一个有趣的小学数学游戏

碰到一个数学游戏：有9根火柴，两人轮流取，每次可取1根或2根或3根，火柴取完后，取得总数为偶数者胜。

在把这个问题搞清楚后（这个问题是后手必胜），我在想，能不能研究一般情况？即对任意多根火柴，应该如何研究？结论如何？为此，进行了如下研究：

定义两个符合A（i）和B（i）分别用来表示对于i根火柴而言，先手最后能否取得奇数根和偶数根，具体的说，如果对于i根火柴，按上述要求取，先手有办法保证最后能取得奇数根，则A（i）=1，反之，A（i）=0，而如果对于i根火柴，按上述要求取，先手有办法保证最后能取得偶数根，则B（i）=1，反之，B（i）=0。

显然有：

A（1）=1B（1）=0即对1根，先手可以保证取得奇数根，但不能取到偶数根。

A（2）=1B（2）=1即对2根，先手可以保证取得奇数根（取1），也能取到偶数根（取2）

A（3）=1B（3）=1即对2根，先手可以保证取得奇数根（取3），也能取到偶数根（取2）

对于4根而言，先手取掉一轮后，根据所取根数不同，总会变成1根或2根或3根的状态，先手4根想取得奇数根，必须在这三种状态中找到一种使对方取不到偶数的状态。由B（1）=0知，这种状态是存在的，于是先手四根只要取掉三根，对手面临1根的情况，而B（1）=0，这种状态下对方无法取得偶数，从而先手4根必可取得奇数根，即A（4）=1。下面考虑B（4），即先手4根能否取到偶数，取决于对手能否取得奇数，同样，先手四根取一轮后，也会变成1根或2根或3根的情况，而A（1）A（2）A（3）均取1，无论先手四根变成取1或2或3，后手均可取得奇数根，这样先手四根也只能取奇数根，于是B（4）=0。

以上分析对于i是偶数的情况是通用的，即对于任意大于2的偶数i，如果B（i-1），B（i-2），B（i-3）中有一个取0，那么A(i)=1，否则，A（i）=0.而对于任意大于2的偶数i，如果A （i-1），A（i-2），A（i-3）中有一个取0，那么B(i)=1，否则，B（i）=0.

我们可以分析一下A（5）的情况，先手取一轮后，必变成2根或3根或4根的情况，由于5是奇数，先手要想取到奇数根，必让对手取不到奇数根，而A（2），A（3），A（4）均等于1，即无论先手5将局面变成哪种情况，后手都可以取到奇数根，从而先手5不能保证取到奇数根，即A（5）=0。同样的分析，B（5）=1

以上分析对于所有的奇数是通用的。即对于任意大于3的奇数i，如果A（i-1），A（i-2），A （i-3）中有一个取0，则A(i)=1，否则，A（i）=0。而对于任意大于3的奇数i，如果B（i-1），B（i-2），B（i-3）中有一个取0，那么B(i)=1，否则，B（i）=0.

有了以上分析，不难得出以下结论：

A（1）=1B（1）=0

A（2）=1B（2）=1

A（3）=1B（3）=1

A（4）=1B（4）=0

A（5）=0B（5）=1

A（6）=1B（6）=1

A（7）=1B（7）=1

A（8）=0B（8）=1

A（9）=1B（9）=0（这个结论就表示对9根而言，先手无法保证取到偶数，即原题中后手胜）继续往下写，可以发现，以上取值情况以8为周期循环。这样，这个问题就得到了解决。