二随机变量及其分布

2



1


5 3

6 10
3 2
P{ X

2}


1



2


5 3

3 10
定义1 ：某些随机变量X的所有可能取值是有限多 个或可列无限多个, 这种随机变量称为离散型随机 变量 .
定义2 ：设 xk (k=1,2, …) 是离散型随机变量 X 所 取的一切可能值，称
用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数， 则
P{ X

k}


n k
pk
1
p nk
k 0,1,
,n
易证：（1）P( X k) 0
n
（2） P( X k) 1
k 0
称 r.v. X 服从参数为n和p的二项分布，记作
X~b(n,p)
例 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回 地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2 个次品的概率.
例
将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三 次投掷中，出现H的总次数，而对H，T出现的 顺序不关心。以X记三次投掷中出现H的总次 数，那么，对样本空间S={e}中的每一个样本 点e，X都有一个值与之对应，即有
样本点 HHH THH HHT HTH HTT THT TTH TTT
X的值 3 2
2 2 1 1 10
而表示随机变量所取的值时, 一般采用小写字母 x, y, z, w, n 等.
随机变量的取值具有随机性。 随机变量的值 落在某一给定的范围，就构成了一个随机事件。
如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数 用X表示，它是一个随机变量.
{ X 1} {收到不少于1次呼叫}
{X= 0} {没有收到呼叫}
结果：A 或 A .
掷骰子：“掷出4点”，“未掷出4点” 抽验产品：“是正品”，“是次品”

这样的试验E称为伯努利试验 .
将伯努利试验E独立地重复地进行n次 , 则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验 .
“重复”是指这 n 次试验中P(A)= p 保持不变.
“独立”是指各 次试验的结果互不影响 .
P(
X
3)P(

A1
A2
A3)(1
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p)2p
可见X的分布律为 P(X k)(1 p)k1p
k1,2,
三、三种常见分布
1、（0-1）分布：（也称两点分布） 随机变量X只可能取0与1两个值，其分布律为：
PX k pk 1 p 1k , k 0,1 0 p 1
从一批产品中抽取10件，考察其 中的次品数；

2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但 我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就 是说，把试验结果数值化.
例如，在考察产品检查结果时，记正品为 1，次品为0；
又如，在考察天气状况时，记晴天为1， 阴天为2；雨天为3.
例
将一枚均匀硬币抛掷3次。我们感兴趣的是三 次投掷中，出现H的总次数，而对H，T出现的 顺序不关心。以X记三次投掷中出现H的总次 数，那么，对样本空间S={e}中的每一个样本 点e，X都有一个值与之对应，即有
2
2
15 15 5
例 某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知 他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的分布律.
解: 显然，X 可能取的值是1,2,… ，
为计算 P{X =k }， k = 1,2, …，
设 Ak = {第k发命中}，k =1, 2, …，
于是 P{X=1}=P(A1)=p,
P(X 2)P( A1A2 )(1 p)p
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，人们往往只关心随机试验的结 果的某一方面的数量特征，于是将随机试验结果与 数量联系起来，由此就产生了随机变量的概念.
1、有些试验结果本身具有某种数量特征. 例如，掷一颗骰子面上出现的点数；
每天进入一号楼的人数； 昆虫的产卵数；
七月份厦门的最高温度； 随机选一名班级同学，考察其数 学课成绩；
解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验 的条件完全相同且独立，它是3重伯努利试验.
依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.
设X为所取的3个中的次品数， 则 X ~ b(3,0.05)，
于是，所求概率为：
P(X 2)C32 (0.05)2 (0.95) 0.007125
样本点 HHH THH HHT HTH HTT THT TTH TTT
X的值 3 2
2 2 1 1 10
这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值 单值函数.
e.
s
X(e) R
称这种定义在样本空间S上的实值单值函数X= X(e) 为
简记为 r.v.
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z,W,N 等表示
第二节 离散型随机变量及其 分布律
一、离散型随机变量分布律的定义
看一个例子 从中任取3 个球
取到的白球数X是一个随机变量 .
(1) X 可能取的值是0,1,2 ;
(2) 取每个值的概率为:
P{ X

0}
3

3


5 3

1 10
3 2
P{ X

1}


xk
pk
p1 p2
pk
例: 设随机变量 X 具有分布律
P( X k) ak, k 1, 2, 3, 4, 5
（1）确定常数
a
,（2）计算
P(
1 2

X

5) 2
.
解（1）由分布律的性质,得
5
P(X k)
5
56
ak a 1
从而
a 1
.
k 1
k 1
2
15
(2) P( 1 X 5 ) P( X 1) P( X 2) 1 2 1
或
X
~
0 1
p
1 p
2.伯努利试验和二项分布 看一个试验 将一枚均匀骰子抛掷3次.
令X 表示3次中出现“4”点的次数
X的分布律是：
P{ X

k}


3
k


1 6
k

5 6
3k
,k

0,1, 2,3.
一般地，设在一次试验E中我们只考虑两个互逆的
P{ X xk } pk , k 1, 2,
为离散型随机变量 X 的分布律.
其中 pk (k=1,2, …) 满足：
（1） pk 0,
（2） pk 1
k
k=1,2, …
二、离散型随机变量表示方法
（1）公式法
P{ X xk } pk ,k 1, 2,
（2）列表法
X
x1 x2