【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线之轨迹方程的求法

圆锥曲线之轨迹方程的求法（一）
【复习目标】
□1. 了解曲线与方程的对应关系，掌握求曲线方程的一般步骤；
□2. 会用直接法、定义法、相关点法（坐标代换法）求方程。

【基础练习】
1．到两坐标轴的距离相等的动点的轨迹方程是( )
A ．y x =
B ．||y x =
C ．22y x =
D ．220x y +=
2．已知点(,)P x y 4，则动点P 的轨迹是
( )
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．两条射线
D ．以上都不对
3．设定点1(0,3)F -、2(0,3)F ，动点P 满足条件129(0)PF PF a a a
+=+>，则点P 的轨迹( ) A ．椭圆 B ．线段 C. 不存在 D ．椭圆或线段
4．动点P 与定点(1,0)A -、(1,0)B 的连线的斜率之积为1-，则P 点的轨迹方程为______________.
【例题精选】
一、直接法求曲线方程
根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。

即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。

例1．已知ABC ∆中，2,AB BC m AC
==，试求A 点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
练习：已知两点M （-1，0）、N （1，0），且点P 使MP MN ，PM PN ，NM NP 成公差小于零的等差数列。

点P 的轨迹是什么曲线？
二定义法
若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

例1．⊙C ：22(16x y +=内部一点0)A 与圆周上动点Q 连线AQ 的中垂线交CQ 于
B
Q R A P o y
x P ，求点P 的轨迹方程.
例2．设动点(,)(0)P x y x ≥到定点1(,0)2
F 的距离比它到y 轴的距离大12。

记点P 的轨迹为曲线C 求点P 的轨迹方程；
练习．若动圆与圆1)2(:221=++y x C 相外切，且与直线1=x 相切，则动圆圆心轨迹方
程是 .
三代入法
有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。

如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。

这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。

例1、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ，
求M 点的轨迹。

例2、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，
求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.
针对练习
一、客观题
1．平面内到点(0,1)A 、(1,0)B 的点的轨迹为( )
A ．椭圆
B ．一条射线
C ．两条射线
D ．一条线段
2．平面上动点P 到定点)0,1(F 的距离比P 到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程为
( )
A ．22y x =
B ．24y x =
C ．22y x =或{00y x =≤
D ．24y x =或{
00y x =≤ 3．已知抛物线的方程为22(0)y px p =>，且抛物线上各点与焦点距离的最小值为2, 若点M
在此抛物线上运动, 点N 与点M 关于点A (1, 1)对称, 则点N 的轨迹方程为（ ）
A ．28x y =
B ．2(2)8(2)x y -=-
C ．2(2)8(2)y x -=--
D ．2(2)8(2)y x -=-
4．动点P 在抛物线221y x =+上移动，则点P 与点(0,1)A -连线中点M 轨迹方程是_____________.
5．一动点P 到点F (2，0)的距离比它到y 轴的距离大2，则点P 的轨迹方程是 .
二、解答题
6．动圆M 过定点P （－4，0），且与圆C ：x 2 + y 2－8x = 0相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

、、、
7．已知抛物线2
y = x +1，定点A(3，1)、B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有
BP ∶PA =1∶2，当B 点在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程．
8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点),(n S n n 在直线2
1121+=x y 上，数列{b n }满足
*)(0212N n b b b n n n ∈=+-++，b 3=11，且{b n }的前9项和为153.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设)12)(112(3--=
n n n b a c ，记数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式57k T n >对一切n∈N *都成立的最大正整数k 的值．
19.（本题满分14分）
已知点C(1，0)，点A 、B 是⊙O: x 2+y 2
=9上任意两个不同的点， 且满足0=⋅，设P 为弦AB 的中点。

(1)求点P 的轨迹T 的方程；
(2)试探究在轨迹T 上是否存在这样的点：它到直线x=-1的距离恰好等于到点C 的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．
20、(本题满分14分)
过点),0(a A 作直线交圆M ：1)2(2
2=+-y x 于点B 、C ，在BC 上取一点P ，使P 点满足：λ=,)(,R ∈=λλ
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）若（1）的轨迹交圆M 于点R 、S ，求MRS ∆面积的最大值。

一、知识概要：
1. 定义法:
若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程。

2. 直接法:
根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简。

即把这种关系“翻译”成含x ,y 的等式就得到曲线的轨迹方程了。

二、基本训练：
1、已知∆ABC 的一边BC 的长为6，周长为16，则顶点A 的轨迹是什么？
答: .
2、若(5,0),(5,0)||||8A B MA MB --=且, 则点M 的轨迹方程是 .
(注意区别轨迹与轨迹方程两概念)
三、例题：
例1、两根杆分别绕着定点A 和B (AB = 2a ) 在平面内转动,并且转动时两杆保持相互垂直,
求两杆交点的轨迹方程.
例3、过点(2,0)M -，作直线l 交双曲线22
1x y -=于A 、B 不同两点，已知OP OA OB =+。

（1）、求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

（2）、是否存在这样的直线，使||||?OP AB =若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。

解：（1）、设直线l 的方程为(2)y k x =+，
代入221x y -=得2222(1)4410k x k x k ----=， 当1k ≠±时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212241k x x k
+=-，2122411k x x k +=- 2121222
44(2)(2)411k k k y y k x k x k k k +=+++=+=-- 设(,)P x y ，由OP OA OB =+，则
212122244(,)(,)(,)11k k x y x x y y k k
=++=-- ∴2
24141k x k k
y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩
，解之得x k y = (0)k ≠ 再将x k y =代入241k y k
=-得22(2)4x y +-=……………………（1） 当0k =时，满足（1）式；
当斜率不存在是，易知(4,0)P -满足（1）式，故所求轨迹方程为22(2)4x y +-=，其轨
迹为双曲线；
当1k =±时，l 与双曲线只有一个交点，不满足题意。

（2）||||OP AB =，所以平行四边形OAPB
为矩形，OAPB 为矩形的充要条件是0OA OB =，即
12120x x y y +=。

当k 不存在时，A 、B 坐标分别为(-，(2,-，不满足上式。

又2
12121212(2)()x x y y x x k x x +=+++2222
222(1)(41)244011
k k k k k k k ++=-+=-- 化简得：22101k k +=-，此方程无实数解，故不存直线l 使OAPB 为矩形。

点评：平面向量和平面解析几何是新老教材的结合点，也是近几年高考常考查的热点，解此类题应注重从向量积的定义和向量的加减法的运算入手，还应该尽量联系向量与解析几何的共同点，综合运用解析几何知识和技巧，使问题有效解决。

课外作业：
1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，
那么动点Q 的轨迹是( )
A. 圆
B. 椭圆
C. 双曲线的一支
D. 抛物线
2．如图,已知圆B ：(x+1)2+y 2=16及点A(1,0),C 为圆B
上任意一点，则线段AC 的垂直平分l 与线段CB 的
交点P 的轨迹方程是 .
3．已知ABC ,A(3,0),B(-3,0),且三边长|AC|、|AB|、|BC|依次成等差数列，则顶点C 的
轨迹方程是 .
6*．△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2
a ,0)，且满足条件sin C －sin B =21sin A , 则动点A 的轨迹方程为 .
8． (06全国Ⅰ)在平面直角坐标系x oy 中，有一个以(10,3F -和(23F 为焦点、离心率为
32
的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x , y 轴的交点分别为A 、B ，且向量OM OA OB =+。

求点M 的轨迹方程.
9．如图, 过A(-1,0),斜率为k 的直线l 与抛物线C:24y x =交于P 、Q 两点，若曲线C 的焦
点F 与P 、Q 、R 三点按图中顺序构成平行四边形，求点R 的轨迹方程。

一、知识概要： 代入法（相关点法） 有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的。

如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法。

这种方法是一种极常用的方法，连续好几年高考都考查。

二、基本训练：
1、双曲线2
219
x y -=有动点P ，F 1, F 2是曲线的两个焦点，求△PF 1F 2的重心M 的轨迹方程。

例2、已知定点A ( 3, 0 )，P 是圆x 2 + y 2 = 1上的动点，∠AOP 的平分线交AP 于M ，
求M 点的轨迹。

解：如图，设M ( x , y )、P ( x 1 , y 1 )。

由于OM 平分∠AOP ，
故M 分AP 的比为：
λ = ||||||||
AM OA MP OP == 3 由定比分点公式，得113303,1313x y x y ++=
=++，
即1143()3443x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，由于x 1 2 + y 1
2 = 1，
故 22434[()]()134
3x y -+=，即 2239
()416x y -+=。

故所求轨迹是以3(,0)4
为圆心，以3
4为半径的圆。

例3、如图所示，已知P (4，0)是圆x 2+y 2=36内的一点，A 、B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，
求矩形APBQ 的顶点Q 的轨迹方程.
错解分析: 欲求Q 的轨迹方程，应先求R 的轨迹方程， 若学生思考不深刻，发现不了问题的实质，很难解决此题。

技巧与方法: 对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可 先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，
所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程。

解: 设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，
则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR | 又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理 在Rt △OAR 中，|AR |2=|AO |2－|OR |2=36－(x 2+y 2)
又|AR |=|PR |=22)4(y x +-
所以有(x －4)2+y 2=36－(x 2+y 2),即x 2+y 2－4x －10=0
因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2
,241+=
+y y x , 代入方程x 2+y 2－4x －10=0,得
2
4
4)2()24(
22+⋅
-++x y x －10=0 整理得 x 2+y 2=56,这就是所求的轨迹方程。

课外作业：
1．( 01上海) 设P 为双曲线-4
2x y 2
＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点， 则点M 的轨迹方程是 。

2．若动点P 在y =2x 2+1上移动,则点P 与点Q( 0,-1)连线中点的轨迹方程是 。

3．P 在以F 1、F 2为焦点的双曲线
22
1169
x y -=上运动，则△F 1F 2P 的重心G 的轨迹方程 是 。

一、知识概要：
在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求出所求轨迹方程，该法经常与参数法并用。

二、基本训练：
1、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3），若点C 满足
OC OA OB αβ=+，其中,R αβ∈，且1αβ+=，则点C 的轨迹方程
为 .
三、例题：
例1、（2006年深圳一模）过抛物线y 2 = 4 px ( p > 0 )的顶点作互相垂直的两弦OA 和OB 。

求AB 中点P 的轨迹方程。

例2、过点M( -2, 0)作直线L 交双曲线x 2
－y 2
= 1于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作
平行四边形OAPB 。

求动点P 的轨迹方程。

例3、已知常数0a >，经过定点(0,)A a -以(,)m a λ=为方向向量的直线与经过定点
(0,)B a ，且以(1,2)n a λ=为方向向量的直线相交于点Ｐ，其中R λ∈．
⑴ 求点Ｐ的轨迹Ｃ的方程，它是什么曲线；
⑵ 若直线:1l x y +=与曲线Ｃ相交于两个不同的点Ａ、Ｂ，求曲线Ｃ的离心率的范围．
解: (1) （用交轨法）
过Ａ以m 为方向向量的直线方程为：a
y a x λ
+=
．
．．．．．．① 过Ｂ以n 为方向向量的直线方程为：2y a ax λ-=．．．．．．②
由①②消去λ得：22
2112
y x a
-=．Ｐ的轨迹为双曲线．．．．．．．．６分 (2)联立方程22
221
1y x a x y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩
消去y 得2
2
2
(12)210a x x a --+-=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分
依题意有21200a ⎧-≠⎨∆>⎩，即222
12044(12)(1)0a a a ⎧-≠⎨--->⎩
∴022a a <<≠
又c e e a ====>≠．．．．．．．．．．．．１２分
课外作业：
1．设A 1、A 2是椭圆4
92
2y x +
=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点， 则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )
A. 14922=+y x
B. 14922=+x y
C. 14
922=-y x
D. 14
922=-x y
2．已知椭圆22a x +22
b
y = 1（a>b>0）和定点A(0, b), B(0, -b), C 是椭圆上的动点, 求ΔABC
的垂心H 的轨迹方程。

3*. 过抛物线 y 2 = 4 p x ( p > 0 )的顶点作互相垂直的 两弦OA 、OB ，求抛物线的顶点O 在直线AB 上的射 影M 的轨迹。

5*．已知椭圆22
22b
y a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆
的焦点，∠F 1PF 2的外角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R
(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程； (2)设点R 形成的曲线为C ，直线l y =k (x +2a )与
曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值
8．如图11-5-1，已知圆O ：2225,x y += 点(3,0),(3,0)A B -，C 为圆O 上任意一点，直线CD 与BC 垂直，并交圆O 于另一点D . （1）求证：AD BC λ=；
（2）若点P 在线段CD 上，且PAD PBC ∠=∠，求点P 的轨迹方程.
P
O
x
y
A B
C D
图11-5-1。