全国卷2数学试卷及答案
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题目：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ð（）A.{−2，3}B.{−2，2，3}C.{−2，−1，0，3}D.{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得： 1,0,1,2A B ，则 U 2,3A B ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A.cos2α>0 B.cos2α<0C.sin2α>0D.sin2α<0【答案】D 【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当6时，cos 2cos 03，选项B 错误；当3时，2cos 2cos 03，选项A 错误；由 在第四象限可得：sin 0,cos 0 ，则sin 22sin cos 0 ，选项C 错误，选项D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A.10名B.18名C.24名D.32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900 ，故需要志愿者9001850名.故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C 【解析】【分析】第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，设n S 为{}n a 的前n 项和，由题意可得322729n n n n S S S S ，解方程即可得到n ，进一步得到3n S .【详解】设第n 环天石心块数为n a ，第一层共有n 环，则{}n a 是以9为首项，9为公差的等差数列，9(1)99n a n n ，设n S 为{}n a 的前n 项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为232,,n n n n n S S S S S ，因为下层比中层多729块，所以322729n n n n S S S S ，即3(927)2(918)2(918)(99)7292222n n n n n n n n 即29729n ，解得9n ，所以32727(9927)34022n S S .故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n 项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y 的距离为（）A.55B.255C.355D.455【答案】B 【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为 ,,0a a a ，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点 2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y 的距离.【详解】由于圆上的点 2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必第一象限，设圆心的坐标为,a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为 222x a y a a .由题意可得 22221a a a ，可得2650a a ，解得1a 或5a ，所以圆心的坐标为 1,1或 5,5，圆心到直线230x y 距离均为22555d；所以，圆心到直线230x y 的距离为255.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{}n a 中，12a ，m n m n a a a ，若155121022k k k a a a ，则k （）A.2B.3C.4D.5【答案】C 【解析】分析】取1m ，可得出数列 n a 是等比数列，求得数列 n a 的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于k 的等式，由k N 可求得k 的值.【详解】在等式m n m n a a a 中，令1m ，可得112n n n a a a a ，12n na a，所以，数列 n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列，则1222n n n a ，1011011105101210122122212211212k k k k k k a a a a，1522k ，则15k ，解得4k .故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（）A.EB.FC.GD.H【答案】A 【解析】【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M 点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，图中标出了根据三视图M 点所在位置，可知在侧视图中所对应的点为E 故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O 为坐标原点，直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（）A.4B.8C.16D.32【答案】B 【解析】【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b ，可得双曲线的渐近线方程是b y x a，与直线x a 联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b ，结合均值不等式，即可求得答案.【详解】∵2222:1(0,0)x y C a b a b双曲线的渐近线方程是by x a∵直线x a 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限联立x ab y x a，解得x a y b故(,)D a b 联立x ab y x a，解得x a y b故(,)E a b ||2ED bODE 面积为：1282ODE S a b ab△∵双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b其焦距为2222222168c a b ab 当且仅当22a b 取等号C 的焦距的最小值：8故选：B.【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x ，则f (x )（）A.是偶函数，且在1(,)2 单调递增B.是奇函数，且在11(,)22单调递减C.是偶函数，且在1(,)2单调递增D.是奇函数，且在1(,)2单调递减【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x时，利用函数单调性的性质可判断出 f x 单调递增，排除B ；当1,2x时，利用复合函数单调性可判断出 f x 单调递减，从而得到结果.【详解】由 ln 21ln 21f x x x 得 f x 定义域为12x x，关于坐标原点对称，又 ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x ，f x 为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x时， ln 21ln 12f x x x ， ln 21y x Q 在11,22 上单调递增， ln 12y x 在11,22上单调递减，f x 在11,22上单调递增，排除B ；当1,2x时， 212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x，2121x∵在1,2上单调递减， ln f 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知： f x 在1,2上单调递减，D 正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f x 与 f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.10.已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（）A.3B.32C.1D.32【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和ABC 的面积可求得球O 的半径R 和ABC 外接圆半径r ，由球的性质可知所求距离22d R r.【详解】设球O 的半径为R ，则2416R ，解得：2R .设ABC 外接圆半径为r ，边长为a ，ABC ∵ 是面积为934的等边三角形，21393224a ，解得：3a ，22229933434a r a ，球心O 到平面ABC 的距离22431d R r .故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面.11.若2233x y x y ，则（）A.ln(1)0y x B.ln(1)0y x C.ln ||0x y D.ln ||0x y 【答案】A 【解析】【分析】将不等式变为2323x x y y ，根据 23t tf t 的单调性知x y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2233x y x y 得：2323x x y y ，令 23ttf t ，2x y ∵为R 上的增函数，3x y 为R 上的减函数， f t 为R 上的增函数，x y ，0y x Q ，11y x ， ln 10y x ，则A 正确，B 错误；x y Q 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到,x y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想.12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12n a a a 满足{0,1}(1,2,)i a i ，且存在正整数m ，使得(1,2,)i m i a a i 成立，则称其为0-1周期序列，并称满足(1,2,)i m i a a i 的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的0-1序列12n a a a ，11()(1,2,,1)mi i k i C k a a k m m 是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k 的序列是（）A 11010 B.11011C.10001D.11001【答案】C 【解析】【详解】由i m i a a 知，序列i a 的周期为m ，由已知，5m ，511(),1,2,3,45i i k i C k a a k 对于选项A ，511223344556111111(1)()(10000)55555i i i C a a a a a a a a a a a a52132435465711112(2)()(01010)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项B ，51122334455611113(1)()(10011)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；对于选项D ，51122334455611112(1)()(10001)5555i i i C a a a a a a a a a a a a ，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题目：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________.【答案】22【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.【详解】由题意可得：211cos 452a b ，由向量垂直的充分必要条件可得：0k a b a，即：2202k a a b k ，解得：22k .故答案为：22．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.【详解】∵4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C 现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636 种故答案为：36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，123i z z ，则12||z z =__________.【答案】23【解析】【分析】令12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ，根据复数的相等可求得1cos cos sin sin 2，代入复数模长的公式中即可得到结果.【详解】122z z ∵，可设12cos 2sin z i ，22cos 2sin z i ， 122cos cos 2sin sin 3z z i i ，2cos cos 32sin sin 1，两式平方作和得： 422cos cos 2sin sin 4 ，化简得：1cos cos sin sin 2122cos cos 2sin sin z z i224cos cos 4sin sin 88cos cos sin sin 8423 故答案为：23.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题.16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ②12p p ③23p p ④34p p 【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为 ；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面 内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面 内，所以，AB ，即3l ，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m 平面 ，则m 垂直于平面 内所有直线，∵直线l 平面 ， 直线m 直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，14p p 为真命题，12p p 为假命题，23p p 为真命题，34p p 为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C.（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23；（2）323 .【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得A ；（2）利用余弦定理可得到 29AC AB AC AB ，利用基本不等式可求得AC AB 的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB ，2221cos 22AC AB BC A AC AB ， 0,A ∵，23A .（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB ，即 29AC AB AC AB .22AC AB AC AB∵（当且仅当AC AB 时取等号）， 22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB ，解得：23AC AB （当且仅当AC AB 时取等号），ABC 周长323L AC AB BC ，ABC 周长的最大值为323 .【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i i x ，2011200i i y，2021)80i i x x （，2021)9000i i y y （，201))800i i i x y x y （（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni i i i i n n i i x y x x y y y x（（（（，2=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式20120202211()()()()ii i i i i i x x y y r x x y y 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.【详解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ，地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000（2）样本(,)i i x y 的相关系数为20120202211()()800220.943809000()()i i i i i i i x x y y r x x y y （3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层，在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力，是一道容易题.19.已知椭圆C 1：22221x y a b(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C ，22:12C y x .【解析】【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x y c c，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF 可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程.【详解】（1） ,0F c ∵，AB x 轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c ，联立22222221x c x y a b a b c，解得2x c b y a ，则22b AB a，抛物线2C 的方程为24y cx ，联立24x c y cx，解得2x c y c ，4CD c ，43CD AB ∵，即2843b c a，223b ac ，即222320c ac a ，即22320e e ，01e Q ，解得12e ，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c ，3b c ，椭圆1C 的方程为2222143x y c c，联立222224143y cx x y c c，消去y 并整理得22316120x cx c ，解得23x c 或6x c （舍去），由抛物线的定义可得25533c MF c c ，解得3c .因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y ，曲线2C 的标准方程为212y x .【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是正三角形，侧面BB 1C 1C 是矩形，M ，N 分别为BC ，B 1C 1的中点，P 为AM 上一点，过B 1C 1和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：AA 1∥MN ，且平面A 1AMN ⊥EB 1C 1F ；（2）设O 为△A 1B 1C 1的中心，若AO ∥平面EB 1C 1F ，且AO =AB ，求直线B 1E 与平面A 1AMN 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1010.【解析】【分析】（1）由,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN CC ，根据条件可得11//AA BB ，可证1MN AA //，要证平面11EB C F 平面1A AMN ，只需证明EF 平面1A AMN 即可；（2）连接NP ，先求证四边形ONPA 是平行四边形，根据几何关系求得EP ，在11B C 截取1B Q EP ，由（1）BC ⊥平面1A AMN ，可得QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角，即可求得答案.【详解】（1）∵,M N 分别为BC ，11B C 的中点，1//MN BB 又11//AA BB 1//MN AA 在ABC 中，M 为BC 中点，则BC AM又∵侧面11BB C C 为矩形，1BC BB 1//MN BB ∵MN BC由MN AM M ，,MN AM 平面1A AMNBC ⊥平面1A AMN又∵11//B C BC ，且11B C 平面ABC ，BC 平面ABC ，11//B C 平面ABC又∵11B C 平面11EB C F ，且平面11EB C F 平面ABC EF 11//B C EF//EF BC又BC ∵平面1A AMNEF 平面1A AMNEF ∵平面11EB C F平面11EB C F 平面1A AMN（2）连接NP∵//AO 平面11EB C F ，平面AONP 平面11EB C F NP //AO NP根据三棱柱上下底面平行，其面1A NMA 平面ABC AM ，面1A NMA 平面1111A B C A N //ON AP故：四边形ONPA 是平行四边形设ABC 边长是6m (0m )可得：ON AP ，6NP AO AB m∵O 为111A B C △的中心，且111A B C △边长为6m 16sin 6033ON m 故：3ON AP m∵//EF BC AP EP AM BM3333EP 解得：EP m在11B C 截取1B Q EP m ，故2QN m∵1B Q EP 且1//B Q EP四边形1B QPE 是平行四边形，1//B E PQ由（1）11B C 平面1A AMN故QPN 为1B E 与平面1A AMN 所成角在Rt QPN △，根据勾股定理可得： 222226210PQ QN PN m m m 210sin 10210QN m QPN PQ m 直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值：1010.【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题.21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明：33()8f x ；（3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤34nn .【答案】（1）当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x 时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即可；(2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式；(3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n f x x x x x x x x x ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： 32sin cos f x x x ，则： 224'23sin cos sin f x x x x2222sin 3cos sin x x x 222sin 4cos 1x x 22sin 2cos 12cos 1x x x ，'0f x 在 0,x 上的根为：122,33x x，当0,3x时， '0,f x f x 单调递增，当2,33x时， '0,f x f x 单调递减，当2,3x时， '0,f x f x 单调递增.(2)注意到 22sinsin 2sin sin 2f x x x x x f x ，故函数 f x 是周期为 的函数，结合(1)的结论，计算可得： 00f f ，233333228f ，2233333228f ，据此可得： max 338f x， min 338f x ，即 338f x .(3)结合(2)的结论有：2222sin sin 2sin 4sin 2n x x x x 233333sin sin 2sin 4sin 2n x x x x2222123sin sin sin 2sin 2sin 4sin 2sin 2sin 2n n n x x x x x x x x 232333333sin sin 2888n x x 23338n 34n .【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1：224cos 4sin x y ，（θ为参数），C 2：1,1x t t y t t（t 为参数）.（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）1:4C x y ；222:4C x y ；（2）17cos 5.【解析】【分析】（1）分别消去参数 和t 即可得到所求普通方程；（2）两方程联立求得点P ，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由22cos sin 1 得1C 的普通方程为：4x y ；由11x t t y t t 得：2222221212x t t y t t，两式作差可得2C 的普通方程为：224x y .（2）由2244x y x y 得：5232x y ，即53,22P ；设所求圆圆心的直角坐标为 ,0a ，其中0a ，则22253022a a，解得：1710a ， 所求圆的半径1710r ， 所求圆的直角坐标方程为：22217171010x y ，即22175x y x ， 所求圆的极坐标方程为17cos 5.【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数2()|21|f x x a x a .（1）当2a 时，求不等式()4f x 的解集；（2）若()4f x ，求a 的取值范围.【答案】（1）32x x或112x；（2） ,13, .【解析】【分析】（1）分别在3x 、34x 和4x 三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可得到 21f x a ，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当2a 时， 43f x x x .当3x 时， 43724f x x x x ，解得：32x ≤；当34x 时， 4314f x x x ，无解；当4x 时， 43274f x x x x ，解得：112x；综上所述： 4f x 的解集为32x x或112x .（2） 22222121211f x x a x a x ax a a a a （当且仅当221a x a 时取等号）， 214a ，解得：1a 或3a ，a 的取值范围为 ,13, .【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.祝福语祝你马到成功，万事顺意!。
2023年全国统一高考数学试卷(新高考II)(解析版)
2023年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。
每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1．（5分）在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解答】解：（1+3i）（3﹣i）＝3﹣i+9i+3＝6+8i，则在复平面内，（1+3i）（3﹣i）对应的点的坐标为（6，8），位于第一象限．故选：A．2．（5分）设集合A＝{0，﹣a}，B＝{1，a﹣2，2a﹣2}，若A⊆B，则a＝（ ）A．2B．1C．D．﹣1【答案】B【解答】解：依题意，a﹣2＝0或2a﹣2＝0，当a﹣2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，﹣2}，B＝{1，0，2}，不符合题意；当2a﹣2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，﹣1}，B＝{1，﹣1，0}，符合题意．故选：B．3．（5分）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）A．种B．种C．种D．种【答案】D【解答】解：∵初中部和高中部分别有400和200名学生，∴人数比例为400：200＝2：1，则需要从初中部抽取40人，高中部取20人即可，则有种．故选：D．4．（5分）若f（x）＝（x+a）为偶函数，则a＝（ ）A．﹣1B．0C．D．1【答案】B【解答】解：由＞0，得x＞或x＜﹣，由f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），得（﹣x+a）ln＝（x+a），即（﹣x+a）ln＝（﹣x+a）ln（）﹣1＝（x﹣a）ln＝（x+a），∴x﹣a＝x+a，得﹣a＝a，得a＝0．故选：B．5．（5分）已知椭圆C：的左焦点和右焦点分别为F1和F2，直线y＝x+m与C交于点A，B两点，若△F1AB面积是△F2AB面积的两倍，则m＝（ ）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：记直线y＝x+m与x轴交于M（﹣m，0），椭圆C：的左，右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），由△F1AB面积是△F2AB的2倍，可得|F1M|＝2|F2M|，∴|﹣﹣x M|＝2|﹣x M|，解得x M＝或x M＝3，∴﹣m＝或﹣m＝3，∴m＝﹣或m＝﹣3，联立可得，4x2+6mx+3m2﹣3＝0，∵直线y＝x+m与C相交，所以Δ＞0，解得m2＜4，∴m＝﹣3不符合题意，故m＝．故选：C．6．（5分）已知函数f（x）＝ae x﹣lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（ ）A．e2B．e C．e﹣1D．e﹣2【答案】C【解答】解：对函数f（x）求导可得，，依题意，在（1，2）上恒成立，即在（1，2）上恒成立，设，则，易知当x∈（1，2）时，g′（x）＜0，则函数g（x）在（1，2）上单调递减，则．故选：C．7．（5分）已知α为锐角，cosα＝，则sin＝（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：cosα＝，则cosα＝，故＝1﹣cosα＝，即＝＝，∵α为锐角，∴，∴sin＝．故选：D．8．（5分）记S n为等比数列{a n}的前n项和，若S4＝﹣5，S6＝21S2，则S8＝（ ）A．120B．85C．﹣85D．﹣120【答案】C【解答】解：等比数列{a n}中，S4＝﹣5，S6＝21S2，显然公比q≠1，设首项为a1，则＝﹣5①，＝②，化简②得q4+q2﹣20＝0，解得q2＝4或q2＝﹣5（不合题意，舍去），代入①得＝，所以S8＝＝（1﹣q4）（1+q4）＝×（﹣15）×（1+16）＝﹣85．故选：C．二、选择题：本大题共小4题，每小题5分，共计20分。
2024年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅱ)正式版含答案解析
绝密★启用前2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知z=−1−i，则|z|=( )A. 0B. 1C. √ 2D. 22.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )A. p和q都是真命题B. ￢p和q都是真命题C. p和￢q都是真命题D. ￢p和￢q都是真命题3.已知向量a⃗，b⃗⃗满足：|a⃗|=1，|a⃗⃗+2b⃗⃗|=2，且(b⃗⃗−2a⃗⃗)⊥b⃗⃗，则|b⃗⃗|=( )A. 12B. √ 22C. √ 32D. 14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并部分整理下表：据表中数据，结论中正确的是( )A. 100块稻田亩产量中位数小于1050kgB. 100块稻田中的亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C. 100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D. 100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间5.已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线PP′，P′为垂足，则线段PP′的中点M的轨迹方程为( )A. x 216+y24=1(y>0) B. x216+y28=1(y>0)C. y 216+x24=1(y>0) D. y216+x28=1(y>0)6.设函数f(x)=a(x+1)2−1，g(x)=cosx+2ax(a为常数)，当x∈(−1,1)时，曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=( )A. −1B. 12C. 1D. 27.已知正三棱台ABC−A1B1C1的体积为523，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为( )A. 12B. 1C. 2D. 38.设函数f(x)=(x+a)ln(x+b)，若f(x)≥0，则a2+b2的最小值为( )A. 18B. 14C. 12D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。
2022年全国高考(新高考II卷)数学真题+答案 逐题解析
2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅱ卷）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B = （）A.{1,2}- B.{1,2}C.{1,4}D.{1,4}-【答案】B 【解析】【分析】求出集合B 后可求A B .【详解】{}|02B x x =≤≤，故{}1,2A B = ，故选：B.2.(22i)(12i)+-=（）A.24i -+ B.24i -- C.62i + D.62i-【答案】D 【解析】【分析】利用复数的乘法可求()()22i 12i +-.【详解】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.3.中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，1111,,,DD CC BB AA 是举，1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为11111231111,0.5,,DD CC BB AA k k k OD DC CB BA ====，若123,,k k k 是公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3k =（）A.0.75B.0.8C.0.85D.0.9【答案】D 【解析】【分析】设11111OD DC CB BA ====，则可得关于3k 的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设11111OD DC CB BA ====，则111213,,CC k BB k AA k ===，依题意，有31320.2,0.1k k k k -=-=，且111111110.725DD CC BB AA OD DC CB BA +++=+++，所以30.530.30.7254k +-=，故30.9k =，故选：D4.已知(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ，若,,<>=<>a cbc ，则t =（）A.6- B.5- C.5D.6【答案】C 【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：()3,4c t =+ ,cos ,cos ,a c b c = ,即931635t t c c+++= ,解得5t =,故选：C5.有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有多少种（）A.12种 B.24种C.36种D.48种【答案】B 【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!2224⨯⨯=种不同的排列方式，故选：B6.角,αβ满足sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（）A.tan()1αβ+= B.tan()1αβ+=-C.tan()1αβ-= D.tan()1αβ-=-【答案】D 【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++-=-,即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ-++=，即：()()sin cos 0αβαβ-+-=,所以()tan 1αβ-=-,故选：D7.正三棱台高为1，上下底边长分别为积是（）A.100π B.128πC.144πD.192π【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积．【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以122,2sin 60sin 60r r ==，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d =，2d =121d d -=或121d d +=1=或1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选：A．8.若函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（）A.3- B.2- C.0D.1【答案】A 【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出．【详解】因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象以2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（）A.y =()f x 在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B.y =()f x 在π11π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭有2个极值点C.直线7π6x =是一条对称轴D.直线2y x =-是一条切线【答案】AD 【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ，即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对A，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减；对B，当π11π,1212x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点；对C，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π()06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D，由2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭得：2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+∈Z ,从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z ,所以函数()y f x =在点30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为02π2cos 13x k y =='==-，切线方程为：(0)2y x -=--即2y x =-．故选：AD．10.已知O 为坐标原点，过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，点A 在第一象限，点(,0)M p ，若||||AF AM =，则（）A.直线AB 的斜率为B.||||OB OF =C.||4||AB OF > D.180OAM OBM ∠+∠<︒【答案】ACD 【解析】【分析】由AF AM =及抛物线方程求得36()42p A ，再由斜率公式即可判断A 选项；表示出直线AB 的方程，联立抛物线求得6(,33p B -，即可求出OB 判断B 选项；由抛物线的定义求出2512pAB =即可判断C 选项；由0OA OB ⋅< ，0MA MB ⋅< 求得AOB ∠，AMB ∠为钝角即可判断D 选项.【详解】对于A，易得(,0)2pF ，由AF AM =可得点A 在FM 的垂直平分线上，则A 点横坐标为3224p pp +=，代入抛物线可得2233242p y p p =⋅=，则36(,)42p A ，则直线AB的斜率为62342p p =-，A 正确；对于B，由斜率为可得直线AB的方程为2p x y =+，联立抛物线方程得220y py p -=，设11(,)B x y ，则16626p y p +=，则163y =-，代入抛物线得21623p x ⎛⎫-=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭，解得13p x =，则(,)33p B -，则732pOB OF =≠=，B 错误；对于C，由抛物线定义知：325244312p p p AB p p OF =++=>=，C 正确；对于D，23663663(,(,)0423343234p p p p p OA OB ⎛⎫⋅=⋅-=⋅+⋅-=-< ⎪ ⎪⎝⎭ ，则AOB ∠为钝角，又26262665(,(,0423343236p p p p p MA MB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=-⋅-+⋅-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则AMB ∠为钝角，又360AOB AMB OAM OBM ∠+∠+∠+∠= ，则180OAM OBM ∠+∠< ，D 正确.故选：ACD.11.如图，四边形ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，,2FB ED AB ED FB ==∥，记三棱锥E ACD -，F ABC -，F ACE -的体积分别为123,,V V V，则（）A.322V V =B.312V V =C.312V V V =+D.3123V V =【答案】CD 【解析】【分析】直接由体积公式计算12,V V ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，由3A EFM C EFM V V V --=+计算出3V ，依次判断选项即可.【详解】设22AB ED FB a ===，因为ED ⊥平面ABCD ，FB ED ，则()2311114223323ACD V ED S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅= ，()232111223323ABC V FB S a a a =⋅⋅=⋅⋅⋅= ，连接BD 交AC 于点M ，连接,EM FM ，易得BD AC ⊥，又ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则ED AC ⊥，又ED BD D = ，,ED BD ⊂平面BDEF ，则AC ⊥平面BDEF ，又12BM DM BD ===，过F 作FG DE ⊥于G ，易得四边形BDGF 为矩形，则,FG BD EG a ===，则,EM FM ===，3EF a =，222EM FM EF +=，则EM FM ⊥，213222EFM S EM FM a =⋅= ，AC =，则33123A EFM C EFM EFM V V V AC S a --=+=⋅= ，则3123V V =，323V V =，312V V V =+，故A、B 错误；C、D 正确.故选：CD.12.对任意x ，y ，221+-=x y xy ，则（）A.1x y +≤ B.2x y +≥-C.222x y +≤ D.221x y +≥【答案】BC 【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．【详解】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos ,sin 22y x y θθ-==，所以cos ,x y θθθ==，因此2222511cos sin cos 12cos 2333x y θθθθ=θ-θ+=+++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33,33x y ==-时满足等式，但是221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知随机变量X 服从正态分布()22,N σ，且(2 2.5)0.36P X <≤=，则( 2.5)P X >=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为()22,X N σ，所以()()220.5P X P X <=>=，因此()()()2.522 2.50.50.360.14P X P X P X >=>-<≤=-=．故答案为：0.14．14.写出曲线ln ||y x =过坐标原点的切线方程：____________，____________．【答案】①.1ey x =②.1ey x =-【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况，当0x >时设切点为()00,ln x x ，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出0x ，即可求出切线方程，当0x <时同理可得；【详解】解：因为ln y x =，当0x >时ln y x =，设切点为()00,ln x x ，由1y x'=，所以001|x x y x ='=，所以切线方程为()0001ln y x x x x -=-，又切线过坐标原点，所以()0001ln x x x -=-，解得0e x =，所以切线方程为()11e e y x -=-，即1ey x =；当0x <时()ln y x =-，设切点为()()11,ln x x -，由1y x'=，所以111|x x y x ='=，所以切线方程为()()1111ln y x x x x --=-，又切线过坐标原点，所以()()1111ln x x x --=-，解得1e x =-，所以切线方程为()11e e y x -=+-，即1ey x =-；故答案为：1e y x =；1e y x=-15.已知点(2,3),(0,)A B a -，若直线AB 关于y a =的对称直线与圆22(3)(2)1x y +++=存在公共点，则实数a 的取值范围为________．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】首先求出点A 关于y a =对称点A '的坐标，即可得到直线l 的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a=上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知椭圆22163x y +=，直线l 与椭圆在第一象限交于A ，B 两点，与x 轴，y 轴分别交于M ，N 两点，且||||,||MANB MN ==l 的方程为___________．【答案】0x +-=【解析】【分析】令AB 的中点为E ，设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，求出M 、N 的坐标，再根据MN 求出k 、m ，即可得解；【详解】解：令AB 的中点为E ，因为MA NB =，所以ME NE =，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211163x y +=，2222631x y +=，所以2222121206633x x y y -+-=，即()()()()12121212063x x x x y y y y -++-+=所以()()()()1212121212y y y y x x x x +-=--+，即12OE AB k k ⋅=-，设直线:AB y kx m =+，0k <，0m >，令0x =得y m =，令0y =得m x k =-，即,0m M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,N m ，所以,22m m E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即1222mk m k⨯=--，解得k =22k =（舍去），又MN =，即MN =，解得2m =或2m =-（舍去），所以直线2:22AB y x =-+，即0x +-=；故答案为：0x +-=四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a -=-=-．（1）证明：11a b =；（2）求集合{}1,1500k m k b a a m =+≤≤中元素个数．【答案】（1）证明见解析；（2）9．【解析】【分析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得22k m -=，即可解出．【小问1详解】设数列{}n a 的公差为d ，所以，()11111111224283a d b a d b a d b b a d +-=+-⎧⎨+-=-+⎩，即可解得，112db a ==，所以原命题得证．【小问2详解】由（1）知，112d b a ==，所以()1111121k k m b a a b a m d a -=+⇔⨯=+-+，即122k m -=，亦即[]221,500k m -=∈，解得210k ≤≤，所以满足等式的解2,3,4,,10k = ，故集合{}1|,1500k m k b a a m =+≤≤中的元素个数为10219-+=．18.记ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，其对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为123,,S S S，已知123123S S S B -+==．（1）求ABC 的面积；（2）若sin sin 3A C =，求b ．【答案】（1）28（2）12【解析】【分析】（1）先表示出123,,S S S ，再由12332S S S -+=求得2222a c b +-=，结合余弦定理及平方关系求得ac ，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得22sin sin sin b acB A C=，即可求解.【小问1详解】由题意得22221231,,22444S a a S b S c =⋅⋅===，则22212333334442S S S a b c -+=-+=，即2222a c b +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，整理得cos 1ac B =，则cos 0B >，又1sin 3B =，则cos 3B ==，132cos 4ac B ==，则12sin 28ABC S ac B == ；【小问2详解】由正弦定理得：sin sin sin b a cB A C==，则223294sin sin sin sin sin 423b ac ac B A C A C =⋅==，则3sin 2b B =，31sin 22b B ==.19.在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图．（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）估计该地区一人患这种疾病年龄在区间[20,70)的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口的16%，从该地区任选一人，若此人年龄位于区间[40,50)，求此人患该种疾病的概率．（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）【答案】（1）44.65岁；（2）0.89；（3）0.0014．【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，根据对立事件的概率公式()1(P A P A =-即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出．【小问1详解】平均年龄(50.001150.002250.012350.017450.023x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯550.020650.012750.006850.002)1044.65+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（岁）．【小问2详解】设A ={一人患这种疾病的年龄在区间[20,70)}，所以()1()1(0.0010.0020.0060.002)1010.110.89P A P A =-=-+++⨯=-=．【小问3详解】设{B =任选一人年龄位于区间}[40,50)，{C =任选一人患这种疾病}，则由条件概率公式可得()0.1%0.023100.0010.23(|)0.00143750.0014()16%0.16P BC P C B P B ⨯⨯⨯====≈．20.如图，PO 是三棱锥P ABC -的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点．（1）求证：//OE 平面PAC ；（2）若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =，求二面角C AE B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】【分析】（1）连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，根据三角形全等得到OA OB =，再根据直角三角形的性质得到AO DO =，即可得到O 为BD 的中点从而得到//OE PD ，即可得证；（2）过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；【小问1详解】证明：连接BO 并延长交AC 于点D ，连接OA 、PD ，因为PO 是三棱锥P ABC -的高，所以PO ⊥平面ABC ，,AO BO ⊂平面ABC ，所以PO AO ⊥、PO BO ⊥，又PA PB =，所以POA POB ≅△△，即OA OB =，所以OAB OBA ∠=∠，又AB AC ⊥，即90BAC ∠=︒，所以90OAB OAD ∠+∠=︒，90OBA ODA ∠+∠=︒，所以ODA OAD∠=∠所以AO DO =，即AO DO OB ==，所以O 为BD 的中点，又E 为PB 的中点，所以//OE PD ，又OE ⊄平面PAC ，PD ⊂平面PAC ，所以//OE 平面PAC【小问2详解】解：过点A 作//Az OP ，如图建立平面直角坐标系，因为3PO =，5AP =，所以224OA AP PO =-=，又30OBA OBC ∠=∠=︒，所以28BD OA ==，则4=AD ，3AB =，所以12AC =，所以()23,2,0O ，()43,0,0B ，()23,2,3P ，()0,12,0C ，所以33,1,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则333,1,2AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()3,0,0AB =，()0,12,0AC = ，设平面AEB 的法向量为(),,n x y z = ，则33302430n AE x y z nAB x ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩，令2z =，则3y =-，0x =，所以()0,3,2n =-；设平面AEC 的法向量为(),,m a b c = ，则33302120m AE a b c m AC b ⎧⋅=++=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，令3a =6c =-，0b =，所以)3,0,6m =-；所以1243cos ,131339n m n m n m⋅==-⨯设二面角C AE B --为θ，由图可知二面角C AE B --为钝二面角，所以43cos 13θ=-，所以211sin 1cos 13θθ=-=故二面角C AE B --的正弦值为1113；21.设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为y =．（1）求C 的方程；（2）过F 的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，点()()1122,,,P x y Q x y 在C 上，且1210,0x x y >>>．过P且斜率为的直线与过QM ，请从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个条件成立：①M 在AB 上；②PQ AB ∥；③||||MA MB =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1）2213y x -=（2）见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得c 的值，利用渐近线方程求得,a b 的关系，进而利用,,a b c 的平方关系求得,a b 的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的斜率为k ,M (x 0,y 0),由③|AM |=|BM |等价分析得到200283k x ky k +=-；由直线PM 和QM 的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ 的斜率03x m y =，由②//PQ AB 等价转化为003ky x =，由①M 在直线AB 上等价于()2002ky k x =-，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【小问1详解】右焦点为(2,0)F ，∴2c =,∵渐近线方程为y =，∴ba=b =，∴222244c a b a =+==，∴1a =，∴b =．∴C 的方程为：2213y x -=；【小问2详解】由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而12x x =，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零.设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为()2y k x =-,则条件①M 在AB 上，等价于()()2000022y k x ky k x =-⇔=-；两渐近线的方程合并为2230x y -=,联立消去y 并化简整理得：()22223440k x k x k --+=设()()3334,,,A x y B x y ,线段中点为(),N N N x y ,则()2342226,2233N N N x x k kx y k x k k +===-=--,设()00,M x y ,则条件③AM BM =等价于()()()()222203030404x x y y x x y y -+-=-+-,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220x x x x x y y y y y ⎡⎤⎡⎤--++--+=⎣⎦⎣⎦，()()3403403434220y y x x x y y y x x -⎡⎤⎡⎤-++-+=⎣⎦⎣⎦-,即()000N N x x k y y -+-=,即200283k x ky k +=-；由题意知直线PM 的斜率为,直线QM∴由))10102020,y y x x y y x x -=--=-,∴)121202y y x x x -=+-,所以直线PQ的斜率)1201212122x x x y y m x x x x +--==---,直线)00:PM y x x y =-+,即00y y =,代入双曲线的方程22330x y --=,即)3y y +-=中，得：()()00003y y ⎡⎤+-+=⎣⎦,解得P的横坐标：100x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭,同理：200x y ⎛⎫=+⎪⎪⎭，∴0012012002222000033,2,33y x x x y x x x x y x y x ⎛⎫-=++-=--⎪--⎭∴003x m y =,∴条件②//PQ AB 等价于003m k ky x =⇔=，综上所述：条件①M 在AB 上，等价于()2002ky k x =-；条件②//PQ AB 等价于003ky x =；条件③AM BM =等价于200283k x ky k +=-；选①②推③:由①②解得：2200002228,433k k x x ky x k k =∴+==--,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴003ky x =，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223k x k =-，20263k ky k =-，∴02623x k -=-，∴()2002ky k x =-，∴①成立.22.已知函数()e e ax x f x x =-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，()1f x <-，求a 的取值范围；（3）设n *∈Nln(1)n ++>+ ．【答案】（1）()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.（2）12a ≤（3）见解析【解析】【分析】（1）求出()f x ¢，讨论其符号后可得()f x 的单调性.（2）设()e e 1ax x h x x =-+，求出()h x ''，先讨论12a >时题设中的不等式不成立，再就102a <≤结合放缩法讨论()h x '符号，最后就0a ≤结合放缩法讨论()h x 的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得12ln t tt <-对任意的1t >恒成立，从而可得()ln 1ln n n +-<任意的*n N ∈恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小问1详解】当1a =时，()()1e x f x x =-，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x ¢<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0-∞，增区间为()0,+∞.【小问2详解】设()e e 1ax xh x x =-+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+-，设()()1e e ax xg x ax =+-，则()()22e e ax x g x a a x '=+-，若12a >，则()0210g a '=->，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x ¢>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=-，与题设矛盾.若102a <≤，则()()()ln 11e e e e ax ax ax x x h x ax ++'=+-=-，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+-，故()11011x S x x x-'=-=<++，故()S x 在()0,+∞上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立.由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++-<-=-≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x ax h x ax '=-+<-+=，所以()h x 在()0,+∞上为减函数，所以()()01h x h <=-.综上，12a ≤.【小问3详解】取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x -+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <-即12ln t t t<-对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n N ∈，有2ln <整理得到：()ln1lnn n+-<，()ln2ln1ln3ln2ln1lnn n+>-+-+++-()ln1n=+，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.。
2021年普通高等学校招生全国统一考试( 新高考Ⅱ卷) 数学(含答案)
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为 的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的位置关系即可得解.
【详解】圆心 到直线l的距离 ，
【解析】
【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高 ，
下底面面积 ，上底面面积 ，
所以该棱台的体积 .
故选：D.
6.某物理量的测量结果服从正态分布 ，下列结论中不正确的是（）
2021年全国统一高考数学试卷（新高考全国Ⅱ卷）
使用省份：海南､辽宁､重庆
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数 在复平面内对应的点所在的象限为（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数的除法可化简 ，从而可求对应的点的位置.
对于B，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为 ，故B正确；
对于C，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于 的概率与小于 的概率相等，故C正确；
对于D，因为该物理量一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，所以一次测量结果落在 的概率与落在 的概率不同，故D错误.
9.下列统计量中，能度量样本 的离散程度的是（）
A.样本 的标准差B.样本 的中位数
2022年全国统一高考数学试卷(新高考ⅱ)(含解析)
2022年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅱ）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{1A =-，1，2，4}，{||1|1}B x x =- ，则(A B =)A ．{1-，2}B ．{1，2}C ．{1，4}D ．{1-，4}2．(22)(12)(i i +-=)A ．24i-+B ．24i--C ．62i+D ．62i-3．图1是中国古代建筑中的举架结构，AA '，BB '，CC '，DD '是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中1DD ，1CC ，1BB ，1AA 是举，1OD ，1DC ，1CB ，1BA 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为110.5DD OD =，111CCk DC =，121BB k CB =，131AAk BA =．已知1k ，2k ，3k 成公差为0.1的等差数列，且直线OA 的斜率为0.725，则3(k =)A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.94．已知向量(3,4)a =，(1,0)b =，c a tb =+，若a <，c b >=<，c >，则(t =)A ．6-B ．5-C ．5D ．65．甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有()A ．12种B ．24种C ．36种D ．48种6．若sin()cos()2)sin 4παβαβαβ+++=+，则()A ．tan()1αβ+=B ．tan()1αβ+=-C ．tan()1αβ-=D ．tan()1αβ+=-7．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为33和3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积是()A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π8．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()f x y f x y f x f y ++-=，f （1）1=，则221()k f k ==∑（)A ．3-B ．2-C ．0D ．1二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年全国新高考二卷数学真题及参考答案
2024年全国新高考二卷数学真题及参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知1i z =--，则||z =().A.0B.1D.22.已知命题:R p x ∀∈，|1|1x +>；命题:0q x ∃>，3x x =.则().A.p 和q 都是真命题B.p ⌝和q 都是真命题C.p 和q ⌝都是真命题D.p ⌝和q ⌝都是真命题3.已知向量a ，b 满足||1a = ，|2|2a b += ，且(2)b a b -⊥ ，则||b =().A.12B.22C.32D.14.某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg ）并部分整理如下表所示.根据表中数据，下列结论正确的是()A.100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB.100块稻田中的亩产量低于1100kg 的稻田所占比例超过80%C.100块稻田亩产量的极差介于200kg 到300kg 之间D.100块稻田亩产量的平均值介于900kg 到1000kg 之间5.已知曲线22:16(0)C x y y +=>，从C 上任意一点P 向x 轴作垂线PP '，P '为垂足，则线段PP '的中点M 的轨迹方程为().A.221(0)164x y y +=> B.221(0)168x y y +=>C.221(0)164y x y +=> D.221(0)168y x y +=>6.设函数2()(1)1f x a x =+-，()cos 2g x x ax =+，当(1,1)x ∈-时，曲线()y f x =和()y g x =恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.27.已知正三棱台111ABC A B C -的体积为523，6AB =，112A B =，则1A A 与平面ABC 所成角的正切值为().A.12 B.1C.2D.38.设函数()()ln()f x x a x b =++，若()0f x ≥，则22a b +的最小值为().A.18B.14C.12D.1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2020年全国新高考II卷数学试题真题及答案(完整版)
在① ac 3 ，② c sin A 3 ，③ c 3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中 三角
形存在，求 c 值；若问题中 三角形不存在，说明理由．
问题:是否存在 △ABC ，它 内角 A, B,C
对边分别为 a,b, c ，且 sin A
3
sin
B
，
C
6
，________?
（ 2）若 f（ x）≥1，求 a 取值范围．
6 6
加油！你一定行！
真题在手 何必模拟
认真刷题 必过 加油
全卷完
1.考试顺利祝福语经典句子
1、相信自己吧！坚持就是胜利！祝考试顺利，榜上有名！ 2、愿全国所有的考生都能以平常的心态参加考试，发挥自己的水平，考上理 想的学校。我真心地祝福你们。 3、试纸浸墨香，金笔下千言。思虑心平定，谨慎落笔闲。且喜平常度，切忌 神慌乱。畅游题海后，金榜题君名。考试在即，祝你成功。 4、亲爱的同学，期末考试来了，愿你们考出好成绩，考到自己理想的成绩。 5、努力吧！不管结果怎样，经历过，总会有结果的！期中考试的朋友们，为 你们祝福，也为自己祈祷！愿梦开始的地方，也是梦想实现的地方！嗯嗯，加油， 嗯，加油！ 6、相信你们一定会有很多想说却未言的话，总之走过了，哭过了，笑过了， 就不会有遗憾！带上我们的祝福去打造另外一片属于自己的天空吧！ 7、祝愿天下所有考生开心度过期中考试。祝福你们旗开得胜，取得美好佳 绩。平心对待，你们是最棒的！仁慈的上帝会祝福你们的，相信自己，一定能行！ 8、眼看考试就要来了，向前看，相信自己，我会在远方为你送去最真挚的祝 福，付出就会有收获的！ 9、又是一年年终了，期末考试转眼到。寒窗苦读为前途，望子成龙父母情。 我发短信传祝福：放下包袱开动脑筋，勤于思考好好复习，祝你取得好成绩！ 10、信心来自于实力，实力来自于勤奋。我看到了你的努力，相信你一定能在 考试中取得好成绩！
2022年新高考全国Ⅱ卷数学真题及参考答案
一、选择题1. 已知函数f(x) = x^2 2x + 1，求f(x)的极值。
答案：f(x)的极值为0。
2. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = 2n^2 3n，求公差d。
答案：d = 4。
3. 设圆C的方程为(x 1)^2 + (y 2)^2 = 4，求圆C的半径。
答案：半径为2。
4. 若随机变量X服从正态分布N(0, 1)，求P(X < 0)。
答案：P(X < 0) = 0.5。
5. 已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，且Tn = 2^n 1，求公比q。
答案：q = 2。
二、填空题1. 已知函数g(x) = x^3 3x，求g(x)的导数。
答案：g'(x) = 3x^2 3。
2. 若等差数列{cn}的前n项和为Sn，且Sn = 3n^2 + 2n，求首项c1。
答案：c1 = 5。
3. 已知圆C的方程为(x 1)^2 + (y 2)^2 = 4，求圆心坐标。
答案：圆心坐标为(1, 2)。
4. 若随机变量Y服从二项分布B(n, p)，且P(Y = 2) = 3P(Y = 1)，求n和p。
答案：n = 3，p = 1/2。
5. 已知等比数列{dn}的前n项和为Tn，且Tn = 2^n 1，求首项d1。
答案：d1 = 1。
三、解答题1. 已知函数h(x) = (x 1)^2，求h(x)的单调区间。
答案：h(x)的单调递增区间为(∞, 1)，单调递减区间为(1, +∞)。
2. 若等差数列{en}的前n项和为Sn，且Sn = 3n^2 2n，求公差d。
答案：d = 6。
3. 已知圆C的方程为(x 1)^2 + (y 2)^2 = 4，求圆C与x轴的交点坐标。
答案：交点坐标为(1, 0)。
4. 若随机变量Z服从泊松分布P(λ)，且P(Z = 1) = P(Z = 2)，求λ。
答案：λ = 2。
5. 已知等比数列{fn}的前n项和为Tn，且Tn = 2^n 1，求公比q。
答案：q = 2。
2020年高考全国II卷理科数学试题(含解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅱ）一、选择题1.已知集合{2,1,0,1,2,3}U =--，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U C A B ⋃=（ ） A.{2,3}- B.{2,2,3}-C.{2,1,0,3}--D.{2,1,0,2,3}--【答案】A 【解析】∵{1,0,1,2}AB =-，∴ (){2,3}UC A B ⋃=-.2.若α为第四象限角，则（ ） A.cos20α> B.cos20α<C.sin 20α>D.sin 20α<【答案】D 【解析】∵22()2k k k Z ππαπ-+<<∈，∴424()k k k Z ππαπ-+<<∈，∴2α是第三象限角或第四象限角，∴sin 20α<.3.在新冠肺炎疫情期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A.10名 B.18名 C.24名 D.32名 【答案】B【解析】因为公司可以完成配货1200份订单，则至少需要志愿者为160050012001850+-=名.4.北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，己知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇形面形石板（不含天心石）（ ） A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块【答案】C【解析】设每一层有n 环，由题可知从内到外每环之间构成等差数列，公差9d =，19a =，由等差数列性质知n S ，2n n S S -，32n n S S -成等差数列，且2322()()n n n n S S S S n d ---=，则29729n =，得9n =，则三层共有扇形面石板为3271272627934022n S S a ⨯==+⨯=块. 5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为（ ）A.【答案】B【解析】设圆心为(,)a a ，则半径为a ，圆过点(2,1)，则222(2)(1)a a a -+-=，解得1a =或5a =，所以圆心坐标为(1,1)或(5,5)，圆心到直线的距离都是5d =. 6.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=,若155121022k k k a a a ++++++=-,则k =（ ）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】取1m =，则11n n a a a +=，又12a =，所以12n na a +=，所以{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，则2nn a =，所以11011115512102(12)222212k k k k k k a a a ++++++-+++==-=--，得4k =.7.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）A.EB.FC.GD.H【答案】A【解析】该几何体是两个长方体拼接而成，如图所示，显然选A.8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1x yC a b-=(0,0)a b >>的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若ODE ∆的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】B【解析】双曲线2222:1x y C a b -=(0,0)a b >>的两条渐近线分别为b y x a =±，则容易得到||2DE b =，则8ODE S ab ∆==，222216c a b ab =+≥=，当且仅当a b ==号成立，所以min 4c =，焦距min (2)8c =.9.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （ ）A. 是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C. 是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减【答案】D【解析】函数()ln |21|ln |21|ln |21|ln |21|()f x x x x x f x -=-+---=--+=-，则()f x 为奇函数，故排除A 、C ；当11(,)22x ∈-时，()ln(21)ln(12)f x x x =+--，根据函数单调性的性质可判断()f x 在11(,)22-上单调递增，故排除B ；当1(,)2x ∈-∞-时，212()ln(21)ln(12)lnln(1)2121x f x x x x x +=----==+--，根据复合函数单调性可判断()f x 在1(,)2-∞-上单调递减，故D 正确.10.已知ABC ∆的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）B.32C.1【答案】C【解析】设ABC ∆的外接圆圆心为1O ，记1OO d =，圆1O 的半径为r ，球O 半径为R ，等边三角形ABC ∆的边长为a ，则2ABC S ∆==，可得3a =，于是r ==，由题知球O 的表面积为16π，则2R =，由222R r d =+易得1d =，即O 到平面ABC 的距离为1.11.若2233x y x y ---<-，则（ ） A.ln(1)0y x -+> B.ln(1)0y x -+< C.ln ||0x y -> D.ln ||0x y -<【答案】A【解析】2323x x y y---<-，设()23x x f x -=-，则()2ln 23ln30x xf x -'=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增，因为()()f x f y <，所以x y <，则11y x -+>，ln(1)0y x -+>，选A.12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用，若序列12......n a a a 满足{}10,1(1,2,...)a i ∈=，且存在正整数m ,使得(1,2,...)i m i a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足(1,2,...)i m i a a i +== 的最小正整数m 为这个序列的周期，对于周期为m的01-序列12......n a a a ，11()(1,2,...,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标，下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k ≤=的序列是（ ） A. 11010... B.11011... C. 10001... D.11001... 【答案】C【解析】对于A 选项：511111(1)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，5211121(2)(01010)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于B 选项，5111131(1)(10011)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；对于C 选项，511111(1)(00001)555i i i C a a +===++++=∑，52111(2)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，53111(3)(00000)055i i i C a a +===++++=∑，541111(4)(10000)555i i i C a a +===++++=∑，满足；对于D 选项，5111121(1)(10001)5555i i i C a a +===++++=>∑，不满足，排除；故选C 。
2023年全国新高考II卷数学真题试卷及答案
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题一、单选题1．在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}0,A a =-，{}1,2,22B a a =--，若A B ⊆，则=a （ ）．A ．2B ．1C ．23D ．1-3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．A ．4515400200C C ⋅种B ．2040400200C C ⋅种C ．3030400200C C ⋅种D ．4020400200C C ⋅种4．若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）．A ．1-B ．0C ．12D ．15．已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB △面积是2F AB △面积的2倍，则m =（ ）．A ．23B C ．D ．23-6．已知函数()e ln xf x a x =-在区间()1,2上单调递增，则a 的最小值为（ ）．A ．2eB ．eC ．1e -D ．2e -7．已知α为锐角，cos α=sin 2α=（ ）．A B C D 8．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（ ）．A ．120B ．85C ．85-D ．120-二、多选题9．已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，120APB ∠=︒，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为45°，则（ ）．A ．该圆锥的体积为πB ．该圆锥的侧面积为C ．AC =D ．PAC △10．设O 为坐标原点，直线)1y x =-过抛物线()2:20C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）．A ．2p =B ．83MN =C ．以MN 为直径的圆与l 相切D ．OMN 为等腰三角形11．若函数()()2ln 0b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（ ）．A ．0bc >B ．0ab >C ．280b ac +>D ．0ac <12．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A ．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B ．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C ．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D ．当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题13．已知向量a ，b满足a b -= ，2a b a b +=- ，则b = ______．14．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．15．已知直线:10l x my -+=与()22:14C x y -+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC 面积为85”的m 的一个值______．16．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf =______．四、解答题17．记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知ABCD 为BC 中点，且1AD =．(1)若π3ADC ∠=，求tan B ；(2)若228b c +=，求,b c ．18．已知{}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：当5n >时，n n T S >．19．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率()0.5p c =％时，求临界值c 和误诊率()q c ；(2)设函数()()()f c p c q c =+，当[]95,105c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[]95,105的最小值．20．如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，60ADB ADC ∠=∠= ，E 为BC的中点．(1)证明：BC DA ⊥；(2)点F 满足EF DA =，求二面角D AB F --的正弦值．21．已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为()-(1)求C 的方程；(2)记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点()4,0-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ．证明:点P 在定直线上.22．（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<；（2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．新高考二卷参考答案1．（2023·新高考Ⅱ卷·1·★）在复平面内，(13i)(3i)+-对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限答案：A解析：2(13i)(3i)3i 9i 3i 68i +-=-+-=+，所以该复数对应的点为(6,8)，位于第一象限.2．（2023·新高考Ⅱ卷·2·★）设集合{0,}A a =-，{1,2,22}B a a =--，若A B ⊆，则a =（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）23（D ）1-答案：B解析：观察发现集合A 中有元素0，故只需考虑B 中的哪个元素是0，因为0A ∈，A B ⊆，所以0B ∈，故20a -=或220a -=，解得：2a =或1，注意0B ∈不能保证A B ⊆，故还需代回集合检验，若2a =，则{0,2}A =-，{1,0,2}B =，不满足A B ⊆，不合题意；若1a =，则{0,1}A =-，{1,1,0}B =-，满足A B ⊆. 故选B.3．（2023·新高考Ⅱ卷·3·★）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）（A ）4515400200C C ⋅种 （B ）2040400200C C ⋅种 （C ）3030400200C C ⋅种 （D ）4020400200C C ⋅种答案：D 解析：应先找到两层中各抽多少人，因为是比例分配的分层抽取，故各层的抽取率都等于总体的抽取率，设初中部抽取x 人，则60400400200x =+，解得：40x =，所以初中部抽40人，高中部抽20人，故不同的抽样结果共有4020400200C C ⋅种.4．（2023·新高考Ⅱ卷·4·★★）若21()()ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则a =（ ）（A ）1- （B ）0 （C ）12（D ）1答案：B解法1：偶函数可抓住定义()()f x f x -=来建立方程求参，因为()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，即2121()ln ()ln 2121x x x a x a x x ----+=+-++ ①，而121212121ln ln ln(ln 21212121x x x x x x x x ---+--===--+-++，代入①得：2121()(ln )()ln 2121x x x a x a x x ---+-=+++，化简得：x a x a -=+，所以0a =.解法2：也可在定义域内取个特值快速求出答案，210(21)(21)021x x x x ->⇔+->+，所以12x <-或12x >，因为()f x 为偶函数，所以(1)(1)f f -=，故1(1)ln 3(1)ln 3a a -+=+ ①，而11ln ln 3ln 33-==-，代入①得：(1)ln 3(1)ln 3a a -+=-+，解得：0a =.5．（2023·新高考Ⅱ卷·5·★★★）已知椭圆22:13x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线y x m =+与C 交于A ，B 两点，若1F AB ∆的面积是2F AB ∆面积的2倍，则m =（ ）（A ）23 （B（C） （D ）23-答案：C解析：如图，观察发现两个三角形有公共的底边AB ，故只需分析高的关系，作1F G AB ⊥于点G ，2F I AB ⊥于点I ，设AB 与x 轴交于点K ，由题意，121212212F AB F AB AB F GS S AB F I∆∆⋅==⋅，所以122F GF I =，由图可知12F KG F KI ∆∆∽，所以11222F K F G F K F I ==，故122F K F K =，又椭圆的半焦距c ==，所以122F F c ==，从而21213F K F F ==故11OK OF F K =-=，所以K ，代入y x m =+可得0m =+，解得：m =6．（2023·新高考Ⅱ卷·6·★★★）已知函数()e ln x f x a x =-在区间(1,2)单调递增，则a 的最小值为（ ）（A ）2e （B ）e （C ）1e - （D ）2e -答案：C解析：()f x 的解析式较复杂，不易直接分析单调性，故求导，由题意，1()e x f x a x'=-，因为()f x 在(1,2)上 ，所以()0f x '≥在(1,2)上恒成立，即1e 0x a x-≥ ①，观察发现参数a 容易全分离，故将其分离出来再看，不等式①等价于1ex a x ≥，令()e (12)x g x x x =<<，则()(1)e 0x g x x '=+>，所以()g x 在(1,2)上 ，又(1)e g =，2(2)2e g =，所以2()(e,2e )g x ∈，故21111(,)()e 2e ex g x x =∈，因为1e x a x ≥在(1,2)上恒成立，所以11e e a -≥=，故a 的最小值为1e -.7．（2023·新高考Ⅱ卷·7·★★）已知α为锐角，cos α=sin 2α=（ ）（A （B （C （D 答案：D解析：22cos 12sin sin 22ααα=-=⇒=，此式要开根号，不妨上下同乘以2，将分母化为24，所以2sin 2α==，故sin 2α=，又α为锐角，所以(0,)24απ∈，故sin 2α=8．（2023·新高考Ⅱ卷·8·★★★）记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若45S =-，6221S S =，则8S =（ ）（A ）120 （B ）85 （C ）85- （D ）120-答案：C 解法1：观察发现2S ，4S ，6S ，8S 的下标都是2的整数倍，故可考虑片段和性质，先考虑q 是否为1-，若{}n a 的公比1q =-，则414[1(1)]01(1)a S --==--，与题意不符，所以1q ≠-，故2S ，42S S -，64S S -，86S S -成等比数列 ①，条件中有6221S S =，不妨由此设个未知数，设2S m =，则621S m =，所以425S S m -=--，64215S S m -=+，由①可得242262()()S S S S S -=-，所以2(5)(215)m m m --=+，解得：1m =-或54，若1m =-，则21S =-，424S S -=-，6416S S -=-，所以8664S S -=-，故8664216485S S m =-=-=-；到此结合选项已可确定选C ，另一种情况我也算一下，若54m =，则2504S =>，而2222412341212122()(1)(1)S a a a a a a a q a q a a q S q =+++=+++=++=+，所以4S 与2S 同号，故40S >，与题意不符；综上所述，m 只能取1-，此时885S =-.解法2：已知和要求的都只涉及前n 项和，故也可直接代公式翻译，先看公比是否为1，若{}n a 的公比1q =，则612162142S a S a =≠=，不合题意，所以1q ≠，故414(1)51a q S q-==--①，又6221S S =，所以6211(1)(1)2111a q a q q q --=⋅--，化简得：62121(1)q q -=- ②，又62322411()(1)(1)q q q q q -=-=-++，代入②可得：2242(1)(1)21(1)q q q q -++=- ③，两端有公因式可约，但需分析21q -是否可能为0，已经有1q ≠了，只需再看q 是否可能等于1-，若1q =-，则414[1(1)]01(1)a S --==--，与题意不符，所以1q ≠-，故式③可化为24121q q ++=，整理得：42200q q +-=，所以24q =或5-（舍去），故要求的8241118(1)[1()]255111a q a q a S q q q --===-⋅--- ④，只差11aq-了，该结构式①中也有，可由24q =整体计算它，将24q =代入①可得21(14)51a q-=--，所以1113a q =-，代入④得81255853S =-⨯=-.9．（2023·新高考Ⅱ卷·9·★★★）（多选）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，AB 为底面直径，o120APB ∠=，2PA =，点C 在底面圆周上，且二面角P AC O --为o 45，则（ ）（A ）该圆锥的体积为π（B ）该圆锥的侧面积为（C ）AC =（D ）PAC ∆答案：AC解析：A 项，因为2PA =，o 120APB ∠=，所以o 60APO ∠=，cos 1OP AP APO =⋅∠=，sin OA AP APO =⋅∠=，从而圆锥的体积211133V Sh ππ==⨯⨯⨯=，故A 项正确；B 项，圆锥的侧面积2S rl ππ===，故B 项错误；C 项，要求AC 的长，条件中的二面角P AC O --还没用，观察发现PAC ∆和OAC ∆都是等腰三角形，故取底边中点即可构造棱的垂线，作出二面角的平面角，取AC 中点Q ，连接PQ ，OQ ，因为OA OC =，PA PC =，所以AC OQ ⊥，AC PQ ⊥，故PQO ∠即为二面角P AC O --的平面角，由题意，o 45PQO ∠=，所以1OQ OP ==，故AQ ==，所以2AC AQ ==，故C 项正确；D 项，PQ ==，所以11222PAC S AC PQ ∆=⋅=⨯=，故D 项错误.POCABQ10．（2023·新高考Ⅱ卷·10·★★★）（多选）设O 为坐标原点，直线1)y x =-过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，且与C 交于M ，N 两点，l 为C 的准线，则（ ）（A ）2p = （B ）83MN = （C ）以MN 为直径的圆与l 相切 （D ）OMN ∆为等腰三角形答案：AC解析：A 项，在1)y x =-中令0y =可得1x =，由题意，抛物线的焦点为(1,0)F ，所以12p=，从而2p =，故A 项正确；B 项，此处可以由直线MN 的斜率求得MFO ∠，再代角版焦点弦公式22sin pMN α=求MN ，但观察发现后续选项可能需要用M ，N 的坐标，所以直接联立直线与抛物线，用坐标版焦点弦公式来算，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1)y x =-代入24y x =消去y 整理得：231030x x -+=，解得：13x =或3，对应的y 分别为-所以图中(3,M -，1(3N ，从而121163233MN x x p =++=++=，故B 项错误；C 项，判断直线与圆的位置关系，只需将圆心到直线的距离d 和半径比较，12523x x MN +=⇒的中点Q 到准线:1l x =-的距离8132d MN ==，从而以MN 为直径的圆与准线l 相切，故C 项正确；D 项，M ，N 的坐标都有了，算出OM ，ON即可判断，OM ==ON ==，所以OM ，ON ，MN 均不相等，故D 项错误.11．（2023·新高考Ⅱ卷·11·★★★）（多选）若函数2()ln (0)b cf x a x a x x =++≠既有极大值也有极小值，则（ ）（A ）0bc > （B ） 0ab > （C ）280b ac +> （D ）0ac <答案：BCD解析：由题意，223322()(0)a b c ax bx cf x x x x x x --'=--=>，函数()f x 既有极大值，又有极小值，所以()f x '在(0,)+∞上有2个变号零点，故方程220ax bx c --=在(0,)+∞上有两个不相等实根，所以212120()(()4(2)020)()b a c c x x a b x x a ⎧⎪∆=--->⎪⎪=->⎨⎪⎪+=>⎪⎩保证有两根保证两根同号保证两根只能同③正①②，由①可得280b ac +>，故C 项正确；由②可得0ca<，所以a ，c 异号，从而0ac <，故D 项正确；由③可得a ，b 同号，所以0ab >，故B 项正确；因为a ，c 异号，a ，b 同号，所以b ，c 异号，从而0bc <，故A 项错误.12．（2023·新高考Ⅱ卷·12·★★★★）（多选）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立. 发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输. 单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次. 收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.（ ）（A ）采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)αβ--（B ）采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-（C ）采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-（D ）当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案：ABD 解析：A 项，由题意，若采用单次传输方案，则发送1收到1的概率为1β-，发送0收到0的概率为1α-，所以依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)(1)(1)(1)βαβαβ---=--，故A 项正确；B 项，采用三次传输方案，若发送1，则需独立重复发送3次1，依次收到1，0，1的概率为2(1)(1)(1)βββββ--=-，故B 项正确；C 项，采用三次传输方案，由B 项的分析过程可知若发送1，则收到1的个数~(3,1)X B β-，而译码为1需收2个1，或3个1，所以译码为1的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P X P X ββββββ=+==-+-=-+-，故C 项错误；D 项，若采用单次传输方案，则发送0译码为0的概率为1α-；若采用三次传输方案，则发送0等同于发3个0，收到0的个数~(3,1)Y B α-，且译码为0的概率为22332333(2)(3)C (1)C (1)3(1)(1)P Y P Y αααααα=+==-+-=-+-，要比较上述两个概率的大小，可作差来看，2323(1)(1)(1)(1)[3(1)(1)1](1)(12)ααααααααααα-+---=--+--=--，因为00.5α<<，所以233(1)(1)(1)(1)(12)0ααααααα-+---=-->，从而233(1)(1)1αααα-+->-，故D 项正确.13．（2023·新高考Ⅱ卷·13·★★）已知向量a ，b满足-=a b ，2+=-a b a b ，则=b _____.解析：条件涉及两个模的等式，想到把它们平方来看，由题意，22223-=+-⋅=a b a b a b ①，又2+=-a b a b ，所以222+=-a b a b ，故2222244++⋅=+-⋅a b a b a b a b ，整理得：220-⋅=a a b ，代入①可得23=b ，即23=b，所以=b .14．（2023·新高考Ⅱ卷·14·★★）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为_____.答案：28解析：如图，四棱锥1111P A B C D -与P ABCD -相似，它们的体积之比等于边长之比的立方，故只需求四棱锥1111P A B C D -的体积，11113112111(4228P A B C D P ABCD V A B AB V --==⇒==，所以11118P ABCD P A B C D V V --=，故所求四棱台的体积11117P A B C D V V -=，由题意，1111212343P A B C D V -=⨯⨯=，所以7428V =⨯=.P 1D 1A 1B 1CD AB CO423【反思】相似图形的面积之比等于边长之比的平方，体积之比等于边长之比的立方.15．（2023·新高考Ⅱ卷·15·★★★）已知直线10x my -+=与⊙22:(1)4C x y -+=交于A ，B 两点，写出满足“ABC ∆的面积为85”的m 的一个值_____.答案：2（答案不唯一，也可填2-或12或12-）解析：如图，设圆心(1,0)C 到直线AB 的距离为(0)d d >，则12ABC S AB d ∆=⋅，注意到AB 也可用d 表示，故先由85ABC S ∆=求d ，再将d 用m 表示，建立关于m 的方程，又AB ==12ABC S d ∆=⨯=，由题意，85ABC S ∆=85=，结合0d >解得：d =又d ====，解得：2m =±或12±.16．（2023·新高考Ⅱ卷·16·★★★★）已知函数()sin()f x x ωϕ=+，如图，A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若6AB π=，则()f π=_____.答案：解法1：6AB π=这个条件怎么翻译？可用12y =求A ，B 横坐标的通解，得到AB ，从而建立方程求ω，不妨设0ω>，令1sin()2x ωϕ+=可得26x k πωϕπ+=+或526k ππ+，其中k ∈Z ，由图知26A x k πωϕπ+=+，526B x k πωϕπ+=+，两式作差得：2()3B A x x πω-=，故23B A x x πω-=，又6B A AB x x π=-=，所以336ππω=，解得：4ω=，则()sin(4)f x x ϕ=+，再求ϕ，由图知23π是零点，可代入解析式，注意，23π是增区间上的零点，且sin y x =的增区间上的零点是2n π，故应按它来求ϕ的通解，所以82()3n n πϕπ+=∈Z ，从而823n πϕπ=-，故82()sin(42)sin(4)33f x x n x πππ=+-=-，所以222()sin(4sin(sin 333f πππππ=-=-=-=.解法2：若注意横向伸缩虽会改变图象在水平方向上的线段长度，但不改变长度比例，则可先分析sin y x =与12y =交点的情况，再按比例对应到本题的图中来，如图1，直线12y =与函数sin y x =在y 轴右侧的三个I ，J ，K 的横坐标分别为6π，56π，136π，所以52663IJ πππ=-=，1354663JK πππ=-=，:1:2IJ JK =，故在图2中:1:2AB BC =，因为6AB π=，所以3BC π=，故2AC AB BC π=+=，又由图2可知AC T =，所以2T π=，故24Tπω==，接下来同解法1.2图【反思】①对于函数sin()(0)y x ωϕω=+>，若只能用零点来求解析式，则需尽量确定零点是在增区间还是减区间. “上升零点”用2xn ωϕπ+=来求，“下降零点”用2x n ωϕππ+=+来求；②对图象进行横向伸缩时，水平方向的线段长度比例关系不变，当涉及水平线与图象交点的距离时，我们常抓住这一特征来求周期.17．（2023··17·★★★）记ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC ∆D 为BC 的中点，且1AD =.（1）若3ADC π∠=，求tan B ；（2）若228b c +=，求b ，c .解：（1）如图，因为3ADC π∠=，所以23ADB π∠=，（要求tan B ，可到ABD ∆中来分析，所给面积怎么用？可以用它求出ABD S ∆，从而得到BD ）因为D 是BC 中点，所以2ABC ABD S S ∆∆=，又ABC S ∆=ABD S ∆=由图可知112sin 1sin 223ABD S AD BD ADB BD π∆=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，所以=2BD =，（此时ABD ∆已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边AB ，再用正弦定理求角B ）在ABD ∆中，由余弦定理，2222212cos 12212()72AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯-=，所以AB =由正弦定理，sin sin AB AD ADB B =∠，所以1sin sin AD ADB B AB ⋅∠===，由23ADB π∠=可知B为锐角，从而cos B ==，故sin tan cos B B B ==.（2）（已有关于bc 的一个方程，若再建立一个方程，就能求b 和c ，故把面积和中线都用b ，c 表示）由题意，1sin 2ABC S bc A ∆==，所以sin bc A =①，（中线AD 怎样用b ，c 表示？可用向量处理）因为D 为BC 中点，所以1()2AD AB AC =+，从而2AD AB AC =+ ，故22242AD AB AC AB AC =++⋅ ，所以222cos 4c b cb A ++=，将228b c +=代入上式化简得cos 2bc A =- ②，（我们希望找的是b ，c 的方程，故由①②消去A ，平方相加即可）由①②得222222sin cos 16b c A b c A +=，所以4bc = ③，由228b c +=可得2()28b c bc +-=，所以4b c +==，结合式③可得2b c ==.ADBC118．（2023·新高考Ⅱ卷·18·★★★★）已知{}n a 为等差数列，6,2,n n n a n b a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，记n S ，n T 分别为{}n a ，{}n b 的前n 项和，432S =，316T =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）证明：当5n >时，n n T S >.解：（1）（给出了两个条件，把它们用1a 和d 翻译出来，即可建立方程组求解1a 和d ）由题意，414632S a d =+= ①，31231231111(6)2(6)62()26441216T b b b a a a a a d a d a d =++=-++-=-++++-=+-= ②，由①②解得：15a =，2d =，所以1(1)23n a a n d n =+-=+.（2）由（1）可得21()(523)422n n n a a n n S n n +++===+，（要证结论，还需求n T ，由于n b 按奇偶分段，故求n T 也应分奇偶讨论，先考虑n 为偶数的情形）当(5)n n >为偶数时，12n nT b b b =++⋅⋅⋅+12341(6)2(6)2(6)2n na a a a a a -=-++-++⋅⋅⋅+-+13124()62()2n n na a a a a a -=++⋅⋅⋅+-⨯+++⋅⋅⋅+ ③，因为131,,,n a a a -⋅⋅⋅和24,,,n a a a ⋅⋅⋅分别也构成等差数列，所以211131()(521)32242n n na a n n n n a a a --++++++⋅⋅⋅+===，2224()(723)52242n n na a n n n n a a a ++++++⋅⋅⋅+===，代入③化简得：222353732222n n n n n n nT n +++=-+⨯=，（要由此证n n T S >，可作差比较）所以2237(4)022n n n n n n T S n n 2+--=-+=>，故n n T S >；（对于n 为奇数的情形，可以重复上述计算过程，但更简单的做法是补1项凑成偶数项，再减掉补的那项）当(5)n n >为奇数时，2113(1)7(1)2n n n n n T T b +++++=-=-2213(1)7(1)351022(25)22n n n n n a n +++++-=-+=，所以223510(4)2n n n n T S n n +--=-+2310(2)(5)022n n n n --+-==>，故n n T S >；综上所述，当5n >时，总有n n T S >.19．（2023·新高考Ⅱ卷·19·★★★）某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该项指标的频率分布直方图：患病者未患病者利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c ，将该指标大于c 的人判定为阳性，小于或等于c 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p c ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q c . 假设数据在组内均匀分布. 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.（1）当漏诊率()0.5%p c =时，求临界值c 和误诊率()q c ；（2）设函数()()()f c p c q c =+. 当[95,105]c ∈时，求()f c 的解析式，并求()f c 在区间[95,105]的最小值.解：（1）（给的是漏诊率，故先看患病者的图，漏诊率为0.5%即小于或等于c 的频率为0.5%，可由此求c ）由患病者的图可知，[95,100)这组的频率为50.0020.010.005⨯=>，所以c 在[95,100)内，且(95)0.0020.005c -⨯=，解得：97.5c =；（要求()q c ，再来看未患病者的图，()q c 是误诊率，也即未患病者判定为阳性（指标大于c ）的概率）由未患病者的图可知指标大于97.5的概率为(10097.5)0.0150.0020.035-⨯+⨯=，所以() 3.5%q c =.（2）（[95,105]包含两个分组，故应分类讨论）当95100c ≤<时，()(95)0.002p c c =-⨯，()(100)0.0150.002q c c =-⨯+⨯，所以()()()0.0080.82f c p c q c c =+=-+，故()0.0081000.820.02f c >-⨯+= ①；当100105c ≤≤时，()50.002(100)0.012p c c =⨯+-⨯，()(105)0.002q c c =-⨯，所以()()()0.010.98f c p c q c c =+=-，故()(100)0.011000.980.02f c f ≥=⨯-= ②；所以0.0080.82,95100()0.010.98,100105c c f c c c -+≤<⎧=⎨-≤≤⎩，且由①②可得min ()0.02f c =.20．（2023·新高考Ⅱ卷·20·★★★）如图，三棱锥A BCD -中，DA DB DC ==，BD CD ⊥，o 60ADB ADC ∠=∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC DA ⊥；（2）点F 满足EF DA =，求二面角D AB F --的正弦值.CDABEF解：（1）（BC 和DA 是异面直线，要证垂直，需找线面垂直，可用逆推法，假设BC DA ⊥，注意到条件中还有DB DC =，所以BC DE ⊥，二者结合可得到BC ⊥面ADE ，故可通过证此线面垂直来证BC DA ⊥）因为DA DB DC ==，o 60ADB ADC ∠=∠=，所以ADB ∆和ADC ∆是全等的正三角形，故AB AC =，又E 为BC 中点，所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，因为AE ，DE ⊂平面ADE ，AE DE E = ，所以BC ⊥平面ADE ，又DA ⊂平面ADE ，所以BC DA ⊥.（2）（由图可猜想AE ⊥面BCD ，若能证出这一结果，就能建系处理，故先尝试证明）不妨设2DA DB DC ===，则2AB AC ==，因为BDCD ⊥，所以BC ==，故12DE CE BE BC ===，AE ==所以2224AE DE AD +==，故AE DE ⊥，所以EA ，EB ，ED 两两垂直，以E 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A ，D ，B，所以(DA =，AB =，由EF DA = 可知四边形ADEF是平行四边形，所以FA ED == ，设平面DAB 和平面ABF 的法向量分别为111(,,)x y z =m ，222(,,)x y z =n，则111100DA AB ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩m m ，令11x =，则1111y z =⎧⎨=⎩，所以(1,1,1)=m 是平面DAB 的一个法向量，22200AB FA ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ，令21y =，则2201x z =⎧⎨=⎩，所以(0,1,1)=n 是平面ABF 的一个法向量，从而cos ,⋅<>===⋅m n m n m n 故二面角D AB F --=.21．（2023··21·★★★★）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为(-.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，过点(4,0)-的直线与C 的左支交于M ，N 两点，M 在第二象限，直线1MA 与2NA 交于点P ，证明：点P 在定直线上.解：（1）设双曲线方程为()222210,0x y a b a b-=>>，由焦点坐标可知c =则由ce a ==可得2a =，4b ==，双曲线方程为221416x y -=.（2）由(1)可得()()122,0,2,0A A -，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN 的方程为4x my =-，且1122m -<<，与221416x y -=联立可得()224132480m y my --+=，且264(43)0m ∆=+>，则1212223248,4141m y y y y m m +==--，直线1MA 的方程为()1122y y x x =++，直线2NA 的方程为()2222yy x x =--，联立直线1MA 与直线2NA 的方程可得：()()()()()2121121211212121222222266y x y my my y y y y x x y x y my my y y +--+++==--=--112221122483216222141414148483664141m mm y y m m m m m y y m m -⋅-⋅++---===-⨯----，由2123x x +=--可得=1x -，即1P x =-，据此可得点P 在定直线=1x -上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.22．（2023·新高考Ⅱ卷·22·★★★★）（1）证明：当01x <<时，2sin x x x x -<<；（2）已知函数2()cos ln(1)f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围.解：（1）构建()()sin ,0,1F x x x x =-∈，则()1cos 0F x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()F x 在()0,1上单调递增，可得()()00F x F >=，所以()sin ,0,1x x x >∈；构建()()()22sin sin ,0,1G x x x x x x x x =--=-+∈，则()()21cos ,0,1G x x x x '=-+∈，构建()()(),0,1g x G x x '=∈，则()2sin 0g x x '=->对()0,1x ∀∈恒成立，则()g x 在()0,1上单调递增，可得()()00g x g >=，即()0G x '>对()0,1x ∀∈恒成立，则()G x 在()0,1上单调递增，可得()()00G x G >=，所以()2sin ,0,1x x x x >-∈；综上所述：sin x x x x 2-<<.（2）令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为()1,1-，若0a =，则()()()2ln 1,1,1f x x x =--∈-，因为ln y u =-在定义域内单调递减，21y x =-在()1,0-上单调递增，在()0,1上单调递减，则()()2ln 1f x x =--在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递增，故0x =是()f x 的极小值点，不合题意，所以0a ≠.当0a ≠时，令0b a =>因为()()()()()222cos ln 1cos ln 1cos ln 1f x ax x a x x bx x =--=--=--，且()()()()()22cos ln 1cos ln 1f x bx x bx x f x ⎡⎤-=----=--=⎣⎦，所以函数()f x 在定义域内为偶函数，由题意可得：()()22sin ,1,11xf x b bx x x =--∈'--，（i ）当202b <≤时，取1min ,1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，()0,x m ∈，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2222222222sin 111x b x b x x f x b bx b x x x x +-'=-->--=---，且22220,20,10b x b x >-≥->，所以()()2222201x b x b f x x+-'>>-，即当()()0,0,1x m ∈⊆时，()0f x ¢>，则()f x 在()0,m 上单调递增，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0m -上单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，不合题意；（ⅱ）当22b >时，取()10,0,1x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，则()0,1bx ∈，由（1）可得()()()2233223222222sin 2111x x xf x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++----，构建()33223212,0,h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭，则()3223132,0,h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭，且()33100,0h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，则()0h x '>对10,x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，可知()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且()21020,20h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，所以()h x 在10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭内存在唯一的零点10,n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当()0,x n ∈时，则()0h x <，且20,10x x >->，则()()3322322201x f x b x b x b x b x '<-+++-<-，即当()()0,0,1x n ∈⊆时，()0f x '<，则()f x 在()0,n 上单调递减，结合偶函数的对称性可知：()f x 在(),0n -上单调递增，所以0x =是()f x 的极大值点，符合题意；综上所述：22b >，即22a >，解得a a <故a 的取值范围为(),-∞+∞.。
2023年全国高考数学试题及答案-全国卷2
2023年全国高考数学试题及答案-全国卷2题目一1. 填空题（每空1分）给定点 $A(2,-3)$ 和点 $B(-4,5)$，求线段 AB 的中点坐标。
解析：线段 AB 的中点坐标可以通过坐标平均法求得。
即将 $A$ 和$B$ 的 $x$ 坐标分别取平均值作为中点的 $x$ 坐标，将 $A$ 和$B$ 的 $y$ 坐标分别取平均值作为中点的 $y$ 坐标。
所以，线段 AB 的中点坐标为中点坐标 = $((2+(-4))/2, (-3+5)/2)$中点坐标 = $(-1, 1)$题目二2. 选择题在某学校的图书馆里，共有 300 本书，其中有 200 本是小说，100 本是非小说。
现假设随机选择一本书，请回答以下问题。
A. 选择一本小说的概率是多少？B. 选择一本非小说的概率是多少？解析：A. 选择一本小说的概率：小说书籍的数量是 200 本，总书籍数量是 300 本，因此选择一本小说的概率为 200/300 = 2/3。
B. 选择一本非小说的概率：非小说书籍的数量是 100 本，总书籍数量是 300 本，因此选择一本非小说的概率为 100/300 = 1/3。
题目三3. 解答题已知函数 $f(x) = -2x^2 + 5x + 3$，求解 $f(x) = 0$ 的全部实根。
解析：要求解 $f(x) = 0$ 的全部实根，即找到函数 $f(x)$ 的零点或根。
将 $f(x) = -2x^2 + 5x + 3$ 置为 0，得到二次方程 $-2x^2 + 5x +3 = 0$。
可以使用求根公式（一元二次方程根的公式）来求解。
根据求根公式，一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根为：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$将 $a = -2, b = 5, c = 3$ 代入，得到：$x = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4(-2)(3)}}{2(-2)}$计算可得两个实根分别为：$x = \frac{-5 + \sqrt{49}}{-4} = \frac{-5 + 7}{-4} = \frac{1}{2}$$x = \frac{-5 - \sqrt{49}}{-4} = \frac{-5 - 7}{-4} = 3$所以，$f(x) = 0$ 的全部实根为 $\frac{1}{2}$ 和 $3$。
2020全国2卷高考数学试题(试卷版+解析版)
2020全国2卷高考数学试题(试卷版+解析版)1.已知集合 $A=\{-1.1\}$，$B=\{1.2\}$，$C=\{-2.-1.1.2.3\}$，则 $(A\cup B)\cup C$ 等于哪个集合。
A。
$\{-2.3\}$B。
$\{-2.2.3\}$C。
$\{-2.-1.3\}$D。
$\{-2.-1.1.2.3\}$2.若 $\alpha$ 为第四象限角，则 $\cos2\alpha$ 的大小关系是。
A。
$\cos2\alpha>0$B。
$\cos2\alpha<0$C。
$\sin2\alpha>0$D。
$\sin2\alpha<0$3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货。
由于订单量大幅增加，导致订单积压。
为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压 500 份订单未配货，预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05.志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货。
为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95，则至少需要多少名志愿者。
A。
10 名B。
18 名C。
24 名D。
32 名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层。
上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块。
下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块。
已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）多少块。
A。
3699 块B。
3474 块C。
3402 块D。
3339 块5.若过点 $(2,1)$ 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线$2x-y-3=0$ 的距离为多少。
A。
$\frac{5}{\sqrt{5}}$B。
$\frac{25}{\sqrt{5}}$C。
$\frac{35}{\sqrt{5}}$D。
2022年全国统一高考数学卷(新高考2卷)含答案解析(原卷版)
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考2卷）数学副标题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号 一 二 三 四 总分 得分注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A ={−1,1,2,4}，B ={x||x −1|≤1}，则A ∩B =( ) A. {−1,2}B. {1,2}C. {1,4}D. {−1,4}2. (2+ 2i)(1−2i)=( ) A. −2+4iB. −2−4iC. 6+2iD. 6−2i3. 中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现.如图是某古建筑物的剖面图，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD 1，CC 1，BB 1，AA 1是脊，OD 1，DC 1，CB 1，BA 1是相等的步，相邻桁的脊步的比分别为DD 1OD 1=0.5，CC 1DC 1=k 1，BB1CB 1=k 2，AA 1BA 1=k 3，若k 1，k 2，k 3是公差为0.1的等差数列，直线OA 的斜率为0.725，则k 3=( )A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.94. 已知向量a ⃗ =(3,4)，b ⃗ =(1,0)，c ⃗ =a ⃗ +t b ⃗ ，若<a ⃗ ,c ⃗ >=<b ⃗ ,c ⃗ >，则实数t =( )A. −6B. −5C. 5D. 65. 甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有( )A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种6. 若sin(α+β)+cos(α+β)=2√2cos(α+π4)sinβ，则( ) A. tan(α+β)=−1 B. tan(α+β)=1 C. tan(α−β)=−1D. tan(α−β)=17. 已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为3√3和4√3，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )A. 100πB. 128πC. 144πD. 192π8. 若函数f(x)的定义域为R ，且f(x +y)+f(x −y)=f(x)f(y)，f(1)=1，则∑f 22k=1(k)=( )A. −3B. −2C. 0D. 1二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
高考全国卷2数学理科试卷及答案
高考全国卷2数学理科试卷及答案果实饱满鲜嫩水灵鸽子、燕子象征和平乳燕初飞婉转悦耳莺歌燕舞翩然归来麻雀、喜鹊枝头嬉戏灰不溜秋叽叽喳喳鹦鹉鹦鹉学舌婉转悦耳笨嘴学舌啄木鸟利嘴如铁钢爪如钉鸡鸭鹅神气活现昂首挺胸肥大丰满自由自在引吭高歌马腾空而起狂奔飞驰膘肥体壮昂首嘶鸣牛瘦骨嶙峋行动迟缓俯首帖耳膘肥体壮车川流不息呼啸而过穿梭往来缓缓驶离船一叶扁舟扬帆远航乘风破浪雾海夜航追波逐浪飞机划破云层直冲云霄穿云而过银鹰展翅学习用品美观实用小巧玲珑造型优美设计独特玩具栩栩如生活泼可爱惹人喜爱爱不释手彩虹雨后彩虹彩桥横空若隐若现光芒万丈雪大雪纷飞大雪封山鹅毛大雪漫天飞雪瑞雪纷飞林海雪原风雪交加霜雪上加霜寒霜袭人霜林尽染露垂露欲滴朝露晶莹日出露干雷电电光石火雷电大作惊天动地春雷滚滚电劈石击雷电交加小雨阴雨连绵牛毛细雨秋雨连绵随风飘洒大雨倾盆大雨狂风暴雨大雨滂沱瓢泼大雨大雨淋漓暴雨如注风秋风送爽金风送爽北风呼啸微风习习寒风刺骨风和日丽雾大雾迷途云雾茫茫雾似轻纱风吹雾散云消雾散云彩云满天天高云淡乌云翻滚彤云密, 布霞彩霞缤纷晚霞如火朝霞灿烂丹霞似锦星最远的地方：天涯海角最远的分离：天壤之别最重的话：一言九鼎最可靠的话：一言为定其它成语一、描写人的品质：平易近人宽宏大度冰清玉洁持之以恒锲而不舍废寝忘食大义凛然临危不俱光明磊落不屈不挠鞠躬尽瘁死而后已二、描写人的智慧：料事如神足智多谋融会贯通学贯中西博古通今才华横溢出类拔萃博大精深集思广益举一反三三、描写人物仪态、风貌：憨态可掬文质彬彬风度翩翩相貌堂堂落落大方斗志昂扬意气风发 , 威风凛凛容光焕发神采奕奕四、描写人物神情、情绪：悠然自得眉飞色舞喜笑颜开神采奕奕欣喜若狂呆若木鸡喜出望外垂头丧气无动于衷勃然大怒五、描写人的口才：能说会道巧舌如簧能言善辩滔滔不绝伶牙俐齿 , 出口成章语惊四座娓娓而谈妙语连珠口若悬河六、来自历史故事的成语：三顾茅庐铁杵成针望梅止渴完璧归赵四面楚歌负荆请罪精忠报国手不释卷悬梁刺股凿壁偷光七、描写人物动作：走马——花欢呼雀跃扶老携幼手舞足蹈促膝谈心前俯后仰奔走相告跋山涉水前赴后继张牙舞爪八、描写人间情谊：恩重如山深情厚谊手足情深形影不离血浓于水志同道合风雨同舟赤诚相待肝胆相照生死相依九、说明知事晓理方面：循序渐进日积月累温故——新勤能补拙笨鸟先飞学无止境学海无涯滴水穿石发奋图强开卷有益十、来自寓言故事的成语：夏天的, 景色鸟语蝉鸣万木葱茏枝繁叶茂莲叶满池秋天秋高气爽天高云淡秋风送爽秋菊怒放秋菊傲骨秋色迷人秋色宜人金桂飘香秋天的景色果实累累北雁南飞满山红叶五谷丰登芦花飘扬冬天天寒地冻北风呼啸滴水成冰寒冬腊月瑞雪纷飞冰天雪地冬天的景色冰封雪盖漫天飞雪白雪皑皑冰封大地冰天雪地早晨东方欲晓旭日东升万物初醒空气清醒雄鸡报晓晨雾弥漫晨光绚丽中午烈日当头丽日临空艳阳高照万里无云碧空如洗傍晚日落西山夕阳西斜残阳如血炊烟四起百鸟归林华灯初上夜幕低垂日薄西山夜晚夜深人静月明星稀夜色柔美夜色迷人深更半夜漫漫长夜城镇风光秀丽人山人海车水马龙宁静和谐村庄草木苍翠竹篱瓦舍山幽路辟小桥流水大楼、饭店直指青云古色古香青砖素瓦耸入碧云工厂机器轰鸣铁流直泻热气腾腾钢花飞溅商店粉饰一新门可罗雀冷冷清清错落有致馆场富丽堂皇设施齐全气势雄伟金碧辉煌学校风景如画闻名遐迩桃李满天下车站、码头井然有序杂乱无章布局巧妙错落有致街道宽阔平坦崎岖不平拥挤不堪畅通无阻花花红柳绿花色迷人花香醉人花枝招展百花齐放百花盛开百花争艳,绚丽多彩五彩缤纷草绿草如, , 标准答案一、填空题。
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2015年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学（全国卷Ⅱ）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分
1．已知集合{}|12A x x =-<<，{}|03B x x =<<，则A
B = A ．()1,3- B ．()1,0-
C ．()0,2
D ．()2,3
2．若为a 实数，且231ai i i
+=++，则a = A ．4- B ．3- C ．3 D ．4
3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是
A ．逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效
C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关
4．已知()0,1a =-，()1,2b =-，则(2)a b a +=
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
6．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为
1.8A 1.7B 1.6C 1.5
D
7．已知三点(1,0),A B C ,则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为
5.3A B C 4.3
D 8．右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为14,18,则输出的a 为（ ）
.0A .2B .4C .14D
9．已知等比数列{}n a 满足114
a =，()35441a a a =-，则2a = .2A .1B 1.2C 1.8
D 10．已知B A ,是球O 的球面上两点，︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点。
若三棱锥ABC O -体积的最大值为36，则球O 的表面积为
A 、π36
B 、 π64
C 、π144
D 、 π256
11．如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，∠BOP=x。
将动点P 到AB 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为
12．设函数21()ln(1||)1f x x x =+-
+，则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是 A ．1,13⎛⎫
⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
第II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。
第（13）题-第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13.已知函数()3
2f x ax x =-的图像过点（-1,4）,则a = ．
14.若x ,y 满足约束条件50210210x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩
,则z =2x +y 的最大值为 ．
15.
已知双曲线过点(,且渐近线方程为12
y x =±,则该双曲线的标准方程为 ． 16.已知曲线ln y x x =+在点()1,1 处的切线与曲线()221y ax a x =+++ 相切,则a = ．
三、解答题
17（本小题满分12分）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠PAC ,BD =2DC .
（I ）求
sin sin B C
∠∠ ；（II ）若60BAC ∠=,求B ∠.
18. （本小题满分12分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从A
,B 两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频率分布表.
（I ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）
（II ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：
估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.
19. （本小题满分12分）如图,长方体1111ABCD A B C D -中AB =16,BC =10,18AA =,点E ,F 分别在1111,A B D C 上,11 4.A E D F ==过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. （I ）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；
（II ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值.
20. （本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> ,点(在C 上. （I ）求C 的方程；
（II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.
21. （本小题满分12分）已知()()ln 1f x x a x =+-.
（I ）讨论()f x 的单调性；
（II ）当()f x 有最大值,且最大值为22a -时,求a 的取值范围.
请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号
22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图O 是等腰三角形AB C 内一点,圆O 与△ABC 的底边BC 交于M ,N 两点,与底边上的高交于点G ,且与AB ,AC 分别相切于E ,F 两点.
（I ）证明EF BC ；
（II ）若AG 等于圆O 半径,且AE MN ==求四边形EDCF 的面积.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩
（t 为参数,且0t ≠ ）,其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴
正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:.C C ρθρθ== （I ）求2C 与3C 交点的直角坐标；
（II ）若1C 与 2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求AB 最大值.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式证明选讲 设,,,a b c d 均为正数,且a b c d +=+.证明：
（I ）若ab cd > ,+>
（II >
+是a b c d -<-的充要条件.。