平行线四大模型(完整版+培优)

平行线四大模型

模型一“铅笔”模型

点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°；

结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.

模型二“猪蹄”模型（M模型）

点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；

结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.

模型三“臭脚”模型

点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；

结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.

模型四“骨折”模型

点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；

结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.

（1）已知AE // CF ,求证∠P +∠AEP +∠PFC = 360°

.（2）已知∠P=∠AEP+∠CFP，求证AE∥CF．

（3）已知AE∥CF，求证∠P=∠AEP-∠CFP.

（4）已知∠P= ∠CFP -∠AEP,求证AE //CF.

例1

（1）如图，a∥b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠l+∠2+∠3= ．

(2)如图，AB∥CD，且∠A=25°，∠C=45°，则∠E的度数是．

(3)如图，已知AB∥DE，∠ABC=80°，∠CDE =140°，则∠BCD= .

(4) 如图，射线AC∥BD，∠A= 70°，∠B= 40°，则∠P= ．

练习

(1)如图所示，AB∥CD，∠E=37°，∠C= 20°，则∠EAB的度数为．

(2) 如图，AB ∥CD ，∠B =30°，∠O =∠C ．则∠C = .

例2

如图，已知AB ∥DE ，BF 、 DF 分别平分∠ABC 、∠CDE ，求∠C 、 ∠F 的关系.

练习

如图，已知AB ∥DE ，∠FBC =

n 1∠ABF ，∠FDC =n

1

∠FDE . (1)若n =2,直接写出∠C 、∠F 的关系 ； (2)若n =3，试探宄∠C 、∠F 的关系；

(3)直接写出∠C 、∠F 的关系 （用含n 的等式表示）.

例3

如图，已知AB ∥CD ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ．求证：∠E = 2 (∠A +∠C ) .

练习

如图，己知AB∥DE，BF、DF分别平分∠ABC、∠CDE，求∠C、∠F的关系.

例4

如图，∠3==∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D= 180°．

练习

如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠l+∠2= 90°，M、N分别是BA、CD的延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线相交于点F则∠F的度数为（）．

A. 120°

B. 135°

C. 145°

D. 150°

模块二平行线四大模型构造

例5

如图，直线AB∥CD，∠EF A= 30°，∠FGH= 90°，∠HMN=30°，∠CNP= 50°，则∠GHM= .

练习

如图，直线AB∥CD，∠EFG =100°，∠FGH =140°，则∠AEF+ ∠CHG= .

例6

已知∠B =25°，∠BCD=45°，∠CDE =30°，∠E=l0°，求证：AB∥EF．

练习

已知AB∥EF，求∠l-∠2+∠3+∠4的度数.

(1)如图(l)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n，∠B1、∠B2…∠B n-1之间的关系．

(2)如图(2)，己知MA1∥NA4，探索∠A1、∠A2、∠A3、∠A4，∠B1、∠B2之间的关系．

(3)如图(3)，已知MA1∥NA n，探索∠A1、∠A2、…、∠A n之间的关系．

如图所示，两直线AB∥CD平行，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6．

挑战压轴题

如图1，直线AB ∥CD ，P 是截线MN 上的一点，MN 与CD 、AB 分别交于E 、F ． (1) 若∠EFB =55°，∠EDP = 30°，求∠MPD 的度数；

(2) 当点P 在线段EF 上运动时，∠CPD 与∠ABP 的平分线交于Q ,问：DPB

Q

∠∠是否为定值？

若是定值，请求出定值；若不是，说明其范围；

(3) 当点P 在线段EF 的延长线上运动时，∠CDP 与∠ABP 的平分线交于Q ，问DPB

Q

∠∠的值足否定值，请在图2中将图形补充完整并说明理由．

课后作业

1.如图，AB // CD // EF , EH ⊥CD 于H ,则∠BAC +∠ACE +∠CEH 等于( ).

A . 180°

B . 270°

C . 360°

D . 450° 2．若AB ∥CD ，∠CDF =

32∠CDE ，∠ABF =3

2

∠ABE ，则∠E ：∠F =( )．

A ．2:1

B ．3:1

C ．4:3

D ．3:2

3.如图3，己知AE ∥BD ，∠1=130°，∠2=30°，则∠C = .

4.如图，已知直线AB ∥CD ，∠C =115°，∠A = 25°，则∠E = ．

5．如阁所示，AB ∥CD ，∠l =l l 0°，∠2=120°，则∠α= .

6．如图所示，AB ∥DF ，∠D =116°，∠DCB =93°，则∠B = .