函数解析式,定义域,值域的求法

函 数

1:设,A B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的 ，在集合B 中都有 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记做

2:对于函数(),y f x x A =∈，其中x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做 ；与x 的值相对应的y 值叫做 ，函数值的集合{}()|f x x A ∈叫做函数的 3：函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。4:函数的表示法有 、 、 .

5:在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫 ,它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

函数解析式的四种求法：

（1）：换元法 （2）：配凑法

（3）：待定系数法 （4）：构造方程组法

1：确定下列函数的解析式

（1） 已知1)(2+=x x f ，求)1(+x f

（2） 已知11)1(2++=+）（x x f ，求)(x f

（3）（换元法，配凑法）已知23)1(2++=+x x x f ，求()f x

(4)(配凑法):已知2211()f x x x x

+=+,求()f x (5) (待定系数法)设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f

(6)（构造方程组法）已知12()()f f x x x

+=，求()f x

2：求下列函数的定义域

1：21()3

f x x =- 2

：y = 3

：y = 4

：()f x =5：()0

1()x f x x x +=- 6：2(0)()2(01)(14)x x f x x x x ⎧-<⎪=≤<⎨⎪-≤≤⎩ 7： 1122---=x x y

1.函数值域的求法:

①直接法：利用常见函数的值域来求.

②配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式；

③分式转化法（或改为“分离常数法”）

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想

⑤利用某些函数的有界性：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如)0(>+

=k x k x y ，利用均值不等式公式或单调性来求值域；

⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域. 2.确定函数的值域的原则：定义域优先原则

3：求下列函数的值域：

1： )322R x x x y ∈-+=（ 2：]2,1[,322∈-+=x x x y 3 113+-=x x y 4：1

222+-=x x y 5： 5212+-=

x x y 6： 542++-=x x y

7： x x y 21--= 8：()212log 45y x x =-+

9：2sin 3sin 4y x x =-+ 10： 1

sin 21sin 2-+=x x y

11： sin 1cos 2x y x +=

+ 12：1y x x =+(0)x >

两个函数相等的条件：定义域和对应法则相同

4：判断下列各组中的两个函数是否是同一函数

1．3)5)(3(1+-+=

x x x y 52-=x y 2。 111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y

3。 x x f =)( 2)(x x g =

4．x x f =)( 33)(x x g =

5．21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f

一：选择题

1．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）

A ．1

B ．0

C ．0或1

D ．1或2

2．已知函数(3)(0)()(3)(0)x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩

，则(2)f -=（ ） （A ）－2 （B ）10 （C ） 2 （D ） －10

3．已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩

，若()3f x =，则x 的值是（ ）

A ．1

B ．1或32

C ．1，32

或 D

4．函数f (x )＝⎩⎨⎧

2e x －1，x <2，log 3(x 2－1)，x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( ) A ．(－2,4)

B ．(－4，－2)∪(－1,2)

C ．(1,2)∪(10，＋∞)

D ．(10，＋∞)

二：填空题

1：已知2(1)231f x x x -=++，则()f x = 。

2：已知2(2)2f x x x +=-+，则()f x = 。

3：已知2(21)31f x x x +=++，则()f x = 。

4．已知函数()f x 满足22()3()f x f x x x +-=+，则()f x = ．

5（分段函数）．设函数()f x =1

21(0)2(0)x x x x ⎧+>⎪⎨≤⎪⎩，则[](2)f f -= ________． 6（分段函数）．若函数234(0)()(0)0(0)x x f x x x π⎧->⎪==⎨⎪<⎩

，则((0))f f = ．

7（分段函数）．函数⎩⎨⎧>-≤+=)

0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =,则x = 。 8（换元法）：函数x x y 21-+=的值域是 。