结构力学-位移法

DA柱：
MA 0
FQDA
1 4
(M DA
M
AD )
D C
FQDA
MDA
1 4
(3i D
1.5i EH
)
MAD
0.75iD 0.375iEH
A
E
FQEB
MBE
B 28
2kN/m
EB柱 MB 0
FQEB
1 4
M BE
242 4
1 4
(1.5i EH
4)
4
0.375iEH 3
14kN
D C
M BA
3i1 h1
M DC
3i2 h2
M FE
3i3 h3
32
3）建立位移法方程并求解
求各柱剪力。
FQAB
M BA h1
3i1 h12
k1
FQCD
M DC h2
3i2 h22
k2
FQEF
M FE h3
3i3 h32
k3
FP A
h1
E
C
FQAB
FQCD
FQEF
h2 h3
MBA
ql 2 8
M
F AB
ql 2 8
q
BA
B
l
M
F BA
ql 2 8
BB
q
M
F AB
ql 2 8
AA
杆端弯矩顺时针方向为正！
21
§7-3 无侧移刚架的计算
刚架内部结点无线位移，只有角位移。 基本未知量：内部结点的角位移。
8kN/m
Bi
i
A
4m
Di
i
C
4m
E
4m
图示刚架，若忽略轴力引起的轴向变形，则 内部结点无线位移。
2iB 8iD 32 0 2
24
联立①②，解得：
B 0.356 / i( ) D 3.911/ i( )
4）求杆端弯矩并作弯矩图
将求得的 θB 、 θD 代入杆端弯矩表达式得：
M AB 0.71KN.m M BA 1.42KN.m M BD 1.42KN.m
M DB 27.02KN.m M DC 11.73KN.m M DE 38.76KN.m
14
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
MAB
MBA
A
EI
A
M AB iA
M BA iA
B
i EI l
15
4. 等截面直杆只要两端的杆端位移对应相同， 则相应的杆端力也相同。
1)
A
MAB
A i
EI l
MBA
B
MAB
A
i
EI l
A
MBA
B
M AB
4i A
6i l
M BA
2i A
6i l
16
2)
3iB
ql 2 8
3
3）建立位移法方程并求解 由结点B力矩平衡可得
MBA B MBC
M B 0 M BA M BC 0
3i B
3iB
1 8
ql 2
0
B
ql 2 48i
(
)
4） 求杆端弯矩作弯矩图
将θB代入杆端弯矩表达式，得：
M BA
3i B
3i
ql 2 48i
ql 2 16
,
M BC
3i B
第七章 位移法
§7-1 位移法基本概念 §7-2 等截面直杆的刚度方程 §7-3 无侧移刚架的计算 §7-4 有侧移刚架的计算 §7-5 位移法基本体系 §7-6 对称结构的计算 §7-7 支座移动和温度改变时的计算
1
§7-1 位移法基本概念
一、 位移法基本思路
1) 选择结点位移作为基本未知量。
A
M DE 12kN.m
M DA
2i D
0.75iE
2i( 4 ) 0.75i( 8 )
i
i
8 6 2kN.m
M AD 2kN.m
M BE 16kN.m
30
14 12
3
CD
EC D
E
2 14
A
B 16
M图(kN.m)
14 D 3 FNDE= 0 14 0 3
FNDA= -17kN
0E 3 30
B
EI l
i EI
C
l
在B结点加附加转动约束( )控制结点转动
q
A B
C 基本体系
与原结构区别：增加了与基本未知量相应的人为约束，
使基本未知量由被动位移变为受控制的主动位移。
与原结构等价的条件：约束力与原结构作用在该结点自 由度上的荷载相等(原来的主动荷载变为被动的约束力)。
37
A B
B
q
A
EI l
若忽略轴向变形，可用附加链杆的方法确 定结点线位移未知量△。从两个不动点（无线 位移的点）引出的两根无轴向变形的杆件，其 交点无线位移。
若一个结构需附加n根链杆才能使所有内
部结点成为不动点（无线位移），则该结构线
位移未知量的数目就是n。
8
附加链杆 B EA C
BH CH
A
D
D B
B D C C
基本未知量： θB、θD
22
例7-3-1 用位移法求图示刚架的M图，各杆EI 相同。
8kN/m
Bi
i
A
4m
Di E
i
4m
C
4m
解： 1）未知量：θB ( ) θD ( )
2）列出杆端弯矩表达式
i EI 4
23
B
8kN/m
M BA 4iB
B i D D i
i
i
A
C
E M BD 4iB 2iD 10.67
B
q
C
EI l
B
EI l
上图示连续梁，取结点B的转角θB作为基本未
知量，若θB已知，则AB杆与BC杆成为已知支座
位移和荷载的单跨超静定梁。
2
A
B
q
C
EI l
B
EI l
A
B MBA B
qC
EI B
l
MBC B
EI l
单跨超静定梁内力可由力法或材料力学知识求得。
2）杆端弯矩表达式
M BA 3iB
M BC
MAB EI
A i l
A
MAB
B
A
A
i EI l
B
M AB
3i A
3i l
3)
A
MAB i EI l
A
MBA
B
MAB i EI MBA
A
l
B
A
M AB iA
M BA iA
17
三、固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称 为固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时 针方向为负。
1. 两端固定梁 q
5）先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构 (化 整为零，集零为整)。
5
二、 位移法基本未知量
1）结点分类： 内部结点：杆件与杆件连接的结点(B) 外部结点：只与单个杆件连接的结点(A、C)
A
B
q
C
EI l
B
EI l
2）位移法可选择全部结点位移作为基本未知量，亦
可只选择内部结点位移作为基本未知量。
手算选择后者(手算怕繁—尽可能减少未知量数目)；
计算机计算选择前者(机算怕乱—尽可能减少杆件类
型) 。
6
1．结点转角位移未知量θ 结构有几个刚结点就有几个结点转角未知量。
A
B
C
B
A
B
C
D
B C
A
B
C
B C
D
E
7
2．结点线位移未知量△
线位移未知量数目与是否考虑杆件轴线变 形有关。若考虑杆件轴向变形，每个结点两个 线位移。为尽可能减少未知量数目，手算通常 假设：对于受弯杆件，忽略轴向变形的影响。
解：
1）未知量：
(
D
)
EH(
2）列出杆端弯矩表达式
i 2EI 4
14kN
D
E
C )
2EI (i)
(i/2) EI
A
1m
4EI (2i)
B
4m
2kN/m
4m
26
14kN
C
EH Di
D
i/2
EH E
2i
4m
2kN/m
A
B
1m 4m
M DC 14
M DA
4
i 2
D
6
i 4
/
2
EH
2i D
0.75iEH
总剪力FP 按剪力分配系数的比例分配给各柱。 35
这种按侧移刚度来分配剪力的方法称为剪力分配法。
各柱端弯矩为：
M BA 1FPh1 M DC 2FPh2 M FE 3FPh3
E
FP A
C
1FP 2FP
3FP
B
D
1FPh1
2
FP
h2
M图
F
3FPh3
36
§7-5 位移法的基本体系
A
B
q
EI l
M
F AB
3FPl 16
19
3. 一端固定、一端滑动支座的梁
q
ql2 3 A
l
FPl 2
FP
BA ql2 6
B
l
FPl 2
M
F AB
ql 2 3
M
F BA
ql 2 6
M
F AB
FPl 2
M
F BA
FPl 2
各种单跨超静定梁的固端弯矩可查表7-1。
20
四、正确判别固端弯矩的正负号
q
q
A
l
M
F AB
A BH E CH
B EA为有限值 C
BH
A
CH
D
C B
D B BH A
9
§7-2 等截面直杆的刚度方程
一、符号规则
1．杆端弯矩 规定杆端弯矩顺时针方向
为正，逆时针方向为负。
杆端弯矩的双重身份：
B MBC
MBA
A
C MCB
1）对杆件隔离体，杆端弯矩是外力矩，顺时 针方向为正，逆时针方向为负。
2）若把杆件装配成结构，杆端弯矩又成为内 力，弯矩图仍画在受拉边。
M DE 3iD
M AD
2
i 2
D
0.75iEH
iD
0.75iEH
M BE
1 2 42 8
3 2i 4
EH
1.5i EH
4
27
3）建立位移法方程并求解 由结点D平衡：
MDC D
MDE
MD 0 M DC M DA M DE 0
MDA
5iD 0.75iEH 14 0 1
作隔离体如右图，求柱剪力。 14kN
6i l 6i l
A B
上式就是两端固定梁的刚度方程。
式中系数4i、2i、-6i/l 称为刚度系数，即产生 单位杆端位移所需施加的杆端力矩。
13
2. 一端固定、一端滚轴支座的梁
M AB
A
EI
A
l
i EI l
B
M AB 3iA
A
i
B
A
A
iB
M AB
3i l
M AB
3i A
3i l
FQDA MDA
MAD
A
E
FQEB
MBE
B
2kN/m
CE梁 Fx 0
FQDA FQEB 0
(0.75iD 0.375iEH ) (0.375iEH 3) 0
0.75iD 0.75iEH 3 0 2
29
解方程组①、②，得
D
4 i
(
)
4）作内力图
EH
8 () i
M DC 14kN.m
k
FP A
h1
E
C
FQAB
FQCD
FQEF
h2 h3
MBA
MDC MFE
B
D
F
k k1 k2 k3
34
4）求各柱剪力并画弯矩图
FQAB k1
k1 k
FP
1FP
1
k1 k
FQCD k2
k2 k
FP
2 FP
2
k2 k
FQEF k3
k3 k
FP
3FP
பைடு நூலகம்
3
k3 k
μi 称为剪力分配系数，且有∑μi =1。 各柱的分配系数与侧移刚度成正比。
M AB 4iA M BA 2iA
A
i
B
A
M AB 2iB M BA 4iB
MAB
A
EI
MBA
B
A
l B
A
i B B
MAB
A
MBA
iB
M AB
M BA
6i l
12
由上图可得：
M AB
4i A
2iB
6i l
M BA
2i A
4iB
6i l
可写成：
M
AB
4i
M BA 2i
2i 4i
B
EI l
状态分解为： F1P
q
(1) A (2) A A
B B 0
+ k11B
Bi
i
B
3iB 3iB
i B B B
C
基本结构
C
基本体系
q
CB
C
M
F BC
k11B F1P 0
C
6i B
M ED 25.24KN.m
38.76 27.02
1.42
B 1.78
D
11.73
E
25.24
A 0.71
C M 图(kN.m)
25
§7-4 有侧移刚架的计算
基本未知量：内部结点的线位移、角位移。
杆件两端可能有相对侧移。
位移法方程：增加与结点线位移对应的力的平衡方程。
例7-4-1 用位移法求图示刚架内力图。
1 ql2 8
ql 2 16
ql 2 16
A
B
C
M图
3ql2 32
4
小结：
1）位移法选择结点位移(包括角位移和线位移) 作为基本未知量。 2）各杆件杆端取对应的结点位移即满足了结 点处的变形协调条件。
3）位移法方程是平衡方程，为基本未知量对 应的结点平衡方程，满足结点处的平衡条件。
4）单跨超静定梁的求解是基础。
FNEB=3kN
A
B8
FQ图(kN )
CD
E
17
3
A
B
FN图(kN )
31
例7-4-2 作图示结构 M 图，忽略杆件轴向变形。
解：
i1
EI1 h1
, i2
EI2 h2
, i3
EI3 h3
FP A
I1 h1 B
C
I2 h2 D
E
I3 h3 F
1）未知量 AH CH EH ( )
2）杆端弯矩表达式
10
2．结点转角