15讲-狄拉克符号连续谱

2 2
Q lˆ 2 = lˆx2 + lˆy2 + lˆz2
2 2 2 2
wenku.baidu.com
∴ 2l x2 =< lm | lˆ 2 − lˆz2 | lm > = [l (l + 1)h − m h ] < lm | lm >= [l (l + 1)h − m h ]
2 ∴ l x2 = l y = [l (l + 1)h 2 − m 2 h 2 ] 2
1 11 2 10 3 1−1 z
表象中，lˆx的矩阵表示为 0 1 0 h Lx = 1 0 1 2 0 1 0 ˆ 2 , lˆ )表象中(lˆ 2 , lˆ )的共同本征函数φ。 求(l z x
15
例题3(1) 例题
【解】 设lˆx的本征值为λh，则本征方程为lˆxφ = λhφ , Lx a = λha ˆ 2 , lˆ )表象中的矩阵表示， 其中，a = (ak )是φ在(l z 表示成矩阵的形式
6
例题1 二、算符向左作用及应用(2) 例题 算符向左作用及应用 r ˆ ˆr ˆr ˆr 1、角动量算符l = l e + l e + l e , 证明：在lˆ 的
x x y y z z z
任何一个本征态下，lˆx 和lˆy的平均值都为0. 【证】lˆz的本征态为 | m >, 且lˆz | m >= mh | m >, < m | lˆ = mh < m |,Q ihlˆ = lˆ lˆ − lˆ lˆ ,
17
例题3 例题 (2)
例题3(3) 例题
−λ 1 2 0 −λ 1 0 2 1 0 −λ 0 1 2 −λ 1 2 1 2 −λ 2 1 a1 1 2 a 2 = 0 → 久期方程 − λ a 3 0 0 2 = 0 → −λ −λ 1 2 −λ 1 −λ 2 1 2 −λ +
k k k k
5
二、算符向左作用及应用(1) 算符向左作用及应用
) L | ϕ >= λ | ϕ >, → ) < ϕ | L | ϕ >=< ϕ | λ | ϕ > → ) < ϕ | L =< ϕ | λ → ˆ <ϕ | L = λ <ϕ |
左矢<ϕ|和右矢|ϕ > 可以作为独立的个体参与运算.
z x y z z y
∴ ihl x = ih < m | lˆx | m >=< m | lˆy lˆz − lˆz lˆy | m > =< m | lˆy lˆz | m > − < m | lˆz lˆy | m > =< m | lˆy mh | m > −mh < m | lˆy | m > = mh < m | lˆy | m > −mh < m | lˆy | m >= 0
11
三、连续谱下的狄拉克符号(3) 连续谱下的狄拉克符号
3、正交归一的表示 < 离散谱本征态:| ψ k >=| k > ， k | j >= δ kj , 连续谱:δ ( x − x′) =| x′ > 则 < x′′ | x′ >= ? < x′′ | x′ >= ∫ δ ( x − x′′)δ ( x − x′)dx
量子力学
光电子学科与工程学院 刘劲松 第十五讲 狄拉克符号－ 狄拉克符号－连续谱
1
目录 一、投影算符的意义 二、算符向左作用及应用 三、连续谱下的狄拉克符号 四、例题
2
| ψ >→ 量子态， k >→ 基矢 →| ψ >= ∑ a k | k > |
k
一、投影算符的意义(1)
其中 a k =< k | ψ > 代入 | ψ >= ∑ a k | k > 中，
*
| x ′ >= δ ( x ′′ − x ′), x ′′ → 自变量， x ′ → 常量 ∴< x | x ′ >= ∫ d x ′′δ ( x ′′ − x )δ ( x ′′ − x ′) = δ ( x − x ′)
14
例题3 例题
ˆ 2 , lˆ )的共同本征函数。当l = 1时， Ylm (θ , ϕ )是(l z m = 1,0,−1, 得到一组正交完备基矢(ψ k ), k = 1,2,3, ˆ 2 , lˆ ) 其中，ψ = Y ,ψ = Y ,ψ = Y 。已知在(l
19
例题3(5) 例题
2 2
∴ a1 = a3 = 1
2
2 a2
2
Q| a1 | + | a 2 | + | a3 | = 1 → 2 | a 2 | = 1 取 a k 为实数，则 a 2 = 1 2 ,∴ a1 = a3 = 1 2 ∴ 对 λ1 = 1, φ1 = a1ψ 1 + a 2ψ 2 + a3ψ 3 1 1 1 = Y11 + Y10 + Y1−1 2 2 2 12 或者，对 λ1 = 1， a = 1 2 12
*
∴ψ ( x) =< x | ψ >= ∫ dx′δ ( x′ − x)ψ ( x′) = ψ ( x) ∴ x表象中任意态矢ψ 可以表示为ψ ( x) =< x | ψ >
13
三、连续谱下的狄拉克符号(5) 连续谱下的狄拉克符号 5、 x 表象中本征矢 δ ( x − x ′)的表示
ˆ 已知 δ ( x − x ′) 代表 x 表象中 x 的属于本征值 x ′ 的本征态，记为 ψ x ′ ( x ) = δ ( x − x ′), 则 ψ x ′ ( x ) = δ ( x − x ′) =< x | x ′ > Q< x |= δ ( x ′′ − x ) = δ ( x ′′ − x ), 其中， x ′′ → 自变量， x → 常量
k
有 | ψ >= ∑ < k | ψ > | k >= ∑ | k >< k | ψ > →
k k
∑ | k >< k |= I
k
或 ∑ Pk = I → 称为本征矢 | k > 的
k
封闭性，其中， Pk =| k >< K |→ 投影算符 → Pk | ψ >=| k >< k | ψ >=| k > a k = a k | k > ∴ Pk的作用是将 | ψ > 在 | k > 方向上的分量挑选出来
9
三、连续谱下的狄拉克符号(1) 连续谱下的狄拉克符号
1、定义 | ψ >→ 右矢 → 代表量子态ψ ； < ψ |→ 左矢 → 量子态ψ 的共轭态ψ 对离散谱本征态，有 | ψ k >→| k > ， k | j >= δ kj , < 对连续谱，将如何表示？
10
*
三、连续谱下的狄拉克符号(2) 连续谱下的狄拉克符号
ˆ 2、x表象中x的本征态与本征方程 Q xδ ( x) = 0 → ( x − x′)δ ( x − x′) = 0 ∴ xδ ( x − x′) = x′δ ( x − x′) → δ ( x − x′) ˆ 代表x表象中x的属于本征值x′的本征态 Q| ψ k >=| k > ， δ ( x − x′) =| x′ > ∴ ˆ 这样本征方程为x | x′ >= x′ | x′ >
8
例题2(2) 二、算符向左作用及应用(4) 例题 算符向左作用及应用
∴ ih(lˆx2 − lˆy2 ) = lˆy lˆx lˆz − lˆz lˆy lˆx ∴ ih(lˆx2 − lˆy2 ) =< lm | lˆy lˆxlˆz − lˆz lˆy lˆx | lm > =< lm | lˆy lˆx lˆz | lm > − < lm | lˆz lˆy lˆx | lm > = mh < lm | lˆy lˆx | lm > −mh < lm | lˆy lˆx | lm >= 0 ∴ l x2 = lˆy2
j
4
k
k
j
k
j
k
k
k
r r r 矢量 B = b1e1 + b2 e2 + K = ∑ bk ek
k k
一、投影算符的意义(3) r
r 矢 量 B和 态 矢 |ψ > 之间的 对应关系
态矢 | ψ >= a1ψ 1 + a2ψ 2 = ∑ ak | k >
r r r B ↔| ψ >; bk = ek ⋅ B ↔ ak =< k | ψ >; t r r r ek ↔ | k >; Pk ⋅ B = bk ek ↔ Pk | ψ >= ak | k >; t rr Pk = ek ek ↔ Pk =| k >< k |; t r rr ∑ ek ek = ∑ Pk = I ↔ ∑ | k >< k | = ∑ Pk = I
2 2 z x y z z y
及ihlˆy = lˆz lˆx − lˆxlˆz → lˆz lˆx = lˆx lˆz + ihlˆy ˆ 2 = (lˆ lˆ − lˆ lˆ )lˆ = lˆ lˆ lˆ − lˆ lˆ lˆ ∴ ihl x y z z y x y z x z y x ˆ (lˆ lˆ + ihlˆ ) − lˆ lˆ lˆ = ihlˆ 2 + lˆ lˆ lˆ − lˆ lˆ lˆ = ly x z y z y x y y x z z y x ∴ ih(lˆx2 − lˆy2 ) = lˆy lˆxlˆz − lˆz lˆy lˆx
*
= δ ( x′′ − x′)
12
三、连续谱下的狄拉克符号(4) 连续谱下的狄拉克符号
4、x表象中任意态矢ψ 的表示 离散谱，ψ 用列向量a = (ak）表示，ak =< k | ψ > 对连续谱，ψ 用x的函数来表示， ψ ( x) =< x | ψ > ∴ Q< x |= δ ( x′ − x) = δ ( x′ − x), 视：x′ →自变量，x → 常量
λ
−λ −λ −λ 1 2
=0→
− 2 λ ( λ 2 − 1 2 ) + λ 3 = 0 → λ ( λ 2 − 1) = 0
18
例题3(4) 例题
λ (λ2 − 1) = 0 → λ1 = 1, λ2 = 0, λ3 = −1
−λ 1 2 0 a1 λ1 = 1 → 1 2 − λ 1 2 a2 = 0 0 1 2 − λ a3 −1 1 2 − a1 + 1 2 a2 = 0 0 a1 1 2 − 1 1 2 a2 = 0 → 1 2a −a =0 0 1 2 − 1 a3 2 3 ∴ a1 = a3 = 1 2 a2
7
例题2 二、算符向左作用及应用(3) 例题 (1) 算符向左作用及应用
2、lm > 为(lˆ 2 , lˆz )的共同本征态，证明lˆx2和lˆy2的 | 平均值都为[l (l + 1) − m ]h 2。 ˆ 2 | lm >= l (l + 1)h 2 | lm >, lˆ | m >= mh | m >, 【证】l z < m | lˆ = mh < m |,Q ihlˆ = lˆ lˆ − lˆ lˆ
3
r r r 在直角坐标中，矢量 A = a1e1 + a 2 e2 + K = ∑ a k ek r r r r r r a k = ek ⋅ A = ek ⋅ ∑ a k e k = ek ⋅ ∑ a j e j
k j k
一、投影算符的意义(2) r
r r r r r r r r A = ∑ a k ek = ∑ e k ⋅ ∑ a j e j ek = ∑ e k e k ⋅ ∑ a j e j t r t r r r r r r r = ∑ ek ek ⋅ A → ∴ ∑ ek ek = ∑ Pk = I →Pk = ek ek → r r 并矢 , 作用是将 A 在 ek 方向上的分量挑选出来 : t r r r t r r r Pk ⋅ A = ek ek .∑ a j e j = ek a k = a k ek ,∴ Pk → 投影算符
3
亦即φ＝∑ akψ k = a1ψ 1 + a2ψ 2 + a3ψ 3
k =1
其中，ψ 1 = Y11 ,ψ 2 = Y10 ,ψ 3 = Y1−1. 对矩阵方程 Lx a = λha →
16
0 1 0 h 对矩阵方程 Lx a = λ ha， Lx = Q 1 0 1 2 0 1 0 0 1 0 a1 a1 h ∴ 1 0 1 a 2 = λ h a 2 → 2 a 0 1 0 a 3 3 −λ 1 2 0 a1 1 2 − λ 1 2 a 2 = 0 0 1 2 − λ a 3