高二数学讲义(64)几何概型

江苏省泰兴中学高二数学讲义（64）

几何概型

教学目标：

1、理解几何概型与古典概型的异同；

2、理解几何概型中区域、测度的概念，了解几个模型；

3、掌握几何概型的概率计算公式

教学重难点：实际问题数学化；找准区域，并能正确计算测度

问题引入：

1.取一根30厘米长的细绳（没有弹性），拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不少于10厘米的概率有多大？

2.射箭比赛的箭靶涂有5个彩色得分环，从外向内依次为白色、黑色、蓝色、红色、靶心是金色.已知靶面直径为122CM，靶心直径为12.2CM，假设每次射击都能中靶，且射中靶面上任意一处都是等可能的，那么射中靶心的概率是多少？

数学建构：

1.随机试验与古典概型的相同和不同之处

2.几何概型

3.概率计算公式

典型例题：

例1、某人睡午觉醒来，发觉表停了，他打开收音机想听整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.

例2、有一个边长为2a的正方形及其内切圆，现将一粒豆随机的丢进正方形，求豆落入圆内

的概率.

例3、在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上任取一点M，求AM小于AC的概率

例4、用橡皮泥做一个直径为6cm的小球，假设橡皮泥中混有一个很小的砂子，试求这个砂子距离球心不小于1cm的概率.

例5、甲、乙两人相约在7点到8点间在某地会面.先到者要等候另一人20分钟，若另一人20分钟后仍不到即离去.如果每个人在一小时内的任何时刻到达的可能性是相同的，求两人能够会面的概率.

课堂小结：

1、设H 、G 为几何区域，H G ⊆.假定向G 中掷一点M ，M 落在G 中任一点是等可能的.若事件A 为“点M 落在H 内”，则()H P A G =的测度的测度

2、常见的几何概型：（测度为）线型、角度、面积、体积.

3、单变量的几何概型一般转化为一维测度的问题，借助于数轴表示

4、双变量的几何概型一般转化为二维测度的问题，借助于平面直角坐标系表示（如相会问题）

江苏省泰兴中学高二数学课后作业（64）

班级：_______ 姓名：____________ 学号：

1、向数轴上的线段OA （A 的坐标为3）上随机投一点，此点坐标小于1的概率为

2、如图，已知

(0,0),(30,0),(30,30),(0,30),(12,0),(30,18),(18,30),(0,12)O A B C E F P Q

在正方形OABC 内任取一点，该点在阴影内的概率

3、一轮船停靠在某一港口，只有在该港口涨潮时才能出港，已知该港口每天涨潮的时间为早晨5：00—7：00和下午5：00—6：00，则该船在一昼夜内可以出港的概率为

4、在区间[]0,10，任取一个数与6之和大于10的概率为

5、在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，过点A作射线l交直角边BC于点M，则∠<︒的概率是.

CAM30

6、有一圆盘被8等分，其中阴影部分被涂上红色，其余部分

分别涂上其它颜色.游戏规则是投中红色区域中奖，投在原盘外，

或线上重投，则中奖概率为

7、现有100ml的蒸馏水，假定里面有一个细菌，现从中抽取20ml的蒸馏水，则抽

到细菌的概率为

8、如图，正三角形ABC的边长为3cm，过A任作一射线l，

则l与BC相交的概率为

9、在半径为R的圆内画平行弦，如果这些弦与垂直弦的

直径的交点在该直径上的位置是等可能的，则所画弦的长

度大于R的概率为

10、在某集市上有一种游戏，向一个画满均匀方格的大桌子上投硬币，如果完全落入某个方格内，则掷硬币者赢得一个小猴玩偶，否则付20元.如果硬币的直径为2cm，而方格边长为5cm，求随机投掷一枚硬币刚好投进格子的概率为多大？

11、如图，边长为2的正方形ABCD，现随机的向正方形内投一点P（落在ABCD外的不算），求P到A的距离小于1的概率.

12、两位同学到新华书店买数学参考书，他们约定在上午8：00到9：00之间，在某个车站汇合，他们约好当其中一个人先到后一定要等另一个人15分钟，若另一个人仍不到则离去.试问这两人能够相遇的概率为多大？