无穷小的比较教案
高数教案_无穷小比较7
课 题: 无穷小量的比较 目的要求：了解高阶，同阶，等价，k 阶无穷小量的定义熟练掌握等价无穷小量的应用掌握x 0时，常用的等价无穷小量 教学重点：熟练掌握等价无穷小量的定义与应用 教学难点：熟练掌握等价无穷小量的定义与应用 教学课时： 2教学方法：讲练结合 教学内容与步骤：无穷小的比较：同一极限过程中的无穷小量趋于零的速度不一相同，我们用两个无穷小量的比值的极限来衡量这两个无穷小量趋于零的快慢速度。
同时，研究这个问题能得到一种求极限的方法 一般, 无穷小量的商有下列几种情形设α(x )与β(x )是同一极限过程中的两个无穷小量：lim α(x )=0, lim β(x )=0. 定义 设lim α(x )=0, lim β(x )=0. ()(1) lim0,()x x αβ=若则称α(x )是比β(x )高阶的无穷小量, 记作, α(x )=o (β(x )) 或称β(x )是比α(x )低阶的无穷小量, ()lim()x x βα=∞若,则称β(x )是比α(x )低阶的无穷小量.()(2) lim,(0)()x A A x αβ=≠若，则称α(x )是β(x )的同阶无穷小量，记作, α(x )=O (β(x ))，特别的，当A=1时，则称α(x )与β(x )是等价无穷小量，记作：α(x )~ β(x ) 例如，0sin lim1x xx→=即sin ~(0)x x x →；201cos lim 12x x x →-=即21cos ~(0)2x x x -→． 定理 设(1)~,~a a ββ''；(2)lim(),A a β'=∞'或 则limlim()A aa ββ'==∞'或．证：limlim lim lim lim lim ().a a A a a a a a a ββββββββ'''''⎛⎫==⋅⋅==∞ ⎪'''''⎝⎭或 推论：设~,~a a ββ'',若()lim f x αβ存在或为无穷大，则：''()lim f x αβ=()lim f x αβ推论：设~a a ',若lim ()f x α存在或为无穷大，则：'lim ()f x α= lim ()f x α 总结：无穷小量的运算过程中，运算式先化为乘积形式，再用等价无穷小量去代换。
无穷小的比较
无穷小的比较教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
教学重点：用等价无穷小求极限教学过程：一、讲授新课：在第三谈中我们探讨了无穷小的和、高、内积的情况，对于其商会发生相同的情a0b00mnmnmn况，例如：lima0xb0xnmx?0?limxx?0n?m?a0b0（a0,b0为常数，m,n为自然数）可见对于m,n取不同数时，a0xn与b0xm趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：定义：设立?与?为x在同一变化过程中的两个无穷小，(i)若lim(ii)0，就说?是比?高阶的无穷小，记为??o(?)；若lim，，就说道?就是比?低阶的无穷小；，，就说?是比?同阶的无穷小；(iii)若lim(iv)【基准1】若lim?c?0?1，就说?与?是等价无穷小，记为?~?。
当x?0时，x2就是x的高阶无穷小，即x2?o(x)；反之x就是x2的低阶并无穷小；x2与1?cosx是同阶无穷小；x与sinx是等价无穷小，即x~sinx。
备注1：高阶无穷小不具备等价赋值性，即为：x2?o(x),x2?o(x)，但o(x)?o(x)，因为o(?)不是一个量，而是高阶无穷小的记号；2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；3：等价无穷小具备传递性：即为?~?,?~~?；14：未必任一两个无穷小量都可以展开比较，比如：当x?0时，xsinxsin1x1x与x2既非同阶，又无高低阶可比较，因为limx?0x2不存在；5：对于无穷大量也可为相似的比较、分类；6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：定理：若?,?,??,??均为x的同一变化过程中的无穷小，且?~??,?~??，及mil那么lim【基准2】lim?，2。
求lim1?cosxsinxx?0解：因为当x?0时，sinx~x所以lim1?cosxsin2x?0xx?0?lim1?cosxx2x?0?12。
【基准3】谋limarcsin2xx?2x2x2解：因为当x?0时，arcsin2x~2x，所以原式?limx?0x?2x2?lim2x?2x?0?22?1。
无穷小的比较教案
定义：设 与 为 在同一变化过程中的两个无穷小，
(i)若 ，就说 是比 高阶的无穷小，记为 ；
(ii)若 ，，就说 是比 低阶的无穷小；
(iii)若 ，，就说 是比 同阶的无穷小；
(iv)若 ，就说 与 是等价无穷小，记为 。
二、课堂练习：
三、布置作业：
注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。
参考教材
[1]郭运瑞，陈付贵.高等数学（上册）.北京：人民教育出版社，2009
[2]李进金.高等数学（上册）.南京：南京大学出版社，2006
课外作业
课后体会
学完本节课要理解无穷小比较的定义，要牢记课上总结的常见等价无穷小，等价无穷小替换时求极限的一种重要方法，做题时要注意正确的替换方法，在加减法中千万不能用等价无穷小替换，要结合例题和习题掌握牢固和熟练。
教学方法
根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。
教学手段
传统教学与多媒体资源相结合。
一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如： （ 为常数， 为自然数）
5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；
6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理：若 均为 的同一变化过程中的无穷小，且 ，及 ，那么 。
【例2】求 。
解：因为当 时，
所以 。
【例3】求
解：因为当 时， ，
所以原式 。
高数教案 两个重要极限及无穷小的比较
两个重要极限和无穷小的比较
授课类型
理论课
首次授课时间
年 月 日
学时
2
教学目标
1、掌握两个重要极限的一般形式及特点
2、会运用两个重要极限求相关极限
3、理解等价，同阶，高阶无穷小
重点与难点
重要极限的运用
教学手段与方法
1 、多媒体 PPT 教学 2 、课堂讲解3 、学生练习
教学过程：（包括授课思路、过程设计、讲解要点及各部分具体内容、时间分配等）
说明：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的 型极限．
（2）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成 (方框□代表同一变量)．
例6求 .
解
例7求 .
解 ．
例8 求 ．
解
由例7知
故
2. EMBED Equation.3 ．
解释说明：列出 的数值表(如下表)，观察其变化趋势.
1
2
3
4
5
10
100
1000
(2)若 ，则称 与 是同阶无穷小，特别地，若 ，则称 与 是等价无穷小，记为 ．
例如， 即 ；
即
定理 设 ；
则 ．
例12求 ．
解当 时， , ,
所以
例13 求
解 因为当 时, ,
,所以
常用的几个等价无穷小代换
当 时,有
小结：一、两个重要极限
二、无穷小的比较
思考题、讨论题、作业
思考题1.下列运算错在何处：
10000
…….
2
2.250
2.370
2.441
2.488
2.594
2.705
2.717
2.718
无穷大与无穷小课程教案
当 时， 都趋于0
当 时， 都趋于0,、
2、无穷小的性质
（1）有限个无穷小代数和仍为无穷小；
（2）常数与无穷小之乘积仍为无穷小；
（3）有限个无穷小乘积仍为无穷小；
（4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
在某个变化过程中，limf(x) f(x)-A是一个无穷小
二、无穷大
（1） ，当 时， ；
（2） ，当 时， ；
（3） ，当 时， ；
定义：某一变化过程中，其绝对值无限增大的变量，称为无穷大量，简称无穷大.
当 时， 和 都是无穷大量；
当 时， 、 都是无穷大量；
在自变量的同一变化过程中，如果 是无穷大，则 是无穷小，反之如果 都是无穷小，且 ，则 是无穷大.
三、无穷小的比较
在同一变化过程中，两个无穷小的和、差、积仍都是无穷小量，那么，两个无穷小量的商仍会出现什么情况呢？
当 时， 都是无穷小量，那么两个无穷小量的商会出现什么情况呢？
当 时， 都Байду номын сангаас无穷小量，而 ，
，
出现不同情况的原因是他们趋向于0的快慢程度不同.
定义：在同一个变化过程中
（1）如果 则称 是比 较高阶的无穷小，记作 .
课程教案
教学内容
无穷大与无穷小
教学时数
1
教学地点
汇智楼303
教学对象
2014财务八班
教学目的
了解无穷大与无穷小的概念，及其比较的概念
教学重点
无穷小的比较及等价无穷小的应用
教学过程
教学步骤及教学内容
一、无穷小
1、观察下列几个函数的极限：
无穷小的比较
教学重点：用等价无穷小求极限
教学过程：
一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如： （ 为常数， 为自然数）
可见对于 取不同数时， 与 趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：
定理4：设函数 在点 连续，且 ，函数 在 点连续，那么，复合函数 在点 处连续。
注3：定理3、4说明 与 的次序可交换。
注4：在定理3中代入 ，即得定理4。
【例1】 由于 （ 为正整数）在 上严格单调且连续，由定理2，其反函数 在 上也严格单调且连续，进而：对于有理幂函数 （ 为正整数）在定义上是连续的。
综合以上结果，得：基本初等函数在其定义域内都是连续的，由基本初等函数的连续性，及定理1～4，即得：
结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
注1：定义区间为包含在定义域内的区间；
2：在§1.9，我们是用极限来证明连续，现在可利用函数的连续来求极限。
【例3】 。
【例4】 。
【例5】
。
三、课堂练习：
四、布置作业：
定理2（反函数的连续性）：如果 在区间 上单值，单增（减），且连续，那么其反函数 也在对应的区间 上单值，单增（减），且连续。
注1： 亦为 的反函数，如上知： 在 上有上述性质。
定理3：设 当 时的极限存在且等于 ，即 ，又设 在 处连续，那么，当 时，复合函数 的极限存在，且等于 ，即 。
注2：可类似讨论 时的情形。
6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理：若 均为 的同一变化过程中的无穷小，且 ，及 ，那么 。
【例2】求 。
解：因为当 时，
高等数学的教学课件1-7无穷小的比较
0
0
定义3 如果x 时 ( x)是无穷小， 且lim ( x) L 0,
1 xk
则x 时 ( x)是关于 1 x的k阶的无穷小;
二、等价无穷小的性质
性质1 ~ o( ).
证 lim 1 lim( 1) lim
lim 1 lim 0
~ o( ).
v
1 v1
lim lim u1 lim 1
1
v 1
lim u1 . v 1
说明: 在求极限的过程中，分子或分母中的因子， 可用其等价无穷小替换。
常用等价无穷小:
假设( x)是不取0值的无穷小,则：
~ sin ~ tan ~ arcsin ~ arctan, ~ e 1 ~ ln(1 ), (1 ) 1 ~ , 1 cos ~ 1 2.
x0
sin 3x
解 tan 5x ~ 5x, sin 3x ~ 3x, 1 cos x ~ 1 x2.
2
原式 lim tan 5x lim1 cos x
x0 sin 3x x0 sin 3x
lim
5x
lim
1 2
x2
5 0 5.
x0 3x x0 3x 3
3
原式X
5x lim
x0
1 2
3x
x2
5 3
例4 求 lim ln(e x sin2 x) x . x0 ln(e 2 x x 2 ) 2 x
解 ln(e x sin2 x) x ln e x (1 ex sin2 x) x ln(e2x x 2 ) 2 x ln e2x (1 e2x x 2 ) 2 x
2
例1 求 lim tan2 2x . x0 1 cos x
大一高数课件 ch2-6无穷小的比较
三、小结
1. 无穷小的比较
反映了同一过程中, 反映了同一过程中 两无穷小趋于零的速度 快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较. 快慢 但并不是所有的无穷小都可进行比较 阶无穷小; 高(低)阶无穷小 等价无穷小 无穷小的阶 低 阶无穷小 等价无穷小; 无穷小的阶.
2. 等价无穷小的代换 等价无穷小的代换:
(1 + ax ) − 1 6. lim =_________. x →0 x 3 时 7. 当x → 0时, a + x − a ( a > 0) _______阶无穷小 对于 x 是_______阶无穷小 . n 等价， 8. 当x → 0时, 无穷小 1 − cos x 与 mx 等价，则 时 m = _______, n _______ .
tan 2 x 例３ 求 lim . x →0 1 − cos x
1 2 解 当x → 0时, 1 − cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2 (2 x ) 原式 = lim = 8. x→0 1 → 2 x 2
若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积， 若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则 可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无 穷小代换，而不会改变原式的极限． 穷小代换，而不会改变原式的极限．
2
( x + 1) sin x . 例４ 求 lim x → 0 arcsin x
解
当x → 0时, sin x ~ x , arcsin x ~ x . ( x + 1) x = lim( x + 1) = 1. 原式 = lim x →0 x →0 x
不能滥用等价无穷小代换. 注意 不能滥用等价无穷小代换 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换， 因子作等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别代换. 对于代数和中各无穷小不能分别代换.
无穷小的比较教案
§1.8 无穷小的比较已知无穷小的和、差、积的结果仍是无穷小，商的结果 却不一定是无穷小，如1sin lim 0=→xx x ，∞==→→20203lim ,03lim x x x x x x ，两个无穷小的比的极限不同情形，反映了无穷小→0的“快慢”程度。
02→x 比03→x 快些，反之慢些，0sin →x 与0→x 程度相仿。
一．无穷小的比较１.定义:设0→α,0→β (0x x →或∞→x ) .若 (1) 0lim =αβ,就说β是比α高阶的无穷小，记作()αοβ=; (2) ∞=αβlim ,就说β是比α低阶的无穷小; (3) 0lim ≠=c αβ,就说β与α同阶的无穷小 (4) 0,0lim >≠=k c k αβ,就说β是关于α的k 阶无穷小 （5）1lim =αβ,就说β与α是等价无穷小,记作βα~。
例(1)∵515sin lim 0=→x x x ,∴x →0时,x sin 与x 5同阶. 0→x 时,x x 1002+与x 同阶,与100x 等价.（2）0→x 时, ,cos 1,tan ,sin x x x -0:1),1ln(→-+x e x∴0→x 时, ,~tan ,~sin x x x x 1,~)1ln(-+x e x x x ~221~cos 1x x -. *并非任何两个无穷小都可比较（极限不存在且不是∞时）。
二．利用等价无穷小的性质求极限1．等价无穷小的性质：设αα'~，ββ'~且βαβαβα''=⇒∃''lim lim ,lim∵αα'~，ββ'~ ∴αβαααβββαβ''='''''=lim lim lim 。
即求无穷小之比的极限，分子、分母（整个或部分因子）可用等价无穷小来代换。
2．例：求极限 (1)353sin 5lim0=→x x tg x , (2)11)1ln(lim 0=-+→x x e x , (3)21sin cos 1lim 0=-→x x x x (4)()21cos 1lim cos 1lim cos sin cos 1sin lim sin sin lim 2003030=-=-=-→→→→x x x x x x x x x tgx x x x x (5)()x x x x x x x ⊄∞→+∞→sin ,sin 1lim 32=0小结：利用等价无穷小代换求极限是计算函数极限的又一重要方法，特别是在求极限的过程中，对于较复杂的因子用其等价无穷小代换可使计算简便。
《高职应用数学》教案 第8课 两个重要极限及无穷小的比较
第8课两个重要极限及无穷小的比较复习（10 min）【教师】提前设计好上节课的复习题目，并针对学生存在的问题及时讲解【学生】做复习题目复习上节课所学内容，为讲授新课打好基础讲授新课（20 min）【教师】通过观察函数图像，推导出极限公式sinlim1xxx→=，并通过例题介绍使用该公式求函数极限的方法函数sin xyx=的图像如图2-7所示，从图像可以看出，当0x→时，函数sin xyx=的值无限趋近于1．图2-7此重要极限属于型，常形象地表示为sinlim1→=（□代表同一变量）．求sin3limxxx→．解令3u x=，则3ux=．当0x→时，0u→．于是有000sin3sin sinlim lim3lim33x u ux u uux u→→→===．求下列极限：（1）sin3limsin5xxx→；（2）tanlimxxx→；（3）21coslimxxx→-．学习两个重要极限。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化例2例1解 （1）0000sin 3sin 33limsin 33333lim lim sin 5sin 5sin 5555lim55x x x x x xx x x x x x x x x x→→→→⋅===⋅．（2）0000tan sin 1sin 1lim lim lim lim 111cos cos x x x x x x x x x x x x→→→→=⋅=⋅=⨯=． （3）2220002sin sin sin1cos 11222lim lim lim 2222x x x x x x x x x x x →→→-==⋅⋅=． 【教师】通过函数的变化趋势推导出极限公式1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，并通过例题介绍使用该公式求函数极限的方法当x →∞时，函数11xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的变化趋势如表2-1所示．表2-1从表2-1中可以看出，当x →-∞及x →+∞时，11xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值无限趋近于e 2.71828=⋅⋅⋅，即1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．若令1t x =，则当x →∞时，0t →．因此，1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭还可以写成1lim(1)e tt t →+=．此重要极限属于∞1型，常形象地表示为1lim 1e →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或10lim(1)e →+= （□代表同一变量）．求下列函数的极限：（1）3lim 1xx x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭； （2）10lim(1)x x x →-．解 （1）令3xu =，则3x u =．于是333311lim 1lim 1lim 1e x uu x u u x u u →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 例3（2）11(1)101lim(1)=lim[1()]e ex xx x x x ⨯---→→-+-==．设有本金10 000元，年利率为6%，计息期为五年，分别计算下列情况的本利和： （1）单利计息（五年结算一次）； （2）复利计息（3个月结算一次）； （3）连续复利计息．解 （1）单利计息（五年结算一次）时本利和为 10000(16%5)13000P =⨯+⨯=（元）． （2）复利计息（3个月结算一次）时本利和为540.0610000113468.554P ⨯⎛⎫=⨯+≈ ⎪⎝⎭（元）． （3）连续复利计息时本利和为50.0610000e 13498.59P ⨯=≈（元）．【学生】熟练运用两个重要极限公式求函数的极限 课堂测验（6 min ）☞教师在文旌课堂APP 或其他学习平台中发布测试的题目，并让学生加入测试。
高等数学教学教案 无穷小的比较 函数的连续性与间断点(优秀版)word资料
高等数学教学教案无穷小的比较函数的连续性与间断点（优秀版）word资料§1.7 无穷小的比较§1. 8 函数的连续性与间断点授课次序07§1. 8 函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量: 设变量u 从它的一个初值u 1变到终值u 2, 终值与初值的差u 2-u 1就叫做变量u 的增量, 记作∆u , 即∆u =u 2-u 1.设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内是有定义的. 当自变量x 在这邻域内从x 0变到x 0+∆x 时, 函数y 相应地从f (x 0)变到f (x 0+∆x ), 因此函数y 的对应增量为∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0).函数连续的定义设函数y =f (x )在点x 0 的某一个邻域内有定义, 如果当自变量的增量∆x =x -x 0 趋于零时, 对应的函数的增量∆y = f (x 0+∆x )- f (x 0 )也趋于零, 即0lim 0=∆→∆y x , 或)()(lim 00x f x f x x =→,那么就称函数y =f (x )在点x 0 处连续.注: ①0)]()([lim lim 000=-∆+=∆→∆→∆x f x x f y x x②设x =x 0+∆x , 则当∆x →0时, x →x 0, 因此0lim 0=∆→∆y x ⇔0)]()([lim 00=-→x f x f x x ⇔)()(lim 00x f x f x x =→.函数连续的等价定义2:设函数y =f (x )在点x 0的某一个邻域内有定义, 如果对于任意给定义的正数ε , 总存在着正数δ , 使得对于适合不等式|x -x 0|<δ 的一切x , 对应的函数值f (x )都满足不等式|f (x )-f (x 0)|<ε , 那么就称函数y =f (x )在点x 0处连续.左右连续性: 如果)()(lim 00x f x f x x =-→, 则称y =f (x )在点0x 处左连续.如果)()(lim 00x f x f x x =+→, 则称y =f (x )在点0x 处右连续.左右连续与连续的关系:函数y =f (x )在点x 0处连续⇔函数y =f (x )在点x 0处左连续且右连续.函数在区间上的连续性: 在区间上每一点都连续的函数, 叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续. 如果区间包括端点, 那么函数在右端点连续是指左连续, 在左端点连续是指右连续. 连续函数举例:1. 如果f (x )是多项式函数, 则函数f (x )在区间(-∞, +∞)内是连续的. 这是因为, f (x )在(-∞, +∞)内任意一点x 0处有定义, 且)()(lim 00x P x P x x =→.2. 函数x x f =)(在区间[0, +∞)内是连续的.3. 函数y =sin x 在区间(-∞, +∞)内是连续的.高等数学辅导要点( 一 ) 、函数、极限、连续、1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。
微积分第二版课件第六节无穷小的比较
x x22来自例 求lim ln(1 xex ) x0 arctan 2x
1 x 1 ~ 1 x 所以 2
解 当x 0时,ln(1 xex ) ~ xex , arctan 2x ~ 2x 所以
lim ln(1 xex ) lim xex 2 x0 arctan 2x x0 2x
例
求
lim
x0
tan
二、等价无穷小的性质
定理 在某一极限过程x X下， (x)与 (x)是等价
无穷小的充要条件是 (x) (x) o( ) 证明 因为 (x) ~ (x) 即 lim (x) 1 xX (x)
由极限与无穷小之间的关系知
lim (x) 1 (x) 1 (x) (x) (x) (x) (x)
sin x ~ x, tan x ~ x, 1 cos x ~ x2 2
arcsin x ~ x,arctan x ~ x
ex 1 ~ x, ln(1 x) ~ x,
(1 x) 1 ~ x,
1
x
1 ~
1
x, (1
1
x)n
1 ~
x.
2
n
例 求lim tan 3x. x0 sin 2x
解 当x 0时，tan 3x ~ 3x，sin 2x ~ 2x，所以 lim tan 3x lim 3x 3. x0 sin 2x x0 2x 2
x x3
sin
x
.
解 tan x sin x tan x(1 cos x)
当x 0时 , tan x ~ x，1 cos x ~ x2 ，所以
lim
x0
tanx
sin x3
x
lim tan
x0
2
无穷大与无穷小教案[1]
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高等数学1 教案编号：4教学过程：（含复习上节内容、引入新课、中间组织教学以与如何启发思维等）复习函数极限的定义与其性质.新课一、无穷小定义1如果函数f(x)当x x0(或x)时的极限为零, 那么称函数f(x)为当x x0(或x)时的无穷小.特别地以零为极限的数列{x n }称为n 时的无穷小 例如,因为01lim =∞→x x , 所以函数x 1为当x 时的无穷小. 因为0)1(lim 1=-→x x , 所以函数为x -1当x 1时的无穷小.因为011lim =+∞→n n , 所以数列{11+n }为当n 时的无穷小.讨论: 很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示 无穷小是这样的函数 在x x 0(或x )的过程中 极限为零很小很小的数只要它不是零作为常数函数在自变量的任何变化过程中 其极限就是这个常数本身 不会为零无穷小与函数极限的关系:定理1 在自变量的同一变化过程xx 0(或x )中, 函数f (x )具有极限A 的充分必要条件是f (x )=A +a其中a 是无穷小. 类似地可证明x 时的情形.例如, 因为333212121xx x +=+, 而021lim 3=∞→x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x . 二、无穷大如果当x ®x 0(或x ®¥)时, 对应的函数值的绝对值|f (x )|无限增大, 就称函数f (x )为当x ®x 0(或x ®¥)时的无穷大 记为∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ). 应注意的问题: 当x ®x 0(或x ®¥)时为无穷大的函数f (x ), 按函数极限定义来说, 极限是不存在的. 但为了便于叙述函数的这一性态, 我们也说“函数的极限是无穷大”, 并记作∞=→)(lim 0x f x x (或∞=∞→)(lim x f x ).讨论: 无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大? 提示: ∞=→)(lim 0x f x x Û"M >0, $d >0, 当0<|x -0x |<d 时, 有|f (x )|>M .正无穷大与负无穷大:+∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x , -∞=∞→→)(lim )( 0x f x x x . 例2 证明∞=-→11lim 1x x . 铅直渐近线:如果∞=→)(lim 0x f x x , 则称直线0x x =是函数y =f (x )的图形的铅直渐近线. 例如, 直线x =1是函数11-=x y 的图形的铅直渐近线. 定理2 (无穷大与无穷小之间的关系)在自变量的同一变化过程中, 如果f (x )为无穷大, 则)(1x f 为无穷小; 反之, 如果f (x )为无穷小, 且f (x )¹0, 则)(1x f 为无穷大.。
考研高数总复习无穷小的比较(讲义)PPT课件
导数的应用
在研究函数的单调性、极值和拐 点等问题时，需要利用导数的性 质和无穷小的关系。
在积分中的应用
积分的定义
积分是通过无穷小分割和 求和来定义的，无穷小在 积分定义中扮演着重要的 角色。
积分的几何意义
无穷小表示面积或体积的 微元，通过积分可以计算 曲线下的面积、曲面下的 体积等。
积分的应用
在解决实际问题时，如求 曲线的长度、物体的质量、 做功等，需要利用积分和 无穷小的关系。
无穷小的性质
总结词
无穷小具有一些重要的性质，这些性质在研究函数的极限、导数和积分等数学概念时非 常有用。
详细描述
1. 无穷小与任何常数的和、差、积仍然是无穷小。例如，如果 (x rightarrow 0) 时，(x) 是无穷小，那么 (x+2)、(x-2)、(3x) 和 (x^2) 也是无穷小。2. 无穷小与有界函数的乘 积仍然是无穷小。例如，如果 (x rightarrow 0) 时，(x) 是无穷小，而 (|f(x)| < M)（其
求解极限
在求解某些极限问题时， 可以利用无穷小的性质进 行化简，从而得出结果。
无穷小的等价替换
在某些极限计算中，可以 将无穷小替换为其他无穷 小，简化计算过程。
在导数中的应用
导数的定义
导数是通过无穷小增量和自变量 的比值来定义的，无穷小在导数 定义中起着关键作用。
导数的几何意义
无穷小表示函数图像在某一点的 切线斜率，通过导数可以研究函 数的几何性质。
05 习题与解析
基础习题
基础习题1
比较以下无穷小量的大小：$frac{1}{x}, frac{1}{x^2}, frac{1}{x^3}$ 当 $x to 0$。
高等数学教案 第4课 极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较
课题极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）掌握极限存在准则与两个重要极限。
（2）理解无穷小阶的比较。
思政育人目标：通过学习极限存在准则与两个重要极限、无穷小阶的比较，培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：极限存在准则Ⅰ、极限存在准则Ⅱ教学难点：利用两个重要极限公式求极限的方法教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）→知识讲解（35 min）→问题讨论（10 min）第2节课：知识讲解（20 min）→问题讨论（10 min）→课堂测验（10 min）→课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）⏹【教师】清点上课人数，记录好考勤⏹【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（35 min）⏹【教师】讲解准则Ⅰ与第一个重要极限，并通过例题讲解介绍其应用准则Ⅰ（夹逼准则）设数列{}na，{}nb，{}nc满足：（1）00N n N+∃∈>Z，时，n n na c b，（2）lim limn nn na b a→∞→∞==（a为常数），则limnnc a→∞=．学习极限存在准则与两个重要极限。
边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化2例1 求222111lim 2n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+π+π+π⎝⎭．解 对n ∀∈N ，有22221112n nn n n n n n n n n ⎛⎫+++⋅=⎪+π+π+π+π+π⎝⎭， 2222221112n n n n n n n n n n ⎛⎫+++⋅=⎪+π+π+π+π+π⎝⎭， 而1limlim 11n n n n n→∞→∞==π+π+，2221lim lim 11n n n n n →∞→∞==π+π+． 由夹逼准则可知222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+π+π+π⎝⎭．上述数列极限存在准则可以推广到函数的极限：准则Ⅰ'（夹逼准则） 若函数()()()f x g x h x ，，在点0x 的某去心邻域内满足： （1）()()()g x f x h x ，（2）0lim ()lim ()x x x x g x h x A →→==，则有0lim ()x x f x A →=．作为准则Ⅰ及准则Ⅰ'的应用，下面证明一个重要极限：0sin lim1x xx→=．证明 在图1-25所示的单位圆中，设圆心角BOA x ∠=，AD 切圆O 于A ，且与OB 延长线相交于D ，于是有AOB AOB OAD S S S <<△△△扇形，即111sin tan 222x x x <<，sin tan x x x <<，不等式两边同时3除以sin x 得11sin cos x x x<<， 不等式两边同时取倒数得sin cos 1x x x <<，02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． 当02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，02x π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，，有sin()cos()1x x x--<<-，同样可得sin cos 1x x x <<．所以当22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，sin cos 1xx x<<．又因为0limcos cos01x x →==，0lim11x →=，由判别准则I 知0sin lim 1x xx →=．图1-25例2 求0tan limx xx→．解 00tan sin 11limlim 11cos cos0x x x x x x x →→=⋅=⋅=．例3 求0sin limx kxx→．解 设t kx =，则当0x →时，0t kx =→，于是4000sin sin sin limlim lim 1x x t kx k kx tk k k x kx t →→→==⋅=⨯=．例4 求0sin limsin x axbx→．解 0000sin sin limsin lim lim sin sin sin lim x x x x ax axax a x x bx bx bx bx x→→→→===． 例5 求sin 2()limx x x →π-π-π．解 设t x =-π，则x →π时，0t →，所以0sin 2()sin 2limlim 2x t x tx t→π→-π==-π．⏹ 【学生】掌握准则Ⅰ与第一个重要极限⏹ 【教师】讲解准则Ⅱ与第二个重要极限，并通过例题讲解介绍其应用定义1 如果数列{}n a 满足121n n a a a a +，则称数列是单调递增的；如果数列{}n a 满足121n n a a a a +，则称数列是单调递减的．单调递增数列与单调递减数列统称为单调数列．准则Ⅱ（单调有界原理） 单调有界的数列必存在极限． 不妨设{}n a 是一单调递增的数列，且0M ∃>，使对n ∀，n a M ，则数列{}n a 的通项n a 随n 的增大而不断在数轴上向右平移，但不会超过点M ．因此，n a 必然无限接近于某个实数()n a a a M <<，a 便是数列{}n a 的极限，如图1-26所示．图1-265证明：1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．（详见教材）例6 求4lim 1xx x →∞⎛⎫+⎪⎝⎭． 解法1 设4t x=，则当x →∞时，0t →，所以 4144004lim 1lim(1)lim[(1)]e xt t x t t t t x →∞→→⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭． 解法2 44444444lim 1lim 1lim 1e xxxx x x x x x ⋅→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 例7 求21lim 1xx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭．解22(2)2111lim 1lim 1lim 1e x x xx x x x x x --⋅---→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=+=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 例8 求431lim 12x x x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭．解43432221111lim 1lim 1lim 1lim 11e 2222x x x x x x x x x x x --⋅→∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭结论 一般地，有公式lim 1e bx cab x a x +→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭．例9 求123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭．解63121233112323e 22lim lim lim lim 1e 1212111e 122xxx x x x x x x x x x x x x x +→∞→∞→∞→∞⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅=⋅== ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪+ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⏹ 【学生】掌握准则Ⅱ与第二个重要极限问题讨论 （10 min ）⏹ 【教师】组织学生讨论以下问题1．夹逼准则与极限的定义有何内在联系？2．单调递增（递减）有上界（下界）的数列一定是有界数列吗？⏹ 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解第二节课知识讲解 （20 min ）⏹ 【教师】讲解无穷小阶的比较，并通过例题讲解介绍其应用定义1 设α，β是同一变化过程中的两个无穷小量， （1）若lim0αβ=，则称α是比β高阶的无穷小量，记为()o αβ=．（2）若limαβ=∞，则称α是比β低阶的无穷小量． （3）若lim c αβ=（c 是不等于零的常数），则称α与β是同阶无穷小量．特别地，若1c =，则称α与β是等价无穷小量，记作~αβ．例1 证明：当0x →时，211cos ~2x x -． 证明 因为22220002sin sin1cos 22lim lim lim 1222x x x x x x x x x →→→⎛⎫ ⎪-=== ⎪ ⎪⎝⎭，所学习无穷小阶的比较。
第一章_7无穷小比较
n
n
～
a b ( a b) ( a
n n
n 1
+a
n2
b ++ b
n 1
)
(1 + x) k 1 ~ kx, (k R, k 0)
(1 + x) k 1 (1 + x 1)((1 + x) k 1 + (1 + x) k 2 + 1) lim lim kx kx x0 x0 (1 + x) k 1 + (1 + x) k 2 + 1 k lim lim 1 k x0 x0 k
3x (1)当x 0时, 3 (非0常数) x x2 (2)当x 0时, 0 x x (3)当x 0时, 2 x n 1 (1) n (1) n , 极限不存在. (4)当n 时, 1 n
无穷小是以零为极限的变量,收敛于零的速度有快有慢。 为此,考察两个无穷小的比,以便判断它们收敛速度 1 2 2 例如, 当x 0时, x , x , sin x , x sin 都是无穷小. x 2 x 2 lim 0, x 比3 x要快得多; x0 3 x 观 察 sin x sin x与x大致相同; 1, 各 lim x0 x 极 1 2 x sin 限 1 x lim lim sin 不存在. 不可比. 2 x0 x0 x x 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同.
一、夹逼准则 二、 两个重要极限
或
注: 代表相同的表达式
sin x 0 ; 1. lim _____ x x 1 0 ; 3. lim x sin ____ x 0 x
1 2. lim x sin ____ 1 ; x x 1 1 n e ; 4. lim (1 ) ____ n n
高等数学(上册)教案04 无穷小于无穷大、无穷小的比较
第1章 函数、极限与连续无穷小与无穷大【教学目的】：1. 了解无穷小与无穷大的定义；2. 掌握无穷小的性质；3. 掌握无穷小和无穷大的关系；4. 学会两个无穷小量的比较；5. 熟练使用等价无穷小计算极限。
【教学重点】：1. 掌握无穷小的性质；2. 学会两个无穷小量的比较；3. 熟练使用等价无穷小计算极限。
【教学难点】：1. 学会两个无穷小量的比较；2. 熟练使用等价无穷小计算极限。
【教学时数】：2学时【教学过程】：1.3.1 无穷小量1、无穷小量定义1 如果当0x x →（或∞→x ）时，函数)(x f 的极限为0，那么就称函数)(x f 为0x x →（或∞→x ）时的无穷小量，简称无穷小．记作()0lim 0=→x f x x （或()0lim =∞→x f x ） 注意：（1）)(x f 是否为无穷小量与自变量的变化过程密切相关．0→x 时，x sin 是无穷小量，而2π→x 时，x sin 不是无穷小量. （2）无穷小量不是一个很小的数，而是极限为零的一个变量．特殊地，函数0)(≡x f ，它在自变量的任何变化过程中均为无穷小量．2、无穷小的性质性质1 有限个无穷小量的代数和是无穷小量．性质2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量．性质3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量．特别地，常量与无穷小量的乘积是无穷小量．例1 求xx x 1sin lim 0→． 解 因为0lim 0=→x x ，所以x 是0→x 时的无穷小；而|x 1sin |≤1，所以x 1sin 是有界函数，根据无穷小的性质3，可知01sin lim 0=→xx x ．1.3.2 无穷大量定义2 如果当0x x →时，函数)(x f 的绝对值无限增大，那么称函数)(x f 为当0x x →时的无穷大量，简称无穷大.如果函数)(x f 为当0x x →时的无穷大，那么它的极限是不存在的．但为了便于描述函数的这种变化趋势，也称“函数的极限是无穷大”，并记作∞=→)(lim 0x f x x 例如：当0→x 时，x 1无限增大，所以当0→x 时x1是无穷大量．即∞=→x x 1lim 0. 定理1 在自变量的同一变化过程中，如果函数)(x f 是无穷大量，那么)(1x f 是无穷小量；反之，如果函数)(x f 是无穷小量，且)(x f ≠0，那么)(1x f 是无穷大量．1.3.3 无穷小的比较定义3 设βα,均为x 的函数0lim 0=→x x α，0lim 0=→βx x ，且0≠β（0x 可以是∞±或∞）， (1) 如果0lim 0=→βαx x ，则称当0x x →时α是β的高阶无穷小，或称β是α的低阶无穷小，记作)(βαo =，(0x x →)； (2) 如果C a x =→βαlim ，(0≠C )，则称当0x x →时α与β是同阶无穷小；特别地，当1=C 时，称当0x x →时α与β是等价无穷小，记作βα~(0x x →)．常用的等价无穷小为：当x → 0时：x x ~sin ，x x ~tan ，x x ~arcsin ，x x ~arctan ，221~cos 1x x -， x e x ~1-，x x ~)1ln(+，x nx n 1~11-+. 例6 求x x e x x x 2sin )cos 1()1(lim 20--→．解 因为x →0时 x e x~1-， x 2sin ~2x ， x cos 1-~x 221， 所以 1221lim 2sin )cos 1()1(lim 22020=⋅⋅=--→→x x x x x x e x x x x .【教学小节】：无穷小与无穷大是极限运算的重要工具。
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6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有：
定理：若 均为 的同一变化过程中的无穷小，且 ，及 ，那么 。
【例2】求 。
解：因为当 时，
所以 。
【例3】求
解：因为当 时， ，
所以原式 。
7：在目前，常用当 时，等价无穷小有：
；
8：用等价无穷小代换适ห้องสมุดไป่ตู้于乘、除，对于加、减须谨慎！
可见对于 取不同数时， 与 趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：
定义：设 与 为 在同一变化过程中的两个无穷小，
(i)若 ，就说 是比 高阶的无穷小，记为 ；
(ii)若 ，，就说 是比 低阶的无穷小；
(iii)若 ，，就说 是比 同阶的无穷小；
(iv)若 ，就说 与 是等价无穷小，记为 。
【例1】当 时， 是 的高阶无穷小，即 ；反之 是 的低阶无穷小； 与 是同阶无穷小； 与 是等价无穷小，即 。
注1：高阶无穷小不具有等价代换性，即： ，但 ，因为 不是一个量，而是高阶无穷小的记号；
2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；
3：等价无穷小具有传递性：即 ；
4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当 时， 与 既非同阶，又无高低阶可比较，因为 不存在；
高等数学教案
授课班级
授课教师
教案
教师姓名
周萌
授课班级
授课形式
启发、讲授、
授课日期
授课时数
2
授课章节
名称
§1-7无穷小的比较
教学目的
要求
1、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；
2、熟记一些常见的等价无穷小；
教学重点与难点
1、常见的等价无穷小的推导；
2、等价无穷小求极限；
学情分析
我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。
教学方法
根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。
教学手段
传统教学与多媒体资源相结合。
一、讲授新课：
在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如： （ 为常数， 为自然数）
二、课堂练习：
三、布置作业：
注：求极限过程中，一个无穷小量可以用与其等价的无穷小量代替，但只能在因式情况下使用，和、差情况不能用。
参考教材
[1]郭运瑞，陈付贵.高等数学（上册）.北京：人民教育出版社，2009
[2]李进金.高等数学（上册）.南京：南京大学出版社，2006
课外作业
课后体会
学完本节课要理解无穷小比较的定义，要牢记课上总结的常见等价无穷小，等价无穷小替换时求极限的一种重要方法，做题时要注意正确的替换方法，在加减法中千万不能用等价无穷小替换，要结合例题和习题掌握牢固和熟练。