上海市浦东新区2020学年度第二学期高一数学期末质量抽测试卷
上海市浦东新区2020年新高考高一数学下学期期末调研试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()=sin 2cos 2f x x x +的最小正周期是（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．23B ．46+C ．43D ．23+3．已知直线倾斜角的范围是,32ππα⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦，则此直线的斜率的取值范围是（ ） A ．3,3⎡-⎣ B ．(,3-∞-)3,⎡+∞⎣C ．33,33⎡-⎢⎣⎦D ．3,3⎛-∞- ⎝⎦33⎫+∞⎪⎪⎣⎭4．在正三棱锥P ABC -中，4,AB 3PA ==PA 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ）A ．14B ．154C ．18D 63 5．若=(2,1), =(1,0)a b ，则32a b +的坐标是 ( )A ．()53，B ．()43，C ．()83，D ．()01-，6．已知6,3,12a b a b ==⋅=-，则向量a 在b 方向上的投影为（ ） A ．4B ．4-C ．2-D ．27．已知α、β为锐角，3cos 5α=，()1tan 3αβ-=-，则tan β=（ ） A ．13B ．3C ．913D ．1398．设向量a ，b 满足10a b +=，6a b -=，则•a b =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．59．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果22tan tan a Ab B=，则ABC △的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形10．若α是第四象限角，则πα-是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角11．如图所示，某汽车品牌的标志可看作由两个同心圆构成，其中大、小圆的半径之比为3:2，小圆内部被两条互相垂直的直径分割成四块.在整个图形中任选一点，则该点选自白色部分的概率为（）A．23πB．29C．8πD．1212．n S是等差数列{}n a的前n项和，如果10120s=，那么110a a+的值是( )A．12 B．24 C．36 D．48二、填空题：本题共4小题13．已知等差数列{}n a中，首项116a=-，公差2d=，前n项和n S，则使n S有最小值的n=_________. 14．已知数列{}n a满足11a=，若1114()nn nn Na a*+-=∈，则数列{}na的通项na=______.15．若直线l：-3y kx=23-60x y+=的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是___________.16．若关于x的不等式23x ax a--≤-有解，则实数a的取值范围为________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020-2021学年上海市浦东新区南汇中学高一数学下学期期末考试数学试题含解析
上海市浦东新区南汇中学2020-2021学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、填空题（每小题3分，共36分）1．已知复数z1＝3+4i，z2＝a+i，若z1+z2为纯虚数，则实数a＝．2．已知向量，，若，则m＝．3．若tanα＝﹣2，则＝．4．已知角α满足sinα+cosα＝，则tanα+cotα的值为．5．函数y＝sin（x+），x∈〖0，〗的单调增区间为．6．若3+2i是方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）的一个根，则c＝．7．已知向量＝（2，3），＝（﹣4，7），则向量在向量的方向上的数量投影为．8．已知向量，，||＝1，||＝2，则|2﹣|的取值范围是．9．已知函数y＝cos x与y＝sin（2x+φ）（0≤φ≤π）的图象有一个横坐标为的交点，则常数φ的值为．10．复平面上两个点Z1，Z2对应两个复数z1，z2，它们满足下列两个条件：①⊥且z2＝z1•2i；②两点Z1，Z2连线的中点所对应的复数3+4i，则△Z1OZ2的面积为．11．如图是函数y＝sin（πx+）在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（+）＝．12．定义：对于任意实数p、q，max{p，q}＝．设函数y＝g（x）的表达式为g （x）＝max{x，a cos x}（x∈R，常数a＞0），函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝2sin x+1，若对于任意x1∈R，总存在x2∈R使得g（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．已知△ABC中，，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定14．设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（）A．如果z12+z22＝0，那么z1＝z2＝0B．如果|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2C．如果|z1|≤a，a是正实数，那么﹣a≤z1≤aD．如果|z1|＝a，a是正实数，那么15．已知函数f（x）＝cos（sin x），g（x）＝sin（cos x），则下列说法正确的是（）A．f（x）与g（x）的定义域都是〖﹣1，1〗B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）的值域为〖cos1，1〗，g（x）的值域为〖﹣sin1，sin1〗D．f（x）与g（x）都不是周期函数16．已知在△ABC中，P0是边AB上的一个定点，满足，且对于边AB上任意一点P，恒有，则（）A．B．C．AB＝AC D．AC＝BC三、解答题：（第17题8分，第18、19、20题各10分，第21题14分，共52分）17．已知复数z使得z+2i∈R，∈R，其中i是虚数单位．（1）求复数z的共轭复数；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．18．已知向量＝（sin x，1），＝（cos x，﹣1）．（1）若，求tan x的值；（2）若函数y＝（），求此函数当x∈〖0，〗时的最大值．19．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少米？（精确到0.1）（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠ABC是多少弧度？（用反三角函数表示）20．设＝（x1，y1），＝（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2∈R．（1）请你利用上述两个向量以及向量的知识证明：（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x22+y22），并指出等号成立的条件；（2）请你运用（1）中证明不等式的向量方法，求函数y＝3+的最大值．21．在△ABC中，∠CAB＝120°．（1）如图1，若点P为△ABC的重心，试用、表示；（2）如图2，若点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧上运动（包含B、C两个端点），且AB＝AC＝1，设＝+（λ，μ∈R），求λμ的取值范围；（3）如图3，若点P为△ABC外接圆的圆心，设＝m+n（m，n∈R），求m+n的最小值.▁▃▅▇█参 *考 *答 *案█▇▅▃▁一、填空题（每小题3分，共36分）1．已知复数z1＝3+4i，z2＝a+i，若z1+z2为纯虚数，则实数a＝﹣3 ．〖分析〗先计算z1+z2，然后根据纯虚数的概念进行计算即可．解：由z1＝3+4i，z2＝a+i，得z1+z2＝3+a+5i，∵z1+z2为纯虚数，∴3+a＝0，解得a＝﹣3．故答案为：﹣3．2．已知向量，，若，则m＝．〖分析〗利用数量积与垂直的关系即可得出．解：∵，∴﹣1×3+2m＝0，解得．故答案为．3．若tanα＝﹣2，则＝ 3 ．〖分析〗直接利用两角差的正切公式代入即可求解．解：∵tanα＝﹣2，则＝＝3．故答案为：34．已知角α满足sinα+cosα＝，则tanα+cotα的值为﹣．〖分析〗把已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系化简，整理求出sinαcosα的值，原式利用同角三角函数间的基本关系化简后，代入计算即可求出值．解：把sinα+cosα＝，两边平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即sinαcosα＝﹣，则原式＝+＝＝＝﹣．故答案为：﹣．5．函数y＝sin（x+），x∈〖0，〗的单调增区间为〖0，〗．〖分析〗根据已知条件，结合正弦函数的单调性和x的取值范围，即可求解．解：令，k∈Z，即，∴当k＝0时，，又∵x∈〖0，〗，∴函数y的单调增区间为．故〖答案〗．6．若3+2i是方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）的一个根，则c＝13 ．〖分析〗由实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程x2+bx+c＝0的另一个根，再由根与系数的关系求解c值．解：∵3+2i是方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）的一个根，∴3﹣2i是方程x2+bx+c＝0（b，c∈R）的另一个根，则c＝（3+2i）（3﹣2i）＝32+（﹣2）2＝13．故答案为：13．7．已知向量＝（2，3），＝（﹣4，7），则向量在向量的方向上的数量投影为．〖分析〗根据投影的定义，应用公式向量在向量的方向上的数量投影||cos＜＞＝求解．解：向量＝（2，3），＝（﹣4，7），根据投影的定义可得：向量在向量的方向上的数量投影||cos＜＞＝＝＝．故答案为：．8．已知向量，，||＝1，||＝2，则|2﹣|的取值范围是〖3，5〗．〖分析〗利用向量数量积运算性质、余弦函数的单调性即可得出．解：设＜，＞＝θ．|2﹣|＝＝＝∵﹣1≤cosθ≤1，∴9≤17﹣8cosθ≤25，∴|2﹣|的取值范围是〖3，5〗．故答案为：〖3，5〗．9．已知函数y＝cos x与y＝sin（2x+φ）（0≤φ≤π）的图象有一个横坐标为的交点，则常数φ的值为．〖分析〗由于函数y＝cos x与y＝sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，可得sin（+φ）＝cos＝．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．解：∵函数y＝cos x与y＝sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin（+φ）＝cos＝．∵0≤φ≤π，∴≤+φ≤，∴+φ＝，解得φ＝．故答案为：．10．复平面上两个点Z1，Z2对应两个复数z1，z2，它们满足下列两个条件：①⊥且z2＝z1•2i；②两点Z1，Z2连线的中点所对应的复数3+4i，则△Z1OZ2的面积为20 ．〖分析〗设z1＝a+bi（a，b∈R），求得z2，结合中点坐标公式求解a与b的值，再求出|OZ1|与|OZ2|，代入三角形面积公式得答案．解：设z1＝a+bi（a，b∈R），则z2＝z1•2i＝（a+bi）•2i＝﹣2b+2ai，∴Z1（a，b），Z2（﹣2b，2a），又两点Z1，Z2连线的中点所对应的复数3+4i，∴，解得a＝，b＝．∴＝，＝，∴△Z1OZ2的面积为S＝．故答案为：20．11．如图是函数y＝sin（πx+）在一个周期内的图象，该函数图象分别与x轴、y轴相交于A、B两点，与过点A的直线相交于另外两点C、D，为x轴正方向的单位向量，则（+）＝．〖分析〗根据三角函数的图象及性质可求出A，B点坐标，结合三角函数的对称性可得A 是CD的中点，所以，又i为x轴正方向的单位向量，所以，再根据平面向量数量积的坐标运算即可求得答案．解：，所以，令f（x）＝0，解得，即，当k＝1时，，所以，因为函数f（x）关于A点对称，所以C关于A的对称点为D，即CD的中点是A，所以，因为为x轴正方向的单位向量，所以，所以．故答案为：．12．定义：对于任意实数p、q，max{p，q}＝．设函数y＝g（x）的表达式为g（x）＝max{x，a cos x}（x∈R，常数a＞0），函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝2sin x+1，若对于任意x1∈R，总存在x2∈R使得g（x1）＝f（x2）成立，则实数a的取值范围是（0，〗．〖分析〗分别设g（x）、f（x）的值域为集合A、B，则题意等价于A⊆B，利用集合的包含关系求最值．解：因为2π是g（x）的周期，所以讨论〖0，2π）上的解析式．当x∈〖0，2π）时，＝．所以g（x）的值域为A＝；f（x）＝2sinx+1的值域为B＝〖﹣1，3〗；条件等价于A⊆B，所以，又a＞0，解得．故答案为：．二、选择题：（每小题3分，共12分）13．已知△ABC中，，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定〖分析〗根据数量积的应用，判断角B的大小即可得到结论．解：∵，∴cos B＞0，即B为锐角，此时无法判断A，C的大小，∴△ABC为的形状无法判断．故选：D．14．设z1、z2为复数，下列命题一定成立的是（）A．如果z12+z22＝0，那么z1＝z2＝0B．如果|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2C．如果|z1|≤a，a是正实数，那么﹣a≤z1≤aD．如果|z1|＝a，a是正实数，那么〖分析〗利用反例判断A的正误；通过反例判断B的正误；利用复数的几何意义判断C的正误；设出复数即可化简结果，判断正误即可．解：对于A，如果z1＝1﹣i，z2＝1+i，，所以z1＝z2＝0不正确．对于B，如果z1＝1﹣i，z2＝1+i，|z1|＝|z2|，那么z1＝±z2不正确．对于C，|z1|≤a，a是正实数，说明复数对应的点到原点的距离小于a，所以﹣a≤z1≤a 不正确．对于D，|z1|＝a，a是正实数，那么＝a2，正确．故选：D．15．已知函数f（x）＝cos（sin x），g（x）＝sin（cos x），则下列说法正确的是（）A．f（x）与g（x）的定义域都是〖﹣1，1〗B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）的值域为〖cos1，1〗，g（x）的值域为〖﹣sin1，sin1〗D．f（x）与g（x）都不是周期函数〖分析〗根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可．解：A．f（x）与g（x）的定义域都是R，故A错误，B．f（﹣x）＝cos（sin（﹣x））＝cos（﹣sin x）＝cos（sin x）＝f（x），则f（x）是偶函数，故B错误，C．∵﹣1≤sin x≤1，﹣1≤cos x≤1，∴f（x）的值域为〖cos1，1〗，g（x）的值域〖﹣sin1，sin1〗，故C正确，D．f（x+2π）＝cos（sin（x+2π））＝cos（sin x）＝f（x）则f（x）是周期函数，故D错误，故选：C．16．已知在△ABC中，P0是边AB上的一个定点，满足，且对于边AB上任意一点P，恒有，则（）A．B．C．AB＝AC D．AC＝BC〖分析〗设||＝4，则||＝1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0＝a，由数量积的几何意义，化•≥•恒成立，为△＝（a+1）2﹣4a＝（a﹣1）2≤0，从而求得△ABC是等腰三角形，AC＝BC．解：设||＝4，则||＝1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0＝a，如图所示；则由数量积的几何意义可得，＝||•||＝﹣（a+1）||，•＝﹣a，于是•≥•恒成立，整理得||2﹣（a+1）||+a≥0恒成立，只需△＝（a+1）2﹣4a＝（a﹣1）2≤0即可，于是a＝1，因此我们得到HB＝2，即H是AB的中点，∴△ABC是等腰三角形，即AC＝BC．故选：D．三、解答题：（第17题8分，第18、19、20题各10分，第21题14分，共52分）17．已知复数z使得z+2i∈R，∈R，其中i是虚数单位．（1）求复数z的共轭复数；（2）若复数（z+mi）2在复平面上对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．〖分析〗（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z+2i＝x+（y+2）i，由虚部为0求得y值．再把利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得x值，则z可求，可求；（2）把（z+mi）2变形为复数的代数形式，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组求解m的范围．解：（1）设z＝x+yi（x，y∈R），则z+2i＝x+（y+2）i，∵z+2i∈R，∴y+2＝0，即y＝﹣2．又∈R，∴x﹣4＝0，即x＝4．∴x＝4﹣2i，则；（2）∵m为实数，且（z+mi）2＝〖4+（m﹣2）i〗2＝（12+4m﹣m2）+8（m﹣2）i，由题意，，解得﹣2＜m＜2．∴实数m的取值范围为（﹣2，2）．18．已知向量＝（sin x，1），＝（cos x，﹣1）．（1）若，求tan x的值；（2）若函数y＝（），求此函数当x∈〖0，〗时的最大值．〖分析〗（1）利用向量关系，推出结果即可．（2）利用向量的数量积，结合两角和与差的三角函数，转化求解函数的最大值即可．解：（1）向量＝（sin x，1），＝（cos x，﹣1）．，可得﹣sin x＝cos x，所以tan x＝﹣；（2）y＝（）＝﹣1+cos2x+1＝sin2x+cos2x＝sin+．因为x∈〖0，〗，所以2x+∈，所以当2x+＝，即x＝时，最大值为：．19．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C 处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4米，于是选择沿A→B→C路线清扫，已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2米/秒，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10秒钟完成了清扫任务．（1）B、C两处垃圾的距离是多少米？（精确到0.1）（2）智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠ABC是多少弧度？（用反三角函数表示）〖分析〗（1）利用题目条件找到三边关系，结合余弦定理构造关于a的方程求解；（2）利用正弦定理列式求解．解：（1）设角A、B、C的对边分别为a，b，c．由条件有∠A＝120°，b﹣c＝0.4，c+a ＝10×0.2＝2．则c＝2﹣a，b＝0.4+c＝2.4﹣a，由余弦定理，得，又0＜a＜2，解得a＝1.4，即B、C两点间的距离为1.4．（2）b＝2.4﹣1.4＝1，由正弦定理得，因为∠B为锐角，所以．即智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角∠ABC是．20．设＝（x1，y1），＝（x2，y2），其中x1，y1，x2，y2∈R．（1）请你利用上述两个向量以及向量的知识证明：（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x22+y22），并指出等号成立的条件；（2）请你运用（1）中证明不等式的向量方法，求函数y＝3+的最大值．〖分析〗（1）根据题意，由、的坐标可得•、||和||的值，由数量积的运算性质•＝||||cosθ≤||||，分析可得证明；（2）根据题意，由（1）的结论对y＝3+，变形分析可得答案．解：（1）证明：根据题意，＝（x1，y1），＝（x2，y2），则•＝x1x2+y1y2，||＝，||＝，又由•＝||||cosθ≤||||，则有（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x22+y22），当且仅当∥时等号成立；（2）根据题意，由（1）的结论（x1x2+y1y2）2≤（x12+y12）（x22+y22），y＝3+＝3×+×≤×＝＝2，当且仅当x＝±时等号成立，故函数y＝3+的最大值为2．21．在△ABC中，∠CAB＝120°．（1）如图1，若点P为△ABC的重心，试用、表示；（2）如图2，若点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧上运动（包含B、C两个端点），且AB＝AC＝1，设＝+（λ，μ∈R），求λμ的取值范围；（3）如图3，若点P为△ABC外接圆的圆心，设＝m+n（m，n∈R），求m+n的最小值.〖分析〗（1）延长AO交BC于D，利用重心性质及向量加减表示即可；（2）以A为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量坐标表示求得λ，μ，再用三角函数性质求得最值即可；（3）表示出＝m（）+n（），即（1﹣m﹣n）＝m+n，平方后整理可得3mn+1＝2m+2n，利用换元思想及基本不等式即可求解解：（1）延长AO交BC于D，则D是BC中点，所以＝•（）＝；（2）以A为原点，建立如图所示坐标系，则B（1，0），C（﹣，），设P（cosθ，sinθ），θ∈〖0，〗，因为＝+，所以（cosθ，sinθ）＝λ（1，0）+μ（﹣，），所以，所以λμ＝sinθ（cosθ+θ）＝sin2θ+sin²θ＝sin2θ+（1﹣cos2θ）＝（sin2θ﹣cos2θ+1）＝sin（2θ﹣）+，因为θ∈〖0，〗，所以2θ﹣∈〖﹣，〗，则λμ＝sin（2θ﹣）+∈〖0，1〗；（3）因为∠CAB＝120°，所以∠CPB＝120°，由＝m+n（m，n∈R）可得＝m（）+n（），即（1﹣m﹣n）＝m+n，平方可得（1﹣m﹣n）²＝m²+n²+2mn即（1﹣m﹣n）²||²＝m²||²+n²||+2mn||•||cos120°，所以（1﹣m﹣n）²＝m²+n²﹣mn，整理可得3mn+1＝2m+2n，由平行四边形法则可知m+n＞1，令m+n＝t，则mn＝，t＞1，由基本不等式可得mn≤，即≤，解得t≥2或t≤，所以t≥2，则m+n≥2，即m+n的最小值为2．。
★试卷3套汇总★上海市浦东新区2020年高一数学下学期期末调研试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知圆22:2C x y +=，直线:240l x y +-=，点00(,)P x y 在直线l 上．若存在圆C 上的点Q ，使得45OPQ ∠=（O 为坐标原点），则0x 的取值范围是A ．[0,1]B ．8[0,]5C ．1[,1]2-D ．18[,]25-2．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为函数()f x 的“下确界”.若函数()3cos 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，,6x m π⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭的“下确界”为12-，则m 的取值范围是（ ） A ．,62ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ B ．,62ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C ．5,66ππ⎛⎤-⎥⎝⎦ D ．5,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭3．在[]0,5中任取一实数作为x ，则使得不等式()2log 11x ->成立的概率为（ ） A ．12B ．35C ．25D ．134．定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为( )A ．B ．C ．D ．5．在等差数列{}n a 中，若28,a =-公差2d =，则12a =（ ） A ．10B ．12C ．14D ．166．函数()1,0252sin 2,0,6x x f x x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+<< ⎪⎪⎝⎭⎩，，若方程()f x a =恰有三个不同的解，记为123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是( )A ．10102,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．552,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10101,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．551,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭7．在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则AD AC -＝ A ．CBB ．BCC ．12CB D ．12BC 8．某中学高一年级甲班有7名学生，乙班有8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是82，若从成绩在[80,90)的学生中随机抽取两名学生，则两名学生的成绩都高于82分的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．159．在等差数列中，若.，则（ ） A ．100B ．90C ．95D ．2010．已知函数()sin()(,0)f x x x R ωϕω=+∈>相邻两个零点之间的距离为2π，将()y =f x 的图象向右平移8π个单位长度，所得的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值可能是（ ） A ．πB ．2π C ．4π D ．4π-11．下列大小关系正确的是 ( ) A. B. C.D.12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2=31n n S a -，则通项公式n a 等于( )． A ．12n naB ．2nn a =C ．13-=n n aD ．3nn a =二、填空题：本题共4小题13．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，410714,30S S S =-=，则9S =________.14．化简：sin()cos()sin()cos()222cos()sin()πππααπααπαπα+--++++． 15．已知实数,x y 满足约束条件2211x y x y x y -≤⎧⎪-≥-⎨⎪+≥⎩，若目标函数z x ay =+仅在点()0,1处取得最小值，则a 的取值范围是__________.16．若223312cos 2cos 2cos ααα+++99992cos 0α++=，()0,απ∈，则α=__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2020-2021学年上海市上海中学高一下学期数学期末考试卷(含详解)
上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学期末试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1.与()4,3a =-平行的单位向量的坐标为__________．2.在空间，与边长均为3cm 的ABC ∆的三个顶点距离均为1cm 的平面共有.3.若1i z =+，则1zzz =-__________．4.关于z 的实系数一元二次方程220z bz c ++=的一根为1+，则c =__________．5.设复数()i ,z a b a b R =+∈，1+zz是实数，则a ，b 满足条件___________．6.已知向量a ，b不共线，实数x ，y 满足()()2452x y a b a x y b -+=+- ，则x y +的值为__________．7.已知(0,2))z απ=∈，则z 的取值范围是__________．8.已知z C ∈，方程3i 13i z z z ⋅-=+的解为___________．9.已知直线a ，b 垂直，直线c 与a 所成的角为6π，则c 与b 所成角的范围是___________．10.平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=︒，且1AA ⊥底面ABCD ，则对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为___________．11.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，125634AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小值与最大值的和______.12.空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有__________种．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列说法正确的有（）（1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面．A.0B.1C.2D.314.四面体的四个面中，直角三角形最多可有（）A.1B.2C.3D.415.动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（）A.内心B.垂心C.重心D.外心16.在四面体ABCD 中，1AB BC CA ===，DA 与直线AB ，CA 均垂直，且D A ，一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点D ，则其爬过的路程最小值为（） A.393B.15326+ C.433 D.373三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.在平面直角坐标系中，向量,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()sin ,cos n x x = ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．若m n ⊥，求tan x 的值．18.空间四边形ABCD 中，AB AC ≠，AE 是ABC 的边BC 上的高，DF 是BCD △的边BC 上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线．19.在OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使得:1:5OM OA =，:1:4ON OB =，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA a = ，OB b = ，用a ，b表示向量OP ．20.如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 是线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2．（1）证明：1A F BE ⊥；（2）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？若存在，求出11A QA B的值；若不存在，说明理由．21.设复平面中向量OP对应的复数为P z ，给定某个非零实数z ，称向量()()()()Re ,Im P P z OP z z z z =⋅⋅ 为OP的z -向量．（1）已知()11,OA x y = ，()22,OB x y =，求()()z OA z OB ⋅ ；（2）对于复平面中不共线的三点A ，B ，C ，设()'OA z OA = ，()'OB z OB =，()'OC z OC =，求''':A B C ABCS S △△；（3）设()(),,0v x y x y => ，()i 1,0= ，()0,1j = 的z 向量分别为'OV ，OE ，OF ，已知()',OV u v = ，1'OV E S S =△，2'OV F S S =△，求v的坐标（结果用1S ，2S ，z 表示）．上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学期末试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1.与()4,3a =-平行的单位向量的坐标为__________．【答案】4343,,5555⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【解析】【分析】根据单位向量的求法，即可得答案.【详解】由题意得：与a 平行的单位向量为()4,343,555aa -⎛⎫±=±=±- ⎪⎝⎭.故答案为：4343,,5555⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，2.在空间，与边长均为3cm 的ABC ∆的三个顶点距离均为1cm 的平面共有.【答案】8【解析】【分析】分别从平面在三角形的同侧和异侧确定平面的位置.与个数【详解】若三角形在平面的同侧,此时到ABC 的三个顶点距离均为1cm 的平面的平面有两个.因为正三角形的边长为3,所以三角形的高为22>,所以当平面经过中位线EF 时,根据线面平行的性质可知,此时有两个平面到ABC 的三个顶点距离均为1cm .同理过两外两个边的中位线的平面也各有2个.所以满足条件的平面共有8个.故答案为8.【点睛】本题主要考查线面平行的性质以及平面之间的距离问题，考查了空间想象能力，属于中档题.3.若1i z =+，则1zzz =-__________．【答案】1i -【解析】【分析】根据复数的运算法则计算．【详解】由已知1i 1i1i (1i)(1i)1211z zz --===-+----．故答案为：1i -．4.关于z 的实系数一元二次方程220z bz c ++=的一根为1+，则c =__________．【答案】8【解析】【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对定理，得220z bz c ++=的另一根为1，再由韦达定理可得(1)(1)2=c，即可求出c 的值.【详解】由题意得实系数一元二次方程220z bz c ++=的另一根为1-，再由韦达定理可得(1)(1)2+-=c，得8c =.故答案为：85.设复数()i ,z a b a b R =+∈，1+zz是实数，则a ，b 满足条件___________．【答案】0b =且1a ≠-【解析】【分析】化简1+z z ，再由1+z z是实数，虚部为0，分母不为0化简，即可得答案.【详解】由题意，1+z z 是实数，即2222(1))(1(1)(1)(1)+-+++==++++++-+++a bi a a b bia bi a bi a bi a a i a bib b 为实数，可得0b =且22(1)0++≠a b ，即0b =且1a ≠-.故答案为：0b =且1a ≠-.6.已知向量a ，b不共线，实数x ，y 满足()()2452x y a b a x y b -+=+- ，则x y +的值为__________．【答案】1【解析】【分析】根据题意，列出方程组，求得x ，y ，即可得答案.【详解】因为()()2452x y a b a x y b -+=+- ，且向量a ，b不共线，所以2542x y x y-=⎧⎨=-⎩，解得2,1x y ==-，所以1x y +=.故答案为：17.已知(0,2))zαπ=∈，则z的取值范围是__________．【答案】2 2⎣【解析】【分析】根据复数模的性质求出模，然后结合三角函数性质得取值范围．【详解】由题意z=====，20sin1α≤≤，233321sinα≤≤+，所以22z≤≤．故答案为：2⎣．8.已知z C∈，方程3i13iz z z⋅-=+的解为___________．【答案】1z=-或13iz=-+【解析】【分析】两边取共轭复数后可得方程组，得到2z z+=-，再将2z z=--代入方程得到关于复数z的方程，因式分解从而求得复数z.【详解】两边取共轭复数后可得方程组：3i13i3i13izz zzz z-=+⎧⎨+=-⎩①②，②-①得2z z+=-，把2z z=--代入②得：2(23i)(13i)0z z+-+-=，即(1)(13i)0z z++-=，∴1z=-或13iz=-+.故答案为：1z=-或13iz=-+.9.已知直线a，b垂直，直线c与a所成的角为6π，则c与b所成角的范围是___________．【答案】,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】考虑到直线c与a所成的角为6π，把,,a b c平移到一个圆锥上，a为圆锥PO的轴所在直线，b 为一个轴截面的底边AB 所在直线，c 为圆锥的母线所在直线，由母线PC 到底面直径AB 所成角可得结论．【详解】不妨平移,,a b c 为：a 为圆锥PO 的轴所在直线，b 为一个轴截面的底边AB 所在直线，c 为圆锥的母线所在直线，如图，对于任意一条母线PC ，当C 是半圆弧 AB 中点时，PC 与AB 所成角为2π，当C 不是半圆弧 AB 中点时，作//CD AB 交底面圆于D ，PC 与AB 所成角为PCD ∠（此角为锐角），cos PCD ∠12CDPC=，而0CD AB<≤，所以0cos OA PCD PA <∠≤，即2PAO PCD π∠≤∠<，3PAO π∠=，所以32PCD ππ≤∠<，综上32PCD ππ≤∠≤，故答案为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10.平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=︒，且1AA ⊥底面ABCD ，则对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为___________．【答案】4【解析】【分析】在平面1111D C B A 中，过点1A 做111A E C D ⊥，交11C D 的延长线于E ，根据线面垂直的判定定理，可证1A E ⊥平面11CDD C ，所以1A CE ∠即为所求，分别求得各个边的长度，根据三角函数的定义，即可得答案.【详解】延长11C D ，在平面1111D C B A 中，过点1A 做111A E C D ⊥，交11C D 的延长线于E ，连接1A C 、CE ，如图所示因为1AA ⊥底面ABCD ，则1AA ⊥平面1111D C B A ，又1A E ⊂平面1111D C B A ，所以11AA A E ⊥，因为11AA DD ∕∕，所以11A E DD ⊥，所以1A E ⊥平面11CDD C ，所以1A CE ∠即为直线1A C 与侧面11DCC D 所成角，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，所以23AC =在1Rt A AC △中，2114AC A A AC =+=，在11Rt A D E △中，12sin 603A E =︒=，所以在1Rt A CE 中，1113sin 4A E A CE A C ∠==.所以对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为34.故答案为：3411.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，125634AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小值与最大值的和______.【答案】5【解析】【分析】由题意可得AB AD AC += ，BD AD AB =- ，0AB AD =，化简123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++，由于(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍±1，由完全平方数的最值，可得最值．【详解】解：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC += ，BD AD AB =- ，则0AB AD =，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++- 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++=，由于(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍±1，可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，可取561λλ==，131λλ==，21λ=-，41λ=，可得所求最小值为0；由1356λλλλ-+-，2456λλλλ-++的最大值为4，可取21λ=，41λ=-，561λλ==，11λ=，31λ=-，可得所求最大值为所以最小值与最大值的和为故答案为：【点睛】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力．12.空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有__________种．【答案】2【解析】【分析】根据空间中，直线的位置关系，分析即可得答案.【详解】空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，只有2种情况：正四面体模型，各个夹角为60︒，且满足异面，甲烷模型，各个夹角为10928'︒，且满足异面，故答案为：2二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列说法正确的有（）（1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面．A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据平面的基本性质判断（1）（3），（2）结合线面垂直的判定定理和性质定理判断．【详解】（1）空间四边形的对角线一定不相交，否则变成平面四边形，正确；（2）如图四边形ABCD 的四个角都是直角，若ABCD 不是平面四边形，则,AB CD 不共面，显然不平行，过C 作//CE AB ，任取一点E ，连接DE ，则AD CE ⊥，又AD CD ⊥，而CD CE C = ，,CD CE ⊂平面CDE ，所以AD ⊥平面CDE ，同理BC ⊥平面CDE ，所以//AD BC ，即,AD BC 共面，则ABCD 是平面四边形，矛盾．所以假设不成立，ABCD 是平面四边形，正确．（3）平行四边形的四个顶点中无三点共线，但它们共面，错误．正确的命题有2个．故选：C ．14.四面体的四个面中，直角三角形最多可有（）A.1 B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】结合正方体可得正确的选项.【详解】如图在正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1A ABC -的四个侧面都是直角三角形，故选：D .【点睛】根据题意,可将此四棱锥放到正方体中,即取正方体的一个上顶点,四个下顶点,然后结合正方体的特征,利用线面垂直的判定与性质进行分析即可得到侧面直角三角形的个数,这是立体几何中常用到的方法,即补体法,把问题转化到熟知的几何体中处理即可.属于基础题15.动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（）A.内心B.垂心C.重心D.外心【答案】C 【解析】【分析】取AB 中点D ，做出简图，由2OA OB OD +=化简得2(1)1233OP OD OC λλ-+=+ ，根据2(1)12133λλ-++=得P 、C 、D 三点共线，所以点P 一定会通过ABC 重心.【详解】取AB 中点D ，做出示意图如下图所示：由图可知2OA OB OD +=，故12(1)12(1)(1)(12)333OP OA OB OC OD OC λλλλλ-+⎡⎤=-+-++=+⎣⎦ ，因为2(1)12133λλ-++=，所以P 、C 、D 三点共线，即点P 在AB 的中线CD 所在直线上，所以点P 一定会过ABC 的重心。
上海市2020〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷下学期考试数学试卷
上海市2020年〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷下学期考试数学试卷创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会创作单位： 明德智语学校第一部分选择题(共 50 分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知点),(n a n 在直线x y 2=上,则数列}{n a A.是公差为2的等差数列 B.是公比为2的等比数列C.是递减数列D.以上均不对2．函数()26lg x x y -+=的定义域是 A.{}3,2>-<x x x 或 B.{}32<<-x x C.{}32<<x x D.R3．函数x x y cos sin =的最小正周期T=A ．πB ．2πC ．3πD ．4π 4．如右上图所示的方格纸中有定点O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=A ．OHB ．OGC ．FOD ．EO5．—个几何体的三视图及其尺寸如右，则该几何体的表面积为A ．12πB ．15πC ．24πD ．36π 6．下列命题正确的是第7题A.若22b a >，则ba > B. 若,11ba >则b a <C. 若,bc ac >则b a >D. 若,b a >则b a > 7．右图给出的是计算161614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 A.8>i B.8<i C.16>i D.16<i 8．在等比数列 {a n } 中，,3,210275=+=a a a a则412a a A.2B.21 C.2或21D.－2 或 －219． 已知函数c bx x x f ++=2)(,且)1()3(f f =-.则 A.)1()1(-<<f c f B.)1()1(->>f c f C. c f f <-<)1()1( D. c f f >->)1()1(10．若函数x a x f 2)(⋅-=与14)(++=a x f x 的图象有交点，则a 的取值范围是A.222-≤a 或 222+≥aB. 1-<aC. 2221-≤≤-aD. 222-≤a第二部分非选择题 (共 100 分)二．填空题：本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 把答案填在答卷的相应位置．11.在ABC ∆中，已知2cos sin =+A A ．则角A sin =. 12． 如果 的最小值是那么b a b a +=+,4log log 22 . 13．数列{)1(2+n n }的前n 项和为n S ，已知59=n S ，则n 值是 .A B 1BC 114．已知不等式组0,0,1,3x y y x y x≥⎧⎪≥⎪⎨≤+⎪⎪≤-⎩表示的平面区域为D , 则y x z 2+=的最大值是 .15. 如果直线 0=++c by ax 与圆C ：122=+y x 交于B A ,两点，且1=AB ，O 为坐标原点,则=⋅16．如下数表，为一组等式：某学生根据上表猜测221(21)()n S n an bn c -=-++，老师回答正确，则a b c ++=三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分10分）已知数列{}n a 为等差数列，且12,23211=++=a a a a ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)令na nb 3=，求证数列{}n b 是等比数列，并指出公比的大小．18. （本小题满分10分）已知 10<<a ，解关于a 的二次不等式()()[]0313>+--x a x .19．（本小题满分12分）如图,在直三棱柱111ABC A B C -中, 3AC =,4BC =,5AB =, 14AA =, 点D 是AB 的中点. (1) 求证:1AC ∥平面1CDB ；(2) 求证:1AC BC ⊥．20. （本小题满分12分）如图，AB 座，塑像及其底座所在直线与地面垂直,(1)请用ACO ∠与BCO ∠的正切表示ACB ∠的正切;(2)在地面OD 上求一点C ，使C 对塑像AB 的视角ACB ∠最大， 这时OC 长多少？21．（本小题满分12分）ABC ∆中,角C B A ,,对边分别是c b a ,,,满足222()AB AC a b c ⋅=-+．（1）求角A 的大小； （2）求2423cos sin()23C B π--的最大值，并求取得最大值时角C B ,的大小．22．（本小题满分14分）设数列 {}n a 的前n 项和为n S ，已知11S =，1n n S n cS n++= (c 为常数，*∈≠N n c ,1)，且321,,a a a 成等差数列. (1) 求 c 的值；(2) 求数列 {}n a 的通项公式；(3) 若数列{}n b 是首项为 1，公比为 c 的等比数列，记,332211n n n b a b a b a b a A ++++= (),11332211n n n n b a b a b a b a B --+++-= *∈N n 求证：()n n n B A 4134322-=+参考答案一、选择题：一、A B ACC D A CBD 二、填空题：11．22; 12.8;13． 9 ; 14．5 ;15.2116．1 三、解答题三、17. 解. (Ⅰ)∵数列{}n a 为等差数列,设公差为d ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 由12,23211=++=a a a a ,得1232=a ,42=a ∴2=d ┈┈┈┈┈┈┈5分n 1a a (n 1)d 2(n 1)22n =+-=+-⋅=┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分AB 1BC (Ⅱ)∵na nb 3=,∴n 1n 1n n b 99b 9++==┈┈┈┈9分 ∴数列{}n b 是公比为9的等比数列┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分 18．由：[x （a -1）+3](x -3)>00<a <1, ∴-1<a -1<0, (4)分∴31313>-=--aa ; (利用作差比较两数的大小，同样酌情得分)……………7分∴ 不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧-<<a x x 133|. ………………10分19．证明:(1) 令1BC 与1CB 的交点为E , 连结DE .∵D 是AB 的中点, E 为1BC 的中点, ∴DE ∥1AC . …………3分∵1AC ⊄平面1CDB , DE ⊂平面1CDB ,∴1AC ∥平面1CDB . ………………6分(2) ∵ 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱, ∴1C C ⊥平面ABC , ∴1C C AC ⊥,……8分 ∵3AC =, 4BC =, 5AB =,∴222AC BC AB +=, ∴AC BC ⊥,……10分∴AC ⊥平面11CC B B , ∴1AC BC ⊥………12分20.(1)BCOACO BCOACO BCO ACO ACB ∠⋅∠+∠-∠=∠-∠=∠tan tan 1tan tan )tan(tan…3分(2)设x OC =米,⎪⎭⎫⎝⎛∈=∠>2,0,,0πθθACB x ,………4分 如图,,12tan x CO AO ACD ==∠,3tan xCO BO BCD ==∠则 ………6分θπθtan ,2,0⎪⎭⎫⎝⎛∈是增函数,当且仅当,06,36>==x x x θtan ,最大,此时θ最大………11分答:当)(6m OC =时,C 对塑像AB 的视角ACB ∠最大………12分 21．解: （Ⅰ）由已知2222cos 2bc A a b c bc =---， ······ 2分由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得4cos 2bc A bc =-，∴1cos 2A =-， 4分∵0A π<<，∴23A π=． ·············· 6分（Ⅱ）∵23A π=，∴3BC π=-，03C π<<.241cos sin()sin()2323C C B B ππ+--=+-2sin()3C π=+．· 9分 ∵03C π<<，∴2333C πππ<+<，∴当32C ππ+=，24sin()23C B π--取最大值2，解得6B C π==．---12分22. .解:（1）∵11S =，1n n S n c S n ++=，∴11n n n n ca S S S n ++=-=， ∴1121321,,(1)22c ca S a cS c a S c ======+．∵123,,a a a 成等差数列，∴2132a a a =+， 即(1)212c c c +=+，∴2320c c -+=． 解得2c =，或1c =（舍去）．………4分（2）∵11S =，12n n S n S n ++=， ∴2111341(1)1(2)1212n n n S S n n n S S n S S n -++=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=≥-， ∴1(1)(1)(2)22n n n n n n n a S S n n -+-=-=-=≥， 又11a =，∴数列{}n a 的通项公式是()n a n n *=∈N ．…………8分 （3）证明：∵数列{}n b 是首项为１，公比为c 的等比数列，∴1n n b c -=． (9)分∵2112222n n n A a b a b a b =+++，2112222n n n B a b a b a b =-+-，∴22113321212()n n n n A B a b a b a b --+=+++， ①222244222()n n n n A B a b a b a b -=+++，②①式两边乘以c 得 221234212()2()n n n n c A B a b a b a b -+=+++③ 由②③得将2c =代入上式，得2243(14)3n n n A B +=-．…………14分 另证: 先用错位相减法求,n n A B ,再验证2243(14)3n n n A B +=-. ∵数列{}n b 是首项为１，公比为2c =的等比数列，∴12n n b -=． 又()n a n n *=∈N ，所以01212122222n n A n -=⨯+⨯++⨯①01212122222n n B n -=⨯-⨯+-⨯②将①乘以2得: 12222122222n n A n =⨯+⨯++⨯③①－③得: 201212221(12)222222212n n nn n A n n ---=+++-⨯=-⨯-,整理得: 24(21)1n n A n =-+将②乘以2-得: 12222122222n n B n -=-⨯+⨯-+⨯④②－④整理得:∴2243(14)3n n n A B +=-…………14分。
上海市浦东新区2019-2020学年新高考高一数学下学期期末调研试题
7．已知函数 的部分图象如图，则 的值为( )
A． B． C． D．
8．已知 ，则角 的终边所在的象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．已知 ，且 ，则 （）
A． B． C． D．2
10．Rt△ABC的三个顶点都在一个球面上，两直角边的长分别为6和8，且球心O到平面ABC的距离为12，则球的半径为（ ）
∴数列 是以1为首项，2为公差的等差数列，
∴ ，∴ ．
（2）由（1）得 ，
∴ ＝ ，
要使不等式Sn＜ 对一切 恒成立，则 ．
∴ 的范围为: ．
【点睛】
本题考查了构造法求等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题．
18．（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题结合余弦定理得角 的值；（2）由正弦定理可知， ，得 ，利用三角恒等变换得A的函数即可求范围
6．A
【解析】
【分析】
设 ，由 可得点 的轨迹方程，再对 两边平方，利用一元二次函数的性质求出最大值，即可得答案.
【详解】
设 ， ，
∵ ，∴ ，
整理得： .
∵ ，
∴ ，
当 时， 的最大值为 ，
∴ 的最大值为 .
故选：A.
【点睛】
本题考查向量模的最值、模的坐标运算、一元二次函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意坐标法的运用.
所以 ,
因为 是正方形，所以 ,
所以 平面 ,
所以平面 平面 .
【点睛】
证明线面平行可通过线线平行得证，证明面面垂直可通过线面垂直得证．
22．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
上海市2020〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷第二学期期末教学质量监测
上海市2020年〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷第二学期期末教学质量监测一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．cos(2013)π=Ａ．12Ｂ．1-Ｃ．0 2．已知角α的终边经过点(4,3)P -，则sin cos αα+的值是 Ａ．15Ｂ．15-Ｃ．75Ｄ．75-3．若函数21()sin ()2f x x x =-∈R ，则()f x 是Ａ．最小正周期为π2的奇函数Ｂ．最小正周期为π的奇函数Ｃ．最小正周期为2π的偶函数 Ｄ．最小正周期为π的偶函数4．化简=--+CD AC BD ABＡ．AD Ｂ．0Ｃ．Ｄ．DA 5．=+-)12sin 12)(cos 12sin12(cosππππＡ．23-Ｂ．21-Ｃ．21Ｄ．236．在等差数列{}n a 中，已知4816a a +=，则210a a +=Ａ．12Ｂ．20Ｃ．16Ｄ．247．将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是 Ａ．cos 2y x =Ｂ．22cos y x = Ｃ．)42sin(1π++=x y Ｄ．22sin y x =8．在ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项、4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项、9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是Ａ．钝角三角形Ｂ．等腰直角三角形 Ｃ．锐角三角形Ｄ．等腰三角形9．函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间ππ2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的简图是10．在ABC ∆中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 为AC 中点，若(4,3),(1,5)PA PQ ==，则BC =Ａ.(2,7)-Ｂ.(6,21)-Ｃ.(2,7)-Ｄ. (6,21)-xＡＢＣ．Ｄ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.11．已知,,a b c 三个正数成等比数列，其中3a =+3c =-,则b =.12．已知12=+y x ，则y x 42+的最小值为.13．在边长为2的正三角形ABC 中，设,,AB BC CA ===c a b ，则⋅+⋅+⋅=a b b c c a .14．给出下列命题：①存在实数α,使1cos sin =⋅αα；②函数)23sin(x y +=π是偶函数； ③8π=x 是函数)452sin(π+=x y 的一条对称轴的方程；④若βα、是第一象限的角，且βα>，则βαsin sin >. 其中正确命题的序号是.三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15．（本小题满分12分）已知向量(1,0),(2,1).==a b （1）求|3|+a b ；（2）当k 为何实数时,k -a b 与3+a b 平行, 平行时它们是同向还是反向？16．（本小题满分12分）在假期社会实践活动中，小明参观了某博物馆．该博物馆大厅有一幅壁画,刚进入大厅时,他在点A 处看这幅壁画顶端点C 的仰角为︒54,往正前方走4m 后，在点B 处看壁画顶端点C 的仰角为︒75(如图所示). (1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70m ,求这幅壁画顶端点C 离地面的高度.（精确到0.01m ，其中3 1.732≈）.17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知1141,8a b b ===,1055S =.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求n S 与n T . 18．（本小题满分14分）已知函数.1cos sin 32sin 2)(2++=x x x x f （1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的单调递增区间；（3）求)(x f 在]2,0[π上的最值及取最值时x 的值.19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点(,)P x y 满足约束条件：7523071104100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩． （1）在给定的坐标系中画出满足约束条件的可行域 (用阴影表示,并注明边界的交点)； （2）设74y u x +=+，求u 的取值范围；（3）已知两点(2,1),(0,0)M O ，求OM OP 的最大值． 20．（本小题满分14分）数列{}n a 满足：12112321(2,)n n n a a S S S n n *+-==+=+≥∈N ，，．n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）设2n n n b a =⋅,求数列}{n b 的前n 项和n T ；（3）设na n n n c 2)1(41⋅-+=-λ（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，有n n c c >+1恒成立．参考答案及评分标准一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分． 11．112．2213．314．②③三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分）已知向量(1,0),(2,1).==a b（1）求|3|+a b ；（2）当k 为何实数时,k -a b 与3+a b 平行, 平行时它们是同向还是反向？（本小题主要考查向量的基本概念和性质，考查向量的坐标运算的能力等） 解：（1）3(1,0)3(2,1)(7,3)+=+=a b ………………………………………..2分∴|3|+a b =2237+=58. ………………………………………..4分（2）(1,0)(2,1)(2,1)k k k -=-=--a b ………………………………..6分设(3)k λ-=+a b a b ，则(2,1)(7,3)k λ--=………………….8分 ∴⎩⎨⎧=-=-λλ3172k ………………………………………………………10分 解得13k λ==-.……………………………………………………….11分 故13k =-时,k -a b 与3+a b 反向平行…………………………………….12分 16．（本小题满分12分）在假期社会实践活动中，小明参观了某博物馆．该博物馆大厅有一幅壁画,刚进入大厅时,他在点A 处看这幅壁画顶端点C 的仰角为︒54,往正前方走4m 后，在点B 处看壁画顶端点C 的仰角为︒75(如图所示). (1)求BC 的长；(2)若小明身高为1.70m ,求这幅壁画顶端点C 离地面的高度（精确到0.01m ，其中3 1.732≈）.（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理的应用．本小题满分12分）解：(1)在ABC ∆中，45,75,754530CAB DBC ACB ∠=∠=∴∠=-= (2)分由正弦定理，得sin 45sin 30BC AB=, ………………………………4分将4AB 代入上式，得BC =m ………………………6分(2)在CBD ∆中，75,42,42sin 75CBD BC DC ∠==∴=...…………8分因为 30sin 45cos 30cos 45sin )3045sin(75sin +=+=,所以42675sin += ， (9)分则322+=DC ，….……………………………………………..10分所以2 1.70 3.70 3.4647.16CE CD DE =+=+≈+≈（ ）m ． (11)分答：BC 的长为；壁画顶端点C 离地面的高度为7.16m ． ………12分17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，已知1141,8a b b ===,1055S =.（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求n S 与n T .（本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查运算求解能力．）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q .由1055S =,得1104555a d +=, (2)分又11a =,所以104555, 1.d d +== (3)分1(1)1(1).n a a n d n n ∴=+-=+-=………………………………………………………….5分由48b =,得318b q =, …………………………………………………….…….…6分又11b =,所以38, 2.q q == (8)分11122.n n n b b --∴==…………………………………………………………………….…….10分（2）21()(1)11.2222n n a a n n n S n n ++===+……………………………………….12分 1(1)(12)2 1.112n n n n a q T q --===---……………………………………………14分18．（本小题满分14分）已知函数.1cos sin 32sin 2)(2++=x x x x f（1）求)(x f 的最小正周期；（2）求)(x f 的单调递增区间；（3）求)(x f 在]2,0[π上的最值及取最值时x 的值.（本小题主要考查三角函数的基本性质、三角恒等变换等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） 解：（1）因为1cos sin 32sin 2)(2++=x x x x f1cos sin 322cos 1++-=x x x ……………………1分 22cos 2sin 3+-=x x ……………………………2分,2)62sin(2+-=πx …………………………………3分所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T ……………………………………..4分 （2）因为,2)62sin(2)(+-=πx x f由222()262k x k k πππππ-≤-≤+∈Z , ……………….…………6分得()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z (7)分所以)(x f 的单调增区间是[,]().63k k k ππππ-+∈Z ……..……………..8分 （3）因为02x π≤≤，所以52.666x πππ-≤-≤……..………...………....9分 所以.1)62sin(21≤-≤-πx ……..………...………...……..………...…….10分所以].4,1[2)62sin(2)(∈+-=πx x f (12)分当,662ππ-=-x 即=x 时，)(x f 取得最小值1. ……..………...13分当,262ππ=-x 即3π=x 时，)(x f 取得最大值4. ……..………...……...14分 19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点(,)P x y 满足约束条件：7523071104100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪++≥⎩． （1）在给定的坐标系中画出满足约束条件的可行域 (用阴影表示,并注明边界的交点)；（2）设74y u x +=+，求u 的取值范围； （3）已知两点(2,1),(0,0)M O ，求OM OP 的最大值．（本小题主要考查线性规划，直线的斜率,向量的坐标运算等基础知识与基本技能,考查用数形结合的思想方法解决综合问题的能力．） 解：（1）由752307110x y x y --=⎧⎨+-=⎩得=4=1x y ⎧⎨⎩，(4,1)A ∴ (1)分 由7523=04+10=0x y x y --⎧⎨+⎩得=1=6x y -⎧⎨-⎩，(1,6)B ∴--..........................................2分由41007110x y x y ++=⎧⎨+-=⎩得=3=2x y -⎧⎨⎩，(3,2)C ∴- (3)分画出可行域N ，如右下图所示. ..................................................................4分 （2）(7)(4)DPy u k x --==--．……………………………………………………….. .……5分此时,重合时，倾斜角最小且为锐角DB 与直线DP 当直线分6…………; 13DB k =重合时，倾斜角最大且为锐角，此时DC 与直线DP 当直线分..7………; 9DC k = 的取值范围为74y u x +=+所以分8 (1),93⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）(2,1)(,)2OM OP x y x y •=•=+，……………………………………....…..10分，2y x z=-+，则2z x y=+设 ……………………………………………..…11分z，轴上的截距y 在2y x z =-+表示直线 ………………………………………12分，取到最大值z时，A 经过点2y x z =-+当直线 ………………………………13分的最大值为z这时分.14………………………………………….max 2419z =⨯+= 20．（本小题满分14分）数列{}n a 满足：12112321(2,)n n n a a S S S n n *+-==+=+≥∈N ，，．n S 为数列{}n a 的前n 项和．（1）求证：数列{}n a 为等差数列；（2）设2n n n b a =⋅,求数列}{n b 的前n 项和n T ；（3）设na n n n c 2)1(41⋅-+=-λ（λ为非零整数，*n ∈N ），试确定λ的值，使得对任意*n ∈N ，有n n c c >+1恒成立．（本小题主要考查等差数列、等比数列及前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、分类讨论的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力．）解：（1）由1121(2,)n n n S S S n n *+-+=+≥∈N ，得()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ）， (1)分即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=． (2)分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列． …………………3分（2）由（1）知1n a n =+． (4)分所以n n n b 2)1(⋅+=,12312232422(1)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅,234122232422(1)2n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅,两式相减得12341222222(1)2n n n T n +-=⋅+++++-+⋅………………………………6分所以12n n T n +=⋅. ……………………………………………………………8分（3）111,4(1)2n n n n n a n c λ-+=+=+-⋅∴,要使n n c c >+1恒成立,只要1211144(1)2(1)20n n n n n n n n c c λλ++-++-=-+-⋅--⋅>恒成立,即()11343120n n n λ-+⋅-⋅->恒成立， 即()1112n n λ---<恒成立．…………………………………………………9分当n为奇数时，即12n λ-<恒成立…………………………………………10分当且仅当1n =时，12n -有最小值为1，∴1λ<．………………………11分当n为偶数时，即12n λ->-恒成立…………………………………………12分当且仅当2n =时，12n --有最大值2-，∴2λ>-．……………………13分即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-……………………………14分综上所述，存在1λ=-，使得对任意*n ∈N ，都有n n c c >+1． (14)分。
上海市2020〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷数学试卷参考答案与试题解析
上海市2020年〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷数学试卷参考答案与试题解析创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1．（5分）﹣75°是第（）象限角．A．一B．二C．三D．四考点：象限角、轴线角．专题：计算题．分析：由于角﹣75°的终边落在第四象限，可得﹣75°是第四象限角．解答：解：由于角﹣75°的终边落在第四象限，故﹣75°是第四象限角，故选D．点评：本题主要考查象限角、象限界角的定义，属于基础题．2．（5分）的余弦值是（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式把要求的式子化为cos，从而得到结果．解答：解：cos=cos（﹣2π+）=cos（﹣）=cos=，故选B．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．3．（5分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由两角和的正弦公式对解析式化简，再由周期公式求出函数的周期．解答：解：由题意得，f（x）=sinx+cosx=f（x）=sin（x+），则函数的最小正周期是T==2π，故选B．点评：本题考查了两角和的正弦公式，以及三角函数的周期公式应用，属于基础题．4．（5分）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=45，则S9=（）A．18 B．45 C．63 D．81考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的性质得，a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45⇒a5=9，而S9=9a5，从而可得答案．解答：解：∵等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45，∴a5=9；∴S9===9a5=81．故选D．点评：本题考查等差数列的性质，考查熟练掌握等差数列的性质进行应用的能力，属于中档题．5．（5分）为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：由于=，故只需将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．解答：解：∵=所以只需将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选C．本题考查了三角函数图象的平移，属于基础题型．点评：6．（5分）在△ABC中，则B=（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°考正弦定理．点：计算题．专题：分利用正弦定理=及a＜b即可求得B的值．析：解解：∵在△ABC中，a=，b=6，答：∴由正弦定理=得：sinB===，又a＜b，∴A＜B，∴B=60°或B=120°．故选C．本题考查正弦定理，考查△ABC中“大边对大角”的应用，属于基础题．点评：7．（5分）函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．复合三角函数的单调性．考点：专计算题；三角函数的图像与性质．题：分由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）与x∈[﹣2π，2π]即可求得答案．析：解解：y=sin（+）的单调递增区间由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）得：答：4kπ﹣≤x≤4kπ+（k∈Z），∵x∈[﹣2π，2π]，∴﹣≤x≤．即y=sin（+）的单调递增区间为[﹣，]．故选A．点本题考查复合三角函数的单调性，求得y=sin（+）的单调递增区间是关键，属评：于中档题．8．（5分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆，则两圆的位置关系是（）A．相交B．外离C．外切D．内切考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，由d=R+r得到两圆的位置关系为外切．解答：解：由圆C1：（x+1）2+（y+4）2=25，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=10，得到圆心C1（﹣1，﹣4），圆心C2（2，2），且R=5，r=，∴两圆心间的距离d==3，∵5﹣＜3＜5+，即r﹣R＜d＜R+r，∴圆C1和圆C2的位置关系是相交．故选A．点评：此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定方法为：0≤d＜R﹣r，两圆内含；d=R﹣r，两圆内切；R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；d=R+r时，两圆外切；d＞R+r时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）．9．（5分）已知，则tanα的值为（）A．﹣或﹣B．或C．﹣D．﹣考点：三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：通过sinα+cosα=，求出sinαcosα的值，再给式子添上一个分母1，把1变成角的正弦与余弦的平方和，分子和分母同除以余弦的平方，得到关于正切的方程，根据判断的角的范围求出结果．解答：解：∵sinα+cosα=，所以2sinαcosα=﹣，∴=﹣，∴∴12tan2α+25tanα+12=0根据得到的角的范围得到tan故选C点评：本题考查三角函数的化简求值，正弦、余弦函数化为正切，即同角三角函数的基本关系式的应用，本题解题的关键是弦化切，本题是一个基础题．10．（5分）已知，若，则实数对（λ1，λ2）为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．无数对考点：平面向量的正交分解及坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量线性运算法则和向量相等即可得出．解答：解：∵=（2λ1+λ2，λ1+3λ2），，∴，解得．∴实数对（λ1，λ2）=（﹣1，1）．故选B．点评：熟练掌握向量线性运算法则和向量相等是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分11．（5分）（•绵阳一模）已知∥，则x= ﹣4 ．考点：平行向量与共线向量．分析：用两向量共线坐标形式的充要条件公式：坐标交叉相乘相等．解答：解：∵，∴2×（﹣6）=3x∴x=﹣4故答案为﹣4点评：考查两向量共线坐标形式的充要条件公式．12．（5分）在空间直角坐标系中，已知A（2，3，5），B（3，1，3），则|AB|= 3 ．考点：空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：利用空间向量模的计算公式即可得出．解答：解：∵，∴==3．故答案为3．点熟练掌握空间向量模的计算公式是解题的关键．评：13．（5分）已知，则cos（α﹣β）= ﹣．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：已知两等式两边分别平方，利用同角三角函数间的基本关系化简得到关系式，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．解答：解：已知等式平方得：（cosα+cosβ）2=cos2α+2cosαcosβ+cos2β=①，（sinα+sinβ）2=sin2α+2sinαsinβ+sin2β=②，①+②得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，即cosαcosβ+sinαsinβ=﹣，则cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）如图，已知一艘货轮以20海里/小时的速度沿着方位角（从指北针方向顺时针转到目标方向线的水平角）148°的方向航行．为了确定船位，在B点观察灯塔A的方位角是118°，航行半小时后到达C点，观察灯塔A的方位角是88°，则货轮与灯塔A的最近距离是8.7海里（精确到0.1海里，其中）．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：确定△ABC中，∠B=∠A=30°，∠C=120°，BC=10海里，过A作BC所在直线的垂线，垂足为D，则AD为所求．解答：解：由题意，在△ABC中，∠B=∠A=30°，∠C=120°，BC=10海里，∴AC=10海里，过A作BC所在直线的垂线，垂足为D，则AD为所求．在Rt△ACD中，AD=ACsin60°=10•≈8.7海里故答案为：8.7海里点评：本题考查正弦定理在实际问题中的运用，关键是构建三角形，寻找边角关系，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）化简．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用诱导公式化简要求的式子，从而得出结论．解答：解：=﹣tanα．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点．16．（12分）已知，且．（1）求与的夹角；（2）求．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：（1）利用向量的数量积公式，可求向量的夹角．（2）通过向量的模的平方等于向量的数量积即可求解向量的模．解答：解：因为，且．，所以cosθ=，所以θ=1200，与的夹角120°．（2）因为，=9﹣12+16=13所以=．点评：本题考查向量的数量积公式的应用，向量模的求法，是一道基础题．17．（14分）在等比数列{a n}中，a1=﹣1，a4=64（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）求和S n=a1+2a2+3a3+…+na n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的性质和题意求出q，代入通项公式化简；（2）由（1）求出na n代入S n，根据式子的特点利用错位相减法求出S n．解答：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由题意得，=﹣64，解得q=﹣4，∴数列{a n}的通项公式a n=﹣（﹣4）n﹣1，（2）由（1）得，na n=﹣n（﹣4）n﹣1，∴S n=﹣1﹣2×（﹣4）﹣3×（﹣4）2﹣…﹣n（﹣4）n﹣1①，﹣4S n=4﹣2×（﹣4）2﹣3×（﹣4）3﹣…﹣（n﹣1）（﹣4）n﹣1﹣n（﹣4）n②，①﹣②得，5S n=﹣1﹣[（﹣4）+（﹣4）2+（﹣4）3+…+（﹣4）n﹣1]+n（﹣4）n=﹣1﹣+n（﹣4）n=，∴S n=﹣．点评：本题本题考查等比数列的通项公式和性质，以及错位相减法求数列的和，考查了计算能力．18．（14分）设圆C的圆心在直线3x+y﹣7=0上，且圆经过原点和点（3，﹣1）．（1）求圆C的方程；（2）若点P是圆C上的动点，点Q是直线3x+4y﹣25=0上的动点，求|PQ|的最小值．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（1）设圆心C坐标为（a，7﹣3a），则由圆经过原点和点（3，﹣1）可得 a2+（7﹣3a）2=（a﹣3）2+（7﹣3a+1）2=r2．解得a的值，可得圆心的坐标和半径r，从而求得所求的圆的方程．（2）求得圆心C（2，1）到直线3x+4y﹣25=0的距离为 d=3＞r，可得|PQ|的最小值为 d﹣r，运算求得结果．解答：解：（1）设圆心C坐标为（a，7﹣3a），则由圆经过原点和点（3，﹣1）可得 a2+（7﹣3a）2=（a﹣3）2+（7﹣3a+1）2=r2．解得a=2，故圆心的坐标为（2，1），半径r=，故所求的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）由于圆心C（2，1）到直线3x+4y﹣25=0的距离为 d==3＞r，故|PQ|的最小值为 d﹣r=3﹣．点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．19．（14分）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的扇形，∠POQ的平分线交弧PQ于点E，扇形POQ的内接矩形ABCD关于OE对称；设∠POB=α，矩形ABCD的面积为S．（1）求S与α的函数关系f（α）；（2）求S=f（α）的最大值．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意可得△AOD为等边三角形，求得BC=2sin（﹣α）=cosα﹣sinα．再求得∠ABO=﹣α，△OAB中，利用正弦定理求得AB=2sinα．可得矩形ABCD的面积S=f（α）=AB•BC=．（2）由（1）可得S=f（α）=2sin（2α+）﹣．再由 0＜α＜，根据正弦函数的定义域和值域求得S=f（α）的最大值．解答：解：（1）由题意可得AB∥OE∥CD，∴∠POE=∠PAB=，∴∠OAD==∠ADO，∠BOC=﹣2α，△AOD 为等边三角形．故BC=2sin （﹣α）=2（cos α﹣sin α）=cos α﹣sin α．再由∠ABO=π﹣∠AOB ﹣∠OAD ﹣∠BAD=π﹣α﹣﹣=﹣α，△OAB 中，利用正弦定理可得，即=，化简可得AB=2sin α．故矩形ABCD 的面积S=f （α）=AB •BC=．（2）由（1）可得S=f （α）=2sin αcos α﹣2sin 2α=sin2α+cos2α﹣=2（sin2α+cos2α）﹣=2sin （2α+）﹣． 再由 0＜α＜可得＜2α+＜，故当 2α+=，即当时，S=f（α）取得最大值为． 点评： 本题主要考查直角三角形中的边角关系、两角和差的三角公式、正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．20．（14分）一数列{a n }的前n 项的平均数为n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设，证明数列{b n }是递增数列；（3）设，是否存在最大的数M ？当x ≤M时，对于一切非零自然数n ，都有f （x ）≤0．考点：数列的函数特性；数列的概念及简单表示法． 专题：函数的性质及应用． 分析： （1）利用平均数的意义和当n=1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1即可得出； （2）作差b n+1﹣b n ，证明其大于0即可；（3）利用（2）递增，因此有最小值．解出，即可知道是否存在最大的数M ．解答：解：（1）由题意可得，∴，当n=1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2﹣（n ﹣1）2=2n ﹣1． 当n=1时也成立．故a n =2n ﹣1．创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 （2）作差b n+1﹣b n ====， ∴b n+1＞b n 对于任意正整数n 都成立，因此数列{b n }是递增数列．（3）∵递增，∴有最小值， ∴，解得x 2﹣4x+1≥0，．所以M=．存在最大的数M=，当x ≤M 时，对于一切非零自然数n ，都有f （x ）≤0．点评： 熟练掌握数列的通项公式与其前n 项和之间的关系、作差法比较数的大小、一元二次不等式的解法及其转化法等是解题的关键．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校。
上海市2020〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷第二学期期末考试数学试题
上海市2020年〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷第二学期期末考试数学试题一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是是正确的,将正确答案填写在答题卷相应位置．）1．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下A ．114和0.14B ．13和114C ．14和0.14D ．0.14和142. 测验，其测验成绩的方差分别为S 22=26．26，则A ．甲班10的成绩整齐B ．乙班10的成绩整齐C ．甲、乙两班10D ．不能比较甲、乙两班名学生成绩的整齐程度3．右边的程序框图(断任意输入的数x A.0x = ? B.0m =? C.1x = ? D.1m =?4. 将十进制数31转化为二进制数为 A. 1111 B. 10111 C.11111 D.111105. 有如下四个游戏盘，撒一粒黄豆，若落在阴影部分，怎可以中奖，小明希望中奖，则他应该选择的游戏是6.已知A 是△ABC 的一个内角，且32cos sin =+A A ,则△ABC 是 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不能确定7．在第16届广州亚运会上，我国代表团的金牌数雄踞榜首。
右图是位居金牌榜前十二位的代表团获得的金 牌数的茎叶图，则这十二代表团获得的金牌数的平均数 （精确到0.1）与中位数的差为A ．22.6B ．36.1C ．13.5D ．5.2 8．下列说法正确的是A ．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关B ．方差和标准差具有相同的单位C ．从总体中可以抽取不同的几个样本D ．如果容量相同的两个样本的方差满足S 12<S 22，那么推得总体也满足S 12<S 22是错的9. 已知：数列{}n a 满足161=a ，n a a n n 21=-+，则na n 的最小值为A ．8B ．7C ．6D ．510.在函数)(x f y =的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数)(x f y =的解析式可能为 A ．12)(+=x x f B ．24)(x x f =C ．x x f 3log )(=D ．xx f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=43)(二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卷上11.不等式0)21(22<--+x x 的解集为_________________. 12.若x>0,y>0且281xy+=，则xy 的最小值是 ____； 13．为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 米的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是___________米。
上海市2020-2021年高一下学期数学期末考试卷
高一下期末考试卷一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分） 1．方程组{2x +y −1=03x −2y =0对应的增广矩阵为 ．2．若在行列式|3a 50−41−213|中，元素a 的代数余子式的值是 ．3．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝ ． 4．函数f （x ）＝2cos （x +π3）﹣1的对称轴为 ，最小值为 ． 5．方程3sin x ＝1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 ． 6．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 ．7．用数学归纳法证明（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n •1•3…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从“n ＝k ”到“n ＝k +1”的证明，左边需增添的代数式是 ． 8．若无穷等比数列{a n }的各项和等于a 12，则a 1的取值范围是 ．9．已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝2a n +1+3•2n +1，数列{an2}的前n 项和为 ．10．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n ＝2011，则n ＝ ．11．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n +1，记数列{a n ﹣kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n （n ∈N *）恒成立，则实数k 的取值范围为 ．12．数列{a n }满足a n +1+（﹣1）n a n ＝2n ﹣1，则{a n }的前60项和为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．将函数y ＝sin （x −π3）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．y=sin12x B．y=sin(12x−π2)C．y=sin(12x−π6)D．y=sin(2x−π6)14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏15．若S n＝sinπ7+sin2π7+⋯+sin nπ7（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．10016．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，a99−1a100−1＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．已知：f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期（2）若f（x）在[−π6，π4]上最大值与最小值之和为3，求a的值．18．如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？19．已知集合C＝{（x，y）|xy﹣3x+y+1＝0}，数列{a n}的首项a1＝3，且当n≥2时，点（a n﹣1，a n）∈C，数列{b n}满足b n=11−a n．（1）试判断数列{b n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若limn→∞(sa n+tb n)=1（s，t∈R），求s t的值．20．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列{√b n}是等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅰ）设S n=1a1+1a2+⋯+1a n，如果对任意正整数n，不等式2aS n＜2−b na n恒成立，求实数a的取值范围．21．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为三角形”数列对于“三角形”数列{a n}，如果函数y＝f（x）使得b n＝f（a n）仍为一个三角形”数列，则称y＝f（x）是数列{a n}的“保三角形函数，”（n∈N*）（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（k）＝k2，（k＞1）是数列{a n}的保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2019，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n﹣3S n ﹣1＝8076，证明{c n}是“三角形”数列（3）求证：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55．一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分）1．[2113−20]．2．2．3．15√344．x=kπ−π3(k∈Z)；﹣3．5．π6或5π6．6．[−π3，π4]．7．2（2k+1）．8．(12，1)∪(1，+∞)．9．3n2﹣2n．10．102811．73≤k≤125．12．∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+15×142×16）＝1830二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．C14．B15．C16．B三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）=√3sin2x+cos2x+1+a＝2sin（2x+π6）+1+a，（1）∴f（x）的最小正周期T=2πω=2π2=π；（2）∵x∈[−π6，π4]，∴2x+π6∈[−π6，2π3]；当2x+π6=−π6时，即x=−π6，f（x）取得最小值为2sin（−π6）+1+a＝a当2x+π6=π2时，即x=π6，f（x）取得最大值为2sin（π2）+1+a＝a+3∵最大值与最小值之和为3，∴a+3＝3，∴a＝0故a的值为0．18．在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，∴A＝15°，由正弦定理知：BCsinA =ACsinB，∴30sin15°=ACsin30°，∴AC=30sin30°sin15°=60cos15°=15√6+15√2，…（6分）∴A到B B C所在直线的距离为AC⋅sin45°=(15√6+15√2)⋅√22=15(√3+ 1)≈40.98＞38（海里），∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…19．（1）∵当n≥2时，点（a n﹣1，a n）恒在曲线C上，∴a n﹣1a n﹣3a n﹣1+a n+1＝0 （1分）由b n=11−a n得当n≥2时，b n﹣b n﹣1=11−a n −11−a n−1=a n−a n−11−a n−a n−1+a n a n−1=a n−a n−1−2a n+2a n−1=−12∴数列{b n }是公差为−12的等差数列． （2）∵a 1＝3，∴b 1=11−a 1=−12，∴b n =−12+（n ﹣1）•（−12）=−12n ，（6分） ∴−12n =11−a n，则a n ＝1+2n∴s a n+tb n=−s 2n+t−(1+2n)−12n(1+2n)=−sn 22+tn+2t −12n 2−n ，由lim n→∞(sa n+t b n)=1（s ，t ∈R ），可得s ＝1，s t ＝1．20．（Ⅰ）由已知，得2b n ＝a n +a n +1①，a n +12＝b n •b n +1②．由②得a n+1=√b n b n+1③．将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2b n =√b n−1b n +√b n b n+1． 即2√n =√b n−1+√b n+1． ∴{√b n }是等差数列．（Ⅰ）设数列{√b n }的公差为d ， 由a 1＝10，a 2＝15．经计算，得b 1=252，b 2=18．∴√b 1=52√2，d =√b 2−√b 1=3√2−52√2=√22． ∴√b n =52√2+(n −1)⋅√22=√22(n +4)．∴b n =(n+4)22，a n =(n+3)(n+4)2．（9分） （Ⅰ）由（1）得1a n =2(n+3)(n+4)=2(1n+3−1n+4)．∴S n =2[(14−15)+(15−16)++(1n+3−1n+4)]=2(14−1n+4)．不等式2aS n ＜2−b n a n化为4a(14−1n+4)＜2−n+4n+3．即（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8＜0．设f （n ）＝（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8，则f （n ）＜0对任意正整数n 恒成立． 当a ﹣1＞0，即a ＞1时，不满足条件；当a ﹣1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a ﹣1＜0，即a ＜1时，f （n ）的对称轴为x =−3(a−2)2(a−1)＜0，f （n ）关于n 递减，因此，只需f （1）＝4a ﹣15＜0．解得a ＜154，∴a ＜1． 综上，a ≤1．21．（1）显然a n ＝n +1，a n +a n +1＞a n +2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列．（2分）因为k ＞1，显然有f （a n ）＜f （a n +1）＜f （a n +2）， 由f （a n ）+f （a n +1）＞f （a n +2）得k n +k n +1＞k n +2，解得k ＜1+√52．所以当k ∈（1，1+√52）时，f （x ）＝k x 是数列{a n }的“保三角形函数”．（2）由4S n +1﹣3S n ＝8076，①当n ≥2时，4S n ﹣3S n ﹣1＝8076，②，①﹣②得4c n +1﹣3c n ＝0，则 所以c n+1c n=34当n ＝1时，即4（a 1+a 2）﹣3a 1＝8076，解得：a 2=60574，所以a 2a 1=34所以数列{c n }是以2019为首项，以34为公比的等比数列， 所以，c n ＝2019（34）n ﹣1，（7分）显然c n ＞c n +1＞c n +2，因为c n +1+c n +2＝2019 （34）n +2019（34）n +1=2116•2019（ 34）n ﹣1＞c n ，所以{c n }是“三角形”数列．（3）证明：函数h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是数列1，1+d ，1+2d （d ＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d （d ＞0）是三角形数列，所以1+1+d ＞1+2d ，即0＜d ＜1． ②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d ≤A ． ③h （1），h （1+d ），h （1+2d ）是三角形数列．由于h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是单调递减函数，所以h （1+d ）+h （1+2d ）＞h （1），解得0＜d ＜√55．所以函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三．角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55。
上海市2020年高一下学期数学期末试卷(附答案)
上海市高一下学期数学期末试卷一、解答题（本大题共有12小题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴，且终边经过点（1，2），则sinα的值为_________．2．函数y=2x（x≥1）的反函数为_________．3．已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的面积为_________．4．若log23=m，用含m的式子表示log281，则log281=_________．5．方程sinx﹣cosx=0（x∈[0，2π]）的所有解之和为_________．6．函数y=3cos2x的单调递减区间为_________．7．不等式log（x2+1）＜﹣1的解集为_________．8．若将函数y=sin（2x+）的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个长度单位，则所得的函数图象对应的解析式为_________．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=2，cos（A+B）=，则c的值为_________．10．已知函数f（x）=．下列命题：①f（x）为奇函数；②函数f（x）的图象关于直线x=对称；③当x=时，函数f（x）取最大值；④函数f（x）的图象与函数y=的图象没有公共点；其中正确命题的序号是_________．11．在△ABC中，已知3cscA=cscB•cscC，3sesA=secB•sesC，则cotA的值为_________．12．如果函数g（x）满足：对任意实数m，n均有g（mn+1）﹣g（m）g（n）=2﹣g（n）﹣m成立，那么称g（x）是“次线性”函数．若“次线性”函数f（x）满足f（0）=1，且两正数x，y使得点（x2﹣1，3﹣2xy）在f（x）的图象上，则log（x+y）﹣log4x的最大值为_________．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分.13．“x=2kπ+（k∈Z）”是“|sinx|=1”的（）A．充分非必要条件B．必要分充分条件C．充要条件D．即非充分又非必要条件14．给出命题：①y=sinx是增函数；②y=arcsinx﹣arctanx是奇函数；③y=arccos|x|为增函数；④y=﹣arccosx为奇函数．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图，则ω，φ的值分别是（）A．ω=1，φ=﹣B．ω=1，φ=﹣C．ω=2，φ=﹣D．ω=2，φ=﹣16．学习“三角”时，小明同学在参考书上看到求sin18°精确值的一种方法，具体如下：设等腰△ABC 的顶角∠A=36°．底角∠B的平分线交腰AC于D，且BC=1（如图），则AD=BD=1，于是，在△BCD中，可得CD=2sin18°．由△BAC∽△CBD得=，即=，整理得4sin218°+2sin18°﹣1=0，又sin18°（0，1），故解得sin18°=．现设α，β，α+β均属于区间（0，），若cos（﹣2β）•sin（2α+β）=cos（+2α）•sin（α+2β），则下列命题正确的是（）A．关于x的方程α•4x+β•2x+α=0有实数解B．关于x的方程α•（log4x）2+β•log4x﹣α=0无实数解C．关于x的方程sinx=有实数解D．关于x的方程cosx=无实数解三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（8分）已知cosα=，α∈（0，），sinβ=﹣，β∈（π，），求cos（α﹣β）的值．18．（8分）设函数f（x）=log2（9x﹣5）．（1）求使得f（x）＞2成立的x的集合；（2）解方程f（x）=log2（3x﹣2）+2．19．（10分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx﹣．（1）求f（x）的最小正周期；（2）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（+）=1，且a=2，求b+c的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=log3（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）设函数g（x）=f﹣1（x）+log t存在零点，求实数t的取值范围；（3）若不等式f（x）﹣m≥3x在x∈[2，3]上恒成立，求实数m最大值．21．（14分）已知函数f（x）的定义域为[0，1]．若函数f（x）满足：对于给定的T（0＜T＜1），存在t∈[0，1﹣T]．使得f（t+T）=f（t）成立，那么称f（x）具有性质P（T）．（1）函数f（x）=sin（x∈[0，1]）是否具有性质P（）？说明理由；（2）已知函数f（x）=具有性质P（T），求T的最大值；（3）已知函数f（x）的定义域为[0，1]，满足f（0）=f（1），且f（x）的图象是一条连续不断的曲线，问：是否存在正整数n，使得函数f（x）具有性质P（），若存在，求出这样的n的取值集合；若不存在，请说明理由．。
2019-2020学年上海中学高一下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海中学高一第二学期期末数学试卷一、填空题（共12小题）.1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第项．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝．4．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第项．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．9．计算＝．10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．参考答案一、填空题1．在数列{a n}中，若a1＝1，，则a n＝3n﹣2．【分析】利用等差数列定义和通项公式即可得出．解：a1＝1，，则a n+1＝a n+3，∴数列{a n}为首项为1，公差为3的等差数列，∴a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，故答案为：3n﹣2．2．在首项为2020，公比为的等比数列中，最接近于1的项是第12项．【分析】由已知可先求出数列的通项公式，进而可求．解：a n＝a1q n﹣1＝2020×（）n﹣1，则数列单调递减，a11﹣1＝2020×（）10﹣1＝，a12﹣1＝2020×（）11﹣1＝﹣故当n＝12时，数列的项与1最接近．故答案为：12．3．在等差数列{a n}中，前15项的和S15＝90，则a8＝6．【分析】由等差数列的前n和可得，由等差数列的性质可得a1+a15＝2a8，代入可求a8解：由等差数列的前n和可得∴a8＝6故答案为：64．等比数列{a n}满足a7a8a9＝27．则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝15．【分析】利用等比数列的通项公式推导出a8＝3，由此利用等比数列性质和对数函数运算法则能求出log3（a1a2…a15）的值．解：∵a7a8a9＝27，∴a83＝27，∴a8＝3，∴a1a15＝a2a14＝a3a13＝a4a12＝a5a11＝a6a10＝a7a9＝a82＝9，∴log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a15＝log3（a1•a2…a15）＝log3315＝15，故答案为：15．5．在等差数列{a n}中，a1＞0，S4＝S9，则S n取最大值时，n＝6或7．【分析】先由题设条件求出a1＝﹣6d，，然后用配方法进行求解．解：，解得a1＝﹣6d．∴＝＝，∵a1＞0，d＜0，∴当n＝6或7时，S n取最大值﹣．故答案：6或7．6．数列{a n}由a n＝（n∈N*）确定，则{a n}中第10个3是该数列的第1536项．【分析】借助于递推公式知道奇数项的值为其项数，而偶数项的值由对应的值来决定．又通过前面的项发现项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．即可求出第8个3在该数列中所占的位置．解：由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…∴a12+a15＝3+15＝18．又因为a3＝3，a6＝3，a12＝3，a24＝3…即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列．所以第10个3是该数列的第3×210﹣1＝1536项．故答案为：1536．7．已知方程在区间内有两个相异的解α，β，则k的取值范围是[0，1）．【分析】由已知结合辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的图象可求．解：因为在区间内有两个相异解，故y＝cos2x+sin2x＝2sin（2x+），由x∈[0，]可得2x+∈[]，其大致图象如图所示，结合图象可知，1≤k+1＜2，解可得0≤k＜1，故答案为：[0，1）．8．已知数列{a n}中a1＝1且（n∈N），a n＝．【分析】本题考查数列的概念，由递推数列求数列的通项公式，适当的变形是完整解答本题的关键．解：根据题意，a n+1a n＝a n﹣a n+1，两边同除以a n a n+1，得，于是有：，，…，，上述n﹣1个等式累加，可得，又a1＝1，得，所以；故答案为．9．计算＝．【分析】先利用裂项求和可得，＝，代入可求极限＝解：∵2[]＝＝＝∴＝∴＝＝故答案为：10．数列{a n}中，当n为奇数时，a n＝5n+1，当n为偶数时，a n＝，则这个数列的前2n 项的和S2n＝5n2+n+2n+1﹣2【分析】对数列{a n}使用分组求和的办法即可求得其前2n项的和．解：由题意知：数列{a n}的奇数项构成首项为6，公差为10的等差数列；数列{a n}的偶数项构成首项为2，公比为2的等比数列，故S2n＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2+a4+a6+…+a2n）＝6n++＝5n2+n+2n+1﹣2．故答案为：5n2+n+2n+1﹣2．11．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．设第n次生成的数的个数为a n，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为T n，则T n＝．【分析】（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推知该数列是等比数列，利用等比数列求和公式即可求出数列{a n}的前n项和S n（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3，类推可求出数列的和．解：（1）根据题意，一个数字生成器，生成规则可得：第1次生成1个数，第二次生成2个数，第三次生成4个数，第四次生成8个数…，以此类推，第n次生成的数的个数为a n＝2n﹣1，显然，此数列为首项为1，公比为2的等比数列．再根据等比数列求和公式，则数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1．（2）因为一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果是将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是﹣x，另一个是x+3．第一次生成的数为“1”，第二次生成的数为“﹣1、4”，第三次生成的数为“1、2、﹣4、7”，第四次生成的数为“﹣1、4、﹣2、5、4、﹣1、﹣7、10”…可观察出：第一次生成后前1次所有数中不同的个数为“1”，第2次生成后前2次所有数中不同的个数为“3”，第三次生成后前3次所有数中不同的个数为“6”，第四次生成后前4次所有数中不同的个数为“10”，…以此类推以后为公差为4的等差数列．则易得数中不同的数的个数为T n，则T n＝所以，应填上12．若数列{a n}，{b n}满足a1＝1，b1＝1，若对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+b n+，b n+1＝a n+b n﹣，设c n＝，则无穷数列{c n}的所有项的和为1．【分析】由题意可得a n+1+b n+1＝2（a n+b n），则数列{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，为本题解题的关键．解：由题意，a n+1+b n+1＝2（a n+b n），∴{a n+b n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴，而，可得，从而，其各项和为．故答案为：1．二、选择题13．用数学归纳法证明：“（n+1）（n+2）…（n+n）＝2n•1•3…（2n+1）”．从“n＝k到n＝k+1”左端需增乘的代数式为（）A．（2k+1）（2k+2）B．2（2k+1）C．D．【分析】写出从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式，化简即可．解：当n＝k时，左端＝（k+1）（k+2）（k+3）…（2k），当n＝k+1时，左端＝（k+2）（k+3）…（2k）（2k+1）（2k+2），从n＝k到n＝k+1时左边需增乘的代数式是：＝2（2k+1）．故选：B．14．“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．既不充分也不必要D．充分必要【分析】根据等比数列的性质和必要条件和充分条件即可判断．解：“b2＝ac”，当a＝b＝c＝0时，“a，b，c不成等比数列”，但“a，b，c依次成等比数列”则一定有“b2＝ac”，故“b2＝ac”是“a，b，c依次成等比数列”的必要非充分条件，故选：B．15．已知等差数列{a n}的公差d不为零，等比数列{b n}的公比q是小于1的正有理数．若，且是正整数，则q的值可以是（）A．B．C．D．【分析】运用等差数列和等比数列的通项公式，确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论．解：根据题意：a2＝a1+d＝2d，a3＝a1+2d＝3d，b2＝b1q＝d2q，b3＝b1q2＝d2q2，∴＝＝，∵是正整数，q是小于1的正有理数．令＝t，t是正整数，则有q2+q+1＝，∴q＝，对t赋值，验证知，当t＝8时，有q＝符合题意．故选：D．16．S n为实数构成的等比数列{a n}的前n项和，则{S n}中（）A．任一项均不为0B．必有一项为0C．至多有一项为0D．或无一项为0，或无穷多项为0【分析】举特例验证即可．解：若a n＝1，则S n＝n，显然{S n}中无一项为0，排除A，B；若a n＝（﹣1）n，显然当n为偶数时，S n＝0，即{S n}中有无穷多项为0，排除C，故选：D．三、解答题17．有三个数a，b，c依次成等比数列，其和为21，且a，b，c﹣9依次成等差效列，求a，b，c．【分析】由题意可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，再由已知列关于b与d的方程组求解b与d 的值，则答案可求．解：由题意，可设a＝b﹣d，c﹣9＝b+d，于是，解得或，当b＝4，d＝3时，可得a＝1，b＝4，c＝16当b＝4，d＝﹣12时，可得a＝16，b＝4，c＝1．18．解下列三角方程：（1）4cos2x﹣4cos x+1＝0；（2）sin2x+3sin x cos x+1＝0；（3）sin2x﹣12（sin x﹣cos x）+12＝0．【分析】（1）由条件可得，然后求出x即可；（2）利用同角三角函数基本关系式化简，然后两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，再求出x；（3）通过换元，转化为二次函数，进而得出．解：（1）即；（2）即sin2x+3sin x cos x+sin2x+cos2x＝0，两边同除cos2x，可得2tan2x+3tan x+1＝0，∴或tan x＝﹣1，∴或；（3）令，，则sin2x＝1﹣t2，从而1﹣t2﹣12t+12＝0，即t2+12t﹣13＝0，解得t＝1或t＝﹣13（舍），再由，∴或，∴或x＝2kπ+π（k∈Z）．19．已知等差数列{a n}满足a2＝0，a6+a8＝﹣10．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和S n．【分析】（1）等差数列{a n}的公差设为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得＝（2﹣n）•（）n﹣1，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理，即可得到所求和．解：（1）等差数列{a n}的公差设为d，a2＝0，a6+a8＝﹣10，可得a1+d＝0，a1+5d+a1+7d＝﹣10，解得a1＝1，d＝﹣1，则a n＝a1+（n﹣1）d＝1﹣n+1＝2﹣n，n∈N*；（2）＝（2﹣n）•（）n﹣1，数列{}的前n项和设为S n，S n＝1•（）0+0•（）+（﹣1）•（）2+…+（3﹣n）•（）n﹣2+（2﹣n）•（）n﹣1，S n＝1•（）+0•（）2+（﹣1）•（）3+…+（3﹣n）•（）n﹣1+（2﹣n）•（）n，上面两式相减可得，S n＝1+（﹣1）[（）+（）2+…+（）n﹣2+（）n﹣1]﹣（2﹣n）•（）n＝1+（﹣1）•﹣（2﹣n）•（）n，可得S n＝n•（）n﹣1．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且2S n是6和a n的等差中项．（1）求数列{a n}的通项公式和前n项和S n；（2）若对任意的n∈N*，都有S n∈[s，t]，求t﹣s的最小值．【分析】（1）利用数列递推式可以得到数列，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列；（2）分为两种情况，n为奇数以及n为偶数，再利用函数性质可以判定S n增减性，从而得到s与t的值．解：（1）由题意，4S n＝6+a n①，令n＝1，可得a1＝2，4S n+1＝6+a n+1②，②﹣①，得4a n+1＝a n+1﹣a n，即，∴{a n}是首项为2，公比为的等比数列，∴，；（2）①n为奇数时，，S n关于n单调递减且恒成立，此时，；②n为偶数时，，S n关于n单调递增且恒成立，此时，；∴（s n）min＝≥s，（s n）max＝2≤t，于是．21．对于实数a，将满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，对于实数a，无穷数列{a n}满足如下条件：a1＝|a，a n+1＝其中n＝1，2，3，…（1）若a＝，求数列{a n}；（2）当a时，对任意的n∈N*，都有a n＝a，求符合要求的实数a构成的集合A．（3）若a是有理数，设a＝（p是整数，q是正整数，p、q互质），问对于大于q的任意正整数n，是否都有a n＝0成立，并证明你的结论．【分析】（1）由题设知＝，a2＝＝＝＝，由此能求出．（2）由a1＝||a||＝a，知，1＜＜4，由此进行分类讨论，能求出符合要求的实数a构成的集合A．（3）成立．证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设，由此利用分类讨论思想能够推导出数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q 的自然数n，都有a n＝0．解：（1）∵满足“0≤y＜1且x﹣y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号||x||表示，a1＝，a n+1＝其中n＝1，2，3，…∴＝，a2＝＝＝＝，…a k＝，则a k+1＝＝＝，所以．…（2）∵a1＝||a||＝a，∴，∴1＜＜4，①当，即1＜＜2时，＝＝﹣1＝a，所以a2+a﹣1＝0，解得a＝，（a＝∉（，1），舍去）．…②当，即2≤＜3时，a2＝＝，所以a2+2a﹣1＝0，解得a＝＝，（a＝﹣∉（，]，舍去）．…③当，即3＜4时，，所以a2+3a﹣1＝0，解得a＝（a＝，舍去）．…综上，{a＝，a＝，a＝}．…（3）成立．…证明：由a是有理数，可知对一切正整数n，a n为0或正有理数，可设（p n是非负整数，q n是正整数，且既约）．…①由，得0≤p1≤q；…②若p n≠0，设q n＝ap n+β（0≤βP n，α，β是非负整数）则＝a+，而由，得＝，＝＝，故P n+1＝β，q n+1＝P n，得0≤P n+1＜P n．…若P n＝0，则p n+1＝0，…若a1，a2，a3，…，a q均不为0，则这q正整数互不相同且都小于q，但小于q的正整数共有q﹣1个，矛盾．…（17分）故a1，a2，a3，…，a q中至少有一个为0，即存在m（1≤m≤q），使得a m＝0．从而数列{a m}中a m以及它之后的项均为0，所以对不大q的自然数n，都有a n＝0．…（18分）（其它解法可参考给分）。
上海市2020-2021年高一下学期数学期末考试卷
高一下期末考试卷一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分） 1．方程组{2x +y −1=03x −2y =0对应的增广矩阵为 ．2．若在行列式|3a 50−41−213|中，元素a 的代数余子式的值是 ．3．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝ ． 4．函数f （x ）＝2cos （x +π3）﹣1的对称轴为 ，最小值为 ． 5．方程3sin x ＝1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 ． 6．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 ．7．用数学归纳法证明（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n •1•3…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从“n ＝k ”到“n ＝k +1”的证明，左边需增添的代数式是 ． 8．若无穷等比数列{a n }的各项和等于a 12，则a 1的取值范围是 ．9．已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝2a n +1+3•2n +1，数列{an2n }的前n 项和为 ．10．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n ＝2011，则n ＝ ．11．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n +1，记数列{a n ﹣kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n （n ∈N *）恒成立，则实数k 的取值范围为 ．12．数列{a n }满足a n +1+（﹣1）n a n ＝2n ﹣1，则{a n }的前60项和为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．将函数y ＝sin （x −π3）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．y=sin12x B．y=sin(12x−π2)C．y=sin(12x−π6)D．y=sin(2x−π6)14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏15．若S n＝sinπ7+sin2π7+⋯+sin nπ7（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．10016．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，a99−1a100−1＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．已知：f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期（2）若f（x）在[−π6，π4]上最大值与最小值之和为3，求a的值．18．如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？19．已知集合C＝{（x，y）|xy﹣3x+y+1＝0}，数列{a n}的首项a1＝3，且当n≥2时，点（a n﹣1，a n）∈C，数列{b n}满足b n=11−a n．（1）试判断数列{b n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若limn→∞(sa n+tb n)=1（s，t∈R），求s t的值．20．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列{√b n}是等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅰ）设S n=1a1+1a2+⋯+1a n，如果对任意正整数n，不等式2aS n＜2−b na n恒成立，求实数a的取值范围．21．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为三角形”数列对于“三角形”数列{a n}，如果函数y＝f（x）使得b n＝f（a n）仍为一个三角形”数列，则称y＝f（x）是数列{a n}的“保三角形函数，”（n∈N*）（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（k）＝k2，（k＞1）是数列{a n}的保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2019，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n﹣3S n ﹣1＝8076，证明{c n}是“三角形”数列（3）求证：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55．一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分）1．[2113−20]．2．2．3．15√344．x=kπ−π3(k∈Z)；﹣3．5．π6或5π6．6．[−π3，π4]．7．2（2k+1）．8．(12，1)∪(1，+∞)．9．3n2﹣2n．10．102811．73≤k≤125．12．∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+15×142×16）＝1830二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．C14．B15．C16．B三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）=√3sin2x+cos2x+1+a＝2sin（2x+π6）+1+a，（1）∴f（x）的最小正周期T=2πω=2π2=π；（2）∵x∈[−π6，π4]，∴2x+π6∈[−π6，2π3]；当2x+π6=−π6时，即x=−π6，f（x）取得最小值为2sin（−π6）+1+a＝a当2x+π6=π2时，即x=π6，f（x）取得最大值为2sin（π2）+1+a＝a+3∵最大值与最小值之和为3，∴a+3＝3，∴a＝0故a的值为0．18．在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，∴A＝15°，由正弦定理知：BCsinA =ACsinB，∴30sin15°=ACsin30°，∴AC=30sin30°sin15°=60cos15°=15√6+15√2，…（6分）∴A到B B C所在直线的距离为AC⋅sin45°=(15√6+15√2)⋅√22=15(√3+ 1)≈40.98＞38（海里），∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…19．（1）∵当n≥2时，点（a n﹣1，a n）恒在曲线C上，∴a n﹣1a n﹣3a n﹣1+a n+1＝0 （1分）由b n=11−a n得当n≥2时，b n﹣b n﹣1=11−a n −11−a n−1=a n−a n−11−a n−a n−1+a n a n−1=a n−a n−1−2a n+2a n−1=−12∴数列{b n }是公差为−12的等差数列． （2）∵a 1＝3，∴b 1=11−a 1=−12，∴b n =−12+（n ﹣1）•（−12）=−12n ，（6分） ∴−12n =11−a n，则a n ＝1+2n∴s a n+tb n=−s 2n+t−(1+2n)−12n(1+2n)=−sn 22+tn+2t −12n 2−n ，由lim n→∞(sa n+t b n)=1（s ，t ∈R ），可得s ＝1，s t ＝1．20．（Ⅰ）由已知，得2b n ＝a n +a n +1①，a n +12＝b n •b n +1②．由②得a n+1=√b n b n+1③．将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2b n =√b n−1b n +√b n b n+1． 即2√n =√b n−1+√b n+1． ∴{√b n }是等差数列．（Ⅰ）设数列{√b n }的公差为d ， 由a 1＝10，a 2＝15．经计算，得b 1=252，b 2=18．∴√b 1=52√2，d =√b 2−√b 1=3√2−52√2=√22． ∴√b n =52√2+(n −1)⋅√22=√22(n +4)．∴b n =(n+4)22，a n =(n+3)(n+4)2．（9分） （Ⅰ）由（1）得1a n =2(n+3)(n+4)=2(1n+3−1n+4)．∴S n =2[(14−15)+(15−16)++(1n+3−1n+4)]=2(14−1n+4)．不等式2aS n ＜2−b n a n化为4a(14−1n+4)＜2−n+4n+3．即（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8＜0．设f （n ）＝（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8，则f （n ）＜0对任意正整数n 恒成立． 当a ﹣1＞0，即a ＞1时，不满足条件；当a ﹣1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a ﹣1＜0，即a ＜1时，f （n ）的对称轴为x =−3(a−2)2(a−1)＜0，f （n ）关于n 递减，因此，只需f （1）＝4a ﹣15＜0．解得a ＜154，∴a ＜1． 综上，a ≤1．21．（1）显然a n ＝n +1，a n +a n +1＞a n +2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列．（2分）因为k ＞1，显然有f （a n ）＜f （a n +1）＜f （a n +2）， 由f （a n ）+f （a n +1）＞f （a n +2）得k n +k n +1＞k n +2，解得k ＜1+√52．所以当k ∈（1，1+√52）时，f （x ）＝k x 是数列{a n }的“保三角形函数”．（2）由4S n +1﹣3S n ＝8076，①当n ≥2时，4S n ﹣3S n ﹣1＝8076，②，①﹣②得4c n +1﹣3c n ＝0，则 所以c n+1c n=34当n ＝1时，即4（a 1+a 2）﹣3a 1＝8076，解得：a 2=60574，所以a 2a 1=34所以数列{c n }是以2019为首项，以34为公比的等比数列， 所以，c n ＝2019（34）n ﹣1，（7分）显然c n ＞c n +1＞c n +2，因为c n +1+c n +2＝2019 （34）n +2019（34）n +1=2116•2019（ 34）n ﹣1＞c n ，所以{c n }是“三角形”数列．（3）证明：函数h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是数列1，1+d ，1+2d （d ＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d （d ＞0）是三角形数列，所以1+1+d ＞1+2d ，即0＜d ＜1． ②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d ≤A ． ③h （1），h （1+d ），h （1+2d ）是三角形数列．由于h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是单调递减函数，所以h （1+d ）+h （1+2d ）＞h （1），解得0＜d ＜√55．所以函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三．角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55。
上海市上海中学2020学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
上海市上海中学2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题。
1.1lim 1n n →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________. 【答案】1【解析】【分析】 由1lim=0x n→∞即可求得 【详解】11lim(1=lim1lim =1-0=1x x x n n →∞→∞→∞--） 【点睛】利用和或差的极限等于极限的和或差，此题是一道基础题。
2.已知等差数列13,21,2,n a a d ===则n = ．【答案】10【解析】试题分析：根据公式，()11n a a n d =+-，将13,21,2,n a a d ===代入，计算得n=10． 考点：等差数列的通项公式．3.数列{}n a 中，已知*41322,n n n a n N =-+∈•，50为第________项.【答案】4【解析】【分析】方程变为4132-48=0n n -•，设2n x =，解关于x 的二次方程可求得。
【详解】*41322,n n n a n N =-+∈•，则5041322n n =-+•，即4132-48=0n n -•设2n x =，则213480x x --=，有16x =或3x =-取16x =得216n =，4n =，所以是第4项。
【点睛】发现242n n =（），原方程可通过换元，变为关于x 的一个二次方程。
对于指数结构242n n =（），293n n =（），2255n n =（）等，都可以通过换元变为二次形式研究。
4.{}n a 等比数列，若1234126,52a a a a a ++=-=，则n a =_______.【答案】123n -•【解析】【分析】将1234126,52a a a a a ++=-=这两式中的量全部用1,a q 表示出来，正好有两个方程，两个未知数，解方程组即可求出。
【详解】12326a a a ++=相当于211=26a q q ++（）， 4152a a -=相当于3211-1=(1)(1)52a q a q q q -++=（）， 上面两式相除得12,q -=3q ∴=代入就得12a =，123n n a -∴=g【点睛】基本量法是解决数列计算题最重要的方法，即将条件全部用首项和公比表示，列方程，解方程即可求得。
上海浦东新区祝桥高级中学2020年高一数学文期末试卷含解析
上海浦东新区祝桥高级中学2020年高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合U={x|0≤x≤6，x∈N}，A={2，3，6}，B={2，4，5}，则A∩（?U B）=（）A．{2，3，4，5，6} B．{3，6} C．{2} D．{4，5}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先把集合U利用列举法表示出来，确定出全集U，根据全集U和集合B，求出集合B的补集，最后求出集合B补集与集合A的交集即可．【解答】解：∵U={x|0≤x≤6，x∈N}={0，1，2，3，4，5，6}，B={2，4，5}，∴C U B={0，1，3，6}，A={2，3，6}，则A∩C U B={3，6}．故选B．【点评】此题考查了交集、补集及并集的混合运算，利用列举法表示出集合U，确定出全集U是本题的突破点，学生在求补集时注意全集的范围．2. 函数f（x）=+lg（x+1）的定义域为（）A．[﹣1，2] B．[﹣1，2）C．（﹣1，2] D．（﹣1，2）参考答案：C【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：∵函数f（x）=+lg（x+1），∴，解得﹣1＜x≤2，∴函数f（x）的定义域为（﹣1，2]．故选：C．3. 从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率（）A．B． C． D． 1参考答案：C4. α∈［0，2π］，且，则α∈ （）A.［0，］B.［，π］C.［π，］D.［，2π］参考答案：B，所以，所以α∈［，π］。
5. 已知的展开式中没有常数项，则n的最大值是（）A. 6B. 7C. 8D. 9参考答案：C【分析】利用二项式通项公式分类讨论：当（x+1）中取x时，式子展开式中无,所以中x的指数幂取不到-1,即；当（x+1）中取1时, 式子展开式中无常数项,所以中x 的指数幂取不到0即,n要同时满足以上两个不等式,再结合选项验证即可.【详解】因为的展开式中没有常数项；由二项式展开式的通项公式可知(1)当（x+1）中取x时，式子展开式中无, 所以中x的幂指数取不到-1,即；（2）当（x+1）中取1时,式子展开式中无常数项,所以中x的幂指数取不到0,即，选项中的n要同时满足上面两个不等式，故选B.【点睛】本题考查了二项式定理地应用，难度较高，解题中首先要根据题意进行分类讨论，确定后面式子中x的指数幂，再根据无常数项的条件确定幂指数满足的不等式组，有一定的难度，解题关键是对二项式定理的深度理解.6. 已知，则之间的大小关系为（）A． B． C．D．参考答案：A7. 如果，那么等于（）A． B． C． D．参考答案：A8. 已知a，b为非零实数，且a < b，则下列命题成立的是（A） a2 < b2 （B）a2b < ab2 （C）（D）>参考答案：C9. 已知a=log0.53，b=20.5，c=0.50.3，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．c＞b＞a参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=log0.53＜log0.51=0，b=20.5＞20=1，0＜c=0.50.3＜0.50=1，∴b＞c＞a．故选：B．【点评】本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数、指数函数的单调性质的合理运用．10. 函数/f（x）=（）x+3x的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（0，1）C．（﹣1，0）D．（1，2）参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】直接利用零点判定定理判定求解即可．【解答】解：函数f（x）=（）x+3x，可得f（﹣2）=＜0，f（﹣1）=＜0，f（0）=1＞0，f（1）＞0，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在中，，则的值是______.参考答案：略12. 在区间（0，1）中随机地取出两个数，则两数之和小于的概率是____ ____.参考答案：略13. 圆的圆心坐标是．参考答案：14. 设f （x ）为定义在R上的奇函数，g（x）为定义在R上的偶函数，若f（x）﹣g（x）=（）x，则f（1）+g（﹣2）= ．参考答案：﹣【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】由奇偶函数的定义，将x换成﹣x，运用函数方程的数学思想，解出f（x），g（x），再求f（1），g（﹣2），即可得到结论．【解答】解：f（x）为定义在R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），g（x）为定义在R上的偶函数，则g（﹣x）=g（x），由于f（x）﹣g（x）=（）x，①则f（﹣x）﹣g（﹣x）=（）﹣x，即有﹣f（x）﹣g（x）=（）﹣x，②由①②解得，f（x）= [（）x﹣（）﹣x]，g（x）=﹣ [（）x+（）﹣x]，则f（1）=（）=﹣，g（﹣2）=（4）=﹣，则f（1）+g（﹣2）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用：求函数解析式，求函数值，考查运算能力，属于中档题．15. 在，角所对的边分别是，若，则边▲．参考答案：略16. 给出下列五个命题：①函数y=f（x），x∈R的图象与直线x=a可能有两个不同的交点；②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数；③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2，总存在x0，当x＞x0时，有2x＞x2成立；④对于函数y=f（x），x∈[a，b]，若有f（a）?f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有零点．⑤已知x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，则x1+x2=5．其中正确的序号是．参考答案：③⑤考点：函数与方程的综合运用；函数的概念及其构成要素；判断两个函数是否为同一函数；函数的零点；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：①函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可判断；②根据函数的定义域进行判定即可；③总存在x0=4，当x＞4 时，有2x＞x2成立；④缺少条件“函数y=f （x）在区间[a，b]上连续”；⑤第一个方程：lgx=5﹣x．第二个方程，10x=5﹣x，lg（5﹣x）=x．注意第二个方程，如果做变量代换y=5﹣x，则lgy=5﹣y，其实是与第一个方程一样的．那么，如果x1，x2是两个方程的解，则必有x1=5﹣x2，也就是说，x1+x2=5．解答：解：对于①函数表示每个输入值对应唯一输出值的一种对应关系，根据定义进行判定即可判断①错；对于②函数y=log2x2与函数y=2log2x的定义域不等，故不是相等函数，故②错；对于③当x0取大于等于4的值都可使当x＞x0时，有2x＞x2成立，故③正确；对于④函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，才有若有f（a）?f（b）＜0，则f（x）在（a，b）内有零点．故④错对于⑤：∵x+lgx=5，∴lgx=5﹣x．∵x+10x=5，∴10x=5﹣x，∴lg（5﹣x）=x．如果做变量代换y=5﹣x，则lgy=5﹣y，∵x1是方程x+lgx=5的根，x2是方程x+10x=5的根，∴x1=5﹣x2，∴x1+x2=5．故正确故答案为：③⑤点评：此题是个中档题，考查函数图象和零点问题，以及函数概念和构成要素等基础知识，考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力17. 若函数f（x）=，则f（）= ．参考答案：【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】由已知中函数f（x）=，将x=，代入可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（）=0，故答案为：0【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，难度不大，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
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上海市浦东新区2020学年度第二学期高一数学期末质量抽测试卷
（完卷时间：90分钟 满分：100分）
一、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．计算：=2
lg 210
.
2．函数)1(log )(2+=x x f 的反函数=-)(1
x f
.
3．若函数x y a )1(log -=在),0(+∞上是减函数，则a 的取值范围是 . 4．若点)12,5(-P 是角α终边上的一点,则=αsin .
5．在半径为2的圆中，弧长为1的圆弧所对的圆心角的弧度数为 . 6．已知]2,[ππα∈，化简：=+αcos 22 .
7．在ABC ∆中，设c b a ,,分别是三个内角C B A ,,所对的边，且bc a c b =-+2
2
2
，则
=A .
8．函数x y arcsin =，]2
3
,
21[-∈x 的值域是 . 9．在ABC ∆中，设c b a ,,分别是三个内角C B A ,,所对的边，1,2==c b ，面积2
1=∆ABC S ， 则内角A 的大小为 . 10．方程sin 1,sin 2x x x x +=+=及1sin 22
x x +
=在区间]2,0[π
的根分别为,,a b c ，则
,,a b c 的大小关系为 .
二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．方程2lg lg )4lg(2+=-x x 的解是……………………………………………（ ）
A ．2
B ．8
C ．82或
D ．2
1
8或
12．在ABC ∆中,“
45=A ”是“2
2
cos =A ”的……………………………（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
13．函数2
sin
x
y -=的单调递减区间是…………………………………………（ ） A ．)](4,4[Z k k k ∈+-ππππ B ．)](4
3,4[Z k k k ∈+
+π
πππ
C ．)](4,4[Z k k k ∈+-ππππ
D ．)](34,4[Z k k k ∈++ππππ
14．今有一组实验数据如下：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最合适的一个是……（ ） A ．x
y 2=
B ．x y 2log =
C ．)1(2
12
-=
x y D ．x y cos 61.2=
15．函数()x f 的图像无论经过平移或沿直线翻折后仍不能与x y 2
1log =的图像重合， 则()x f 可以是…………………………（ ）
A ．x
y ⎪⎭
⎫
⎝⎛=21
B ．)2(log 2x y =
C ．()1log 2+=x y
D ．1
22
-=x y
16．已知函数x x x f sin )(⋅=的图像是下列两个图像中的一个，请你选择后再根据图像 作出下面的判断：若∈21,x x )2
,2(π
π-且)()(21x f x f >，则…………………………（ ） A ．21x x >
B ．021>+x x
C ．21x x <
D ．22
21x x >
三、解答题（本大题共5小题，满分52分） 17．（本小题满分8分） 已知函数2
2
()cos 2sin cos sin f x x x x x =-- （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的最大值和最小值.
x 1.95 3.00 3.94 5.10 6.12 y 0.97 1.59 1.98 2.35 2.61
已知]2
,0[,,53sin ,54)sin(π
∈==
+B A A B A . （1）求)cos(B A +的值； （2）求B cos 的值.
19．（本小题满分10分）
设函数()2x
f x p =+，（p 为常数且p R ∈） （1）若(3)5f =，求()f x 的解析式；
（2）在（1）的条件下，解方程：122()2log f x x -=+.
20．（本小题满分12分）
如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营 救．甲船立即前往，同时把消息告知在A 处的南偏西30
，相距10海里C 处的乙船，试 问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B 处救援（角度精确到1
）？
北
20
10 A B •
•C
已知函数()y f x =∈x 2,
3ππ⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦的图像关于直线6π-=x 对称，当2,63x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时， 函数)sin()(ϕω+=x x f （2
2
,0π
ϕπ
ω<
<->）的图像如图所示；
（1）求常数ω、ϕ的值； （2）求函数()y f x =在
π⎡
-⎢⎣
（3）求方程()2
f x =的解集。
[参考答案]
一．本题共30分，每小题正确的给3分，否则一律得0分。
1. 4. 2. 12-x （R x ∈）. 3. 21<<a . 4. 13
12-. 5. 21
.
6. 2
cos
2α
-. 7.
3π. 8. ]3,6[ππ-. 9. 6
π或65π
. 10. c b a <<.
二．本题共18分，每小题正确的给3分，否则一律得0分。
11. B . 12. C . 13. C . 14. B . 15. D . 16. D . 三．本题共52分。
17. 本题满分8分 [解]x x x f 2sin 2cos )(-=)4
2sin(2π
--=x …………………………………2分
（1）由2=ωπω
π
==⇒2T ，所以函数()f x 的最小正周期为π=T ；…………………4分
（2）当)(8
3Z k k x ∈+=π
π时，()f x 取得最小值2-；…………………………6分 当)(8
Z k k x ∈-
=π
π时，()f x 取得最大值2。
…………………………………8分
18. 本题满分8分
[解] （1）5
3)cos(±=+B A ；…………………………………………………………3分 （2）显然5
4
cos =
A ，………………………………………………………………4分 所以)cos(cos A
B A B -+=
5
3
5454)cos(sin )sin(cos )cos(⋅+⋅
+=+++=B A A B A A B A …………………………6分 当53)cos(=
+B A 时2524cos =B ；……………………………………………………………7分 当5
3
)cos(-=+B A 时0cos =B ；……………………………………………………………8分
19. 本题满分10分
[解] （1）由题设得3523
-=⇒=+p p ，所以32)(-=x
x f ；…………………………4分 （2）由（1）得)3(log )(21
+=-x x f
（3->x ）……………………………………………6分
于是方程2
22log 2)3(log x x +=+342
+=⇒x x 1=⇒x 或4
3
-=x ……………………9分 经检验1=x 或4
3
-
=x 都是原方程的根。
……………………………………………………10分
20. 本题满分12分
[解] 连接BC ，设θ=∠ACB
由题设知0
120=∠CAB ……………………………2分 于是θ-=∠0
60ABC ,
且10||=AC ，20||=AB …………………………4分 在ABC ∆中，由正弦定理得
)60sin(2sin sin 20
)60sin(1000
θθθ
θ-=⇒=-…7分 2
3
tan sin cos 3sin =
⇒-=⇒θθθθ……10分 041≈θ，乙船应朝北偏东071的方向沿直线前往B 处救援……………………12分
21. 本题满分14分 [解] （1）1=ω、3
π
ϕ=
（2）当2,
6
3x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦
时， 函数)3
sin()(π
+=x x f
当)6
,[π
π-
-∈x 时，(3π
∈--
x x x f x f sin )3()(-=--
=π，)6
,[π--∈x …………8分
综上⎪⎩⎪⎨⎧
≤≤-+-<≤--=)
326()3sin()6(sin )(π
ππππx x x x x f ………………………………………………10分
（3）()2f x =
的解集为}12
5,12,4,43{ππππ---。
………………………………………14分 北
20
10 A B •
•C。