函数零点的性质问题
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函数零点的性质
一、基础知识:
1、函数零点,方程,图像交点的相互转化:有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转化,且这三者各具特点:
(1)函数的零点:有“零点存在性定理”作为理论基础,可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点
(2)方程:方程的特点在于能够进行灵活的变形,从而可将等号两边的表达式分别构造为两个可分析的函数,为作图做好铺垫 (3)图像的交点:通过作图可直观的观察到交点的个数,并能初步判断交点所在区间。
三者转化:函数()f x 的零点⇒方程()0f x =的根−−−−→方程变形方程
()()g x h x =的根⇒函数()g x 与()h x 的交点
2、此类问题的处理步骤:
(1)作图:可将零点问题转化成方程,进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题,并作出函数图像
(2)确定变量范围:通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围
(3)观察交点的特点(比如对称性等)并选择合适的方法处理表达式的值,
3、常见处理方法:
(1)代换法:将相等的函数值设为t ,从而用t 可表示出12,,x x ,将关于12,,x x 的表达式转化为关于t 的一元表达式,进而可求出范围或
最值
(2)利用对称性解决对称点求和:如果12,x x 关于x a =轴对称,则
122x x a +=;同理,若12,x x 关于(),0a 中心对称,则也有122x x a +=。将
对称的点归为一组,在求和时可与对称轴(或对称中心)找到联系 二、典型例题:
例1:已知函数()lg f x x =,若0a b <<,且()()f a f b =,则2a b +的取值范围是( )
A.
()+∞
B. )⎡+∞⎣
C. ()3,+∞
D.
[)3,+∞
思路:先做出()f x 的图像,通过图像可知,如果()()f a f b =,则
01a b <<<,设
()()f a f b t ==,即
()lg 0lg a t
t b t
=⎧⎪>⎨
=⎪⎩,由,a b 范围可得:lg 0,lg 0a b <>,从而lg lg t
t
a t a e
b t b e
-⎧=-=⎧⎪⇒⎨⎨==⎪⎩⎩,所以122t t a b e e +=+,而0t e >,所以()123,t t
e e +∈+∞
答案:C
小炼有话说:(1)此类问题如果()f x 图像易于作出,可先作图以便于观察函数特点
(2)本题有两个关键点,一个是引入辅助变量t ,从而用t 表示出,a b ,达到消元效果,但是要注意t 是有范围的(通过数形结合y t =需与()y f x =有两交点)
;一个是通过图像判断出,a b
的范围,从而去掉绝
对值。
例2:已知函数()[]()2015
cos ,0,2log ,,x x f x x x ππππ⎧⎛
⎫-∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨
⎪∈+∞⎪⎩
,若有三个不同的实数,,a b c ,使得()()()f a f b f c ==
,则
a b c ++的取值范围是________
思路:()f x 的图像可作,所以考虑作出
()f x 的图像,不妨设a b c <<,由图像可
得:()()()0,1f a f b =∈ [],0,a b π∈,且关于2
x π
=
轴对称,所以有
22a b a b π
π+=⇒+=,再观察c π>,且()()()2015log 0,1c
f c f a π
==∈,所以20150log 12015c
c πππ
<<⇒<<,从而()()2,2016a b c c πππ++=+∈
答案:()2,2016ππ
小炼有话说:本题抓住,a b 关于2
x π
=
对称是关键,从而可由对称求得
a b π+=,使得所求式子只需考虑c 的范围即可
例3:定义在R 上的奇函数()f x ,当0x ≥时,()[)[)
12log (1),0,113,1,x x f x x x ⎧+∈⎪
=⎨⎪--∈+∞⎩,
则关于x 的函数()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为( )
A. 21a -
B. 12a -
C. 21a --
D. 12a --
思路:()f x 为奇函数,所以考虑先做出正半轴的图像,再利用对称作出负半轴图像,当0x >
时,函数图象由两部分构
成,分别作出各部分图像。()F x 的零点,即为方程()0f x a -=的根,即()f x 图像与直线y a =的交点。观察图像可得有5个交点:12,x x 关于
3
x =-对称,
126
x x +=-,
30
x <且满足方程
()()()333f x a f x a f x a =⇒-=-⇒-=-即()132
log 1x a -+=,
解得:312a x =-,45,x x 关于3x =轴对称,456x x ∴+= 1234512a x x x x x ∴++++=-
答案:B
例4:已知113
k ≤<,函数()21x f x k =--的零点分别为()1212,x x x x <,函数()2121
x k
g x k =--
+的零点分别为()3434,x x x x <,则()()4321x x x x -+-的最小值为( )
A. 1
B. 2log 3
C. 2log 6
D. 3
思路:从()(),f x g x 解析式中发现12,x x 可看做
21x y =-与y k =的交点,
34,x x 可看做21x y =-与21
k
y k =
+的交点,且12340,0x x x x <<<<,从而1234,,,x x x x 均可由k 进行表示,所以
()()4321
x x x x -+-可转化为关于k 的函数,再求最小值即可 解:由图像可得:12340,0x x x x <<<<
3
1
2
4121221,212121x x x x k k k k
k k ⎧-=
⎪⎧-=⎪⎪+∴⎨⎨-=⎪⎩⎪-=⎪+⎩
()()1222log 1,log 1x k x k ∴=-=+