电力系统远动第4章 抗干扰编码讲解

1
1 1


e6
0
0

1 1


e5
1

1

1

0

e4
1

1

0 0

e3
0

0
1

0

e2
0
0 0

0 1

e1

0 0

e0
Hale Waihona Puke Baidu0
加法
乘法
加法
乘法
0+0=0 0·0=0 1+0=1 1·0=0
0+1=1 0·1=0 1+1=0 1·1=1
向量和矩阵
向量：在数学上的定义是一组有序的数，这里的 数是0或1；
矩阵：是n维向量排列成m行的表，矩阵中的每 个元素都是0或1。
第三节 线性分组码
二、生成矩阵
设(7,3)码的3个信息位是C6C5C4,4个监督位是C3C2C1C0。
第四节 循环码
二、循环码原理
循环码的生成多项式
定义(n,k)循环码的生成多项式是码字中n-k次的码多项式， 记作g(x)。 从2k个码字中，取出一个前面k-1位均为0的码字，其构成的 多项式即是该码字的生成多项式，其次数：n-1-(k-1)=n-k。
如：(7,3)循环码：前2位为0的码字：0011101，其生成 多项式： g(x) x4 x3 x2 1 ，次数为6-2=4
所得的余式。当E(x) 0 时，S(x) 0
； 时， 。 E(x) 0
S(x) 0
所以，循环码的检错方法是：在接收端把接收到的数字序列
除以生成多项式g(x)所得的余式S(x)，如果S(x) 0 ，认为无错码；
如果S(x) 0 ，则有错码。
第四节 循环码
四、缩短循环码 定义：任何一个给定的(n,k)系统循环码的2k个码字中，一定存 在2k-i(i<k)个前i位为零的码字。如果删去2k-i个码字中前面i 位零，可以得到2k-i个长为(n-i)的码字，由它们构成的(ni,k-i)线性系统码，称为原(n,k)系统循环码的缩短循环码。
求监督位方程为
C3 1 C6 0 C5 1 C4 C2 1 C6 1 C5 1 C4 C1 1 C6 1 C5 0 C4 C0 0 C6 1 C5 1 C4
信息组
000 001 010
码字
000 0000 001 1101 010 0111
模f(x)乘法，记作⊙
定义：两个多项式f1(x)、f2(x)的模f(x)乘法是f1(x)乘 f2(x)后，除以f(x)所得的余式。
f1(x) f2 (x) f1(x) f2 (x) f (x)
第四节 循环码
二、循环码原理
循环码的定义
定义：(n,k)循环码是线性分组码，并且任意码字的每一次 循环移位，得到的仍是一个码字。
E (en1, en1,.... e1 e0 )
E为（1×n）矩阵，其元素为“0”（正确）或“1”（错误）
如：C＝(0011101) ，E＝（1000011）
——R＝（1011110）为禁用码字，检测错误
检错——判断R是否为许用码字
定义伴随式S为： S RH T (C E)H T EH T
电力系统调度自动化
电气工程学院 林国松
第四章 抗干扰编码
1 概述 2 抗干扰编码的基本原理 3 线性分组码 4 循环码 5 循环码的抗干扰能力 6 BCH码 7 远动信息的CRC校验
第一节 概述
基本概念
误码率 奇偶校验码 抗干扰编码
差错控制方法
循环检错 检错重发 前向纠错 反馈检验
E(x) en1 x n1 en1 x n2 .... e1 x e0
在接收端收到的数字序列多项式为
R(x) rn1xn1 rn1xn2 .... r1x r0 C(x) E(x)
循环码的伴随式记作 S (x) ，它是数字序列 R(x) 除以生成多项式g(x)
定义：两个多项式f1(x)、f2(x)的模f(x)加法是f1(x)加 f2(x)后，除以f(x)所得的余式。
f1(x) f2 (x) f1(x) f2 (x) f (x)
如果f1(x)、f2(x)的次数都小于f(x)，则
f1(x) f2 (x) f1(x) f2 (x)
1 C6 0 C5 1 C4 1 C3 0 C2 0 C1 0 C0 0 1 C6 1 C5 1 C4 0 C3 1 C2 0 C1 0 C0 0 1 C6 1 C5 0 C4 0 C3 0 C2 1 C1 0 C0 0 0 C6 1 C5 1 C4 0 C3 0 C2 0 C1 1 C0 0
110 0010 011 0001
H CT 0 CHT 0
说明线性码中信息 监督矩阵 位和监督位之间的
线性关系。
第三节 线性分组码
三、监督矩阵及线性码的性质 线性码性质： （1）封闭性，即任意两个线性码字之和仍为一个线性码字。 设C1、C2是任意两个线性码字，有
(C1 C2 ) H T C1 H T C2 H T 0
理解P111举例说明。
第二节 抗干扰编码的基本原理
三、分组码的检错、纠错能力
要发现（检查）e个错误，要求最小码距： d0 ≥ e + 1
要纠正t个错误，要求最小码距： d0 ≥ 2t + 1
要纠正t个错误，同时要发现e个错误，则要求最小码 距：
d0 ≥ t + e + 1 (e ≥ t)
第二节 抗干扰编码的基本原理
011 011 1010
100 100 1110
101 101 0011
110 110 1001
111 111 0100
第三节 线性分组码
二、生成矩阵
写成矩阵形式
100 1110
C6C5C4C3C2C1C0 C6C5C4 010 0111
001 1101
100 1110
例如： 某一（n, k）码的最小码距d0＝10， 则：e ≤9 t ≤4.5 e＋t ≤9 即：该码最多只能发现9个错误；或者： 最多只能纠正4个错误，但同时可查5个错误；或者： 纠正3个错误，但同时可查6个错误；或者： 纠正2个错误，但同时可查7个错误等。
第三节 线性分组码
一、代数运算知识简介
模2运算
第二节 抗干扰编码的基本原理
二、码距和最大似然译码
在分组码中，码字中“1”的数目叫做码字的重量，简称码 重； 任意两个码字对应位上的数字符号不同的位数叫做码字距 离，简称码距。所有码字间的最小距离叫做最小码距，记 作d0 。 最大似然译码：收到的数字序列和哪一个许用码字的距离 最小，就把它译成这个码字。
第四节 循环码
二、循环码原理
系统码格式的循环码的编码
(1)将待编信息多项式 m(x) 乘以 xnk，得 m(x)xnk
(2)求余式：
m(x) xnk Q(x) g(x) r(x)
(3)码多项式： C(x) Q(x) g(x) m(x) xnk r(x)
把信息组 写成多项式 (mk1, mk2 ,..., m0 )
m(x) mk1 x k1 mk1 x k2 .... m1 x m0
可以得到
C(x) m(x)g(x)
循环码的码字是待编码的信息多项式乘生成多项式得到，m(x) 共有2k种形式，可以生成2k个循环码码字，(n,k)循环码只有 2k个码字，因此：所有循环码字均可以由g(x)生成。
第三节 线性分组码
四、伴随式 监督矩阵：
1011000 H 1110100
1100010 0110001
e6
ST

H
ET

1011000 1110100 1100010 0110001

e5 e4 e3 e2 e1

第四节 循环码
二、循环码原理
因为g(x)是一个循环码字，所以 都是码字。循 xg(x), x2g(x),..., xk1g(x)
环码是线性码，由线性码字的性质的：这k个码字的线性组
合也是一个码字
C(x) (mk1 x k1 mk1 x k2 .... m1 x m0 )g(x)
例：求 g(x) x4 x3 x2 1 m(x) x 的(7,3)码。
解：m(x)xnk x5 (x 1)( x4 x3 x2 1) (x2 x 1)
r(x) (x2 x 1)
C(x) m(x) xnk r(x) x5 x2 x 1
组，因此码字：C=(Cn-1,Cn-2,∙∙∙, C0)不但可用向量表示，也可 用一个多项式表示－称为码多项式。
C(x) Cn1 x n1 Cn1 x n2 .... C1 x C0
注意：多项式系数的加、乘为模2加、乘。
第四节 循环码
一、代数知识
模f(x)加法，记作⊕
第二节 抗干扰编码的基本原理
概念：
许用码字 禁用码字 一、分组码的概念 分组码是对每个长度为k的信息组，以一定的规则增加r 个监督位，组成长度为n=k+r的二进制序列 Cn1,Cn2,..., C1,C0 。 这个长为n的序列叫做码字、码组或码矢，并称此2k个 码字的集合为(n,k)分组码，其中n表示码长，k表示信息 位长，r=n-k为监督位长。
所以，C1+C2是一个线性码字。 （2）线性码字的最小码距等于码字的最小重量。 因为任意两个线性码字之间的距离等于这两个码字的（模2） 和的非零个数，由性质1知任意两个线性码字之和仍为一个 线性码字，所以最小码距等于码字的最小重量。
第三节 线性分组码
四、伴随式
接收端收到的码字：R C E
E为错码样式
1

e0

第四节 循环码
一、代数知识
循环码是线性分组码的重要子类，有严格的代数结构，
用代数方法可找出许多编码效率高、检纠错能力强的循环码。
循环码的编码、检纠错方法简单、易实现，并且已找到
许多有效的纠错方法。
——得到广泛应用
循环码可用多项式分析，其系数为“0”或“1”。多项式
的系数是一组按幂次的有序数组，而码字也是一组的有序数
C=0100111
x 1 x4 x3 x2 1 x5 0 0 0 0 0
x5 x4 x3 0 x 0 x4 x3 0 x 0 x4 x3 x2 0 1 x2 x 1
第四节 循环码
三、循环码的伴随式
在发送端把信息序列编成循环码字，发送给接收端，在传输中 因干扰产生错码，接收端收到的不一定是循环码字，而是一个 数字序列R。设错码样式为
写成矩阵形式
C6
101 111 110 011
1000 0100 0010 0001

C5
CC34
C
2
C1


0 0 0 0
C0
101 1000
H 111 0100 PIr
注意：直接由式生成的循环码不是系统码格式。
第四节 循环码
二、循环码原理
生成多项式的性质： 生成多项式是次数最低的码多项式。 生成多项式可由 xn 1进行因式分解，然后取其n-k次因式就 是g(x)，所以其次数就是n-k次。
例：求(7,3)循环码的生成多项式。 将 x7 1 进行因式分解： x7 1 (x 1)( x3 x2 1)( x3 x 1) 又因(7,3)码的n-k=4，g(x)应为4次多项式。 前表中的(7,3)码的g(x)为：g(x) (x 1)( x3 x 1) x4 x3 x2 1
G 010 0111 I k Q
001 1101
C MG
M C6C5C4
G：生成矩阵（k×n） Ik：为k阶单位矩阵 Q：为（k×r）阶矩阵
编码：将待编信息组M乘以生成矩阵G就直接得到线性码字C。
第三节 线性分组码
三、监督矩阵及线性码的性质 将监督方程改写为：