一次函数和反比例函数结合(答案)

中考数学专题训练(三)一次函数和反比例函数结合

纵观近5年中考试题，一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容．侧重考查用待定系数确定反比例函数和一次函数解析式及解决相关问题．

类型1 利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式

【例1】如图，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A (1，0)，B (0，－1)两点，且与反比例函数y ＝m

x

(m ≠0)的图象在第一象限交于C 点，C 点的横坐标为2.

(1)求一次函数的解析式；

(2)求C 点坐标及反比例函数的解析式．

【解析】(1)将点A (1，0)，B (0，－1)代入y ＝kx ＋b 即可．(2)将C 点的横坐标代入公式y ＝kx ＋b 即可求出纵坐标，再代入y ＝m

x

中即可．

【学生解答】解：(1)由题意得⎩⎨⎧k ＋b ＝0，b ＝－1.解得⎩

⎨⎧k ＝1，

b ＝－1，一次函数的解析式为y ＝x －1；(2)当x ＝2时，y

＝2－1＝1，所以C 点坐标为(2，1)；又C 点在反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象上，∴1＝m

2，解得m ＝2.所以反

比例函数的解析式为y ＝2

x

.

针对练习

1．(2016重庆中考)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)的图形与反比例函数y ＝k

x (k ≠0)的图象

交于第二、四象限内的A ，B 两点，与y 轴交于C 点，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ，OH ＝3，tan ∠AOH ＝4

3，

点B 的坐标为(m ，－2)．

(1)求△AHO 的周长；

(2)求该反比例函数和一次函数的解析式．

解：(1)由OH ＝3，tan ∠AOH ＝4

3，得AH ＝4.即A (－4，3)．由勾股定理，得AO ＝OH 2＋AH 2＝5，△AHO

的周长＝AO ＋AH ＋OH ＝3＋4＋5＝12；(2)将A 点坐标代入y ＝k

x (k ≠0)，得k ＝－4×3＝－12，反比例函数的

解析式为y ＝－12x ；当y ＝－2时，－2＝－12

x ，解得x ＝6，即B (6，－2)．将A ，B 两点坐标代入y ＝ax ＋b ，

得⎩⎨⎧－4a ＋b ＝3，6a ＋b ＝－2，

解得⎩

⎨⎧a ＝－1

2，b ＝1，

一次函数的解析式为y ＝－1

2x ＋1.

2．(2016乐山中考)如图，反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，n .

(1)求这两个函数解析式；

(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y ＝k

x 的图象有

且只有一个交点，求m 的值．

解：(1)∵A (2，2)在反比例函数y ＝k x 的图象上，∴k ＝4.∴反比例函数的解析式为y ＝4x .又∵点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，n 在反

比例函数y ＝4x 的图象上，∴12n ＝4，解得n ＝8，即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8.由A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，8在一次函数y ＝ax

＋b 的图象上，得⎩⎨⎧2＝2a ＋b ，8＝1

2

a ＋

b ，解得⎩

⎨⎧a ＝－4，

b ＝10，∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10； (2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位长度得直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m ，∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4

x 有且只有

一个交点，令－4x ＋10－m ＝4

x

，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0，∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或18.

类型2 与面积有关的问题

【例2】如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx 与双曲线y ＝n

x 相交于A (－1，a )，B 两点，BC ⊥x 轴，垂

足为C ，△AOC 的面积是1.

(1)求m ，n 的值； (2)求直线AC 的解析式．

【解析】(1)因为A (－1，a )，所以B 的横坐标为1，即C (1，0)．再由S △AOC ＝1，得A (－1，2)，再代入y ＝mx 与y ＝n

x

即可．(2)将A 、C 坐标代入即可．

【学生解答】解：(1)∵直线y ＝mx 与双曲线y ＝n

x 相交于A (－1，a )，B 两点，∴B 点横坐标为1，即C (1，

0)，∵△AOC 的面积为1，∴A (－1，2)，将A (－1，2)代入y ＝mx ，y ＝n

x

可得m ＝－2，n ＝－2；(2)设直线AC

的解析式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎨⎧－k ＋b ＝2，

k ＋b ＝0.

解得k ＝－1，b ＝1，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋1.

针对练习

3．(2016宜宾中考)如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数y ＝m x (x >0)的图象交于A (2，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪

⎫

12，n 两点，直线y ＝2与y 轴交于点C .

(1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)求△ABC 的面积．

解：(1)把A (2，－1)代入反比例解析式得：－1＝m 2，即m ＝－2，∴反比例解析式为y ＝－2x ，把B ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，n 代

入反比例解析式得：n ＝－4，即B ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

12，－4.把A 与B 的坐标代入y ＝kx ＋b 中得：⎩⎨⎧2k ＋b ＝－1，

12k ＋b ＝－4，解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝－5.则一次函数的解析式为y ＝2x －5；(2)设直线AB 与y 轴交于点E ，则点E 的坐标为(0，－5)，∵点C 的坐标为(0，2)，CE ＝2－(－5)＝7，∵点A 到y 轴的距离为2，点B 到y 轴的距离为12，∴S △ABC ＝S △ACE －S △BCE ＝1

2×7×2

－12×7×12＝7－74＝21

4

.