概率论与数理统计基本概念及抽样分布

从国产轿车中抽5辆 进行耗油量试验, 样本容量为5.
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样本是随机变量.
抽到哪5辆是随机的!
容量为n的样本可以看作n维随机变量(X1, X2, …, Xn). 一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .
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第六章 样本及抽样分布
绪言： 概率论与数理统计的关系 概率论是数理统计的理论基础；数理统计是概率论的应用. 数理统计概论 概率论是在（总体）X分布已知的情况下，研究X的性质及 统计规律性． 数理统计是在（总体）X分布未已知（或部分未知）的情况 下，对总体Ｘ的分布作出推断和预测. 数理统计的研究方法 通过从总体抽取部分个体（样本），通过对样本的研究， 对总体作出推断或预测．是一种由部分推测整体的方法．
( x)


X
( x)dx
α
X1－α
0
α
Xα
简单随机样本： 由简单随机抽样抽得的样本 X1,X2,…,Xn称为简 单随机样本. （简称样本）. 显然，样本就是来自总体X的 n 个相互独立的且与总体同分布 的随机变量X1,X2,…,Xn . 可看成 n 维随机向量（ X1,X2,…,Xn ）.
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二、样本的数字特征 设（ X1,X2,…,Xn ）为来自总体X的简单随机样本. 1.样本均值: 2.样本方差：

Leabharlann Baidu
1 D( X ) D( n

1 Xi ) 2 n i 1
n

2 1 D( X i ) 2 n 2 n n i 1 n
特别，若总体X~N(μ,σ2)，则
X ~ N ( , ) n 1 若总体X~N (0,1)， 则 X ~ N (0 , ) n
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2
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2. 简单随机抽样：要求抽取的样本满足下面两点
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与总体X有相同的分布. 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量.
简单随机抽样即为随机地独立地抽取，如：有放回抽样；无放回 抽样当总体很大，样本容量较小时，认为是近似的简单随机抽样.
某批 灯泡的 寿命
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该批灯泡寿命的 全体就是总体
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为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若 干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程 为 “抽样”. 样本： 从总体X中按一定的规则抽出的个体的全部称为样本, 用 X1，X2，…，Xn 表示. 样本容量：样本中所含个体的个数称为样本容量，用 n 表示. 根据 n 的大小样本有大样本、小样本之分.
1 X n

i 1
n
Xi
常用于估计总体分布的均值，或 检验有关总体分布均值的假设.
n 1 S2 ( X i X )2 n 1 i 1

用于估计总体分布的方差. 式中的n－1称为S2的自由度（式中含有独 立变量的个数），S称为样本标准差，又称为标准误.
3.样本矩：
1 n k （k 1,2,） X K 阶原点矩： nk X i n1 n i 1 1 n K 阶中心矩： mnk ( X i X ) k (k 1,2,) m n 1 s 2 s 2 n i 1 n2
X ＞13}
0.5 X 12 0.5 1 P{| X 12 | 0.5} 1 P{ } 2 2 2 5 5 5
=1-[Φ(0.56)-Φ(-0.56)]=2-2Φ(0.56)=0.5754
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二、标准正态分布的百分位点 设X~N(0，1)，对给定的α (0＜α ＜1） （1）称满足条件 P{X＞Xα} =α， 即
一、 X 的分布 设 总体X的分布形式未知，E（X）=μ，D（X）=σ2， （ X1,X2,…,Xn ）为X的一样本. 则X1,X2,…,Xn独立同分布且 E(Xi)=μ， D(Xi)= σ2 (i =1, 2, …, n) 1 n 1 n 1 E ( X ) E ( X ) E ( X ) n 则 i i n i 1 n i 1 n
n
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三、统计量 设X1，X2,…,Xn为来自总体X的一个样本,g(X1，X2,…,Xn)
是一个不含任何未知参数的连续函数，称 g(X1，X2,…,Xn) 为
统计量. 统计量是样本的函数，也是随机变量，具有概率分布. 把 统计量的概率分布称为抽样分布.
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§6.2 抽样分布(几个重要分布)
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第六章 样本及抽样分布
数理统计的核心问题是由样本推断总体，即统计推断问题. §6.1 随机样本与统计量 由于个体的出现是 随机的，所以总体 一 、 总体、个体与样本 总体： 研究对象的全体称为总体（母体）. 是一个随机变量. 用X表示. 总体分为有限总体和无限总体. 个体： 组成总体的每个研究对象称为个体. 注：在研究中，往往关心每个个体的一个(或几个)数量指标和 该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量 指标的全体就是总体. 或，总体：研究对象的某项数量指标的值的全体.
例1．设总体X~N（12，4），抽取一个样本（X1，X2，…，X5）．
求（1）P{
X ＞13}；（2）P{| X -12| ＞0.5} X ~N(12,4/5)
解： ∵X~N（12，4），∴
（1）P{
（2）P{| X -12| ＞0.5}
X 12 13 12 1 P{ X 13} 1 P{ } 1 (1.12) 0.1314 2 2 5 5
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数理统计研究方法流程图：
采集数据 加工处理
总体X
样本
统计量
对总体X 作出推断
对统计量分析
数理统计以概率论为基础，研究如何搜集资料，并对统计资料 进行整理和分析，对整体的某些性质作出推断． 数理统计内容丰富，应用广泛．本书介绍了数理统计初步知识： 参数估计；假设检验 [；方差分析；回归分析].