 f ( x) 在区间D上是增函数（increasing function）．
函数的单调性的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值 x1 , x2，当 x1 x2 时，都有 f ( x1 ) f ( x2 )，那么就说函 数 f ( x) 在区间D上是减函数（decreasing function）．
1.3.1 函数的单调性
学习目标： 1、理解掌握函数的单调性的 定义. 2、能用定义的方法证明函数 的单调性 3、能知道已学函数的单调性 及单调区间
实例引入
画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x)=x;
①从左至右图象上升还 上升 是下降? _______ (-∞，+∞) ②在区间 ________ 上， 随着 x的增大， f(x)的值随着 ________ ． 增大
[1，3），[3，5].其中y＝f（x）在[－5，－2），[1，3）上 是减数， 在[－2，1），[3，5）上是增函数.
y 3
2 1
-5
-4
-3
-2
-1 O
1 -1
2
3
4
5 x
-2
反比例函数的单调性
根据图象说出函数的的单调区间，以及在 每一单调区间上，函数是增函数还是减函数．
y
y=f(x)
-1
O
1
函数的单调性
对于二次函数 f ( x) x ，我们可以这样来描述 “在区间（0，+∞）上，随着x 的增大，相应的 f(x) 也随着增大．”：
2
在区间（0， ）上，任取两个x1 ,x 2，得到f(x 1 )=x 1
2 f(x 2 )=x 2 ,当x1 <x 2时,有f(x1 )<f(x 2 ),也就是说函数
知识小结 本节课主要学习了以下内容：
1．函数的单调性的概念
2、定义方法证明函数单调性
的步骤
3、怎样求函数的单调区间？（ⅰ、 定义法；ⅱ图像法：区间内，图 像上升为增函数图像下降为减函 数）
练习：P30，P32 作业：
题
P39页习题 1.3 第2、3
探究：一次、二次、反比例函 数的单调区间分别是什么？
2
3
4
5
x

证明函数y=-2x+1在R上是减函数 没有图像，请同学思考该用什么方法？
证明：根据单调性定义，设x1 , x2是定义域R上的任意两个实数， 且x1 x2 , 则有： f(x1 )-f(x2 ) 2x1 1 ( 2x2 1) 2（x1 x2） 0 即 f(x1 ) f(x2 ) 所以，函数 f(x) -2x 1在R上是减函数。


注意： 1、 函数的单调性是与定义域内的某个区间上相对应 的； 2 、同一个函数可以有多个单调区间，如 f(x)=x2 ．
典型例题
例1：下图是定义在闭区间 [-5，5]上的函数 y=f(x)的图象，根据图象说出函数的的单调区间， 以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数． 解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－2），[－2，1)
例1、用定义法判断函数 y=2x+1是增函数还是减函数
思考一次函数y=kx+b的单调
性
实际问题
k 例2：物理学中的玻意耳定律p （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之．
典型例题
k 例2：物理学中的玻意耳定律p （k为正常数） V 告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时， 压强p将增大．试用函数的单调性证明之．
2
f(x)=x 在区间(0, ) 上是增函数
你能仿照这样的描述，说明函数 在区间 (－∞，0]上是减函数吗？ f ( x) x 2
2
2、函数的单调性区间
如果函数y＝f（x），在区间D上是 增函数或减函数，那么就说函数在这个 区间上具有（严格）单调性，区间D叫 做y＝f（x）的单调区间．
在单调区间上增函数的图象是上升的，减 函数的图 V2 k 所以，函数 p ,V 0, 是减函数．也就是 V p将增大． 说，当体积V减小时，压强
由V1<V2 ,得V2－V1>0 ． 又k>0，于是p V1 p V2 0
定号
例3、求下列函数的 单调区间 （1）f 2 (x)=x +3x+2