4.1.1利用函数性质判定方程解的存在

其实，我们在高中阶段所研究的大 部分函数的图像都是连续的曲线.
116页练习
例2 方程3 x 0是否有实根？
x 2
为什么?有几个实根？ x 2 变式：方程2 x 0是否有实根？ 为什么?有几个实根？
例3 判定方程 lg x 2 0是否 有实数根，有几个实数根？
变式：方程 2 1 a 0有且只有
• 零点是点吗？
• 函数一定有零点吗？
y
观察函数
f ( x) 2 x 1
-1
1 0 -1 1 2
x
的图像:
函数图像过x轴下方的点（0，-1），过x轴上方 的点（1，1），图像是一条连续的直线，故函 数在[0,1]上的图像必穿过x轴.
函数f ( x) 2 x 1在闭区间[0,1]上的图像 是连续的，且f (0) 1 0, f (1) 1 0， 则在区间（0，1）内有零点.
②
f(x)=x2
，f(-1)f(1)>0
可方程x2=0在(-1,1)上有解x=0。
零点的存在性定理 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)<0; 则函数y=f(x)在(a,b)上有零点，即方程 f(x)=0在(a,b)上有解. 有几个？
引例 判断下列方程是否存在实数根
(1)2 x 1 0 (2) x 2 x 1 0
2 x 2
直接求解
直接求解
(3)2 x 0 不能直接求解，怎么办？ 实际上绝大部分方程没有求解 公式，这一节我们就讨论如何利用 方程与函数的关系求方程的实数解.
• 零点：函数图像y = f(x)与x轴的交点的 横坐标称为是这个函数的零点. 函数y = f(x)的零点 即 方程f(x)=0的解 方程的解f(x)=0的个数函数y = f(x)的零点个数
x
1个实数根，求a的取值范围.
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0; 则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程 f(x)=0在[a,b]上有解.
注：①以上两个条件缺一不可。 ②只能判定有解，不能判定无解。
零 点 存 在 性 定 理
若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连 续; （2）f(a)f(b)<0; 则函数y=f(x)在(a,b)上有零点，即 方程f(x)=0在(a,b)上有解.
零点的存在性定理
若函数y=f(x)满足以下条件：
（1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)<0; 则函数y=f(x)在(a,b)上有零点，即方程
③不能判定有几个解，但若图像在区间上
单调则方程在这个区间上只有一解。
方程f ( x) g ( x) 0的实根的个数 函数F ( x) f ( x) g ( x)的零点的个数 y f ( x)与y g ( x)的图像交点的个数
画画函数的图像，数形结合最形象， 要把图像来画好，性质变换要记牢.
．
③
x
③不能判定有几个解，但 若图像在区间上单调则方
．
程在这个区间上只有一解。
零点的存在性定理
若函数y=f(x)满足以下条件：
（1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)<0;
则函数y=f(x)在(a,b)上有零点，即方程
f(x)=0在(a,b)上有解.
零点的存在性定理推广 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)≤0;
f(x)=0在(a,b)上有解.
1 0在[1,1]上是否有解？ x
1 f ( x) 在[11] 不连续, ，上 x 尽管有f (1) f (1) 0, 可方程 1 =0在(-11)上无解. ， x
y 2 1
-1
0 -1 -2
1
x
零点的存在性定理 若函数y=f(x)满足以下条件： （1）函数y=f(x)的图像在[a,b]上连续; （2）f(a)f(b)>0; 则函数y=f(x)在(a,b)上无零点？
则函数y=f(x)在[a,b]上有零点，即方程
f(x)=0在[a,b]上有解.
例1 判定方程 x3 + 2x +1=0在[-2,3]上是否有解。
解： 因为f(-2)=(-2)3+2×(-2)+1=-11<0 f(3)=33+2×3+1=34>0 又因为函数f(x)=x3+2x+1的图像在 [-2,3]上连续， 所以，方程x3+2x+1=0在[-2,Biblioteka Baidu]上有解.
f ( x) x2 2x 1 ( x 1)2 2 的图像: 观察函数
y 2 1
函数f ( x) x 2 2 x 1在闭区间 [-1,1]上的图像是连续的，且 f (1) 2 0, f (1) 2 0， 则在区间（-1，1）内有零点.
1 2 3 x
-1
0 -1 -2
函数f ( x) x 2 2 x 1在闭区间
x=1
[1,3]上的图像是连续的，且 f (1) 2 0，f (3) 2 0, 则在区间（1，3）内有零点.
小结：函数图像从x轴上方到下方或从x 轴下方到上方都会穿过 x 轴，则对应方 程一定有解。 可利用函数值判定方程根的存在。
作业：119页A组1；B组1 红对勾 《函数与方程》