南航金城信号与线性系统课后答案 第五章 连续系统的复频域分析习题解答

第五章 连续系统的复频域分析习题解答
5-1. 画出下列各序列的图形：。

)2()( )6( );()()( )5( );()()( )4(; 0 ,)2(30 ,2)( )3( );1()12()( )2( );2()( )1(16315324321k f k f k f k f k f k f k f k f k k k k f k k f k k k f k
k
-==+=⎩⎨⎧<+=++=+=-
εε
5-2 写出图示各序列的表达式。

解： )
6()3(2)()( )d ( )1()
1()( )c ()]6()3([2)( )b ( )]5()1()[1()( )a (41
321---+-=--=---=----=-k k
k k f k k f k k k f k k k k f k εεεεεεεε
5-3. 判断以下序列(A 、B 为正数)是否为周期序列，若是周期序列，试求其周
期。

)(sin )( )3( )( )
2( )8
73cos()( )1(08)(k k A k f e k f k B k f k
j εωπππ==-=-
解：; 14 , , 3
14)732( )1(=∴=T 且它为周期序列为有理数ππ
(a)
(b)
. , )( )3(;
, 16)812( )2(它为非周期序列为单边函数它为非周期序列为无理数∴∴=k f ππ
5-4.
解：)]1()1()([1)(1100
---+=k y b k f a k f a b k y 即：)1()()1()(1010-+=-+k f a k f a k y b k y b ，为一阶的。

5-5. 列写图示系统的差分方程，
指出其阶次。

解：)1()()2()1(
)(1021-+=----k f a k f a k y b k y b k y ，二阶的。

5-6. 如果在第k 个月初向银行存款x (k )元，月息为 ，每月利息不取出，试用
差分方程写出第k 个月初的本利和y (k )，设x (k ) 10元， 0.0018，y (0) 20元，求y (k )，若k 12，则y (12)为多少。

解：)()1()1()( )1()1()()(k x k y k y k y k x k y =-+-⇒-++=αα
元63.1415.5555)0018.1(5
.5575)12(5.5555)0018.1(5.5575)(5.55755.5555205.5555)0018.1()(5.5555)(5
.55510
100018.110 , 10)( ),0018.1()(0018.1 00018.1 10)1(0018.1)(121
11
00010=-=⇒-=⇒=⇒-=⇒-=⇒-=⇒-=⇒=⨯-===⇒=-⇒=-- y k y C C C k y k y A A A A k y C k y k y k y k k d
d k λλ
5-7. 设x (0)，f (k )和y (k )分别表示离散时间系统的初始状态、输入序列入和输
出序列，试判断以下各系统是否为线性时不变系统。

)
(8)0(6)( )4( )(8)0(6)( )3()()( )2( )672sin()()( )1(2 k f x k y k f k x k y i f k y k k f k y k
i +=+==+=∑-∞
=ππ
解：(1)满足齐次性和可加性，为线性系统，但显然不是时不变系统；
(2)累加和满足齐次性、可加性和时不变性，为线性时不变性系统； (3)不满足齐次性、可加性和时不变性，不是线性时不变性系统； (4)虽满足时不变性，但不满足齐次性、可加性，不是线性时不变性系统；
)
5-8 根据差分方程式写出下列系统的传输算子H (E )：
)
2(2)2()1()2()1(2)( )4()
(5)2(2)1()( )3()
3(3)2()2(2)( )2()2()1()2()1()( )1(211 -+-+-+---==-+-----=---+-+-+-=k f k f k f k y k y k y k f k y k y k y k f k f k y k y k f d k f c k by k ay k y
解：
.
1
22)( , 121)()4(; 2
5)()3( ; )2(3)()2(22212
2
2+-=+-+=+-=--=
E E E H E E E E H E E E E H E E E E H
5-9 画出用基本运算单元模拟下列离散时间系统的方框图，并画出对应的信号
流图：. 5
422)()2( ; )()2(5)1(3)()1(22
--+==-+-+E E E E E H k f k y k y k y 解：(1))1(5)(3)()(11---=--k y E k y E k f k y ，如下图所示。

(2)211
54122)(-----+=
E
E E E H ，如下图所示。

5-10 试求由下列差分方程描述的离散系统的响应：
0 , 0)( 2)2()2()( )4(0
, 0)( )1()(2)2()1()( )3(1)1( , 0)2( 0)2(2)1(2)( )2(1)1( , 2)2( 0)2(2)1(3)( )1(8
14
1
<=-+-=--<=-+=----=-=-=-+-+=-=-=-+-+k k y k k k y k y k k y k k k y k y k y y y k y k y k y y y k y k y k y δεε
解：(1) 其特征方程为：; 2 , 1023212-=-=⇒=++λλλλ
;
2 ,)2(12)1(5)( 1251)2()1(2)2()2()2()1()( 211
212
2121-≥---=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-=-+=-⇒-+-=--k k y C C C C y C C y C C k y k k k
k 故
∑ f (k )
y (k )
-3
-5
1/E
1/E
1
-3 1/E
-5
1
1 f (k y (k ) ∑
f (k )
y (k ) 4
5
1/E 1/E 2 ∑
x (k -2) x (k -1) x (k ) 2 (k ) x (k ) 1
1/E x (k -1) x (k -2)
1/E
2
2
4
5
1 y (k )
k e
e
k y C C e C e C C C e C e C e
C e
C C C k y k k k k
k k k
k
k
4
3cos
)2(2)()2()( 11)
()2(1)j j (5.0)()2(0 )
()2()j 1()j 1()( ; 1j 1 , 1j 1022 )2(4
3j
4
3j
2143j 243j 112123j 22
3j 124
3j
24
3j 121212πλλλλππ
π
πππππ-=+-=⇒⎩⎨⎧-=-=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧+=+-=+=⇒+=+-+--=+-=--=⇒=++------故 )
1(])()([)(])()([)( :
)
1(])()([)(
: )1()( , )
(])()([)( )()(0)()(0 )()()()( :
),()( : )(2)( , 0 :)( )3(58141151121325164115221345814115112132f 22516411522134f 1152234f 12
41f 2221f 1516141f 2121f 151651641f 221f 1f 1516114
1
221181412-+-+-++-+-=-+-+-=⇒-=+-+-=⇒⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-++=-++=⇒+-+===-==⇒=----------k k k y k k y k k f k k y C C C C C C k C C k y k k y k k f k k k k k k k
k k k d εεεεεεεελλλλ整个零状态响应为的零状态响应为对应于由时移性得其零状态响应为的特解为对应于此小题为零状态响应
)2(])1([)(])1([)( :
)
(])1([)( )2()2()1(0)1()1()1(0 )1()( : 2)( 1
,2)]2()2([ : , )( : 2)( )2(])1([)( : )2()( )
(])1([)( 01)1()(1 , 101 1)2( ,0)1( ,1)0()()2()( :)( )4(22
12124181872
418187f 28
1487324124324114324143f 2204110210210212222
121f 1121
212
1
2211212121212
--++++-+=++-+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+-+-+=-+-+-+=++-+=-=⇒==⇒-=-+--++=-=⇒--+=-=⇒-+=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧-=+=⇒-+=⇒-==⇒=-===⇒=------k k k k k y k k k k y C C C C C C k k C C k y k k f A A k k A k A k A k A k A k A k y k k f k k y k k f k k h C C C C C C C C k h h h h k k h k h k h k k k k d k k k
εεεεδελλλδ整个零状态响应为的零状态响应为将它代入原方程得的特解为的零状态响应为先求冲激响应
5-11 某离散时间系统的输入输出关系可由二阶常系数线性差分方程描述，且
已知该系统单位阶跃序列响应为)(]10)5(32[)(k k y k k ε++= . (1) 求此二阶差分方程；
(2) 若激励为)10(2)(2)(--=k k k f εε，求响应y (k ) . 解：(1)可设此二阶差分方程为：
)10(]10)5(32[2)(]10)5(32[2)( :
)2()2(111)1(85)(14)2(10)1(7)(111
85
141078939319012789393142789142714:4 ,3 ,2 ,1 ,0)2()1()()2(]10)5(32[ )
1(]10)5(32[)(]10)5(32[: ),2()1()()2()1()(101001201012010
1201012011212
01222011101201-++-++=-+--=-+--⇒⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=-===-=⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++++=++++=+++=+==-+-+=-+++-+++++-+-+=-+-+------k k k y k f k f k f k y k y k y b b b a a b b b a a b b b a a b b b a a b
b a b k k b k b k b k a k a k k f b k f b k f b k y a k y a k y k k k k k k k k k k εεεεεεεε由线性与时移性得得代入故得
5-12 求下列差分方程所描述的离散时间系统的单位序列响应：
)
()1()()( )4()3()2()()3()2(3)1(3)( )3()
(6)2(6)1(7)( )2()
2()2()( )1(10m k f b k f b k f b k y k f k f k f k y k y k y k y k f k y k y k y k f k y k y m -++-+=-+-+=-+-+-+=-+---=-+
解：(1) 1
j j 5.01j j 5.0111)(222++--=+=+=
--E E E E E E H )
(]1)6[(5
6)( 653615667667161)( )2()
1(2cos )1(2)1(sin ]
)[1(j 5.01
j j 5.01j j 5.0)( 1221)1(2j )1(2
j k k h E E E E E E E E E E H k k k k e e k E E k h k k k εεπ
επεπ
π-=⇒+++-=+-=+-=--=---=---=++--=+-----//
∑=-=⇒+++++=--++=--+--+=⇒+++-=+-+-+=+++++=+++++=----------m
i i i k b k h E
b E
b E b b E H k k k k k k k k k k h E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E H m
m k k k 0
)
()()()4()
1()1)(5(21)( )
(])1)(1(2
1)1(3[)()( )1(1)1(31)1(]1)1(3[)1( )
133(133111)( )3(2
21
10213
2
3323
332132δεδεδ
5-13 求下列序列的卷积和：
(1))()(k k εε*；(2))()(5.0k k k εε*；(3))(3)(2k k k k εε* ；(4))1()(-*k k k δε . 解：(1) )()1()()(k k k k εεε+=*；
(2) )()5.02()()]5.01()5.01[()()(5.01k k k k k k k εεεε-=--=*+； (3) )()23()()]32()32[()(3)(21111k k k k k k k k k k εεεε++++-=--=*；
(4) )1()1()1()(--=-*k k k k k εδε
5-14 图示离散系统由两个子系统级联组成。

若描述两个子系统的差分方程为：
)2()1(3)( )1(6.0)(4.0)(-+-=-+=k x k y k y k f k f k x
试分别求出两个子系统及整个系统的单位序列响应。

解：; )1(6.0)(4.0)(6.04.0)(111-+=⇒+=-k k k h E E H δδ
.
)3()3(6.0)1(3
2.0)2(2.0)1()3(32.0)(3/2.02.033/2.0)3(6.04.0)3(6.04.0)()()(;
)1()3
13()1(31)1()3(31)(3/133/1)3(131)(312
2
1
21212122-=-----=⇒---=-+=-+==--=---=⇒--=-=-=-------k k k k k h E E E E E E E E E E H E H E H k k k k h E
E E E E E E H k k k k εδδεεεε 5-15 离散时间信号如图所示，试求下列卷积和，并画出
f (k ) y () H 1 H 2
x (k ) -2 f 1(k )
-1 0 1 2 1
-2
f 2(k ) -1 0 1
-3 f 3(k ) -1 0 1
2 3
解：(1)方法一(单位序列卷积法)：
即利用 (k K 1)* (k K 2) (k K 1 K 2)： )
4()3(2)2()1()2(2)3( )()()()()( :)3()2(3)1(4)(4)1(4)2(3)3( )
()()]3()2([)]1()(2)1([)]
2()1()()1()2([)]1()(2)1([21212121------+++++=--=---+-+-+++++++=--+-+++=-+-+++++-+++=k k k k k k k f k f K K k K k K k k k k k k k k k f k f k k k k k k k k k k k k k εεεεεεεεδδδδδδδεεδδδδδδδδδδδδ****利用方法二*
两方法所得结果本质上一致。

k k f 3(k ) f 2(k ) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0
1 1 1 1 1 0 0 … -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 3 3 3 3 0 0 1
2 0 2 2 2 2 2 0 0 2 1 0 1 1 1 1 1 0 0
3 0 0 0 0 0 0 0 0 0
图示对角线[第一条对角线对应的k = (-3) + (-1) = -4，以此递增]上各元素的代数和即为y (k )=f 2(k )*f 3(k )的各序列值： k -4 -3 -2 -1 0 1 2
3 4 5 … y (k ) 0 0 3 5 6 6
6
3
1 0
(3)方法一(单位序列卷积法)：
)
4()3(2)2(2)1(2)(2)1(2)2(3 )()]()([)]
2()1(2)(3[)]2()()2([312-+-+-+---+++=--+-+-+-+=k k k k k k k k f k f k f k k k k k k δδδδδδδδδδδδδ**
方法四：图解法，其图解过程如下列各图：
-2
f 1(k )*f 2(k )
-1 0 1
4
3 3 1
4 -4 4
-2 f 2(τ)–f 1(τ)
τ-1
0 1 2 3 4 1 -3
1 -1 -
2 f 3(–τ)
τ-1 0 1
2 3
-3
-4 k =0 -2 f 3(–ττ-1 0 1 2 3
-3 -4 k = -1
-2 f 3(–τ) τ-1 0 1
2 3
-3 -4 k = -2
-2
f 2(k )*f 3(k ) -1 0 6
3 3
5 -4
6 6 1
因此，…，, 202)1( , 3)2( , 0)3(=+=-=-=-y y y
, 0)5( , 1)4( , 2)3(,
231)2( , 2)1( , 231)0(====+-=-=-=-=y y y y y y
5-16 已知系统的单位序列响应h (k )和激励f (k )如下，试求各系统的零状态响应
y f (k )，并画出其图形：
)()( , )()( )4( )(])()(2[)( , )()()( )3()3()()( , )()( )2( )4()()()( )1(4
12121k k h k k f k k h k k f k k k h k k f k k k h k f k k k εεεεδδεεε==-==--==--==
解：)]4()([*)]4()([)( )1(----=k k k k k y f εεεε
)
()1()(*)()( )4()(])()([)()()()())(1(2 )
(])()(2[*)]()[()( )3()
3()()]3()([*)()( )2()8()7()4()3(2)()1( 411214
1
211
411212
1412121k k k k k y k k k k k k k k y k k k k k k y k k k k k k f k k k k k k
k k f f εεεεεεεεεεδδεεεε+==+=---+=-=--=--=--+---+=+++
5-17 一个离散系统当激励f (k ) (t )时的零状态响应为2(1-0.5k ) (t )，求当激
励为时f (k ) 0.5k (t )的零状态响应。

解：根据传输算子简单分式与时域响应的对应关系有：
5
.01
5.0)
1(2215.0212)()
()()5.01(25
.0212 );()(1)()(1
1-=---=-
---=∴=-↔---=↔-E E E E E E E E E E H k y k E E E E k f k E E f k ε
ε
)()(5.0 )5.0()5.0(5.01 5.0 )(5.0212
k y k k E E E E E E E k f k k =↔-=--⇒-↔-εε又
-1 -3 f -1
-1 -1 (1) y -1 (2) y f (k )
-1 (3) y -1 (4)
5-18 求下列差分方程所描述系统的单位序列响应h (k )
)()(41)1()2( )2()
()1()2(22)3( )1(k f k y k y k y k f k y k y k y =++-+=+++-+
解：)
12)(12(1221)( )1(2
3+---=+-=E E E E E E E H )
1(])12()12[(5.0)1()
1()
12(2)12()1()12(2)12()1()( 1
21)12(21121)12(211221
1][][---++-=---+-+++-=+-----++=----k k k k k k h E E E k k k k εδεεδ故
)1(5.0)1()( )
5.0(125.01)( )2(22
2
--=⇒-=+-=
-k k k h E E E E H k ε 5-19 图示系统由几个子系统组成，它们的单位序列响应分别为h 1(k ) (k )，
h 2(k ) (k 3)，h 3(k ) (0.8)k (k )。

试证明图(a)和图(b)互相等效，并求出系统的单位序列响应h (k )。

解：
)3(])8.0(1[5)(])8.0(1[5)()1](8.0415[)1()8.0)(1(8.011)(,
8
.0)( , )( , 1)()()()](1)[()()()](1)[()(:213333*********b a ----=⇒----=---=---=-==-=≅=-=-=-+----k k k h E E E E E E E E E E E E E H E E E H E E H E E E H E H E H E H E H E H E H E H E H E H k k εε 证
5-20 设离散系统的传输算子为2
3)(22+++=
E E E E E H ，激励为零时初始值
y (0) 1，y (1) 4，激励为)()2()(k k f k ε-=， (1) 画出系统的信号流图；
(2) 求系统的零输入响应y x (k )、零状态响应y f (k )及全响应y (k )。

解：(1) )
()231()
()1()()()(211k x E E k x E E H k f k y f ---+++==
k )
(a)
k )
(b)
⎩⎨
⎧----=-+=)2(2)1(3)()()
1()()(k x k x k f k x k x k x k y f 故得系统的信号流图如右图。

, )2)(2()1(2)()()()()2)(1()]()2[(*)]()2[()(*)()()
()2()(2
)( 0 , )2(3)1(2)( 32)2()1(4)
2()1(1)2()1()( ,
2 , 102
3 : )2(x x x 211
2
110
20121212≥--+-=+=⇒-+=--==⇒-=⇒+=
≥---=⇒⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+-=-+-=-⇒-+-=⇒-=-=⇒=++k k k y k y k y k k k k k f k h k y k k h E E E H k k y C C C C C C C C k y k k f k k k f k k k k
k
εεεελλλλ特征方程为
f
)。