初中数学知识点:轴对称
《高效速记:初中数学必考公式定律与知识梳理》 第13章 轴对称

第13章轴对称0 0D / 高效速记︓初中数学必考公式定律与知识梳理 -@44 D/D/6>D>D/-@>% )一轴对称1.轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫作轴对称图形,这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线(或轴)对称.2.轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,这条直线叫作对称轴,折叠后重合的点是对应点,叫作对称点.拓展延伸两个图形成轴对称和轴对称图形的前提不一样,前者是两个图形,后者是一个图形.成轴对称的两个图形不仅大小㊁形状一样,而且与位置有关.OBNRQAM P图131例13.1如图131所示,点P 是øA O B 外的一点,点M ,N 分别是øA O B 两边上的点,点P 关于O A 的对称点Q 恰好落在线段MN 上,点P 关于O B 的对称点R 落在MN 的延长线上.若P M =2.5c m ,P N =3c m ,MN =4c m ,则线段Q R 的长为( )c m .A .4.5B .5.5C .6.5D .7所以P M=M Q,P N=N R.因为P M=2.5c m,P N=3c m,MN=4c m,所以N R=3c m,M Q=2.5c m,即N Q=MN-M Q=4-2.5=1.5(c m),则线段Q R的长为R N+N Q=3+1.5=4.5(c m).答案A3.垂直平分线经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫作这条线段的垂直平分线.4.线段的垂直平分线的性质(1)线段的垂直平分线上的点,到这条线段两个端点的距离相等.(2)与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.5.轴对称和轴对称图形的性质(1)如果两个图形关于某条直线对称,那么这条直线叫作对称轴,对称轴是两个图形中任何一对对应点所连线段的垂直平分线.(2)轴对称图形的对称轴是轴对称图形中任何一对对应点所连线段的垂直平分线.关键提醒轴对称图形(或关于某条直线对称的两个图形),它们的对应线段相等,对应角相等.6.轴对称的特征如果一个图形关于某条直线对称,那么连接对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴.二画轴对称图形1.作图形的对称轴找对称轴的方法:首先判断是不是轴对称图形,再观察是否存在一条直线将这个图形分成两部分,将这两部分沿这条直线折叠,如果重合,这条直线就是对称轴.另外,要全方位地去找,不要漏掉对称轴.2.画轴对称图形组成几何图形最基本的元素是 点 ,所以画轴对称图形必须掌握对称点的画法(即过已知点作对称轴的垂线并加倍延长即可).画轴对称图形的步骤如下:(1)确定对称轴.(2)作各定点关于对称轴的对称点.(3)按原图的形状依次连接各对称点.例13.2如图132所示,已知әA B C和直线l,试画出әA B C关于直线l的对称图形.解析分别作出A㊁B㊁C三点关于直线l的对称点A'㊁B'㊁C',后顺次连接即可.ABCl图132ACB BC(A )l图133解所画图形如图133所示:әA'B'C'即为所求.3.用坐标表示轴对称(1)已知点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律:点(x,y)关于x(2)如何在坐标系中作一个已知图形的对称图形:只要找到一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并连接这些点,就可以得到这个图形的轴对称图形.例13.3在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),则点A关于x轴对称的点的坐标为().A.(3,2)B.(2,-3)C.(-2,3)D.(-2,-3)解析因为点A(2,3),所以点A关于x轴对称的点的坐标为(2,-3).答案B三等腰三角形1.等腰三角形有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.相等的两条边叫作腰,另一条边叫作底边,两腰所夹的角叫作顶角,底边与腰的夹角叫作底角.2.等腰三角形的性质性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成 等边对等角 ).性质2:等腰三角形的顶角平分线㊁底边上的中线㊁底边上的高相互重合(简称 三线合一 ).性质3:等腰三角形是轴对称图形,底边的垂直平分线就是它的对称轴.知识拓展等腰三角形是轴对称图形,其顶角的平分线㊁底边上的中线㊁底边上的高线所在的直线是对称轴.等腰三角形的外心㊁内心㊁重心和垂心都在底边的高线上(即 四心共线 ).等腰直角三角形的底角都等于45ʎ.关键提醒运用等腰三角形的性质解题时,在等腰三角形中若已知一内角为锐角,而未指明是底角还是顶角时,应注意分类讨论,防止漏解.3.等腰三角形的判定方法(1)利用定义:两条边相等的三角形是等腰三角形.(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写成 等角对等边 ).AE D BC图134例13.4如图134所示,D 为әA B C 内一点,C D 平分øA C B ,B E ʅC D ,垂足为D ,交A C 于点E ,øA =øA B E .若A C =5,B C =3,则B D 的长为( ).A .2.5B .1.5C .2D .1解如图134所示,因为C D 平分øA C B ,B E ʅC D ,所以B C =C E .又因为øA =øA B E ,所以A E =B E .所以B D =12B E =12A E =12(A C -B C ).因为A C =5,B C =3,所以B D =12(5-3)=1.答案D四等边三角形1.等边三角形在等腰三角形中,有一种特殊的等腰三角形 三边都相等的三角形,我们把这样的三角形叫作等边三角形.知识拓展由定义可知,等边三角形是一种特殊的等腰三角形,也就是说等腰三角形包括等边三角形,因而等边三角形具有等腰三角形的一切性质.2.等边三角形的性质和判定方法(1)性质:①等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60ʎ.②等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.(2)判定:①三个角都相等的三角形是等边三角形.ADCEB图135②有一个角是60ʎ的等腰三角形是等边三角形.例13.5如图135所示,等边әA B C 的边长是6c m ,B D 是中线,延长B C 至E ,使C E =C D ,连接D E ,则D E 的长是c m .解析因为әA B C 是等边三角形,B D 是中线,所以øA B C =øA C B =60ʎ,所以øD B C =30ʎ.又因为C E =C D ,所以øC D E =øC E D .又因为øB C D =øC D E +øC E D ,所以øC D E =øC E D =12øB C D =30ʎ.所以øD B C =øC E D ,即D B =D E .因为等边әA B C 的边长是6c m ,所以D E =B D =33c m .五含30°角的直角三角形在直角三角形中,如果一个锐角等于30ʎ,那么它所对的直角边等于斜边的一半.关键提醒应用此性质的前提条件是 在直角三角形中 .例13.6如图136所示,әA B C 中,øC =90ʎ,A C =3,øB =30ʎ,点P 是B C 边上的动点,则A P 长不可能是( ).30°C BP图136A.3.5B.4.2C.5.8D.7解析由垂线段最短可知,A P的长不可小于3.因为在әA B C中,øC= 90ʎ,A C=3,øB=30ʎ,所以A B=6,所以A P的长不能大于6.故选D.答案D。
初中数学轴对称的几何知识点总结
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初中数学轴对称的几何知识点总结轴对称是初中数学中一个重要的几何概念,它涉及到点、线、图形等方面的内容。
下面是数学轴对称的几个重要知识点的总结:1.轴对称的定义:轴对称是指一个图形相对于一些轴线对称,即图形的一部分可通过轴线翻折到另一部分,使得两部分完全重合。
轴线称为对称轴,对称轴上的任意一点,在翻折过程中仍停留在轴上。
轴对称的图形呈镜像对称。
2.轴对称的性质:a.轴对称图形中对称轴的选择不唯一,同一个图形可以有多个对称轴。
b.轴对称的图形上的点经过对称轴翻折后所得的点和原来的点相等。
c.轴对称的图形是封闭的,对称轴上的点保持不变。
d.轴对称的图形上的点和它们的对称点关于对称轴对称。
3.对称图形的判断:判断一个图形是否轴对称有以下几种方法:a.通过纸张折叠法,将图形的一部分折到另一部分,看是否重合。
b.通过将图形看作由简单的基本图形组成,判断每个基本图形是否对称,进而判断整个图形是否对称。
c.观察图形在对称轴上的点,通过比较对称点之间的距离、角度等属性,判断图形是否对称。
4.常见轴对称图形:初中数学中常见的轴对称图形包括:a.点的轴对称:点是轴对称的,即任意一点相对于自身对称。
b.线的轴对称:直线在自身的中点处对称。
c.图形的轴对称:正方形、矩形、正五边形、圆等都是轴对称的图形。
5.轴对称图形的性质:a.轴对称图形的对称中心可以在图形内部或外部。
b.轴对称图形的对称轴通常是图形的中垂线或对角线等。
6.轴对称与平移的关系:轴对称是平移的一种特殊情况,当平移的向量等于对称轴上的一个向量时,平移的结果就是轴对称图形。
7.轴对称的应用:轴对称在几何题目中的应用非常广泛。
例如:a.用轴对称的方法来求图形的面积、周长等属性。
b.利用对称轴的性质来证明等式的成立。
c.利用轴对称的性质来解决几何问题,如寻找图形的对称中心等。
通过以上的总结,希望能够帮助你对初中数学轴对称的几何知识点有一个更全面和深入的了解。
初中数学轴对称与中心对称
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中心对称图形
把一个图形绕着某一点旋转 _1_8_0_°_ 把一个图形绕着某一点旋转_1_8_0_°_,如 后,如果它能与另一个图形_重__合___, 果旋转后的图形能够与原来的图形重 定义 那么就说这两个图形关于这个点成 合,那么我们把这个图形叫中心对称 中心对称,该点叫做_对__称__中__心___ 图形,这个点叫做_对__称__中__心___
图 31-4
解:得到的图形是一个菱形,对折两次得到有两条对称 轴的轴对称图形,而且剪刀所剪的虚线就是得到图形的边长, 四边相等,所以是一个菱形.
轴对称与中心对称
[方法点析] 动手操作题目主要是利用剪刀或对折,得 到的图形部分或整体是一个轴对称图形,然后根据轴对称图 形的性质解答,注意把握轴对称图形的特征.
称与中心对称 中考预测 1.把一张正方形纸片如图 31-5①、图②对折两次后, 再如图③挖去一个三角形小孔,则展开后图形是( C )
图31-5图31-6 Nhomakorabea轴对称与中心对称
2.图 31-7 的长方形 ABCD 中,E 点在 AD 上,且 BE= 2AE.分别以 BE、CE 为折线,将 A、D 向 BC 的方向折过去, 图②为对折后 A、B、C、D、E 五点均在同一平面上的位置图, 若图②中,∠A′ED′=15°,则∠BCE 的度数为( D )
例 3 [2013·钦州] 如图 31-3,在平面直 角坐标系中,△ABC 的三个顶点都在格点上, 点 A 的坐标为(2,4),请解答下列问题:
(1) 画 出 △ABC 关 于 x 轴 对 称 的 △A1B1C1,并写出点 A1 的坐标;
(2)画出△A1B1C1 绕原点 O 旋转 180°后 得到的△A2B2C2,并写出点 A2 的坐标.
对称轴,折叠后重合的点是对应 我们也说这个图形关于这条直线
2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结(二篇)
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2024年初二数学期末考试轴对称知识点总结初中数学中,轴对称是一个重要的几何概念。
轴对称是指一个图形或者一个物体能够与某条轴线对称,即图形或物体的一部分关于轴线对称地出现在另一部分的相对位置。
轴对称的性质是常用的,它在初中数学的课本中会有详细的介绍和讲解。
以下是对初二数学期末考试轴对称知识点的总结:一、轴对称的定义和性质:1. 轴对称:如果一个图形、物体或者函数,相对于某条轴线可以对称地出现,那么就称这个图形、物体或者函数是轴对称的。
2. 轴线:轴线是指对称图形相对出现的那根线。
3. 轴对称的性质:轴对称的图形具有以下性质:- 轴线上的点不动。
- 对称轴的两侧对称,即轴线上的一点与该图形对称轴另一侧的点,关于对称轴中点对称。
- 对称轴的两侧的点与对称轴上的一点对称关系。
二、判断轴对称的方法:1. 观察法:通过观察图形是否关于某条线对称,可以判断图形是否轴对称。
如果图形可以重叠折叠,使得一个部分与另一个部分完全重合,那么这个图形就是轴对称的。
2. 对称线法:使用直尺将图形的两个对称部分的最近相对线段连接起来,如果这条线段与直尺重合,那么这条线段就是图形的对称线。
3. 折叠法:将纸张上的图形剪下来,然后将图形沿着一个假想的轴线折叠起来,如果两个对称的部分完全重合,那么这个图形就是轴对称的。
三、轴对称的常见图形:1. 一阶图形:一个点、一条线段、一条射线、一个无面积的抽象图形等。
2. 二阶图形:矩形、正方形、菱形、圆、椭圆等。
3. 三阶图形:五角星、六边形等。
四、轴对称和平移、旋转的关系:1. 平移:平移是图形在平面上沿水平方向或者垂直方向移动的变换,平移不改变图形的形状和大小,也不改变图形的轴对称性。
2. 旋转:旋转是图形围绕一个点或者直线进行旋转的变换,旋转不改变图形的形状和大小,但可能改变图形的轴对称性。
有些图形在旋转一定角度之后仍然保持轴对称,有些则不再保持轴对称。
五、轴对称的应用:1. 填充对称:将一个图形沿着对称轴镜像复制,用来填充平面空间。
人教版初中数学第十三章知识点总结
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第十三章轴对称13.1轴对称13.1.1轴对称1.轴对称图形:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形;这条直线就是它的对称轴。
2.轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称;这条直线叫做对称轴;折叠后的点是对应点,叫做对称点。
3.轴对称图形与轴对称的区别:(1)轴对称是对两个图形而言,而轴对称图形是一个图形;(2)轴对称是指形状相同,大小相等,并且具有一定特殊位置的两个图形,轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形;(3)轴对称只有一条对称轴,而轴对称图形的对称轴可能不只一条。
4.轴对称图形与轴对称的联系:(1)都是沿着某条直线折叠,折叠后都能够重合;(2)把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形,把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条直线轴对称。
5.线段的垂直平分线:经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线。
6.轴对称的性质:(1)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;(2)轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
13.1.2线段的垂直平分线的性质1.线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。
2.线段垂直平分线的判定定理:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
3.线段的垂直平分线可以看成是到线段两个端点距离相等的所有点的集合。
4.尺规作图4:作已知线段的垂直平分线已知:线段AB求作:线段AB的垂直平分线CD作法:(1)分别以A,B为圆心,大于12AB长为半径画弧,两弧交于点C、D;(2)作直线CD.则直线CD为所求5.尺规作图5:经过已知直线外一点作这条直线的垂线已知:直线AB和AB外一点C求作:AB的垂线,使它经过点C作法:(1)任意取一点K,使点K和点C在AB的两旁;(2)以点C为圆心,CK长为半径作弧,交AB于点D和E;(3)分别以D,E为圆心,大于12DE长为半径画弧,两弧交于点F;作直线CF.则直线CF为所求的垂线。
初中数学对称知识点总结
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初中数学对称知识点总结一、对称的定义1. 点的对称:如果图形中任意一点关于某条直线对称,那么这个图形就是关于这条直线对称的。
对称的直线称为对称轴。
2. 图形的对称:如果图形关于某条直线对称,那么这个图形就是关于这条直线对称的。
对称的直线称为对称轴。
当一个图形关于一个点对称时,这个点称为图形的中心。
3. 对称性质:对称可以分为轴对称和中心对称。
轴对称是指图形可以关于一条直线对称,中心对称是指图形可以关于一个点对称。
4. 对称图形:轴对称的图形称为轴对称图形,中心对称的图形称为中心对称图形。
轴对称图形有对称轴,中心对称图形有对称中心。
二、对称的性质1. 对称性质是指图形、函数、方程等在平移、旋转或翻转后的性质不变。
2. 对称性质通常包括镜像对称、轴对称、中心对称等。
3. 对称性质在代数、几何、组合等数学领域中有着广泛的应用。
三、对称图形1. 关于坐标系的对称图形:在平面直角坐标系中,可以通过坐标变换和对称变换来研究对称图形的性质。
常见的对称图形包括点、直线、圆等。
2. 关于轴对称的图形:轴对称图形是指图形可以关于一条直线对称的图形。
常见的轴对称图形包括正方形、矩形、菱形等。
3. 关于中心对称的图形:中心对称图形是指图形可以关于一个点对称的图形。
常见的中心对称图形包括正圆、正多边形等。
四、对称的应用1. 对称在代数中的应用:对称性质在代数中有着重要的应用,可以简化问题的求解和证明过程。
2. 对称在几何中的应用:对称性质在几何中有着广泛的应用,可以帮助求解几何问题和证明几何定理。
3. 对称在组合中的应用:对称性质在组合问题中有着重要的应用,可以帮助求解排列组合和图形的对称性质等问题。
总之,对称是数学中一个非常重要的概念,它在数学的各个领域都有着广泛的应用。
对称性质可以帮助简化问题的求解和证明过程,可以帮助学生更好地理解和掌握数学的知识。
因此,学生应该认真学习对称的知识,掌握对称的定义、性质和应用,以便更好地应用对称来解决问题和证明定理。
初中数学 轴对称图形的性质有哪些
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初中数学轴对称图形的性质有哪些轴对称图形是指一个图形中存在一条直线,将图形分成两个完全对称的部分。
这条直线被称为轴对称线,也被称为对称轴。
下面是轴对称图形的一些性质:1. 对称性质:轴对称图形的两个部分是完全对称的,即它们在形状、大小和位置上完全一致,只是相对于轴对称线的位置互换。
这种对称性使得我们能够在一个部分中观察到一些性质,并将其应用到另一个对称部分中。
2. 轴对称线性质:轴对称图形的轴对称线上的任意一点与它的对称点距离相等。
也就是说,如果一个点在轴对称线上,那么它的对称点也在轴对称线上。
这个性质对于计算轴对称图形中各个点的坐标非常有用。
3. 对称中心性质:轴对称图形的对称中心即为轴对称线上的任意一点。
对称中心具有以下性质:a. 对称中心是轴对称图形的一个重要特征,它可以帮助我们确定图形的对称关系。
b. 对称中心到轴对称图形上任意一点的距离等于该点到轴对称线所在直线的距离。
c. 对称中心到轴对称线的距离等于轴对称图形中所有点到轴对称线的距离的平均值。
4. 对称点性质:轴对称图形中每个点都有一个对称点,它们在轴对称线上对称。
对称点的坐标可以通过对称轴上的点的坐标进行计算。
例如,在一个矩形中,矩形的左上角和右下角是对称的,它们在垂直轴对称线上对称。
5. 线段对称性质:轴对称图形中的任意一条线段,它的两个端点关于轴对称线对称。
这个性质对于计算轴对称图形中线段的长度非常有用。
6. 角度对称性质:轴对称图形中的任意一个角度,它的两个角度顶点关于轴对称线对称。
这个性质对于计算轴对称图形中角度的大小非常有用。
7. 区域对称性质:轴对称图形中的任意一个区域,它关于轴对称线对称。
这个性质对于计算轴对称图形中区域的面积非常有用。
通过了解轴对称图形的性质,我们可以更好地理解几何学中的对称性和图形变换。
轴对称图形的性质在解决与对称性和图形变换相关的问题时非常重要。
希望以上内容能够帮助你了解轴对称图形的性质。
如果你还有其他问题,请随时提问。
初中数学 什么是轴对称点
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初中数学什么是轴对称点轴对称点是指在轴对称图形中,关于轴对称线对称的两个点中的一个点。
轴对称图形具有一个轴对称线,使得图形的每个点关于这个轴对称线对称。
轴对称点具有以下特征和性质:1. 关于轴对称线对称:轴对称点是指关于轴对称线对称的两个点中的一个点。
换句话说,如果一个点与轴对称线对称,那么它就是轴对称点。
2. 相对坐标关系:轴对称点与轴对称线上的点之间具有相对的坐标关系。
对于直角坐标系中的轴对称图形,轴对称点和轴对称线上的点的横坐标相等,而纵坐标则关于轴对称线取相反数。
3. 沿轴对称线对称性质:轴对称点和轴对称线上的点之间具有沿轴对称线对称的性质。
也就是说,如果将轴对称点沿着轴对称线对折,那么得到的点将与轴对称线上的点重合。
4. 存在于轴对称图形中:轴对称点只存在于轴对称图形中。
轴对称图形是指具有特定对称性质的图形,图形中的每个点与轴对称线上的点关于轴对称线对称。
5. 轴对称点的数量:轴对称图形中,轴对称点的数量取决于轴对称线的位置和图形的形状。
如果轴对称线通过图形的一个顶点,那么这个顶点就是唯一的轴对称点。
如果轴对称线通过图形的中点或其它位置,那么图形中可能有多个轴对称点。
需要注意的是,轴对称点是轴对称图形的一个重要概念,它与轴对称性密切相关。
通过理解轴对称点的概念和性质,我们可以更好地理解轴对称图形的对称性质,推导出图形的性质和关系。
总之,轴对称点是指在轴对称图形中,关于轴对称线对称的两个点中的一个点。
它具有关于轴对称线对称、相对坐标关系、沿轴对称线对称等性质。
希望以上内容能够帮助你理解轴对称点的概念和性质。
如果你还有其他问题,请随时提问。
初中七年级数学轴对称
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轴对称一、知识点1、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识⑴轴对称图形:如果_____个图形沿某条直线折叠后,直线两旁的部分能够________,那么这个图形叫轴对称图形,这条直线叫做____________。
⑵轴对称:对于____个图形,如果沿着一条直线对折后,它们能完全重合,那么称这两个图形成________,这条直线就是对称轴。
两个图形中的对应点叫做__________2、线段垂直平分线的性质⑴线段是轴对称图形,它的对称轴是__________________⑵线段的垂直平分线上的点到______________________相等3、角平分线的性质⑴角是轴对称图形,其对称轴是_______________⑵角平分线上的点到______________________________相等4、等腰三角形的特征和识别⑴等腰三角形的两个_____________相等(简写成“________________”)⑵等腰三角形的_________________、_________________、_________________互相重合(简称为“________________”)⑶如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的________也相等(简称为“____________________”)5、等边三角形的特征和识别⑴等边三角形的各____相等,各____相等并且每一个角都等于________⑵三个角相等的三角形是__________三角形⑶有一个角是60°的____________三角形是等边三角形一、选择题1.下列几何图形中,○1线段○2角○3直角三角形○4半圆,其中一定是轴对称图形的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.图9-19中,轴对称图形的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个3.下列判断正确的是()A.经过线段中点的直线是该线段的对称轴B.若两条线段相等,那么这两条线段关于某直线对称C.若两条线段关于某直线对称,那么这两条线段相等D.锐角三角形都是轴对称图形4.下列图形中不是轴对称图形的是()A.有两个角相等的三角形;B.有一个角是45°的直角三角形.C.有两个角分别是50°和80°的三角形D.平行四边形.5.一个等腰三角形的一个角是50°,它的一腰上的高与底边的夹角是( ) A.25°B.40°C.25°或40°D.不确定.6.有一个等腰三角形的周长为25,一边长为11,那么腰长为( ) A.11 B.7 C.14 D.7或117.若三角形中最大内角是60°,那么这个三角形是()CBDAA .等腰三角形B .等边三角形C .不等边三角形D .不确定 8.等边三角形的两条高线相交所成钝角的度数是( ) A .105° B .120° C .135° D .150°9.若△ABC 两边的垂直平分线的交点在三角形的外部,则△ABC 是( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .都有可能10.若三角形一边上的高也平分这条边, 那么这个三角形是( ) A .直角三角形 B .有两条边相等 C .等边三角形 D .锐角三角形 11.图9-12中,点D 在BC 上,且D E ⊥AB ,DF ⊥AC 。
初中数学知识归纳中心对称与轴对称
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初中数学知识归纳中心对称与轴对称初中数学知识归纳:中心对称与轴对称中心对称(Symmetry with a Center)是几何学中的重要概念之一,也是初中数学中需要重点掌握的知识之一。
它描述了一个图形在某个点上:关于这个点对称时,图形的两侧完全一致。
而轴对称(Symmetry with an Axis)是另一个重要的概念,描述了一个图形以某条线为对称轴时,图形的两侧完全一致。
下面将对中心对称与轴对称进行详细的归纳。
一、中心对称中心对称是指图形关于一个点对称时,图形的两侧完全相同。
具体来说,对于一个点O,如果图形上的每个点P,都能找到另一个点P',使得OP与OP'重合,并且P'在点O的对称位置上,那么图形就是关于点O中心对称的。
中心对称的特点有:1. 对称中心是唯一的。
2. 关于中心对称的图形的每个点到中心的距离相等。
3. 对称中心是图形的一个内部点。
常见的中心对称图形有:1. 圆形:圆是一种最简单的中心对称图形。
它的所有点到圆心的距离相等,因此每个点都能找到另一个点,使得它们关于圆心对称。
2. 正方形:正方形是一个有四条等长边和四个直角的图形。
它的中心即为正方形的对称中心。
3. 六边形:同样是一个有六条边的图形,如果可以找到合适的点作为对称中心,使得六边形的两侧完全一致,那么它就是中心对称的。
中心对称在现实生活中有广泛应用。
例如,许多雪花的形状都是中心对称的,许多建筑物的外观也采用了中心对称的设计。
二、轴对称轴对称是指图形关于一条直线对称时,图形的两侧完全相同。
具体来说,对于一条直线l,如果图形上的每个点P,都能找到另一个点P',使得P'在l上,并且P和P'关于l对称,那么图形就是关于直线l轴对称的。
轴对称的特点有:1. 对称轴是唯一的。
2. 关于轴对称的图形的每个点到直线的距离相等。
3. 对称轴是图形的一个内部线。
常见的轴对称图形有:1. 正圆:正圆是一个最简单的轴对称图形。
初中数学轴对称知识点总结归纳
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初中数学轴对称知识点总结归纳轴对称是几何学中的一个重要概念,关于轴对称的知识在初中数学中有着广泛的应用。
下面是初中数学轴对称的知识点总结归纳。
一、轴对称的定义及性质轴对称即物体围绕条线旋转180度后仍然与原来位置重合。
1.定义:轴对称是指平面内的点、线、图形等围绕条线旋转180度后仍然与原来位置重合。
2.性质:a.旋转中心即轴对称的轴上的任意点保持不动。
b.旋转中心与轴对称的物体上的任意点之间的距离保持不变。
二、轴对称的判断判断一个图形是否轴对称的方法有以下几种:1.观察法:观察图形是否看起来关于条线对称。
2.折叠法:将图形沿着条疑似对称轴对折,观察是否能够将两部分完全重合。
3.旋转法:将图形围绕一个疑似对称轴旋转180度,观察是否与原来位置完全重合。
4.对称性质法:观察图形是否具有对称性质,例如左右对称、上下对称等。
三、轴对称的应用1.确定轴对称图形:a.线段的中点是线段轴对称的轴。
b.两个且只有两个端点在同一直线上的线段是轴对称的轴。
c.两条平行线是轴对称的轴。
d.三个且只有三个顶点都在同一直线上的三角形是轴对称的轴。
e.按顺时针方向给出的相邻边相等的凸多边形是轴对称的轴。
f.所有与自己相似的图形都是轴对称的轴。
2.轴对称图形的性质:a.轴对称图形是左右对称的,即图形的左半部分和右半部分完全一样。
b.轴对称图形的最小单位即轴上的点称为轴对称图形的旋转中心。
c.轴对称图形的每个点的两边都有另一个对称点。
d.轴对称图形上的点与旋转中心距离相等的点是该图形上的点与旋转中心的对称点。
3.构造轴对称图形:a.已知轴对称图形的一部分,可以使用对称性质构造其他部分。
b.可以将点在轴上折叠,或者将线段、角度在轴上旋转,得到图形的对称部分。
四、轴对称图形的操作1.旋转:将轴对称的物体沿着轴旋转180度,使得物体的每个点都与轴上的对称点相重合。
2.平移:将轴对称的物体沿着与轴垂直的平行线平移,使得物体与原来位置的对称关系保持不变。
初中数学轴对称基础知识点详解
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初中数学轴对称基础知识点详解轴对称是初中数学中的基础知识点之一,是在平面几何中经常出现的重要概念。
轴对称是指图形相对于条轴线对称,即图形中的每一点与轴线上与该点距离相等、且在轴线上的点关于轴线对称。
下面将详细介绍轴对称的基本概念、性质和相关例题。
轴对称的基本概念:轴对称是指图形相对于条轴线对称。
轴线可以是任意直线,可以是水平线、垂直线、倾斜线或曲线。
在轴对称中,轴线的选择对图形的对称性质有一定影响,但图形始终是关于轴线对称的。
轴对称的性质:1.图形的每一点关于轴线对称,意味着轴线上的点与轴线之间的距离相等。
2.如果图形的一部分与轴线对称,则图形的其他部分与轴线对称。
3.如果图形中的两个点A、B关于轴线对称,则点A关于点B对称,点B关于点A对称。
轴对称与平移的关系:平移是指将图形沿着一些方向按照一定规律进行移动。
在平移中,图形的每一点都按照相同的方向和相同的距离进行移动,而保持形状不变。
轴对称图形可以通过平移得到相对的轴对称图形,平移的方向和距离与轴线的位置有关。
轴对称与旋转的关系:旋转是指将图形以一些点为中心按照一定角度进行旋转。
在旋转中,图形的每一点都按照相同的角度和相同的方向进行旋转,而保持形状不变。
轴对称图形可以通过旋转得到相对的轴对称图形,旋转的角度和中心与轴线的位置有关。
轴对称的判断:判断一个图形是否具有轴对称性可以通过以下方法进行验证:1.观察图形是否在一个直角坐标系中,并找出其中心轴(满足轴对称性的直线)。
2.随机选择图形中的一点,并绘制一个与中心轴相互垂直的线段。
3.测量选定点到中心轴和该点对称点到中心轴的距离是否相等,若相等则该图形具有轴对称性。
轴对称的性质与应用:1.轴对称性是一种重要的对称性质,它在几何构造中常常用于求解问题。
2.轴对称性可以用于判断一些图形的性质,如判断一个图形是否是正多边形。
3.轴对称性也可以应用于计算几何中的一些问题,如确定一个平面图形的对称中心。
轴对称的例题:1.给定一个图形ABCD,其中AB=BC=4,AD=6,AC=8,请问该图形是否具有轴对称性?如果具有,请给出轴对称线的方程。
初中数学知识归纳立体形的旋转对称与轴对称
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初中数学知识归纳立体形的旋转对称与轴对称初中数学知识归纳:立体形的旋转对称与轴对称立体形是数学中一个重要的概念,它指的是具有长度、宽度和高度的物体,例如立方体、圆柱体和球体等。
在学习立体形的性质和变化时,旋转对称与轴对称是两个重要的概念。
本文将对初中数学中与这两个概念相关的知识进行归纳和总结。
一、旋转对称旋转对称,顾名思义,是指通过旋转操作使得物体自身变换后与原来一致。
在几何中,旋转对称是一种重要的变换方法。
旋转对称轴是指绕其旋转物体,使得物体经过旋转后不变。
在立体形中,圆柱体和球体是常见的具有旋转对称性质的立体形。
以圆柱体为例,它具有无数个旋转对称轴,每个圆柱体都有一个与轴平行的旋转对称轴,即使对称轴不同,但是圆柱体其他部分的形状都是一致的。
同样地,球体也具有无数个旋转对称轴,每个通过球心的直径都是一个旋转对称轴。
通过观察圆柱体和球体的旋转对称性质,我们可以发现,无论围绕哪个旋转对称轴旋转,形状都不会改变。
这也是为什么圆柱体和球体在进行旋转运动时能保持不变的原因。
二、轴对称轴对称是指通过以某一直线为对称轴,将物体分为两部分,使得两部分对应部分完全一致。
在立体形中,常见的轴对称立体有立方体和长方体。
以立方体为例,将它折叠成两半,对折的面刚好重合,这就是立方体的轴对称面。
同样地,长方体也具有轴对称面,将它折叠成两半,对折的面也刚好重合。
轴对称性质在立体形的研究中起到了重要的作用。
通过轴对称性质,可以快速判断一个立体形是否具有对称性。
如果一个立体形具有轴对称面,则它们的对称面的形状必定相同;如果两个立体形的轴对称面相同,则可以认为它们的形状完全一致。
三、立体形的旋转对称与轴对称的关系立体形的旋转对称与轴对称是密切相关的。
通过观察不同立体形的对称性质,我们可以得出以下结论:1. 圆柱体和球体既具有旋转对称性质,也具有轴对称性质。
圆柱体通过其平行于底面的轴旋转时保持不变,而通过沿其高度的平面切割时具有轴对称面。
初中数学 轴对称的定义是什么
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初中数学轴对称的定义是什么
轴对称是几何中的一个重要概念,它描述了一个图形相对于某条直线的对称性。
在数学中,轴对称也被称为镜像对称或对称性。
轴对称的定义是:一个图形相对于某条直线具有对称性,即这条直线将图形分为两个完全相同的部分。
轴对称的图形可以通过将一个部分折叠到另一部分来重合。
我们可以通过以下步骤来理解轴对称的定义:
1. 定义对称轴:
轴对称的图形上有一条直线称为对称轴,它将图形分成两个完全对称的部分。
对称轴上的任何点与对应的点在对称图形中的位置是相等的。
对称轴不一定是图形的边界线,它可以是任意直线。
2. 描述对称性:
轴对称的图形具有对称性,即通过对称轴将图形折叠,两侧的部分完全重合。
换句话说,如果将图形沿着对称轴折叠,那么折叠后的两个部分将完全重合。
这意味着对称轴是图形的一个重要特征,它使得图形具有平衡和对称性。
3. 说明对称点:
对称点是轴对称图形中的一对相互对应的点,它们在对称轴上与对称轴的距离相等。
也就是说,如果有一个点在对称图形中的某个位置,那么它的对称点将位于对称轴上,并且与对称轴的距离相等。
轴对称性质的一个重要特点是,对称轴两侧的部分是镜像关系,它们的形状和大小完全相同。
因此,只需要绘制图形的一部分,然后将其沿对称轴进行镜像,就能够得到完整的轴对称图形。
轴对称的定义和性质在几何学中有广泛的应用。
它可以用于图形构造、图案设计和几何问题的解决。
通过利用轴对称的特点,我们可以更好地理解和分析图形的对称性质。
希望以上回答能够解答你的问题。
如有需要,请随时提问。
人教版初中数学八年级上册第十三章 轴对称
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两者的联系: 把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图
形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于 这条轴对称.
探究新知
比较归纳
13.1 轴对称/
轴对称图形
两个图形成轴对称
区别
是
不是
是
链接中考
13.1 轴对称/
1.下列图形具有两条对称轴的是( C )
A.等边三角形
B.平行四边形
C.矩形
D.正方形
2.下列四个图案中,不是轴对称图案的( B )
A.
B.
C.
D.
课堂检测
基础巩固题
13.1 轴对称/
1.被誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”,摩崖上铭刻着500多方
古今名家碑文,其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值,下面四
与直线MN 有什么关系? 想一想
M
A
A′
P
你能说明其中的道理吗?
B
B′
C
C′
N
探究新知
13.1 轴对称/
【思考】上面的问题说明“如果△ABC 和△A′B′C′关于直
线MN 对称,那么,直线MN 垂直于线段AA′,BB′和CC′,
并且直线MN 还平分线段AA′,BB′和CC′”.如果将其中的
“三角形”改为“四边形”“五边形”……其他条件不变,
轴对称图形的对称轴,是任 A
何一对对应点所连线段的垂直平
分线.
B
A′ B′
巩固练习
13.1 轴对称/
下列图形是轴对称图形吗?如果是,指出它的对称轴.
初中数学轴对称知识点:轴对称的性质
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初中数学轴对称知识点:轴对称的性质
学习数学,一份耕耘,一份收获。
不要让未来的你,讨厌现在的自己,困惑谁都有,但成功只配得上勇敢的行动派。
101整
理分享!
·轴对称的性质4的性质
轴对称的性质:成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分;成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴
对称;成轴对称的两个图形全等。
5线段的轴对称性
①线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴。
②线段垂直平分线的性质定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③线段垂直平分线的性质定理的逆定理:到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
①线段的垂直平分线,画出到线段两个端点的距离,这样就出现相等线段,直接或间接地为构造创造条件。
②三角形三边垂直平分线交于一点,该点到三角形三顶点的距离相等,这点是三角形外接圆的圆心——外心。
6线段的垂直平分线
垂直并且平分一条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线。
7角的轴对称性
1角是轴对称图形,角的平分线所在的直线是它的对称轴。
2角平分线上的点到角两边的距离相等。
3角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
①用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等。
若CD平分∠ADB,点P是CD上一点,且PE⊥AD于点E,
PF⊥BD于点F,则PE=PF
②用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
若PE⊥AD于点E,PF⊥BD于点F,PE=PF,则PD 平分∠ADB。
初中数学 什么是对称图形和轴对称
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初中数学什么是对称图形和轴对称对称图形和轴对称是初中数学中重要的概念,它们是几何学中的基本内容。
对称图形指的是图形中存在某种对称性,使得图形的某些部分可以通过某个中心点或中心线对称得到另一部分。
而轴对称是对称图形的一种特殊情况,它是指图形关于某条直线对称后重合的情况。
在本文中,我们将详细讨论对称图形和轴对称的概念、性质和应用。
一、对称图形对称图形是指存在某种对称性质的图形。
对称性质是指一种变换,使得图形的某些部分在变换后与原来的部分完全重合。
对称性质可以分为以下几类:1. 点对称:指图形中存在一个中心点,使得图形中的任意一点关于这个中心点对称后重合。
这个中心点称为对称中心,对称中心到图形上任意一点的距离相等。
2. 中心对称:指图形中存在一条中心线,使得图形中的任意一点在中心线上对称后重合。
这条中心线称为对称轴,对称轴把图形分成两个完全对称的部分。
3. 旋转对称:指图形可以绕着一个点旋转一定角度后,与原来的图形完全重合。
这个点称为旋转中心,旋转中心到图形上任意一点的距离相等。
对称图形有许多有趣的性质。
首先,对称图形中的任何一条线段或角度都可以通过对称关系得到另外一个相等的线段或角度。
其次,对称图形的面积相等。
这个性质被称为对称性质,它在几何学中有着广泛的应用。
二、轴对称轴对称是对称图形的一种特殊情况,它是指图形关于某条直线对称后重合的情况。
这条直线称为轴对称线,或简称对称轴。
具体来说,对于任意给定的图形,如果存在一条直线l,使得图形中的任意一点P关于l对称得到的点P'在图形中,那么这个图形就是轴对称图形。
轴对称具有一些特殊的性质。
首先,轴对称可以把图形分成两个对称的部分,这两个部分在对称轴上完全重合。
其次,轴对称图形中的任意一条线段或角度都可以通过轴对称得到另外一个相等的线段或角度。
这个性质被称为轴对称性质,它在解决几何问题和设计对称图案时非常有用。
轴对称图形还有一些特殊的例子,比如正方形、矩形、等腰直角三角形等。
初中数学轴对称知识点
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初中数学轴对称知识点
嘿,朋友们!今天咱就来好好唠唠初中数学里超有趣的轴对称知识点!
比如说,你看那蝴蝶的翅膀,两边是不是一模一样呀,这就是轴对称!轴对称可神奇了呢,就像照镜子一样,镜子两边是完全对称的!
轴对称有一条特别重要的线,叫做对称轴!比如说给你一个图形,像一只漂亮的风筝,那能让风筝左右两边完全重合的那条线就是对称轴啦。
嘿,这不是很简单嘛!
还有啊,轴对称图形也超级有意思!像圆形,不管你怎么转,它从各个角度看都是对称的,多神奇呀!就好像它有魔法一样!再想想我们过年贴的窗花,很多不也是轴对称的嘛,美极了!
老师在课堂上还让我们动手做轴对称图形呢,太好玩啦!我记得我当时剪了一个爱心形状,哇,展开一看,两边完全对称,那时候心里别提多有成就感了!“我居然能做出这么漂亮的轴对称图形呀!”。
而且哦,轴对称在生活中用处可大了呢!你想想,建筑设计里不就经常用到嘛,那些对称的建筑多壮观呀!还有我们平时用的东西,很多也是轴对称的呢。
总之,轴对称知识点真的是既有趣又实用呀!它让我们看到了数学在生活中无处不在的魅力,能帮助我们更好地理解这个奇妙的世界呢!所以呀,大家一定要好好掌握轴对称知识点哦,你会发现它真的很有意思!。
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初中数学知识点:轴对称
轴对称知识点
一、轴对称与轴对称图形:
1.轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称,两个图形中的对应点叫做对称点,对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形:如果一个图形沿着一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形,这条直线就是它的对称轴。
注意:对称轴是直线而不是线段
3.轴对称的性质:
(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;
(2)如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;
(3)两个图形关于某条直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上;
(4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。
4.线段垂直平分线:
(1)定义:垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。
(2)性质:①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点
的距离相等;
②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
注意:根据线段垂直平分线的这一特性可以推出:三角形三边的垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
5.角的平分线:
(1)定义:把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.
(2)性质:①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
②到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.
注意:根据角平分线的性质,三角形的三个内角的平分线交于一点,并且这一点到三条边的距离相等.
6.等腰三角形的性质与判定:
性质:
(1)对称性:等腰三角形是轴对称图形,等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,或底边上的高所在的直线是它的对称轴,或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴;
(2)三线合一:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合;
(3)等边对等角:等腰三角形的两个底角相等。
说明:等腰三角形的性质除三线合一外,三角形中的主要
线段之间也存在着特殊的性质,如:①等腰三角形两底角的平分线相等;②等腰三角形两腰上的中线相等;
③等腰三角形两腰上的高相等;④等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。
判定定理:如果一个三角形的两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称:等角对等边)。
7.等边三角形的性质与判定:
性质:(1)等边三角形的三个角都相等,并且每个角都等于60;
(2)等边三角形具有等腰三角形的所有性质,并且在每条边上都有三线合一。
因此等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴,而等腰三角形(非等边三角形)只有一条对称轴。
判定定理:有一个角是60的等腰三角形是等边三角形。
说明:等边三角形是一种特殊的三角形,容易知道等边三角形的三条高(或三条中线、三条角平分线)都相等。
二、中心对称与中心对称图形:
1.中心对称:把一个图形绕着某一个点旋转180,如果它能够和另外一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
2.中心对称图形:在平面内,一个图形绕某个点旋转180,如果旋转前后的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这
个点叫做它的对称中心。
3.中心对称的性质:(1)关于中心对称的两个图形是全等形;
(2)在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;
(3)成中心对称的两个图形,对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
三、轴对称与中心对称的区别与联系:
四、几种常见的轴对称图形和中心对称图形:
轴对称图形:线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆
对称轴的条数:角有一条对称轴,即该角的角平分线;等腰三角形有一条对称轴,是底边的垂直平分线;等边三角形有三条对称轴,分别是三边上的垂直平分线;菱形有两条对称轴,分别是两条对角线所在的直线,矩形有两条对称轴分别是两组对边中点的直线;
中心对称图形:线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆
对称中心:线段的对称中心是线段的中点;平行四边形、菱形、矩形、正方形的对称中心是对角线的交点,圆的对称中心是圆心。
说明:线段、菱形、矩形、正方形以及圆它们即是轴对称
图形又是中心对称图形。
五、坐标系中的轴对称变换与中心对称变换:
点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为(x,-y),关于y轴对称的点P2的坐标为(-x,y)。
关于原点对称的点的坐标P3的坐标是(-x,-y)这个规律也可以记为:关于y轴(x轴)对称的点的纵坐标(横坐标)相同,横坐标(纵坐标)互为相反数。
关于原点成中心对称的点的,横坐标为原横坐标的相反数,纵坐标为原纵坐标的相反数,即横坐标、纵坐标同乘以-1。
常见考法
(1)判别某些图形是不是轴对称图形能找出对称轴,对称轴的条数、判别某些图形是中心对称图形能找到对称中心;(2)利用垂直平分线性质、角平分线性质证明一些结论;(3)利用等腰三角形三线合一性质证明线段相等、线段垂直;(4)直接证明某一个三角形是等腰三角形;(4)轴对称图形的实际应用(如镜子中的轴对称问题、解决一些折叠问题、还有求几个线段之和最短问题)。
误区提醒
(1)把轴对称与轴对称图形的概念、中心对称与中心对称图形的概念混淆;(2)把轴对称与全等混淆;(3)找轴对称图形的对称轴不全、不准;(4)在解有关等腰三角形问题时,没有进行分类讨论,造成漏解。