高三数学复数人教版

高三数学复数人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

复数

二. 重点、难点：

1. 复数三种形式

（1）代数式bi a +（a 、R b ∈）

（2）点的形式),(b a Z

（3）向量表示（O 为原点）

2. i d b c a di c bi a )()()()(±+±=+±+

i ad bc bd ac di c bi a )()()()(+++=+⋅+

2

2)()()(d c i ad bc bd ac di c bi a +-++=++ 3. 14=n i ，i i

n =+14，124-=+n i ，i i n -=+34 4. 方程02=++c bx ax （0≠a ，a 、b 、R c ∈）

（1）0>∆，有两实根a

b 2∆±- （2）0=∆，有两相等实根a

b 2- （3）0<∆，有两虚根a

i b 2||∆±- （4）a b x x -=+21，a

c x x =⋅21

【典型例题】

[例1] )23()232(22+-+--=m m m m z i ，R m ∈

（1）m 为何值时，z 为实数

（2）m 为何值时，z 为虚数

（3）m 为何值时，z 为纯虚数

解：

（1）10232

=⇒=+-m m m 或2=m

（2）0232≠+-m m ),2()2,1()1,(∞+⋃⋃-∞∈⇒m

（3）21023023222-=⇒⎪⎩⎪⎨⎧≠+-=--m m m m m

[例2] 以下四个结论

（1）任意两个复数不能比大小

（2）02

≥⇒∈z C z

（3）若021>-z z 21z z >⇒

（4）复数c a di c bi a =⇒+=+且d b =

错误的是 。

（1）（2）（3）（4）

[例3] 1

1)(22+++-==x x x x x f y ，求)1(i f -。 解：132313)32(321)1()1(1)1()1()1(22i i i i

i i i i i i f -=+-=--=+++++---=-

[例4] 若24)40()1(22=-+++i y xy i x ，x 、R y ∈，求x 、y 。

解：0)40()24(22=-++-+i y xy xy x

∴ ⎩

⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+5304002422y x y xy xy x 或⎩⎨⎧-=-=53y x

[例5] θθcos 2sin 1i z +=，θθsin 3cos 2i z +=，其中),0(πθ∈，若021=-z z ，求θ。 解：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==23

cos 21sin sin 3cos cos 2sin θθθθθθ 6πθ=

[例6] 1z 、2z 在复平面上的对应点1z 、2z 关于原点成中心对称，且-=-+2212)2(3z i z z i z )1(1+，求1z 、2z 。

解：设bi a z +=1，（a 、R b ∈） ∴ 12z bi a z -=--=

代入i z z i z z )1(2)2(31111+--=--+

i z 511= i z 5

12-=

[例7] 求i 247+的平方根。

解：设i 247+的平方根为bi a +（a 、R b ∈）

∴ i abi b a bi a 2472)(2

22+=+-=+ ∴ ⎩⎨⎧==-24

2722ab b a ∴ ⎩⎨⎧==34b a 或⎩⎨⎧-=-=3

4b a ∴ 平方根为)34(i +±

[例8] 求1的立方虚根。 解：13=x ，013

=-x 0)1)(1(2=++-x x x 2

312||1i i x ±-=∆±-=

[例9] 1≠ω，13=ω，求32302ωωω+++ 的值。

解：原式ω)28252219161310741(+++++++++=

2)29262320171411852(ω++++++++++

323165155145)30963(ωωωω++=++++

（1）i 2

321+-

=ω时 原式i i i 3515165)232

1(155)2321(145-=+--++-= （2）i 2

321--=ω 原式i i i 3515165)2

321(155)2321(145+=++-+--= [例10] x 、0≠y 且022=++y xy x ，求20052005)()(

y x y y x x +++的值。 解：022=++y xy x 01)(2

=++y x y x

ω=±-=i y x 2321 原式20052005)()(

y

x y y x x +++=20052005])1([])1([y y y y ωωω+++= 20052005)11()1(ω

ωω+++= 注：1)1(3-=+ω （1）i 2321+-

=ω 原式1)

1()1(1)1()1()11()1(66866820052005=+-++-=+++=ωωωωωω （2）i 2321+-

=ω 原式1)

1()1(1)

1()1(668668=+-++-=ωωω

∴ 1)()(20052005=+++y x y y x x

[例11] 解方程035)32(2=+++-i x i x 。

解：令bi a x +=（a 、R b ∈）

035])23()32[(222=++++--+-i i b a b a abi b a

∴ ⎩⎨⎧=++-=+---0

3)23(205)32(22b a ab b a b a ⎩⎨⎧==⇒41b a 或⎩⎨⎧-==11b a 另解25)35(4)32(2-=+-+=∆i i

平方根为i 5±

∴ 2

5)32(i i x ±+=