图像边缘检测各种算子MATLAB实现以及实际应用

《图像处理中的数学方法》实验报告

学生姓名：***

教师姓名：曾理

学院：数学与统计学院

专业：信息与计算科学

学号：********

联系方式：139****1645

梯度和拉普拉斯算子在图像边缘检测中的应用

一、数学方法

边缘检测最通用的方法是检测灰度值的不连续性，这种不连续性用一阶和二阶导数来检测。

1.（1）一阶导数：一阶导数即为梯度，对于平面上的图像来说，我们只需用到二维函数

的梯度，即：∇f=[g x

g y]=[ðf ðx

ðf

ðy

],该向量的幅值：∇f=mag(∇f)=[g x2+g y2]1/2= [(ðf/ðx)2+(ðf/ðy)2]1/2,为简化计算，省略上式平方根，得到近似值∇f≈g x2+g y2；或通过取绝对值来近似，得到：∇f≈|g x|+|g y|。

（2）二阶导数：二阶导数通常用拉普拉斯算子来计算，由二阶微分构成：

∇2f(x,y)=ð2f(x,y)

ðx2

+

ð2f(x,y)

ðy2

2.边缘检测的基本思想：

（1）寻找灰度的一阶导数的幅度大于某个指定阈值的位置；

（2）寻找灰度的二阶导数有零交叉的位置。

3.几种方法简介

（1）Sobel边缘检测器：以差分来代替一阶导数。Sobel边缘检测器使用一个3×3邻域的行和列之间的离散差来计算梯度，其中，每行或每列的中心像素用2来加

权，以提供平滑效果。∇f=[g x2+g y2]1/2={[(z7+2z8+z9)−(z1+2z2+

z3)]2+[(z3+2z6+z9)−(z1+2z4+z7)]2}1/2

（2）Prewitt边缘检测器:使用下图所示模板来数字化地近似一阶导数。与Sobel检测

器相比，计算上简单一些，但产生的结果中噪声可能会稍微大一些。

g x=(z7+z8+z9)−(z1+z2+z3)

g y=(z3+z6+z9)−(z1−z4−z7)

（3）Roberts边缘检测器：使用下图所示模板来数字化地将一阶导数近似为相邻像素之间的差，它与前述检测器相比功能有限（非对称，且不能检测多种45°倍数的边缘）。

g x=z9−z5

g y=z8−z6

（4）Laplace边缘检测器：二维函数f(x,y)的拉普拉斯是一个二阶的微分定义：

∇2f(x,y)=ð2f(x,y)

ðx2

+

ð2f(x,y)

ðy2

模板算子可分为四邻域和八邻域，如下：

（四邻域）

（八邻域）

（5） LoG 边缘检测器

由于噪声点（灰度与周围点相差很大的像素点）对边缘检测有一定的影响，所以效果更好的是LoG 算子，即Laplacian -Guass 算子。引入高斯函数来平滑噪声：

该函数的Laplace 算子：

它把Guass 平滑滤波器和Laplace 锐化滤波器结合起来，先平滑掉噪声，再进行边缘检测，所以效果比单用Laplace 算子要更为平滑，效果更好。

（6） Canny 边缘检测器

主要分为以下几个步骤：①使用具有指定标准差的一个高斯滤波器来平滑图像，以减少噪声；②在每个点处计算局部梯度和边缘方向；③对步骤②中确定的边缘点产生梯度中的脊线顶部进行追踪，并将实际山不在脊线顶部的像素设置为零，从而在输出中给出一条细线（非最大值抑制），然后使用滞后阈值处理法对这些脊线像素进行阈值处理。最后进行边缘连接。

G (x ,y )=

e −

x 2+y 22σ2

∇2

G (x ,y )=ð2G (x ,y )ðx 2+ð2G (x ,y )

ðy 2

= x 2+y 2−2σ2σ4

e

−x 2+y

2

2σ2

二、实验结果原始图像：

1.Roberts算子

2.Prewitt算子

3.Sobel算子

place算子

（4邻域）

（8邻域）5.LoG

四种结果的比较：（Laplace采用8邻域模板）

图像来源：

/show/05248 591.html（网行天下首页>>设计图库>>文化艺术>>插画集：《牧羊犬灰度》）

图像规格：800×677 格式：SVG 模式：RGB

硬件条件：

软件条件：运行环境：Matlab r2015b

三、讨论

1.各方法优缺点及比较：

（1）Roberts算子：Roberts算子是2×2算子，对具有陡峭的低噪声图像响应最好，并且检测垂直边缘的效果好于斜向边缘，定位精度高。然而，它对噪声敏感，无法抑制噪声的影响。因此，它适用于边缘明显且噪声较少的图像分割。

（2）Prewitt算子：Prewitt算子将两个点的各自一定领域内的灰度值求和，并根据两个灰度值和的差来计算x,y的偏导数。它是平均滤波，对噪声有抑制作用，对于灰度渐变的低噪声图像有较好的检测效果，但是像素平均相当于对图像的低通滤波，所以它对边缘的定位不如Roberts算子。对于混合多复杂噪声的图像，效果不太理想。

（3）Sobel算子：Sobel算子是滤波算子的形式，用于提取边缘，可以利用快速卷积函数，简单有效，因此应用广泛。美中不足的是，Sobel算子并没有将图像的主体与背景严格地区分开来，即Sobel算子没有严格地模拟人的视觉生理特征，所以提取的图像轮廓有时并不能令人满意。

（4）Laplace算子：Laplace算子是一种各向同性算子，在只关心边缘的位置而不考虑其周围的象素灰度差值时比较合适。Laplace算子对孤立象素的响应要比对边缘或线的响应要更强烈，因此只适用于无噪声图象。存在噪声情况下，使用Laplacian算子检测边缘之前需要先进行低通滤波。

（5）LoG算子：由于二阶导数是线性运算，利用LoG卷积一幅图像与首先使用高斯型平滑函数卷积改图像，然后计算所得结果的拉普拉斯是一样的。所以在LoG公式中使用高斯函数的目的就是对图像进行平滑处理，使用Laplacian算子的目的是提供一幅用零交叉确定边缘位置的图像；图像的平滑处理减少了噪声的影响并且它的主要作用还是抵消由Laplacian 算子的二阶导数引起的逐渐增加的噪声影响。

（6）Canny算子：是一个具有滤波，增强和检测的多阶段的优化算子，在进行处理前，Canny 算子先利用高斯平滑滤波器来平滑图像以消除噪声，Canny分割算法采用一阶偏导的有限差分来计算梯度的幅值和方向。在处理过程中，Canny算法还将经过一个非极大值抑制的过程。最后Canny算法将采用两个阈值来连接边缘。高定位精度、低误判率、抑制虚假边缘，适用于高噪声图像。