定积分计算应当注意的几个问题
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定积分计算中应当注意的几个问题
辛 开 远
定积分计算是高等数学中很重要的内容，本文针对应当注意的几个问题，通过求解例题，让读者掌握解题技巧。
一、利用函数奇偶性简化计算
若)(x f 在],[a a -上连续并且为偶函数，则有
⎰⎰=-a
a a
dx x f dx x f 0
)(2)( ， （)(x f 是偶函数）
若)(x f 在],[a a -上连续并且为奇函数，则有
0)(=⎰
-a a
dx x f ， （)(x f 是奇函数）
例1：计算
⎰
-
2
2
10sin π
π
xdx x
解 ：因为x x x f sin )(10
=是奇函数，积分区间对称于原点，所以，原式＝0。 例2：计算
⎰---a a
dx x a x a 2
2
解：原式＝
⎰
⎰
-----a a
a a
dx x
a x dx x
a a 2
2
2
2
右边第一个积分的被积函数是偶函数，第二个积分的被积函数是奇函数，积分区间对称于原点，从而 原式＝a a x a dx x a a
a
a π=⎪⎭⎫ ⎝⎛
=-⎰
00
2
2arcsin 22
例3：计算
()
dx x x x x
⎰-++-1
1
341cos sin 95200
解：原式＝()
5
1212
10
4
=
+⎰dx x
二、利用函数的周期性简化计算
设)(x f 是以T 为周期的连续函数，则有 ⎰⎰=+T
T a a dx x f dx x f 0
)()(
⎰⎰
=+T
nT a a
dx x f n dx x f 0
)()( （n 为整数）
例4：计算
⎰
+-
2
1002
100222sin π
π
xdx x tg
解：因为被积分函数以π为周期，所以 原式＝
⎰
⎰
+-
+-
=2
2
42
22
2sin 42sin π
π
π
π
xdx xdx x tg
＝2
3sin 8
2
4ππ=⎰
+
xdx 例5：计算
⎰-0
2cos πn dt dt
t
d 解：原式＝
n tdt n dt t n 4sin 2sin 0
20
==⎰⎰
π
π
三、计算分段函数的定积分
例6：设⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧≤-≤-+=其它,
010,101,1)(ππx x x x x f 计算⎰-11
)(dx x xf
解：原式＝
0)1()1(1
01
=-++⎰⎰
-dx x x dx x x
四、计算含有绝对值的函数的定积分
例7：计算
dx x x ⎰
-π0
53sin sin
解：x x x x x x cos sin )sin 1(sin sin sin 2
3
2
35
3
=-=- ，
在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
2,0π上，x x cos cos = ， 在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡ππ
,2上，x x cos cos -= ，于是
原式＝
⎰⎰
-+π
ππ
2
2
32
2
3)cos (sin cos sin dx x x xdx x
＝5
4sin 5
2sin 522
2
5
202
5
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡π
ππ
x x 在计算含有绝对值的函数的定积分时，应当根据该函数的正负值将积分区间分开。 例8：计算
dx x ⎰--311 解：原式＝dx x dx x ⎰
⎰-+--31
1111 ＝
4)1()1(31
11
=-+--⎰
⎰
-dx x dx x
五、利用变量代换简化计算
例9：计算
dx x a a ⎰
-0
22 ，（a ＞0）
解：设t a x sin =，列表 原式=dx x a a ⎰
-0
22
dt t a dt t t a ⎰⎰
==20
222
02cos cos cos π
π
4
)2cos 1(2
2
20
2
a
dt t a ππ
=
+=
⎰
例10：计算
dx x x ⎰
++40
1
22
解：设t x =+12，则2
1
2-=t x 列表
原式=dx x x ⎰++401
22dt t t t ⎰+-=312221
3
22
)3(21312=+=⎰dt t
例11：若)(x f 在[0，1]上连续，证明
⎰
⎰
=
π
π
π
)(sin 2)(sin dx x f dx x xf 由此计算
dx x
x
x ⎰
+π
2cos 1sin 。
证：设t x -=π，则dt dx -=于是
[]⎰⎰
---=0
)sin()()(sin π
πππdt t f t dx x xf
⎰⎰
⎰
-=-=
π
ππππ0
)(sin )(sin )(sin )(dt t tf dt t f dt t f t
⎰⎰-=π
ππ0
)(sin )(sin dx x xf dx x f
从而
⎰
⎰=
π
π
π
)(sin 2)(sin dx x f dx x xf
利用上述结论，即得
⎰⎰
+=+ππ
π020
2cos 1sin 2cos 1sin dx x
x
x dx x x x []π
π
ππ
002)(cos 2cos 1)(cos 2x arctg x x d -=+-=⎰ 4
)4
4
(22
ππ
π
π
=
-
-
-
=
例12：证明
⎰⎰
-=-1
1
)1()1(dx x x dx x x m n n m